湖南省长沙市明德教育集团2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

明德教育集团八年级期末考试 八年级 数学试卷 24-25学年第一学期 时量：120分钟 满分：120分 一．选择题（共10小题，共计30分） 1．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，两个三角形是全等三角形，x的值是（　　） （2题） （5题） A．30 B．45 C．50 D．85 3．如果是一个完全平方式，则m的值是（　　） A．3     B．9    C．6     D．﹣9 4．下列运算，结果正确的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，用尺规作出了∠NCB＝∠AOC，作图痕迹中弧FG是（　　） A．以点C为圆心，OD为半径的弧 B．以点C为圆心，DM为半径的弧 C．以点E为圆心，OD为半径的弧 D．以点E为圆心，DM为半径的弧 6．已知点P1（a﹣1，﹣5）和P2（﹣2，b﹣1）关于y轴对称，则（a+b）2025的值为（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．（﹣3）2025 7．若把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，且x+y≠0，那么分式的值（　　） A．扩大到原来的3倍 B．不变 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 8．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，∠B＝45°，∠C＝73°，则∠DAE的度数是（　　） (8题） （10题） A．14° B．24° C．19° D．9° 9．若等腰三角形的顶角为30°，腰长为8，则这个等腰三角形的面积为（　　） A．8 B．16 C．24 D．32 10．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠BAC的邻补角的角平分线AE交∠ABC的角平分线BD于点D，交直线BC于点E，作DF⊥AE交BE于点F，连接AF．下列四个结论： ①∠ADB＝45°； ②BD垂直平分AF； ③EC＝2BF； ④ED＝AF+DF． 其中正确的是（ ）． A． ①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 二．填空题（共6小题，共计18分） 11．若则_________． 12．因式分解：2x2﹣8＝　 　． 13．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 　 　． 14．若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数为____________． 15．已知当x＝2时，分式无意义，当x＝3时，此分式值为0，则a+b＝　 　． 16．若关于x的分式方程有增根，则a的值是_____________. 三．解答题（共9小题） 17．（6分）计算：． 18． （6分）先化简，再求值：，其中x＝5． 19．（6分）平面直角坐标系中，点A（2，4）、B（1，2）、C（5，3）． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标； （2）在x轴上画出点P，使得PC+PB的值最小．（保留作图痕迹） 20．（8分）已知：x+y＝﹣1，xy＝﹣6，求下列代数式的值： （1）（x﹣y）2； （2）x3y+xy3． 21．（8分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF． （1）求证：ED＝DF． （2）∠EAD与∠EAC有什么数量关系？请写出结论并说明理由． （3）请猜想AC、AB、BE之间的数量关系，并说明理由． 22．（9分）已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）的展开式中不含x3和x2项． （1）求m与n的值． （2）在（1）的条件下，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值． 23．（9分）明德华兴中学为了创建书香校园，去年购买了一批图书．其中故事书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购买的故事书与用800元购买的文学书数量相等． （1）求去年购买的文学书和故事书的单价各是多少元？ （2）若今年文学书的单价比去年提高了25%，故事书的单价与去年相同，这所中学今年计划再购买文学书和故事书共200本，且购买文学书和故事书的总费用不超过2120元，这所中学今年至少要购买多少本文学书？ 24．（10分）如图①，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B（0，4）． （1）求△ABO的面积； （2）D为OA延长线上一动点，以BD为直角边作等腰直角△BDE，连接EA并延长EA与y轴交于点F，求OF的长； （3）①如图②，点A（﹣4，0），点E是y轴正半轴上一点，且∠OAE＝30°，AF平分∠OAE，点M是射线AF上一动点，点N是线段AO中点，若△MNO是等腰三角形，则这样的点M有多少个？直接写出答案． ②如图②，点A（﹣4，0），点E是y轴正半轴上一点，且∠OAE＝30°，AF平分∠OAE，点M是射线AF上一动点，点N是线段AO上一动点，请探究OM+MN有最小值吗，如果有，请求出最小值？ 25．（10分）新定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对[a，b]称为关于x的分式方程的一个“关联数对”． 例如：a＝2，b＝﹣5使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对[2，﹣5]就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． （1）判断下列数对是否为关于x的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”；若不是，打“×”．①[3，﹣5]（　 　）；②[1，﹣2]（　 　）． （2）若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值． （3）若数对[2m+k，﹣k]（，且m≠0，k≠﹣1）是关于x的分式方程的“关联数对”，且关于x的方程有整数解，求整数m的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年12月16日单玛丽的初中数学组卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B C D B C A B C 一．选择题（共10小题） 1．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：选项A、C、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 选项B的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：B． 2．如图，两个三角形是全等三角形，x的值是（　　） A．30 B．45 C．50 D．85 【解答】解：∠A＝180°﹣105°﹣45°＝30°， ∵两个三角形是全等三角形， ∴∠D＝∠A＝30°，即x＝30， 故选：A． 3．如果是一个完全平方式，则m的值是（　　） A．3     B．9    C．6     D．﹣9 故选：B． 4．下列运算，结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项不符合题意； B．3与不是同类二次根式，不能合并，此选项不符合题意； C．2，此选项符合题意； D．2，此选项不符合题意； 故选：C． 5．如图，用尺规作出了∠NCB＝∠AOC，作图痕迹中弧FG是（　　） A．以点C为圆心，OD为半径的弧 B．以点C为圆心，DM为半径的弧 C．以点E为圆心，OD为半径的弧 D．以点E为圆心，DM为半径的弧 【解答】解：根据作一个角等于已知角可得弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧． 故选：D． 6．已知点P1（a﹣1，﹣5）和P2（﹣2，b﹣1）关于y轴对称，则（a+b）2025的值为（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．（﹣3）2025 【解答】解：根据题意可知，点P1（a﹣1，﹣5）和P2（﹣2，b﹣1）关于y轴对称， ， 解得：， ∴（a+b）2025＝（﹣1）2025＝﹣1． 故选：B． 7．若把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，且x+y≠0，那么分式的值（　　） A．扩大到原来的3倍 B．不变 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 【解答】解：根据题意可知，， 即分式的值缩小到原来的． 故选：C． 8．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，∠B＝45°，∠C＝73°，则∠DAE的度数是（　　） A．14° B．24° C．19° D．9° 【解答】解：在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝73°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝62°． ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE∠BAC＝31°． ∵AD是BC边上的高， ∴AD⊥BC， ∴∠CAD＝90°﹣∠C＝17°， ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝31°﹣17°＝14°． 故选：A． 9．若等腰三角形的顶角为30°，腰长为8，则这个等腰三角形的面积为（　　） A．8 B．16 C．24 D．32 【解答】解：如图所示，过B作BD⊥AC于D， ∵∠A＝30°，AB＝8， ∴BDAB＝4， ∴S△ABCAC×BD16， 故选：B． 10.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠BAC的邻补角的角平分线AE交∠ABC的角平分线BD于点D，交直线BC于点E，作DF⊥AE交BE于点F，连接AF．下列四个结论： ①∠ADB＝45°； ②BD垂直平分AF； ③EC＝2BF； ④ED＝AF+DF． 其中正确的是（ C ） A． ①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】C． 【解答】解：①∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠ABC＝∠BAC＝45°， ∵∠ABC的角平分线BD和∠BAC的邻补角的角平分线交于点D， ∴∠ABD∠ABC＝22.5°，∠CAD（180°﹣45°）＝67.5°， 在△ABD中，∠ADB＝180°﹣∠BAD﹣∠ABD ＝180°﹣67.5°﹣45°﹣22.5° ＝45°， 故①正确； ②∵DF⊥AD，∠ADB＝45°， ∴∠ADB＝∠FDB＝45°， ∵BD为∠ABC的角平分线， ∴∠ABD＝∠FBD， 在△ABD和△FBD中， ， ∴△ABD≌△FBD（ASA）， ∴AB＝BF，AD＝DF， ∴BD垂直平分AF； 故②正确； ③如图1，过点E作EM⊥AB于M，则∠BME＝90°， ∵AE平分∠CAM，∠ACE＝90°， ∴CE＝EM， ∵AE＝AE， ∴Rt△AEM≌Rt△AEC（HL）， ∴AM＝AC， ∵∠ABC＝45°，∠BME＝90°， ∴∠ABC＝∠BEM＝45°， ∴EM＝BM， 设AC＝a，则ABa， ∴BM＝AM+AB＝aa， ∴CE＝EM＝BM＝（1）a， ∵AB＝BFa， ∴， 故③不正确； ④如图2，在AE上取一点M，使AD＝DM，连接FM， ∵DF⊥AE， ∴AF＝FM， ∵△ADF是等腰直角三角形， ∴∠AMF＝∠DAF＝45°， ∵∠ADB＝45°，∠DBF＝22.5°， ∴∠E＝45°﹣22.5°＝22.5°， ∴∠EFM＝45°﹣22.5°＝22.5°＝∠E， ∴EM＝FM， ∵DE＝EM+DM， ∴DE＝FM+DM＝AF+DF， 故④正确； 所以本题正确的结论有：①②④． 故答案为：C． 2． 填空题（共6小题） 11、 【解答】10 12．因式分解：2x2﹣8＝　2（x+2）（x﹣2）　． 【解答】解：2x2﹣8＝2（x+2）（x﹣2）． 13．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 　x＞1　． 【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴x﹣1＞0， 解得：x＞1， 故答案为：x＞1． 14．若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数为____9_________． 【解答】解：这个多边形边数为：360°÷40°＝9（条）， 故答案为：9． 15．已知当x＝2时，分式无意义，当x＝3时，此分式值为0，则a+b＝　5　． 【解答】解；∵当x＝2时，分式无意义， ∴2﹣a＝0， ∴a＝2， ∵当x＝3时，此分式值为0， ∴3﹣b＝0， ∴b＝3， ∴a+b＝2+3＝5， 故答案为：5． 16．．若关于x的分式方程有增根，则a的值是__________ 【解答】解：关于x的分式方程， 去分母可化为x﹣1＝a﹣2（x+1）， 又因为关于x的分式方程，即有增根x＝﹣1， 所以x＝﹣1是方程x﹣1＝a﹣2（x+1）的根， 所以a＝﹣2， 三．解答题（共9小题） 17．计算： ． 【解答】解： （1） （4分） ． （6分） 18．先化简，再求值：，其中x＝5． 【解答】解：原式 ， （ 4分） 当x＝5时， ． （6分） 19．平面直角坐标系中，点A（2，4）、B（1，2）、C（5，3）． （1）（4分）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标； （2）（2分）在x轴上画出点P，使得PC+PB的值最小．（保留作图痕迹） 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． 由图可得，点A1的坐标为（﹣2，4）． （2）如图，取点B关于x轴的对称点B'，连接B'C交x轴于点P，连接BP， 此时PC+PB＝PC+PB'＝B'C，为最小值， 则点P即为所求． 20．已知：x+y＝﹣1，xy＝﹣6，求下列代数式的值： （1）（4分) （x﹣y）2； （2）(4分） x3y+xy3． 【解答】解：（1）（x﹣y）2 ＝（x+y）2﹣4xy ＝（﹣1）2﹣4×（﹣6） ＝1+24 ＝25； （2）x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝（﹣1）2﹣2×（﹣6）＝1+12＝13， ∴x3y+xy3＝xy（x2+y2）＝﹣6×13＝﹣78． 21．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF． （1）（3分）求证：ED＝DF． （2）（2分）∠EAD与∠EAC有什么数量关系？请写出结论并说明理由． （3）（3分）请猜想AC、AB、BE之间的数量关系，并说明理由． 【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠E＝∠DFC＝90°， 在Rt△BDE与Rt△CDF中 ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴DE＝DF． （2）解：∠EAC＝2∠EAD，理由如下： ∵DE⊥AB，DF⊥AC，且DE＝DF， ∴AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠CAD， 即∠EAC＝2∠EAD． （3）解：AC﹣AB＝2BE，理由如下： 由（1）知，BE＝CF， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠E＝∠DFC＝90°， 在Rt△ADE与Rt△ADF中 ， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）， ∴AE＝AF， ∴AB+BE＝AC﹣CF， 即AC﹣AB＝BE+CF＝2BE． 22．已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）的展开式中不含x3和x2项． （1）（5分） 求m与n的值． （2）（4分） 在（1）的条件下，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值． 【解答】解：（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）＝x5﹣3x4+（m+4）x3+（n﹣3m）x2+（4m﹣3n）x+4n， （ 2分） 根据展开式中不含x2和x3项得：， （4分） 解得：． 即m＝﹣4，n＝﹣12； （5分） （2）∵（m+n）（m2﹣mn+n2） ＝m3﹣m2n+mn2+m2n﹣mn2+n3 ＝m3+n3， （7分） 当m＝﹣4，n＝﹣12时， 原式＝（﹣4）3+（﹣12）3＝﹣64﹣1728＝﹣1792． （9分） 23．明德华兴中学为了创建书香校园，去年购买了一批图书．其中故事书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购买的故事书与用800元购买的文学书数量相等． （1）求去年购买的文学书和故事书的单价各是多少元？ （2）若今年文学书的单价比去年提高了25%，故事书的单价与去年相同，这所中学今年计划再购买文学书和故事书共200本，且购买文学书和故事书的总费用不超过2120元，这所中学今年至少要购买多少本文学书？ 【解答】解：（1）设去年文学书单价为x元，则故事书单价为（x+4）元，根据题意得： ， （2分） 解得：x＝8， （3分） 经检验x＝8是原方程的解，当x＝8时x+4＝12， （4分） 答：去年文学书单价为8元，则故事书单价为12元． （5分） （2）设这所学校今年购买y本文学书，根据题意得． 8×（1+25%）y+12（200﹣y）≤2120， （7分） y≥140， （8分） ∴y最小值是140； 答：这所中学今年至少要购买140本文学书． （9分） 24．如图①，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B（0，4）． （1）（3分）求△ABO的面积； （2）（3分）D为OA延长线上一动点，以BD为直角边作等腰直角△BDE，连接EA并延长EA与y轴交于点F，求OF的长； （3）（2分）①如图②，点A（﹣4，0），点E是y轴正半轴上一点，且∠OAE＝30°，AF平分∠OAE，点M是射线AF上一动点，点N是线段AO中点，若△MNO是等腰三角形，则这样的点M有多少个？直接写出答案． （2分）②如图②，点A（﹣4，0），点E是y轴正半轴上一点，且∠OAE＝30°，AF平分∠OAE，点M是射线AF上一动点，点N是线段AO上一动点，请探究OM+MN有最小值吗，如果有，请求出最小值？ 【解答】解：（1）∵直线AB与x轴交于A（﹣4，0），与y轴交于B（0，4），即OA＝OB＝4， ∴S△ABO4×4＝8； （2）作EG⊥x轴于G， ∴∠EGD＝∠DOB＝90°， ∵△EDB为等腰直角三角形， ∴ED＝BD，∠BDE＝90°， ∵∠DEG+∠EDG＝90°，∠EDG+∠BDO＝90°， ∴∠DEG＝∠BDO， 在△DEG和△BDO中， ， ∴△DEG≌△BDO（AAS）， ∴EG＝OD，DG＝OB＝4， 设D（﹣d，0），d＞4，则G（﹣d﹣4，0），E（﹣d﹣4，d）， 设直线EA的解析式为y＝kx+b， 则， 解得：k＝﹣1，b＝﹣4， ∴直线EA的解析式为y＝﹣x﹣4， 令x＝0，得到y＝﹣4，即F（0，﹣4）， ∴OF＝4； （3）①如图， 作ON的垂直平分线交AF于M1，则M1N＝OM1， 以O为圆心，ON为半径作弧交AF于M2，M3，则ON＝OM2，ON＝OM3， 以N为圆心，ON为半径作弧交AF于A，M4，则ON＝M4N， ∴这样的点M有4个； ②如图，过点O作OP⊥AE于P，交AF于M，作MN⊥OA于N，连接MN，此时OM+MN的值最小． ∵∠MAP＝∠MAN，MP⊥AP，MN⊥AN， ∴MP＝MN， ∴OM+MN＝OM+MP＝OP， 在Rt△OAP中，∠OAE＝30°，OA＝4， ∴OP＝2， ∴OM+MN的最小值为2． 25．新定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对[a，b]称为关于x的分式方程的一个“关联数对”． 例如：a＝2，b＝﹣5使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对[2，﹣5]就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． （1）（2分）判断下列数对是否为关于x的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”；若不是，打“×”．①[3，﹣5]（　√　）；②[1，﹣2]（　×　）． （2）（4分）若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值． （3）（4分）若数对[2m+k，﹣k]（，且m≠0，k≠﹣1）是关于x的分式方程的“关联数对”，且关于x的方程有整数解，求整数m的值． 【解答】解：（1）当a＝3，b＝﹣5时， 分式方程，解得， ∵， ∴①的答案是√； 当a＝1，b＝﹣2时， 分式方程，解得， ∵， ∴②的答案是×； 故答案为：√；×； （2）∵数对是关于x的分式方程的“关联数对”， ∴a＝﹣n，， ∴，解得， ∵， ∴， 解得n＝3； （3）∵数对[2m+k，﹣k]是关于x的分式方程的“关联数对”， ∴a＝2m+k，b＝﹣k， ∵k≠﹣1，m≠0， ∴，， ∵， ∴， 当时，解得， 将化简得：（2m﹣1）2x＝（1﹣2m）（1+2m）， ∵， 解得， ∵关于x的方程有整数解，且m为整数， ∴2m﹣1＝±1或±2， 即2m﹣1＝﹣1或2m﹣1＝1或2m﹣1＝﹣2或2m﹣1＝2， 解得m＝0或m＝1或（不是整数，舍去）或（不是整数，舍去）， ∵m≠0， ∴m＝1． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/12/27 10:50:11；用户：单玛丽；邮箱：UID_A005307572E3B7E426C6F792839459D5@qq.jyeoo.com；学号：28930458 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$