第21讲：方阵问题—2025年小升初数学压轴应用题精讲精练讲义（通用版）（学生版+教师版）

2025年小升初数学压轴应用题精讲精练讲义（通用版） —— 方阵问题 —— 目 录 第一部分：解题技巧 第二部分：真题精讲 第三部分：专题演练 （基础巩固-培优拔尖） 第一部分：解题技巧   【含义】 将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。 【数量关系】 （1）方阵每边人数与四周人数的关系： 四周人数＝（每边人数－1）×4 每边人数＝四周人数÷4＋1 （2）方阵总人数的求法： 实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数 空心方阵：总人数＝（外边人数）－（内边人数） 内边人数＝外边人数－层数×2 （3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则： 总人数＝（每边人数－层数）×层数×4 【解题思路和方法】 方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。 第二部分：压轴精讲   【压轴精讲一】涧小举行艺体节队列表演，共4个方队，每个方队排成8行，每行8人，最外圈的同学穿红色运动服，其余同学穿绿色运动服．一共要准备两种颜色的运动服各多少套？（提示：画一个方队点子图帮助理解） 【答案】解：如下图： 8×4﹣4 =32﹣4 =28（人） 28×4=112（套） 8×8﹣28 =64﹣28 =36（人） 36×4=144（套） 答：一共要准备红色运动服112套，绿色运动服144套． 【解析】【分析】每个方阵的最外层一共有4个边，每边有8人，一共是8×4=32人，由于顶点的人数都被重复计算了一次，所以需要减去4个顶点的人数一次，最外层有32﹣4=28人，也就是每个方阵穿红色运动服的人数，再乘上4，就是红色运动服需要准备的套数； 每个方阵一共有8×8=64人，再减去最外层的28人，就是需要穿绿色运动服的人数，然后乘上4即可求解。 【压轴精讲二】做广播体操时，某年级的学生站成一个实心方阵时（正方形队列）还多10人，如果站成一个每边多1人的实心方阵，则还缺少15人，求原来有多少人？ 【答案】解：扩大的方阵每边上有： （10+15+1）÷2， =26÷2， =13（人）； 原来人数： 13×13﹣15， =169﹣15， =154（人）； 答：原来有154人． 【解析】【分析】当扩大方阵时，需补充10+15=25（人），这25人应站在扩充的方阵的两邻边处，形成一层人构成的直角拐角．补充人后，扩大的方阵每边上有（10+15+1）÷2=13（人）．因此，扩大的方阵共有13×13=169（人），去掉15人，就是原来人数。 【压轴精讲三】学校举行队列表演。六年级1班学生排成正方形的方阵，最外层每边站16名同学，最外层一共有多少名同学？整个方阵一共有多少名同学？ 【答案】解：16×4-4=60(名)或(16-1)×4=60(名) 16×16=256(名) 答：最外层一共有60名同学，整个方阵一共有256名同学。 【解析】【分析】用最外层的人数乘4，再减去每个角上重复计算的4名同学即可求出最外层人数，或者用最外层每边的人数减去1，再乘4求出最外层人数；方阵一共有16行，16列，用行数乘列数即可求出一共的人数。 第三部分：专题演练   1．学校运动会开幕式上，小龙班上的同学组成了一个方阵。在方阵中，小龙的东、西、南、北四个方向各有3人。你知道这个方阵一共有多少人吗？ 2．同学们站成方阵做体操，小明站在排尾，他的前面有4人，左边有1人，右边有3人，这个方阵共有多少人？ 3．在英才小学运动会上的团体操表演中，高年级的参演学生排成了一个方阵，方阵最外面一层共有28名同学，整个方阵一共有多少名学生？ 4．公园菊花展期间，工作人员将菊花摆成了一个实心方阵，最外层放了124盆菊花，最外层每边放多少盆菊花？这个实心方阵一共有多少盆菊花？ 5．红星小学五年级同学排成一个方阵参加学校运动会开幕式表演。外层每边都是9人，外层一共有多少人？整个方阵一共有多少人？ 6．同学们排成方阵进行团体操比赛，最外层每边站10名学生，最外层一共有多少名学生？整个方阵一共有多少名学生？ 7．公园在水池周围用鲜花围成了一个每边四层的方阵，最外面一层每边有14盆鲜花。一共摆了多少盆鲜花？ 8．学校教学楼前摆放了一个方阵花坛。这个花坛的最外层每边各摆放10盆花，最外层共摆放了多少盆花？这个方阵一共摆放了多少盆花？ 9．学校体育队的同学排成一个方阵表演“中国功夫”，最外一层的人数是60人，方阵最外一层每边有多少人?一共有多少人? 10．大庆路小学启智楼前摆放了一个方阵花坛．这个花坛的最外层每边各摆放8盆花，最外层共摆了多少盆花？这个方阵花坛共有多少盆花？ 11．同学们表演团体操表演，排成一个方阵，每行20人，一共排了20行，最外层有多少人，整个方阵一共多少人？ 12．要在五边形的水池边上摆上花盆，使每一边都有5盆花，最少需要几盆花？ 13．战成方队军训最外边站了12人，最外层一共有多少人？参加军训的一共有多少学生？ 14．同学们用小红花排成了一个四层空心方阵，最外层每边12朵，共有红花多少朵？ 15．我们学校在庆六一活动中，开展了大型的文艺汇演，为了把会场装扮得更加美观，准备在正方形会场的四周插上56面彩旗，每边彩旗相等．四个顶点都有彩旗，请你计算一下每边各需要有多少彩旗？ 1． 为迎接六一儿童节，学校举行团体操表演。五年级学生排成一个空心方阵，最外层人数共120人，最内层共有 80人。这个空心方阵一共有多少人？ 2．据中国载人航天工程办消息，北京时间 2023 年 10 月 26 日 11 时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号 F 遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射。某科技实验小学的同学们排成一个方阵观看直播，最外层每边有 15 名同学，最外层一共有学生多少名？ 整个方阵一共有多少名同学观看？ 3．在学校举办的运动会上，四年级一班的同学排成一个方队走过主席台。每个方队排成6 行，每行6人。最外圈的同学穿红色运动服，其余同学穿白色运动服，一共要准备两种颜色的运动服各多少套? 4．金星小学五年级的同学进行团体操表演，这些人排成了一个正方形队列，最外面一圈的人数为60人，这个队列一共有多少人？ 5．为庆祝建国70周年，我校组织一个表演方阵进行文艺演出，该表演方阵共有8行，小王同学排在其中一行里。从左边数他排在第18位，从右边数他排在第13位，问这个表演方阵一共有多少人？ 6．在学校的文艺演出中，小演员们在舞台的中央排成了一个空心正方形，每条边上站了16人（四个顶点都站有1人）。这个舞台上共有多少位小演员？ 7．在学校楼前用若干盆花摆放3个方阵，每个方阵摆成8排，每排8盆。最外层摆红花，其余为黄花。一共要准备两种颜色的花各多少盆？（可以先画图表示出1个方阵的排列，再计算。） 8．同学们举行健美操队列表演，共有4个方阵，每个方阵最后一行最后一列的那位同学用数对表示是（6，6）。方阵最外面的同学穿红色运动服，其余都穿绿色运动服。共要准备红色、绿色运动服各多少套？ 9．学校排练大型团体操，原来是一个正方形方阵，由于人数本少，又增加了 56 人。队形重新排列后每行比原来增加了 4人，行数增加了 2行。现在共有多少人参加团体操表演?画一画，算一算。 10．有一个团体操表演队，想排成6层的中空方阵的表演队形。已知参加表演的有360人，最外层每边应安排多少人? 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【答案】60÷4+1=16(人)，16×16=256(人)，答：方阵最外一层每边有16人，一共有256人。 【解析】【分析】方阵问题相关的知识点是：四周的人数=（每边的人数-1）×4，每边的人数=四周的人数÷4+1。 根据公式：每边的人数=四周的人数÷4+1可得：60÷4+1=16（人），据此解答。 10．大庆路小学启智楼前摆放了一个方阵花坛．这个花坛的最外层每边各摆放8盆花，最外层共摆了多少盆花？这个方阵花坛共有多少盆花？ 【答案】解：8×4﹣4 =32﹣4 =28（盆） 8×8=64（盆） 答：最外层一共摆了28盆，这个方阵花坛共有64盆花 【解析】【分析】这个方阵花坛的最外层每边有花盆8盆，可以看做每边点数为8的方阵问题，根据最外层四周的总点数=每边点数×4﹣4，实心方阵的总点数=每边点数×每边点数，即可解决问题． 11．同学们表演团体操表演，排成一个方阵，每行20人，一共排了20行，最外层有多少人，整个方阵一共多少人？ 【答案】解：20×4﹣4 =80﹣4 =76（人） 20×20=400（人） 答：最外层有76人，整个方阵一共400人． 【解析】【分析】排成一个方阵，每行20人，一共排了20行，即最外层每边20人，根据“最外层人数=每边人数×4﹣4；实心方阵中总人数=每边人数×每边人数”，代入数据即可解答． 12．要在五边形的水池边上摆上花盆，使每一边都有5盆花，最少需要几盆花？ 【答案】解：根据题意可得： （5﹣1）×5 =4×5 =20（盆） 答：最少需要20盆花． 【解析】【分析】在五边形的水池边上摆花盆，五个顶点各摆上一盆，这样摆花盆最少，然后用每一边摆的5盆花减去1，再乘上边数5就可以求出结果． 13．战成方队军训最外边站了12人，最外层一共有多少人？参加军训的一共有多少学生？ 【答案】解：12×4﹣4， =48﹣4， =44（人）， 12×12=144（人）， 答：最外层一共有44名学生，参加军训的一共有144名学生． 【解析】【分析】最外层人数=每边人数×4﹣4；实心方阵中总人数=每边人数×每边人数；代入数据即可解答． 14．同学们用小红花排成了一个四层空心方阵，最外层每边12朵，共有红花多少朵？ 【答案】解：（12﹣4）×4×4 =8×16 =128（朵） 答：共有红花128朵． 【解析】【分析】由题意知，要求这个四层空心方阵共有红花多少朵，就是求这个方阵的总点数；根据方阵问题中：空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4解答即可． 15．我们学校在庆六一活动中，开展了大型的文艺汇演，为了把会场装扮得更加美观，准备在正方形会场的四周插上56面彩旗，每边彩旗相等．四个顶点都有彩旗，请你计算一下每边各需要有多少彩旗？ 【答案】解：56÷4+1 =14+1 =15（面） 答：每边各需要有15面彩旗． 【解析】【分析】此题可以看做是空心方阵问题；最外围每边点数=四周点数之和÷4+1，由此代入数据即可解答． 1． 为迎接六一儿童节，学校举行团体操表演。五年级学生排成一个空心方阵，最外层人数共120人，最内层共有 80人。这个空心方阵一共有多少人？ 【答案】解：4×2=8(人) (120-80)÷8=5(个) 5+1=6(层) 80+8=88(人) 88+8=96(人） 96+8=104(人) 104+8=112(人) 80+88+96+104+112+120=600(人) 答：这个空心方阵一共有600人。 【解析】【分析】本题为方阵问题，外面一层每边人数比相邻的内层多2人，那么四条边就多8人。最外层一共有120人，最内层一共有 80人，(120-80)÷8=5(个)间隔，所以这是一个6层的空心方阵，则中间4层的人数分别是80+8=88(人)、88+8=96(人)、96+8=104(人)、104+8=112(人)。由此即可求出这个方阵中的总人数。 2．据中国载人航天工程办消息，北京时间 2023 年 10 月 26 日 11 时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号 F 遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射。某科技实验小学的同学们排成一个方阵观看直播，最外层每边有 15 名同学，最外层一共有学生多少名？ 整个方阵一共有多少名同学观看？ 【答案】解：15×4-4=56(名) 15×15=225(名) 答： 最外层一共有学生56名，；整个方阵一共有225名同学观看。 【解析】【分析】方阵最外层的总人数等于最外层每边的人数×4-四个角重复计算的4人，方阵的总人数=最外层每行人数×最外层每列人数。 3．在学校举办的运动会上，四年级一班的同学排成一个方队走过主席台。每个方队排成6 行，每行6人。最外圈的同学穿红色运动服，其余同学穿白色运动服，一共要准备两种颜色的运动服各多少套? 【答案】解：6×4-4 =24-4 =20（套） 6×6-20 =36-20 =16（套） 答：红色运动服20套，白色运动服16套。 【解析】【分析】红色运动服的套数=最外一圈的人数=平均每行的人数×4-4个顶点的人数；白色运动服的套数=平均每行的人数×行数-最外一圈的人数。 4．金星小学五年级的同学进行团体操表演，这些人排成了一个正方形队列，最外面一圈的人数为60人，这个队列一共有多少人？ 【答案】解：60÷4+1 =15＋1 =16（人） 16×16=256（人） 答：这个队列一共有256人。 【解析】【分析】这个队列一共的人数=平均每列的人数×列数；其中，平均每列的人数=列数=最外面一圈的人数÷4＋1人。 5．为庆祝建国70周年，我校组织一个表演方阵进行文艺演出，该表演方阵共有8行，小王同学排在其中一行里。从左边数他排在第18位，从右边数他排在第13位，问这个表演方阵一共有多少人？ 【答案】解：(18+13-1)×8 =30×8 =240(人) 答：这个表演方阵一共有240人。 【解析】【分析】由题意可知，每行有（18+13-1）人，再乘上行数，即可求出方阵的总人数。 6．在学校的文艺演出中，小演员们在舞台的中央排成了一个空心正方形，每条边上站了16人（四个顶点都站有1人）。这个舞台上共有多少位小演员？ 【答案】解：16×4-4 =64-4 =60（位） 答：这个舞台上共有60位小演员。 【解析】【分析】四个顶点处的4人是重复计数的，因此用每条边上站人的个数乘4，再减去4个顶点处重复计数的4人即可求出小演员的总数。 7．在学校楼前用若干盆花摆放3个方阵，每个方阵摆成8排，每排8盆。最外层摆红花，其余为黄花。一共要准备两种颜色的花各多少盆？（可以先画图表示出1个方阵的排列，再计算。） 【答案】解： 一个方阵黄花的盆数：6×6=36（盆） 一个方阵红花的盆数：8×8-36=28（盆） 36×3=108（盆） 28×3=84（盆） 答：一共要准备黄花108盆，红花84盆。 【解析】【分析】根据题意画出一个8×8方阵的排列，观察图可知一个方阵里黄花围成了一个6×6的正方形，据此可以得出一个方阵里黄花的盆数。一个方阵里摆放的花盆数=8×8，一个方阵里红花的盆数=一个方阵里摆放的花盆数-一个方阵里黄花的盆数，进一步得出3个方阵里黄花跟红花各有多少盆。 8．同学们举行健美操队列表演，共有4个方阵，每个方阵最后一行最后一列的那位同学用数对表示是（6，6）。方阵最外面的同学穿红色运动服，其余都穿绿色运动服。共要准备红色、绿色运动服各多少套？ 【答案】解：（6×4-4）×4=80（套） 6×6×4-80=64（套） 答：一共要准备红色运动服80套，绿色运动服64套。 【解析】【分析】（6，6）表示每个方阵都是6列6行；每个方阵最外面的人数=每边的人数×4-4人，4个方阵最外面的人数=（每边的人数×4-4人）×4；每个方阵的列数×每列的人数=每个方阵的人数，每个方阵的人数×4=4个方阵的人数，4个方阵的人数-4个方阵最外面的人数=其余的人数。 9．学校排练大型团体操，原来是一个正方形方阵，由于人数本少，又增加了 56 人。队形重新排列后每行比原来增加了 4人，行数增加了 2行。现在共有多少人参加团体操表演?画一画，算一算。 【答案】解：如图： 原理每边的人数： （56-2×4）÷（2+4） =48÷6 =8（人） 现在的人数：8×8+56 =64+56 =120（人） 答：现在共有120人参加团体操表演。 【解析】【分析】图中白色正方形表示原来的人数，黄色和红色部分表示增加的人数。用增加的人数减去红色部分增加的8人求出黄色部分的人数，把两部分黄色合成一个宽（2+4）的长方形，用两个黄色部分的人数除以（2+4）即可求出原来正方形每条边的人数。用原来方阵的人数加上增加的人数即可求出现在的总人数。 10．有一个团体操表演队，想排成6层的中空方阵的表演队形。已知参加表演的有360人，最外层每边应安排多少人? 【答案】解：设最外层每边人数是x人，则(x一6)×6×4=360． 解得：x=21。 【解析】【解答】解：设最外圈人数是x人。 x+（x-8）+（x-8×2）+（x-8×3）+（x-8×4）+（x-8×5）=360 x+x-8+x-16+x-24+x-32+x-40=360 6x-120=360 6x=360+120 x=480÷6 x=80 80÷4+1=21（人） 答：最外层每边应安排21人。 【分析】方阵中相邻两层的人数相差8人，设最外层人数是x人，则第二层就是（x-8）人，第三层就是（x-8×2）人，这样分别表示出每层的人数，这些人数相加就是总人数，列方程求出最外层的人数。用最外层人数除以4再加上1就是外层每边的人数。 第 - 1 - 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$