第16讲：正反比例问题——2025年小升初数学压轴应用题精讲精练讲义（通用版）（学生版+教师版）

2025年小升初数学压轴应用题精讲精练讲义（通用版） —— 正反比例问题 —— 目 录 第一部分：解题技巧 第二部分：真题精讲 第三部分：专题演练 （基础巩固-培优拔尖） 第一部分：解题技巧   【含义】 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。 【数量关系】 判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。 【解题思路和方法】 解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。 正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。 第二部分：压轴精讲   【压轴精讲一】印度尼西亚首都雅加达拥有1000多万人口，它是世界上下沉速度最快的城市之一。北雅加达十年来已经下沉了2.5米，照这样的速度，北雅加达下沉7.5米，只需几年时间？（用比例解） 【答案】解：设北雅加达下沉7.5米，只需要x年。 2.5：10=7.5：x 2.5x=10×7.5 x=75÷2.5 x=30 答：需30年。 【解析】【分析】照这样的速度意思就是每年下降的高度不变，也就行下沉的高度与年数的比值不变，那么下沉的高度与年数成正比例。设北雅加达下沉7.5米需要x年，根据下沉的高度与年数的比值不变列出比例解答即可。 【压轴精讲二】小明买圆珠笔和铅笔共100支。已知圆珠笔每支3元，铅笔每支1元，买圆珠笔和买铅笔所用的钱数一样多。圆珠笔和铅笔各买了多少支？ 【答案】解：3＋1=4 100×=75（支） 100-75=25（支） 答：圆珠笔买了25支，铅笔买了75支。 【解析】【分析】买圆珠笔和买铅笔所用的钱数一样多，则圆珠笔和铅笔的总价一定，单价和数量成反比例，圆珠笔和铅笔的单价比是3：1，那么数量比是1：3；则铅笔买的支数=总支数× =75（支），圆珠笔的支数=总支数-铅笔买的支数。 【压轴精讲三】一架飞机所带的燃料最多可以用7小时，飞机去时顺风，每小时飞行800千米，按原路返回时逆风，每小时飞行600千米。若飞机只能在起飞的地方补充燃料，这架飞机最远飞出多少千米就需要往回飞？ 【答案】解：速度比：800：600=4：3 时间比：3：4 4＋3=7 7××800 =3×800 =2400（千米） 答：这架飞机最远飞出2400千米就需要往回飞。 【解析】【分析】飞机往返路程一定，所以飞机的飞行速度与飞行时间成反比例；飞机往返的速度比是4：3，则所用的时间比是3：4；则飞机飞出的时间是7× =3小时；这架飞机最远飞行的路程=速度×时间。 第三部分：专题演练   1．李明参加一个演讲比赛，他的语速是200字/分，他完成这个演讲需要12分钟。现在李明要在10分钟内完成演讲，他的语速要调整到多少字/分？ 2．补充表格。 药粉/克 1 2 4 6 8 10 水/克 200 400 3． 一个晒盐场用10千克海水可以晒出0.3千克盐。如果一块盐田有4000吨海水，可以晒出多少吨盐？（用比例知识解答） 4．东东记录了某国产品牌电动汽车的仪表盘上显示的相关数据，整理结果如下： 行驶路程(千米) 100 120 130 140 150 耗电量(千瓦时) 15 18 19.5 21 22.5 （1）观察上表中的数据，电动汽车的行驶路程与耗电量成(　　)比例关系。 （2）当电动汽车行驶了600km时，电动汽车将消耗多少千瓦时的电？(用比例解答) 5．纸的发明是对人类文明的伟大贡献。造纸的原材料主要是树皮等植物的纤维，据统计：少浪费1500 张纸，就可保留1棵树；节约6吨纸，则相当于拯救了120棵树。学校打印室新购一批白纸，计划每天 用90张，可以用20天。由于注意了节约用纸，实际每天只用60张，这批白纸实际用了多少天? 6．电动汽车作为新型的环保交通工具，受到了消费者的喜爱。文文的爸爸买了某品牌的电动汽车带全家外出旅行，途中文文记录了汽车仪表盘上显示的相关数据，整理结果如下表： 行驶路程/km 100 120 130 140 150 …… 耗电量/度 15 18 19.5 21 22.5 …… （1）观察上表，汽车行驶路程与耗电量成　 　比例关系。 （2）汽车电池充满后有45度电，行驶280km够吗？ 7．一间办公室铺地砖，用边长为4分米的方砖铺，需要320块，如果改用边长为8分米的方砖铺，需要多少块？(用比例知识解答) 8．铺设一块空地，如果用边长为4分米的正方形地砖来铺需要2625块。如果改用25平万分米的方砖来铺，需要多少块 (用比例解决) 9．小军身高135cm，爸爸身高180cm。在一张他们的合影上，量得爸爸的身高是8cm，小军在这张照片上的高是多少? 10．育红小学六一班体操表演。每排15人，正好站成20排；如果每排再减少3人，则能站成几排呢？(先分析两种量成什么比例关系，再解答。) 11．一堆煤，如果每天烧0.6吨，可以烧40天，改进炉灶后，每天节约用煤0.2吨，实际可以烧多少天？（用比例解）。 12．一辆汽车的总长是6.3米，某玩具厂商制作这辆汽车的模型进行售卖，模型总长与汽车总长的比是1：9。这个模型的总长为多少厘米? 13．李老师开车从甲地到乙地，若每小时行驶90千米，6小时可以到达。若每小时行驶100千米，则李老师可以提前几小时到达？（用比例的方法解答） 14．服装厂原来做一套校服用布3.4米，改进技术后每套节约用布0.2米，原来做160套校服的布，现在可以做多少套?（用比例解。） 15．下面方格纸上的“点”表示轮船的航行速度。 （1）根据方格纸上的数据把表格填写完整。 时间/时 0 1 2 3 4 5 6 路程/千米 　 　 　 　 　 　 　 （2）时间和路程成什么比例?为什么? （3）不计算，看图回答：这艘轮船2.5时行驶了多少千米?8时能行驶多少千米? 16．某运输队需要为灾区抢运120吨救灾物资，如果要一次把所有救灾物资全部运出，车辆的载重量与所需车辆的数量如下表。 （1）请把表格填写完整。 载质量/吨 2.5 4 5 10 数量/辆 48 30 　 　 （2）车辆的载重量和所需车辆的数量成什么比例？为什么？ （3）如果用载重量为6吨的卡车来运，一共需要多少辆? 17．手机积分是通过消费话费金额来获得的，通信公司为了回馈广大用户，开展了手机积分兑换话费的活动，1800积分可换30元话费，2400积分可换40元话费，以此类推。王阿姨共有3300积分，可兑换多少话费呢？（用比例解答） 18．用边长5分米的方砖铺房间，需要64块，改用边长4分米的方砖，需要多少块？ 19．给一间教室铺地砖，如果每块地砖的面积是0.3m2，则需要150块。如果改用每块地砖的边长是0.5m，铺这一地面需要多少块地砖？ 20． 小东家的客厅是正方形的，用边长0.6m的方砖铺地，正好需要100块，如果改用边长为0.5m的方砖铺地，需要多少块?（利用比例知识解答） 1．甲班与乙班学生同时从学校出发去某公园。甲班步行的速度是每小时4千米，乙班步行的速度是每小时3千米。学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生，为使两班的学生在最短时间内到达，那么甲班学生与乙班学生的步行距离之比是多少？ 2．李阿姨和王阿姨打同一篇文章。李阿姨每分钟打60个字，打完要80分钟，王阿姨每分钟比李阿姨少打20个字。打完这篇文章，王阿姨比李阿姨多用多少分钟?(用比例解) 3．信宜特产李欣古粽工厂生产一批粽子，生产粽子的总个数与需要的天数如下表： 生产粽子总个数 600 1200 1800 2400 3000 需要的天数 1 2 3 4 5 （1）生产粽子的总个数与需要的天数有怎样的关系？请说明理由。 （2）若该工厂需要生产4800个粽子，则需要多少天生产完这一批粽子？ 4． 一间房子铺地砖，用边长是 4 分米的方砖，需要 90 块，如果改 用边长是 6 分米的方砖，需要多少块？（用比例解决） 5．在毕业照上，身高186厘米的孙老师的身高只有6厘米，李铭在这张照片的身高只有4.8厘米，李铭的身高多少厘米？（用比例解) 6．目前往返北京与上海，乘高铁目前有两种选择，一是乘“和谐号”稍慢一些，二是坐复兴号。现在一辆“和谐号”高铁从北京出发驶向上海，一辆“复兴号”高铁从上海出发驶向北京。它们在安徽蚌埠相遇，已知它们的速度比是6：7，相遇的地点离北京到上海距离的中点路程是50公里。求两地之间的路程。（用比例解） 7．很多城市的出租车按里程收费：在一定的里程内按起步价收费，超出规定里程部分的费用与超出的里程成正比例关系。某出租车公司规定起步价里程为3 km，小明乘坐6 km，付费17.5元；小东乘坐14 km，付费37.5元。该出租车公司的起步价是多少元？ 8．一架飞机所带的燃料最多可以飞行6小时，飞机去时顺风，每小时可以飞行1500 km，返回时逆风，每小时可以飞行1200 km。这架飞机最多能飞行多少千米就需要返回？ 9．有种钢管长6 m，把它锯成50 cm的小段，要锯44分钟，照这样计算，如果把它锯成40 cm的小段，要锯多少分钟？ 10．青岛顺安热电有限公司去年12月运进一堆煤，原计划每天烧3吨，可以烧96天。由于改造铜炉，每天可以节约0.6吨。改造锅炉后，这堆煤可以多烧多少天？（用比例知识解答） 11．小明的身高是1.6米，在他们班的毕业照片上，他却只有2.4厘米高，小明量出这张照片上王老师是2.7厘米高，那么王老师实际身高是多少米？（用比例知识解答） 12．小明一家三口开车去北京560km外的爷爷家。汽车每100km耗油8L，按照这个耗油量，出发时加满60L汽油，中途不加油能达到爷爷家嘛？ 13．亮亮利用课余时间读一本故事书，他计划每天读20页，12天可以读完。现在他准备提前4天读完，他每天要比原计划多读几页？ 14．星光小学为美化环境，在一个长方形花坛里栽杜鹃花。如果每行栽18棵杜鹃花，可以栽50行。如果每行多栽12棵，要栽多少行？（用比例解） 15．小明早上从家步行去学校，走完一半路程时，爸爸发现小明的数学书落在家里，随即骑车去给小明送书。爸爸追上小明时，小明还有的路程未走完。小明随即上了爸爸的车，由爸爸送往学校，这样小明比独自步行提早5分钟到校。小明从家到学校全程步行需要多少分钟？ 16．在一幅比例尺是1：500000的地图上，量得甲、乙两地的距离是6.8厘米。如果把比例尺改为1：250000，画在新图上时甲、乙两地的距离是多少厘米？（列比例式解） 17．李强走进植物园，看见一棵苍天古树沐浴在和煦的阳光下，李强想：这棵树有多高呢？于是他在同一时间、同一地点测量了3个数据；自己的身高1.6m，自己影长2.8m，树的影长21m。请你帮李强计算这棵树的高度。 18．（变式题）一辆汽车原计划每小时行驶70千米，从甲地到乙地需要行驶6小时，实际上这辆汽车1.5小时就行驶了120千米。照这样的速度，从甲地到乙地比原计划提前了几小时？（分别用正比例和反比例解答） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年小升初数学压轴应用题精讲精练讲义（通用版） —— 正反比例问题 —— 目 录 第一部分：解题技巧 第二部分：真题精讲 第三部分：专题演练 （基础巩固-培优拔尖） 第一部分：解题技巧   【含义】 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。 【数量关系】 判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。 【解题思路和方法】 解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。 正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。 第二部分：压轴精讲   【压轴精讲一】印度尼西亚首都雅加达拥有1000多万人口，它是世界上下沉速度最快的城市之一。北雅加达十年来已经下沉了2.5米，照这样的速度，北雅加达下沉7.5米，只需几年时间？（用比例解） 【答案】解：设北雅加达下沉7.5米，只需要x年。 2.5：10=7.5：x 2.5x=10×7.5 x=75÷2.5 x=30 答：需30年。 【解析】【分析】照这样的速度意思就是每年下降的高度不变，也就行下沉的高度与年数的比值不变，那么下沉的高度与年数成正比例。设北雅加达下沉7.5米需要x年，根据下沉的高度与年数的比值不变列出比例解答即可。 【压轴精讲二】小明买圆珠笔和铅笔共100支。已知圆珠笔每支3元，铅笔每支1元，买圆珠笔和买铅笔所用的钱数一样多。圆珠笔和铅笔各买了多少支？ 【答案】解：3＋1=4 100×=75（支） 100-75=25（支） 答：圆珠笔买了25支，铅笔买了75支。 【解析】【分析】买圆珠笔和买铅笔所用的钱数一样多，则圆珠笔和铅笔的总价一定，单价和数量成反比例，圆珠笔和铅笔的单价比是3：1，那么数量比是1：3；则铅笔买的支数=总支数× =75（支），圆珠笔的支数=总支数-铅笔买的支数。 【压轴精讲三】一架飞机所带的燃料最多可以用7小时，飞机去时顺风，每小时飞行800千米，按原路返回时逆风，每小时飞行600千米。若飞机只能在起飞的地方补充燃料，这架飞机最远飞出多少千米就需要往回飞？ 【答案】解：速度比：800：600=4：3 时间比：3：4 4＋3=7 7××800 =3×800 =2400（千米） 答：这架飞机最远飞出2400千米就需要往回飞。 【解析】【分析】飞机往返路程一定，所以飞机的飞行速度与飞行时间成反比例；飞机往返的速度比是4：3，则所用的时间比是3：4；则飞机飞出的时间是7× =3小时；这架飞机最远飞行的路程=速度×时间。 第三部分：专题演练   1．李明参加一个演讲比赛，他的语速是200字/分，他完成这个演讲需要12分钟。现在李明要在10分钟内完成演讲，他的语速要调整到多少字/分？ 【答案】解：200×12÷10 =2400÷10 =240（字/分） 答：他的语速要调整到240字/分。 【解析】【分析】他调整后的语速=原来的语速×时间÷现在的时间。 2．补充表格。 药粉/克 1 2 4 6 8 10 水/克 200 400 【答案】800；1200；1600；2000 【解析】【解答】因为200：1=200÷1=200，400：2=400÷2=200，所以水的质量：药粉的质量=200，则水的质量分别为：4×200=800（克），6×200=1200（克），8×200=1600（克），10×200=2000（克），根据计算，填空如下： 【分析】根据题意可知，先求出水的质量与药粉质量的比，水的质量：药粉的质量=200，它们的比值一定，水和药粉的质量成正比例，用药粉的质量×200=水的质量，据此计算填空即可. 3． 一个晒盐场用10千克海水可以晒出0.3千克盐。如果一块盐田有4000吨海水，可以晒出多少吨盐？（用比例知识解答） 【答案】解：设可以晒出x吨盐。 10：0.3=4000：x 10x=0.3×4000 10x=1200 x=1200÷10 x=120 答：可以晒出120吨盐。 【解析】【分析】因为海水的出盐率一定，所以一个晒盐场的海水质量：盐的质量=另一个晒盐场的海水质量：盐的质量，据此比例关系列比例，根据比例的基本性质解比例。 4．东东记录了某国产品牌电动汽车的仪表盘上显示的相关数据，整理结果如下： 行驶路程(千米) 100 120 130 140 150 耗电量(千瓦时) 15 18 19.5 21 22.5 （1）观察上表中的数据，电动汽车的行驶路程与耗电量成(　　)比例关系。 （2）当电动汽车行驶了600km时，电动汽车将消耗多少千瓦时的电？(用比例解答) 【答案】（1）解：100÷15=120÷18=130÷19.5=140÷21= 电动汽车的行驶路程与耗电量成正比例关系。 （2）解：设电动汽车将消耗x千瓦时的电。 100：15=600：x 100x=15×600 100x=9000 x=9000÷100 x=90 答：电动汽车将消耗90千瓦时的电。 【解析】【分析】（1）正比例的判断方法：相关联，能变化，商一定； （2）行驶路程与耗电量的比值一定，据此正比例关系列比例，根据比例的基本性质解比例。 5．纸的发明是对人类文明的伟大贡献。造纸的原材料主要是树皮等植物的纤维，据统计：少浪费1500 张纸，就可保留1棵树；节约6吨纸，则相当于拯救了120棵树。学校打印室新购一批白纸，计划每天 用90张，可以用20天。由于注意了节约用纸，实际每天只用60张，这批白纸实际用了多少天? 【答案】解：设这批白纸实际用了x天。 60x=90×20 x=1800÷60 x=30 答：这批白纸实际用了30天。 【解析】【分析】这批白纸的总数一定，每天使用的张数和使用的天数的乘积一定，所以每天使用的张数和使用的天数成反比例。设出未知数，根据总张数一定列出比例解答即可。 6．电动汽车作为新型的环保交通工具，受到了消费者的喜爱。文文的爸爸买了某品牌的电动汽车带全家外出旅行，途中文文记录了汽车仪表盘上显示的相关数据，整理结果如下表： 行驶路程/km 100 120 130 140 150 …… 耗电量/度 15 18 19.5 21 22.5 …… （1）观察上表，汽车行驶路程与耗电量成　 　比例关系。 （2）汽车电池充满后有45度电，行驶280km够吗？ 【答案】（1）正 （2）解：×45=300（千米） 300＞280 答：行驶280km够。 【解析】【解答】解：（1）=====......=， 所以汽车行驶路程与耗电量成正比例关系。 故答案为：（1）正。 【分析】（1）行驶路程÷耗电量=1度电行驶的路程； （2）1度电行驶的路程×45度=45度电行驶的路程。 7．一间办公室铺地砖，用边长为4分米的方砖铺，需要320块，如果改用边长为8分米的方砖铺，需要多少块？(用比例知识解答) 【答案】解：设需要x块。 4×4×320=8×8×x 5120=64x 64x＝5120 x=5120÷64 x=80 答：需要80块。 【解析】【分析】一块方砖的面积×用的块数=办公室地面的面积（一定），据此列反比例，根据比例的基本性质解比例。 8．铺设一块空地，如果用边长为4分米的正方形地砖来铺需要2625块。如果改用25平万分米的方砖来铺，需要多少块 (用比例解决) 【答案】解：设需要x块。 25×x=4×4×2625 25x=16×2625 x=16×2625÷25 x=1680 答：如果改用25平万分米的方砖来铺，需要1680块。 【解析】【分析】不管怎么铺，空地的面积相等，可据此列比例；一块方砖的面积×需要的块数=一块方砖的面积×需要的块数，据此反比例关系列比例，根据比例的基本性质解比例。 9．小军身高135cm，爸爸身高180cm。在一张他们的合影上，量得爸爸的身高是8cm，小军在这张照片上的高是多少? 【答案】解：设小军在这张照片上的高是x厘米。 8：180=x：135 180x=8×135 180x=1080 x=1080÷180 x=6 答：小军在这张照片上的高是6厘米。 【解析】【分析】爸爸照片上的身高：爸爸实际的身高=小军照片上的身高：小军实际的身高，据此比例关系列比例，根据比例的基本性质解比例。 10．育红小学六一班体操表演。每排15人，正好站成20排；如果每排再减少3人，则能站成几排呢？(先分析两种量成什么比例关系，再解答。) 【答案】解：因为每排人数x站的排数=总人数(一定)，所以每排人数和站的排数成反比例。 设能站成x排。 (15 - 3)x = 15 x20 12x=300 x=25 答：能站成25排。 【解析】【分析】根据题意可知：每排人数x站的排数=总人数(一定)，所以每排人数和站的排数成反比例，设能站成x排；据此列出比例解答。 11．一堆煤，如果每天烧0.6吨，可以烧40天，改进炉灶后，每天节约用煤0.2吨，实际可以烧多少天？（用比例解）。 【答案】解：设实际可以烧X天。 答：实际可以烧60天。 【解析】【分析】数量关系：煤总数（一定）=每天烧煤吨数×可以烧的天数，乘积一定，列反比例关系式。 12．一辆汽车的总长是6.3米，某玩具厂商制作这辆汽车的模型进行售卖，模型总长与汽车总长的比是1：9。这个模型的总长为多少厘米? 【答案】解：设这个模型的总长为x厘米： 6.3米=630厘米 x ：630 = 1 ： 9 9x =630× 1 x =630÷9 x =70 答：这个模型的总长为70厘米。 【解析】【分析】这里可以利用解比例来做，只要熟练掌握比例的基本性质：两个内项的积等于两个外项；还有就是要设好未知数x；题中已经给出汽车总长为6.3米，所以就可以设这个模型长x厘米，但是要注意先将6.3米化成630厘米，然后再进行解比例即可。 13．李老师开车从甲地到乙地，若每小时行驶90千米，6小时可以到达。若每小时行驶100千米，则李老师可以提前几小时到达？（用比例的方法解答） 【答案】解：设若每小时行驶100千米 ，则x小时可以达到： 100x= 90×6 x=540÷100 x=5.4 6 - 5.4=0.6（小时） 答： 李老师可以提前0.6小时到达 。 【解析】【分析】李老师开车从甲地到乙地，总路程是不变，而路程等于速度乘以时间，所以这里的速度和时间是成反比例关系。只要根据这个关系来进行列式解比例，先要设好未知数，这里可以设每小时行驶100千米则x小时到达，这样可以方便计算，后面再求出提前的时间即可。 14．服装厂原来做一套校服用布3.4米，改进技术后每套节约用布0.2米，原来做160套校服的布，现在可以做多少套?（用比例解。） 【答案】解：设：现在可以做x套。 （3.4-0.2）x=160×3.4 3.2x=544 x=544÷3.2 x=170 答： 现在可以做170套。 【解析】【分析】改进技术后每套用布的长度×做的套数=原来做一套校服用布长度×做的套数，据此反比例关系列出反比例，根据比例的基本性质和等式性质解比例。 15．下面方格纸上的“点”表示轮船的航行速度。 （1）根据方格纸上的数据把表格填写完整。 时间/时 0 1 2 3 4 5 6 路程/千米 　 　 　 　 　 　 　 （2）时间和路程成什么比例?为什么? （3）不计算，看图回答：这艘轮船2.5时行驶了多少千米?8时能行驶多少千米? 【答案】（1）解： 时间/时 0 1 2 3 4 5 6 路程/千米 0 20 40 60 80 100 120 （2）解：20÷1=40÷2=60÷3=......=120÷6=20， 答：时间和路程成正比例，因为时间和路程的比值一定。 （3）解：2.5小时对应的路程在40和60之间，是50千米； 8×20=160（千米） 答：这艘轮船2.5时行驶了50千米；8时能行驶160千米。 【解析】【分析】（1）正比例的判断方法：相关联，能变化，商一定； （2）行驶时间×行驶速度=行驶路程。 16．某运输队需要为灾区抢运120吨救灾物资，如果要一次把所有救灾物资全部运出，车辆的载重量与所需车辆的数量如下表。 （1）请把表格填写完整。 载质量/吨 2.5 4 5 10 数量/辆 48 30 　 　 （2）车辆的载重量和所需车辆的数量成什么比例？为什么？ （3）如果用载重量为6吨的卡车来运，一共需要多少辆? 【答案】（1）解： 载质量/吨 2.5 4 5 10 数量/辆 48 30 24 12 （2）解：2.5×48=120(吨) 4×30=120(吨) 答：因为车辆的载重量与所需车辆的数量的乘积一定，所以车辆的载重量与所需车辆的数量成反比例。 （3）解：120÷6=20（辆） 答： 如果用载重量为6吨的卡车来运，一共需要20辆。 【解析】【分析】(1)求出物资总吨数，用总吨数-载重量=辆数； （2）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的积一定，这两种量就叫做反比例的量，它们的关系称为反比例关系； （3）总重量÷6=载重量为6吨卡车的量数。 17．手机积分是通过消费话费金额来获得的，通信公司为了回馈广大用户，开展了手机积分兑换话费的活动，1800积分可换30元话费，2400积分可换40元话费，以此类推。王阿姨共有3300积分，可兑换多少话费呢？（用比例解答） 【答案】解：设可兑换x元话费。 = 1800x=3300×30 18x=33×30 18x=990 x=990÷18 x= 55 答：可兑换55元话费。 【解析】【分析】比例关系：=，据此列比例，根据比例的基本性质和等式性质解比例。 18．用边长5分米的方砖铺房间，需要64块，改用边长4分米的方砖，需要多少块？ 【答案】解：5×5×64÷（4×4） =1600÷16 =100（块） 答：需要100块。 【解析】【分析】需要的块数=原来方砖的边长×边长×原来用的块数÷（改用后方砖的边长×边长）。 19．给一间教室铺地砖，如果每块地砖的面积是0.3m2，则需要150块。如果改用每块地砖的边长是0.5m，铺这一地面需要多少块地砖？ 【答案】解：0.3×150÷(0.5×0.5) =45÷0.25 =180(块) 答：铺这一地面需要180块地砖。 【解析】【分析】地面的面积不变，因此，先用原来每块转的面积乘原来需要的块数求出地面面积，再用地面面积除以现在每块地砖的面积，即可求出现在需要的块数。 20．小东家的客厅是正方形的，用边长0.6m的方砖铺地，正好需要100块，如果改用边长为0.5m的方砖铺地，需要多少块?（利用比例知识解答） 【答案】解：设需要x块。 0.52x=0.62×100 0.25x=36 x=36÷0.25 x=144 答：需要144块。 【解析】【分析】客厅的总面积不变，每块方砖的面积与方砖的块数的乘积一定，二者成反比例。设出未知数，然后根据客厅总面积不变列出比例解答即可。 1．甲班与乙班学生同时从学校出发去某公园。甲班步行的速度是每小时4千米，乙班步行的速度是每小时3千米。学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生，为使两班的学生在最短时间内到达，那么甲班学生与乙班学生的步行距离之比是多少？ 【答案】解：如图： AB：（AC+BC） =3：48 =1：16 所以AB：BC=2：15 在C点甲班下车走路，汽车返回接第二组，然后汽车与第一组同时到达公园可得： （BC+BD）：CD =48：4 =12：1 所以BC：CD=11：2 由AB：BC=2：15和BC：CD=11：2可得AB：BC：CD=22：165：30 所以甲班步行的距离与乙班步行的距离比是CD：AB=30：22=15：11 答：甲班学生与乙班学生的步行距离之比是15：11。 【解析】【分析】 让甲班先坐车再步行，乙班先步行再坐车，两班同时到达目的地最短时间到达，可设甲班先坐车，乙班走路，当汽车把甲班送到C点，甲班学生下车走路，汽车返回在B点处接乙班的学生，根据时间一定，路程的比就等于速度的比可进行解答。 2．李阿姨和王阿姨打同一篇文章。李阿姨每分钟打60个字，打完要80分钟，王阿姨每分钟比李阿姨少打20个字。打完这篇文章，王阿姨比李阿姨多用多少分钟?(用比例解) 【答案】解：设王阿姨比李阿姨多用x分钟。 60×80=（60-20）×（80+x） 4800=40×（80+x） 80+x=4800÷40 80+x=120 x=40 答：王阿姨比李阿姨多用40分钟。 【解析】【分析】李阿姨和王阿姨打同一篇文章，说明她们打的字数相同；李阿姨每分钟打的字数×打完需要的时间=王阿姨每分钟打的字数×打完需要的时间，据此列反比例并解答。 3．信宜特产李欣古粽工厂生产一批粽子，生产粽子的总个数与需要的天数如下表： 生产粽子总个数 600 1200 1800 2400 3000 需要的天数 1 2 3 4 5 （1）生产粽子的总个数与需要的天数有怎样的关系？请说明理由。 （2）若该工厂需要生产4800个粽子，则需要多少天生产完这一批粽子？ 【答案】（1）解：600÷1=600（个） 1200÷2=600（个） 1800÷3=600（个） 每个商都相等，即 生产粽子总个数÷ 需要的天数 =每天的生产量（一定），所以 生产粽子的总个数与需要的天数 成正比例关系。 答：生产粽子的总个数与需要的天数 成正比例关系；因为生产粽子总个数÷ 需要的天数 =每天的生产量（一定）。 （2）解：4800÷（600÷1） =4800÷600 =8（天） 答： 若该工厂需要生产4800个粽子，则需要8天生产完这一批粽子 。 【解析】【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 （2）用生产总量除以每天的生产量，代入数值计算即可求出需要用的天数。 4． 一间房子铺地砖，用边长是 4 分米的方砖，需要 90 块，如果改 用边长是 6 分米的方砖，需要多少块？（用比例解决） 【答案】解：设需要x块。 6×6×x=4×4×90 36x=1440 36x÷36=1440÷36 x=40 答：需要40块。 【解析】【分析】由题意可知，方砖面积×块数=房子的面积(一定)，即边长是6分米的方砖面积×需要的块数=边长是4分米的方砖面积×需要的块数，据此列比例方程解答。 5．在毕业照上，身高186厘米的孙老师的身高只有6厘米，李铭在这张照片的身高只有4.8厘米，李铭的身高多少厘米？（用比例解) 【答案】解：李铭的身高x厘米。 4.8：x=6：186 6x=4.8×186 x=148.8 答：李铭的身高148.8厘米 【解析】【分析】设李铭的身高x厘米，毕业照的比例尺不变，即照片上李铭高度：李铭实际身高=照片上孙老师高度：孙老师实际身高，据此列出比例方程解答。 6．目前往返北京与上海，乘高铁目前有两种选择，一是乘“和谐号”稍慢一些，二是坐复兴号。现在一辆“和谐号”高铁从北京出发驶向上海，一辆“复兴号”高铁从上海出发驶向北京。它们在安徽蚌埠相遇，已知它们的速度比是6：7，相遇的地点离北京到上海距离的中点路程是50公里。求两地之间的路程。（用比例解） 【答案】解：设两地的距离是x千米。 由题可知，两辆车的时间一定，路程和速度成正比例。 7（x-50）=6（x+50） x-350=3x+300 x=650 x=1300 答：两地的距离是1300千米。 【解析】【分析】分析已知可知：相遇时，两辆车的行驶时间是相同，即路程÷速度=时间（一定），所以路程和速度成正比例关系；和谐号稍慢一些，所以它行驶的路程应该比中点路程少50千米，因此它的行驶路程=全程×－50，而复兴号快点，所以它相遇时行驶的路程应该超过中点50千米，因此它的行驶路程=全程×＋50；再根据比的应用把复兴号的速度看作6，和谐号的速度看作7，最后代入等量关系式列比例解答即可。 7．很多城市的出租车按里程收费：在一定的里程内按起步价收费，超出规定里程部分的费用与超出的里程成正比例关系。某出租车公司规定起步价里程为3 km，小明乘坐6 km，付费17.5元；小东乘坐14 km，付费37.5元。该出租车公司的起步价是多少元？ 【答案】解：设该出租车公司的起步价是x元。 (17.5-x)：(6-3)=(37.5-x)：(14-3) 3（37.5-x）=11（17.5-x） 112.5-3x=192.5-11x 11x-3x=192.5-112.5 8x=80 x=10 答：该出租车公司的起步价是10元。 【解析】【分析】设该出租车公司的起步价是x元，则小明超出规定里程的钱数是（17.5-x）元，小东超出规定里程的钱数是（37.5-x）元。写出两人超出规定里程的钱数和路程的比并组成比例，解比例求出起步价即可。 8．一架飞机所带的燃料最多可以飞行6小时，飞机去时顺风，每小时可以飞行1500 km，返回时逆风，每小时可以飞行1200 km。这架飞机最多能飞行多少千米就需要返回？ 【答案】解：设这架飞机最多能飞行x小时就需要返回。 1500x=1200×(6-x) 1500x=7200-1200x 1500x+1200x=7200 x=7200÷2700 x= 1500×=4000( km) 答：这架飞机最多能飞行4000千米就要返回。 【解析】【分析】去时和返回时的路程是相等的。设这架飞机最多能飞行x小时就需要返回，那么返回的时间就是（6-x）小时。等量关系：去时的速度×时间=返回的速度×时间，根据等量关系列方程，解方程求出最多飞行的时间。用去时的速度乘时间即可求出最多飞行的路程。 9．有种钢管长6 m，把它锯成50 cm的小段，要锯44分钟，照这样计算，如果把它锯成40 cm的小段，要锯多少分钟？ 【答案】解：设把它锯成40 cm的小段，要锯x分钟。 6m=600cm 600÷50=12(段) 12-1=11(次) 600÷40=15(段) 15-1=14(次) = 11x=44×14 x=44×14÷11 x=56 答：要锯56分钟。 【解析】【分析】先把钢管的长度换算成厘米。用钢管的长度分别除以每小段的长度，分别求出段数。由于段数比锯的次数多1，因此用段数减去1分别求出锯的次数。锯的时间与锯的次数的比值是不变的，那么锯的时间与次数成正比例关系。由此设出未知数，根据锯的时间与次数的比不变列出比例解答即可。 10．青岛顺安热电有限公司去年12月运进一堆煤，原计划每天烧3吨，可以烧96天。由于改造铜炉，每天可以节约0.6吨。改造锅炉后，这堆煤可以多烧多少天？（用比例知识解答） 【答案】解：设这堆煤可以烧x天。 （3﹣0.6）×x＝3×96 2.4x＝288 x＝120 120﹣96＝24（天） 答：改造锅炉后，这堆煤可以多烧24天。 【解析】【分析】本题用反比例知识解答，改造锅炉后这堆煤烧的天数×每天烧的吨数=改造前这堆煤烧的天数×每天烧的吨数，据此列反比例，根据比例的基本性质解比例。 11．小明的身高是1.6米，在他们班的毕业照片上，他却只有2.4厘米高，小明量出这张照片上王老师是2.7厘米高，那么王老师实际身高是多少米？（用比例知识解答） 【答案】解：设王老师身高为x米。 x：2.7＝1.6：2.4 2.4x＝2.7×1.6 2.4x÷2.4＝2.7×1.6÷2.4 x＝1.8 答：王老师身高1.8米。 【解析】【分析】设王老师身高为x米，由题意可知，实际身高与照片上高度的比值一定，即实际身高与照片上的高度成正比例关系，根据王老师实际身高：王老师毕业照的高度=小明实际身高：小明毕业照的高度，列比例解答。 12．小明一家三口开车去北京560km外的爷爷家。汽车每100km耗油8L，按照这个耗油量，出发时加满60L汽油，中途不加油能达到爷爷家嘛？ 【答案】解：560÷100×8 =5.6×8 =44.8(L) 44.8L＜60L，所以中途不加油能到达。 答：出发时加满60L汽油，中途不加油能达到爷爷家。 【解析】【分析】用总路程除以100求出到爷爷家需要耗油几个8L，再乘8求出到爷爷家耗油多少L，最后与60L比较即可。 13．亮亮利用课余时间读一本故事书，他计划每天读20页，12天可以读完。现在他准备提前4天读完，他每天要比原计划多读几页？ 【答案】解：设每天要比原来多读x页。 （20+x）×（12﹣4）＝20×12 （20+x）×8＝240 20+x=240÷8 x=30-20 x=10 答：他每天要比原计划多读10页。 【解析】【分析】总页数不变，每天读的页数与读的天数成反比例。设每天要比原来多读x页。则现在每天读（20+x）页，现在读的天数是（12-4），根据总页数不变列出比例解答即可。 14．星光小学为美化环境，在一个长方形花坛里栽杜鹃花。如果每行栽18棵杜鹃花，可以栽50行。如果每行多栽12棵，要栽多少行？（用比例解） 【答案】解：设要栽x行。 18×50=（18+12）x 900=30x x=900÷30 x=30 答：要栽30行。 【解析】【分析】行数×每行栽的棵数=杜鹃花的总棵数，杜鹃花的总棵数是不变的，可以据此列反比例；根据比例的基本性质和等式性质解比例。 15．小明早上从家步行去学校，走完一半路程时，爸爸发现小明的数学书落在家里，随即骑车去给小明送书。爸爸追上小明时，小明还有的路程未走完。小明随即上了爸爸的车，由爸爸送往学校，这样小明比独自步行提早5分钟到校。小明从家到学校全程步行需要多少分钟？ 【答案】解：小明和爸爸的速度比为 ； 路程一定，小明和爸爸的时间比为 ； 小明从家到学校全程步行需要 (分钟)。 答：小明从家到学校全程步行需要分钟。 【解析】【分析】这里可以抓住已知条件，利用路程一定，求出速度比和时间成反比，然后依据时间比，求得小明步行的路程所需时间，进而求得步行全程需要时间。 16．在一幅比例尺是1：500000的地图上，量得甲、乙两地的距离是6.8厘米。如果把比例尺改为1：250000，画在新图上时甲、乙两地的距离是多少厘米？（列比例式解）【答案】解：设如果把比例尺改为1：250000，画在新图上时甲、乙两地的距离是x厘米，则 x÷（ 1：250000 ）=6.8÷（ 1：500000 ） 250000x=6.8×500000 250000x÷250000=6.8×500000÷250000 x=6.8×2 x=13.6 答：设如果把比例尺改为1：250000，画在新图上时甲、乙两地的距离是13.6厘米。 【解析】【分析】比例尺=图上距离：实际距离，本题中实际距离不变，所以设如果把比例尺改为1：250000，画在新图上时甲、乙两地的距离是x厘米，等量关系为“改比例尺后图上距离÷改后的比例尺=该比例尺前图上距离：改前的比例尺”，据此即可列出方程，计算即可得出答案。 17．李强走进植物园，看见一棵苍天古树沐浴在和煦的阳光下，李强想：这棵树有多高呢？于是他在同一时间、同一地点测量了3个数据；自己的身高1.6m，自己影长2.8m，树的影长21m。请你帮李强计算这棵树的高度。 【答案】解：设大树高x米。 x：21=1.6：2.8 2.8x=21×1.6 2.8x=33.6 x=33.6÷2.8 x=12 答：大树高12米。 【解析】 【分析】等量关系：这棵树的高度：树的影长=自己的身高：自己影长，解比例时，根据比例的基本性质把比例化为方程，再根据等式性质解方程。 18．（变式题）一辆汽车原计划每小时行驶70千米，从甲地到乙地需要行驶6小时，实际上这辆汽车1.5小时就行驶了120千米。照这样的速度，从甲地到乙地比原计划提前了几小时？（分别用正比例和反比例解答） 【答案】解：设从甲地到乙地比原计划提前了x小时。 120：1.5＝（70×6）：（6－x） x＝0.75 反比例解： 解：设从甲地到乙地比原计划提前了x小时。 70×6＝（120÷1.5）×（6－x） x＝0.75 答：从甲地到乙地比原计划提前了0.75小时。 【解析】【解答】解：设从甲地到乙地比原计划提前了x小时。 120：1.5＝（70×6）：（6－x） 120×（6-x）=1.5×420 120×（6-x）=630 6－x=630÷120 6－x=5.25 x=6-5.25 x＝0.75 设从甲地到乙地比原计划提前了x小时。 70×6＝（120÷1.5）×（6－x） 420=80×（6-x） 80×（6-x）=420 6-x=420÷80 6-x=5.25 x=6-5.25 x＝0.75 答：从甲地到乙地比原计划提前了0.75小时。 【分析】原计划行驶的速度×原计划行驶的时间=从甲地到乙地的路程，实际行驶的路程÷实际行驶的时间=实际行驶的速度； 正比例：根据实际行驶的速度不变列比例，路程÷时间=速度；实际行驶的路程：实际行驶的时间=从甲地到乙地的路程：实际行驶的时间； 反比例：根据路程不变列比例，速度×时间=路程；原计划行驶的速度×原计划行驶的时间=实际行驶的速度×实际行驶的时间。 第 - 1 - 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$