第13讲：抽屉原理问题—2025年小升初数学压轴应用题精讲精练讲义（通用版）（学生版+教师版）

2025年小升初数学压轴应用题精讲精练讲义（通用版） —— 抽屉原理问题 —— 目 录 第一部分：解题技巧 第二部分：真题精讲 第三部分：专题演练 （基础巩固-培优拔尖） 第一部分：解题技巧   【含义】 把3只苹果放进两个抽屉中，会出现哪些结果呢？要么把2只苹果放进一个抽屉，剩下的一个放进另一个抽屉；要么把3只苹果都放进同一个抽屉中。这两种情况可用一句话表示：一定有一个抽屉中放了2只或2只以上的苹果。这就是数学中的抽屉原则问题。 【数量关系】 基本的抽屉原则是：如果把n＋1个物体（也叫元素）放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中放着2个或更多的物体（元素）。 抽屉原则可以推广为：如果有m个抽屉，有k×m＋r（0＜r≤m）个元素那么至少有一个抽屉中要放（k＋1）个或更多的元素。 通俗地说，如果元素的个数是抽屉个数的k倍多一些，那么至少有一个抽屉要放（k＋1）个或更多的元素。 【解题思路和方法】 （1）改造抽屉，指出元素； （2）把元素放入（或取出）抽屉； （3）说明理由，得出结论。 第二部分：压轴精讲   【压轴精讲一】班上有名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书？ 【答案】本 【分析】要保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书，可以给每个小朋友都先分1本书，现在是不符合要求的，但只要再拿一本书分给任意一个小朋友，就可以保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书。 【详解】（本） （本） 答：老师至少拿29本书。 【点睛】本题考查的是最不利原则，可以先找出不符合要求的最大数量，加上1即为符合要求的最小数量。 【压轴精讲二】一个口袋中装有500粒珠子，共有5种颜色，每种颜色各100粒。如果你闭上眼睛，至少取出多少粒珠子才能保证其中有5粒颜色相同？ 【答案】21粒 【分析】按照最不利的原则，当每种颜色的珠子各取4粒，此时不能满足有5粒颜色相同，但如果再取1粒，不论是什么颜色，都可以保证其中有5粒颜色相同。 【详解】 答：至少取出21粒珠子才能保证其中有5粒颜色相同。 【点睛】本题考查的是最不利原则，所谓最不利原则，就从最不利于事件发生的角度思考问题。 【压轴精讲三】如图、、、四只小盘拼成一个环形，每只小盘中放若干糖果。每次可取出1只、或3只、或4只盘中的全部糖果，也可取出2只相邻盘中的全部糖果。这样取出的糖果数最多有几种？请说明理由。 【答案】最多13种 【分析】取1只盘子有4种取法；取3只盘子（即有1种盘子不取），也有四种取法；取4只盘子只有1只取法；取两只相邻的盘子，在第1只取定后，（依顺时针方向），第2只也就确定了，所以也有4种取法。 【详解】取1只盘子：可以取A、B、C、D，4种取法； 取2只盘子：可以取AB、BC、CD、DA，4种取法； 取3只盘子：可以取ABC、ABD、ACD、BCD，4种取法； 取4只盘子：可以取ABCD，1种取法； （种） 由于每只小盘中放的糖果并不确定，那么满足13种取法的糖果放法可以有无数多种； 答：取出的糖果数最多有13种。 【点睛】本题考查的是抽屉原理，当需要考虑的情况比较多时，需要进行分类讨论。 第三部分：专题演练   1．从1～10中，至少要取出几个不同的数，才能保证其中一定有一个数是3的倍数？ 2．六(1)班43人都订阅了《趣味数学》《小学生天地》《儿童文艺》《科学奥秘》四种报刊中的一种、两种、三种或四种，至少有多少人订阅的报刊种类相同？ 3．一个口袋中有100个球，其中红球有28个，绿球有20个，黄球有12个，蓝球20个，白球10个，黑球10个，从袋中任意摸出球来，如果要使摸出的球中，至少有12个球颜色相同，那么从袋中至少要摸出多少个球来？ 4．把104块糖分给14个小朋友，如果每个小朋友至少分得一块糖的话，那么不管你怎样分，一定会有两个小朋友分到的糖块数一样多，为什么？ 5．六（1）班45名同学分成6个组玩“老鹰捉小鸡”游戏，总有一个组至少有多少人？ 6．用红、蓝两种颜色将一个2×5方格图中的小方格随意涂色（见下图），每个小方格涂一种颜色．是否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？ 7．一副扑克牌(大、小王除外)，有四种花色，每种花色有13张，从中任意抽牌，至少要抽几张，才能保证有四张牌是同一花色的？ 8．六（1）班有个书架，40名同学可以任意借阅，试问书架上至少要多少本书，才能保证至少有一名同学能借到两本或两本以上的书？ 9．一个盒子里装有黑白两种颜色的跳棋各10枚，从中最少摸出几枚才能保证有2枚颜色相同？从中至少摸出几枚，才能保证有3枚颜色相同？ 10．有红、黄、蓝三种颜色的袜子各10只(不分左右)，至少取出几只才能保证有两双颜色相同的袜子？ 11．把红、黄、蓝、白四种颜色的球各10个放到一个袋子里。至少取多少个球，可以保证取到两个颜色相同的球？ 12．100名少先队员选大队长，候选人是甲、乙、丙三人，选举时每人只能投票选举一人，得票最多的人当选，开票中途累计，前61张选票中，甲得35票，乙得10票，丙得16票．那么，在尚未统计的选票中，甲至少再得多少票就一定能当选？ 13．从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52张中任意取牌． （1）至少取多少张牌，保证有2张牌的点数相同？ （2）至少取多少张牌，保证有2张牌的点数不同？ （3）至少取多少张牌，保证有2张红桃？ 1．某幼儿班有40名小朋友，现有各种玩具122件，把这些玩具全部分给小朋友，是否会有小朋友得到4件或4件以上的玩具？ 2．只鸽子要飞进个笼子，每个笼子里都必须有只，一定有一个笼子里有只鸽子。对吗？ 3．用红、蓝、黄三种颜色将一个2×7方格图中的小方格涂色（见下图），每个小方格涂一种颜色，每一列的两小格涂的颜色不相同．是否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？ 4．一个盒子中装有2个白球，4个绿球，9个黑球，这些球除颜色外其他都相同，为保证取出的球中有两个球颜色不同，则至少要取出多少个球？ 5．篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有81个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有多少个小朋友拿的水果是相同的？ 6．把130件玩具分给幼儿园小朋友，如果不管怎样分，都至少有一位小朋友分得4件或4件以上的玩具，那么这个幼儿园最多有多少个小朋友？ 7．体育组有足球、篮球和排球，上体育课前，老师让一班的41名同学往操场拿球，每人最多拿两个．问：至少有几名同学拿球的情况完全一样？ 8．学校体育器材室有足够多足球、篮球和排球．体育老师让六(1)班52名同学去器材室拿球，规定：每人至少拿1个球，至多拿2个球，至少有几名同学所拿的球是相同的？ 9．幼儿园买来了很多白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友可以任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意7个小朋友中总有两个小朋友的玩具相同，请说明道理． 10．把26个玩具放进抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉至少放6个玩具，那么最多有几个抽屉？ 11．在口袋里放着红、蓝、黄三种颜色的小球若干个，如果有45个人从袋子里摸取小球，每人只准取2个小球，那么这45个人中，至少有多少人摸取的球的颜色情形是一样的（不考虑摸出球的顺序）？ 12．夏令营组织200名营员活动，其中有爬山、参观博物馆和到海滩游玩三个项目．规定每人必须参加一项或两项活动．那么至少有几名营员参加的活动项目完全相同？ 13．如图，分别标有数字的滚珠两组，放在内外两个圆环上，开始时相对的滚珠所标的数字都不相同。当两个圆环按不同方向转动时，必有某一时刻，内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对。 14．把9条金鱼任意放在8个鱼缸里面，请你说明至少有一个鱼缸放有两条或两条以上金鱼。 15．幼儿园买来许多牛、马、羊、狗塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，但不能是同样的，问：至少有多少个小朋友去拿，才能保证有两人所拿玩具相同？ 16．证明：在从1开始的前10个奇数中任取6个，一定有2个数的和是20。 17．在1米长的直尺上任意点五个点，请你说明这五个点中至少有两个点的距离不大于25厘米。 18．平面上给定17个点，如果任意三个点中总有两个点之间的距离小于1，证明：在这17个点中必有9个点可以落在同一半径为1的圆内。 19．从一副扑克牌中(去掉大小王)任意抽牌． (1)要保证有两种不同的花色，至少要抽出多少张？ (2)要保证有两张同样的花色，至少要抽出多少张？ (3)要保证有4张花色相同的牌，至少要抽出多少张？ 20．体育活动中的数学． (1)体育老师把5个篮球分给4个班，总有一个班至少分到几个篮球？ (2)六(1)班45名同学分成6个组玩“老鹰抓小鸡”游戏，总有一个组至少有多少人？ (3)六(2)班同学分成5个组进行跳绳测试，不管怎么分，总有一个组至少有10人．六(2)班至少有学生多少人？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年小升初数学压轴应用题精讲精练讲义（通用版） —— 抽屉原理问题 —— 目 录 第一部分：解题技巧 第二部分：真题精讲 第三部分：专题演练 （基础巩固-培优拔尖） 第一部分：解题技巧   【含义】 把3只苹果放进两个抽屉中，会出现哪些结果呢？要么把2只苹果放进一个抽屉，剩下的一个放进另一个抽屉；要么把3只苹果都放进同一个抽屉中。这两种情况可用一句话表示：一定有一个抽屉中放了2只或2只以上的苹果。这就是数学中的抽屉原则问题。 【数量关系】 基本的抽屉原则是：如果把n＋1个物体（也叫元素）放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中放着2个或更多的物体（元素）。 抽屉原则可以推广为：如果有m个抽屉，有k×m＋r（0＜r≤m）个元素那么至少有一个抽屉中要放（k＋1）个或更多的元素。 通俗地说，如果元素的个数是抽屉个数的k倍多一些，那么至少有一个抽屉要放（k＋1）个或更多的元素。 【解题思路和方法】 （1）改造抽屉，指出元素； （2）把元素放入（或取出）抽屉； （3）说明理由，得出结论。 第二部分：压轴精讲   【压轴精讲一】班上有名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书？ 【答案】本 【分析】要保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书，可以给每个小朋友都先分1本书，现在是不符合要求的，但只要再拿一本书分给任意一个小朋友，就可以保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书。 【详解】（本） （本） 答：老师至少拿29本书。 【点睛】本题考查的是最不利原则，可以先找出不符合要求的最大数量，加上1即为符合要求的最小数量。 【压轴精讲二】一个口袋中装有500粒珠子，共有5种颜色，每种颜色各100粒。如果你闭上眼睛，至少取出多少粒珠子才能保证其中有5粒颜色相同？ 【答案】21粒 【分析】按照最不利的原则，当每种颜色的珠子各取4粒，此时不能满足有5粒颜色相同，但如果再取1粒，不论是什么颜色，都可以保证其中有5粒颜色相同。 【详解】 答：至少取出21粒珠子才能保证其中有5粒颜色相同。 【点睛】本题考查的是最不利原则，所谓最不利原则，就从最不利于事件发生的角度思考问题。 【压轴精讲三】如图、、、四只小盘拼成一个环形，每只小盘中放若干糖果。每次可取出1只、或3只、或4只盘中的全部糖果，也可取出2只相邻盘中的全部糖果。这样取出的糖果数最多有几种？请说明理由。 【答案】最多13种 【分析】取1只盘子有4种取法；取3只盘子（即有1种盘子不取），也有四种取法；取4只盘子只有1只取法；取两只相邻的盘子，在第1只取定后，（依顺时针方向），第2只也就确定了，所以也有4种取法。 【详解】取1只盘子：可以取A、B、C、D，4种取法； 取2只盘子：可以取AB、BC、CD、DA，4种取法； 取3只盘子：可以取ABC、ABD、ACD、BCD，4种取法； 取4只盘子：可以取ABCD，1种取法； （种） 由于每只小盘中放的糖果并不确定，那么满足13种取法的糖果放法可以有无数多种； 答：取出的糖果数最多有13种。 【点睛】本题考查的是抽屉原理，当需要考虑的情况比较多时，需要进行分类讨论。 第三部分：专题演练   1．从1～10中，至少要取出几个不同的数，才能保证其中一定有一个数是3的倍数？ 【答案】8个 【详解】1～10中3的倍数有3，6，9，共3个．至少取出8个 2．六(1)班43人都订阅了《趣味数学》《小学生天地》《儿童文艺》《科学奥秘》四种报刊中的一种、两种、三种或四种，至少有多少人订阅的报刊种类相同？ 【答案】3人 【详解】43÷(4＋6＋4＋1)＝2(人)……13(人) 2＋1＝3(人) 3．一个口袋中有100个球，其中红球有28个，绿球有20个，黄球有12个，蓝球20个，白球10个，黑球10个，从袋中任意摸出球来，如果要使摸出的球中，至少有12个球颜色相同，那么从袋中至少要摸出多少个球来？ 【答案】65个 【分析】抽屉原则还有一个重要思想就是先往“最坏处”想． 要保证有12个球颜色相同，先考虑不能保证这一点，而球的个数是最多的，换句话说，取这个数目不能满足“一定有12个球颜色相同”这一要求，但如果在此基础上再多取一个就一定能满足．结合本题，有的球不足12个，即使把这种球都取走也不能满足题目要求． 【详解】本题最坏的情况是取出64个（红、绿、黄、蓝各11个，白、黑球各10个），这样取不能满足题目要求，但如果再取一个，无论是取哪一种球都能保证有12个球颜色相同．所以，最少取65个． 4．把104块糖分给14个小朋友，如果每个小朋友至少分得一块糖的话，那么不管你怎样分，一定会有两个小朋友分到的糖块数一样多，为什么？ 【答案】考虑最极端的情况，有1个小朋友分到1块，有1个小朋友分到2块，有1个小朋友分到3块，……，最后1个小朋友分到14块，那么一共要1+2+3+…+14=105（块）．而105＞104，故一定有2个小朋友分了同样多的糖． 【详解】考虑最极端的情况，有1个小朋友分到1块，有1个小朋友分到2块，有1个小朋友分到3块，……，最后1个小朋友分到14块，把分得的糖块数相加后的和进行分析，即可得出结论． 5．六（1）班45名同学分成6个组玩“老鹰捉小鸡”游戏，总有一个组至少有多少人？ 【答案】8人 【分析】因为是每组至少有几人，所以考虑最差的情况，把45个人平均分6组，那么还剩3人需要分配，分给3个组，所以总有一个组最少要有8人。 【详解】45÷6＝7（人）……3（人） 7＋1＝8（人） 答：总有一个组至少有8人。 【点睛】本题的关键是根据抽屉原理，在考虑最差情况的基础上得出平均数，然后根据至少数＝平均数＋1（在有余数的情况下）。 6．用红、蓝两种颜色将一个2×5方格图中的小方格随意涂色（见下图），每个小方格涂一种颜色．是否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？ 【答案】存在 【详解】用红、蓝两种颜色给每列中两个小方格随意涂色，只有下面四种情形： 将上面的四种情形看成四个“抽屉”．将需要涂色的五列看作苹果，根据抽屉原理，将五列放入四个抽屉，至少有一个抽屉中有不少于两列，这两列的小方格中涂的颜色完全相同． 7．一副扑克牌(大、小王除外)，有四种花色，每种花色有13张，从中任意抽牌，至少要抽几张，才能保证有四张牌是同一花色的？ 【答案】13张 【详解】3×4＋1＝13(张) 8．六（1）班有个书架，40名同学可以任意借阅，试问书架上至少要多少本书，才能保证至少有一名同学能借到两本或两本以上的书？ 【答案】41本 【分析】把40个同学看做40个抽屉，要保证至少有1个学生拿到2本或2本以上的书，则书的数量应该是比学生数多1，即40+1=41，据此即可解答． 【详解】解：根据题干分析可得：40+1=41（本）， 答：书架上至少要41本书，才能保证至少有一名同学能借到两本或两本以上的书． 9．一个盒子里装有黑白两种颜色的跳棋各10枚，从中最少摸出几枚才能保证有2枚颜色相同？从中至少摸出几枚，才能保证有3枚颜色相同？ 【答案】3枚  5枚 【分析】把2种不同颜色看作2个抽屉，把2种不同颜色的跳棋看作元素，从最不利情况考虑，每个抽屉先放1个，共需要2个，再取出1个不论是什么颜色，总有一个抽屉里的和它同色，所以至少要取出：2+1=3（枚）； 把2种不同颜色看作2个抽屉，把2种不同颜色的跳棋看作元素，从最不利情况考虑，每个抽屉先放2个，共需要4个，再取出1个不论是什么颜色，总有一个抽屉里的和它同色，所以至少要取出：4+1=5（枚）；据此解答． 【详解】2+1=3（枚）， 2×2+1=5（枚）； 答：从中最少摸出3枚才能保证有2枚颜色相同，从中至少摸出5枚，才能保证有3枚颜色相同． 10．有红、黄、蓝三种颜色的袜子各10只(不分左右)，至少取出几只才能保证有两双颜色相同的袜子？ 【答案】10只 【详解】3×3＋1＝10(只) 11．把红、黄、蓝、白四种颜色的球各10个放到一个袋子里。至少取多少个球，可以保证取到两个颜色相同的球？ 【答案】5个 【分析】分清楚这个袋子里面总共有多少种颜色的球，要保证一定有两个颜色相同的，每个颜色的球都取一个以后，下一次取出的球的颜色一定与之前取出的球的颜色相同。 【详解】此题中求至少取多少个球，即为“最不利原则”问题。 解决此类问题，从最坏情况出发考虑问题。最坏的情况就是摸出的前4个球的颜色都不一样，那么摸出的第5个球的颜色必定与之前的四个球中的某一个球颜色相同。 答：至少取5个球，可以保证取到两个颜色相同的球。 【点睛】本题考查了抽屉原理。 12．100名少先队员选大队长，候选人是甲、乙、丙三人，选举时每人只能投票选举一人，得票最多的人当选，开票中途累计，前61张选票中，甲得35票，乙得10票，丙得16票．那么，在尚未统计的选票中，甲至少再得多少票就一定能当选？ 【答案】11票 【详解】在前61票中，甲最大的竞争对手是丙．一共100张选票，乙已经得到10票，甲和丙的总票数最多为100-10=90票．甲若当选，必须获得90票中的一半以上即46票方可．所以甲至少再得46-35=11（票）． 13．从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52张中任意取牌． （1）至少取多少张牌，保证有2张牌的点数相同？ （2）至少取多少张牌，保证有2张牌的点数不同？ （3）至少取多少张牌，保证有2张红桃？ 【答案】1． 14(张) 2． 5(张) 3． 41(张) 【详解】1．13＋1＝14(张) 答：至少取14张牌，保证有2张牌的点数相同． 2．4＋1＝5(张) 答：至少取5张牌，保证有2张牌的点数不同． 3．13×3＋2＝41(张) 答：至少取41张牌，保证有2张红桃． 14．体育活动中的数学． (1)体育老师把5个篮球分给4个班，总有一个班至少分到几个篮球？ (2)六(1)班45名同学分成6个组玩“老鹰抓小鸡”游戏，总有一个组至少有多少人？ (3)六(2)班同学分成5个组进行跳绳测试，不管怎么分，总有一个组至少有10人．六(2)班至少有学生多少人？ 【答案】(1) 2个 (2) 8人 (3)46人 【详解】(1)5÷4＝1(个)……1(个) 1＋1＝2(个) (2)45÷6＝7(人)……3(人) 7＋1＝8(人) (3)(10－1)×5＋1＝46(人) 1．某幼儿班有40名小朋友，现有各种玩具122件，把这些玩具全部分给小朋友，是否会有小朋友得到4件或4件以上的玩具？ 【答案】至少会有一个小朋友得到4件或4件以上的玩具 【详解】将40名小朋友看成40个抽屉．今有玩具122件，122=3×40＋2．应用抽屉原理2，取n＝40，m＝3，立即知道：至少有一个抽屉中放有4件或4件以上的玩具．也就是说，至少会有一个小朋友得到4件或4件以上的玩具． 2．只鸽子要飞进个笼子，每个笼子里都必须有只，一定有一个笼子里有只鸽子。对吗？ 【答案】对 【分析】6只鸽子要飞进5个笼子，可以先让每个笼子飞进1只，这样每个笼子各有1只，第6只鸽子不论飞进哪一个笼子中，一定可以保证有一个笼子里有2只鸽子。 【详解】6只鸽子相当于是苹果，5个笼子相当于是抽屉； （只） 答：一定有一个笼子里有2只鸽子是对的。 【点睛】本题考查的是抽屉原理的问题，题目明确给出了抽屉数和苹果数，直接求解即可。 3．用红、蓝、黄三种颜色将一个2×7方格图中的小方格涂色（见下图），每个小方格涂一种颜色，每一列的两小格涂的颜色不相同．是否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？ 【答案】存在 【详解】因为红、黄、蓝三种颜色全排列共有红蓝、红黄、蓝红、蓝黄、黄蓝、黄红六种不同的排法，所以7列中至少有两列颜色完全相同． 4．一个盒子中装有2个白球，4个绿球，9个黑球，这些球除颜色外其他都相同，为保证取出的球中有两个球颜色不同，则至少要取出多少个球？ 【答案】10个 【详解】9＋1＝10(个) 答：至少要取出10个球． 5．篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有81个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有多少个小朋友拿的水果是相同的？ 【答案】9个 【详解】首先应弄清不同的水果搭配有多少种．两个水果是相同的有4种，两个水果不同有6种：苹果和梨、苹果和桃、苹果和桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子．所以不同的水果搭配共有4＋6＝10（种）．将这10种搭配作为10个“抽屉”． 81÷10=8……1（个）． 根据抽屉原理2，至少有8＋1＝9（个）小朋友拿的水果相同． 6．把130件玩具分给幼儿园小朋友，如果不管怎样分，都至少有一位小朋友分得4件或4件以上的玩具，那么这个幼儿园最多有多少个小朋友？ 【答案】43个 【详解】根据抽屉原理，不管怎样分都至少有一位小朋友得4件或4件以上的玩具，就是说每位小朋友都得到4个玩具后，玩具至少还要剩余1件． 130（4-1）=43……1 答：最多43个小朋友． 7．体育组有足球、篮球和排球，上体育课前，老师让一班的41名同学往操场拿球，每人最多拿两个．问：至少有几名同学拿球的情况完全一样？ 【答案】5名 【详解】先看拿球情况． 如果拿一个，即从足球、篮球和排球中选一个，有3种方法； 如果拿两个，从足球、篮球和排球中选一种拿两个，有3种方法； 如果拿两个，从足球、篮球和排球中选两种各拿一个，有足球篮球、足球排球和排球篮球3种方法； 一共有3+3+3=9（种）方法． 419=4……5 4+1=5（名） 答：至少有5名同学拿球的情况完全一样． 8．学校体育器材室有足够多足球、篮球和排球．体育老师让六(1)班52名同学去器材室拿球，规定：每人至少拿1个球，至多拿2个球，至少有几名同学所拿的球是相同的？ 【答案】6名 【详解】每人至少拿1个球，至多拿2个球，共有9种拿法． 52÷9＝5……7　5＋1＝6(名) 答：至少有6名同学所拿的球是相同的． 9．幼儿园买来了很多白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友可以任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意7个小朋友中总有两个小朋友的玩具相同，请说明道理． 【答案】每个小朋友可以任意选择两件，选择情况有：2个白兔、2个熊猫、2个长颈鹿、白兔和熊猫、白兔和长颈鹿、熊猫和长颈鹿，一共有6种拿法；最差情况是6个小朋友选择的玩具各不相同，分别是上面的6种情况；此时只要有一个要朋友再任意选择两个玩具，就能保证有两人选的玩具是相同的； 6+1=7（个）； 所以，在任意7个小朋友中总有两个小朋友的玩具相同． 【详解】已知共有三种玩具，每个小朋友任意选择两件相同的玩具有3种情况；选择两件不同的玩具一共有3种不同的情况，所以一共有6种不同的拿法，最差情况是6个小朋友选择的玩具各不相同，此时只要有一个要朋友再任意选择两个玩具，就能保证有两人选的玩具是相同的，所以在任意7个小朋友中总有两个小朋友的玩具相同；据此解答． 10．把26个玩具放进抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉至少放6个玩具，那么最多有几个抽屉？ 【答案】5个 【详解】26÷（6-1）=5（个）…1个， 答：最多有5个抽屉． 11．在口袋里放着红、蓝、黄三种颜色的小球若干个，如果有45个人从袋子里摸取小球，每人只准取2个小球，那么这45个人中，至少有多少人摸取的球的颜色情形是一样的（不考虑摸出球的顺序）？ 【答案】8人 【详解】从口袋中摸三种颜色的小球，每次只准取2个，摸出的不同情况有6种：红红、红黄、红蓝、蓝蓝、蓝黄、黄黄． 根据抽屉原理（二），45÷6=7……3 7+1=8 答：至少有8人摸取的球的颜色情形是一样的． 12．夏令营组织200名营员活动，其中有爬山、参观博物馆和到海滩游玩三个项目．规定每人必须参加一项或两项活动．那么至少有几名营员参加的活动项目完全相同？ 【答案】34名 【分析】本题的抽屉不是那么明显，因为问的是“至少有几名营员参加的活动项目完全相同”，所以应该把活动项目当成抽屉，营员当成物品．营员数已经有了，现在的问题是应当搞清有多少个抽屉．因为“每人必须参加一项或两项活动”，共有3项活动，所以只参加一项活动的有3种情况，参加两项活动的有爬山与参观、爬山与海滩游玩、参观与海滩游玩3种情况，所以共有3+3=6（个）抽屉． 【详解】只参加一项活动的有3种情况，参加两项活动的有3种情况，所以共有3+3=6（个）抽屉． 200÷6=33…2， 根据抽屉原理（二），至少有一个抽屉中有33+1=34（件）物品． 答：至少有34名营员参加的活动项目是相同的． 13．如图，分别标有数字的滚珠两组，放在内外两个圆环上，开始时相对的滚珠所标的数字都不相同。当两个圆环按不同方向转动时，必有某一时刻，内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对。 【答案】详解见解析 【分析】两个圆环都转动的话，研究起来不是很方便，可以假设其中一个静止，另一个转动，然后展开分析。 【详解】证明： 内外两个圆环对转可以看成一个静止，只有一个环转动； 一个环转动一周后，每个滚珠都会有一次与标有相同数字的滚珠相对的局面出现，那么这种局面共要出现8次； 将这8次局面看成8个苹果，注意到一环每转动45°角就有一次滚珠相对的局面出现，转动一周共有8次滚珠相对的局面，而最初相对滚珠所标数字都不相同，所以相对的滚珠所标的数字相同的情况只出现在以后的7次转动中，将7次转动看做7个抽屉； 根据抽屉原理至少有2次数字相对的局面出现在同一次转动中即必有某一时刻，内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对。 【点睛】本题考查的是抽屉原理问题，首先要能够找出苹果数和抽屉数是多少，与抽屉原理联系起来。 14．把9条金鱼任意放在8个鱼缸里面，请你说明至少有一个鱼缸放有两条或两条以上金鱼。 【答案】见详解 【分析】现在每个鱼缸放一条，用了8条，余下的一条，不论放在哪一个鱼缸中，都可以保证至少有一个鱼缸放有两条金鱼。 【详解】证明： 8个鱼缸相当于是抽屉数，根据抽屉原理： （条） 所以至少有一个鱼缸放有两条或两条以上金鱼。 【点睛】本题考查的是抽屉原理，题目直接给出了抽屉数和苹果数，利用公式直接计算即可。 15．幼儿园买来许多牛、马、羊、狗塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，但不能是同样的，问：至少有多少个小朋友去拿，才能保证有两人所拿玩具相同？ 【答案】个 【分析】从四种玩具中挑选不同的两件，所有的搭配有以下6组：牛、马；牛、羊；牛、狗；马、羊；马、狗；羊、狗，把每一组搭配看作一个“抽屉”，共6个抽屉，每种拿玩具的方式先安排一人，然后再多一个人，一定能保证有两人所拿玩具相同。 【详解】有6种不同的拿玩具的方式； 考虑最不利原则，前6个人的方式各不相同，那么第7个人的方式一定与前面的一个人相同； 答：至少有7个小朋友去拿，才能保证有两人所拿玩具相同。 【点睛】本题考查的是抽屉原理，首先要枚举出所有拿玩具的方法，确定抽屉数。 16．证明：在从1开始的前10个奇数中任取6个，一定有2个数的和是20。 【答案】见解析 【分析】从1开始的前10个奇数是1、3、5、7、9、11、13、15、17、19，把和是20的两个数分成1组，总共可以分成5组，那么抽屉数是5。 【详解】证明： 构造抽屉：（1，19），（3，17），（5，15），（7，13），（9，11）； 任取6个数，一定有两个数处在同一个抽屉中，其和是20； 所以在从1开始的前10个奇数中任取6个，一定有2个数的和是20。 【点睛】本题考查的是抽屉问题，没有抽屉的情况下，就要根据题目的要求，合理地构造出抽屉，然后求解问题。 17．在1米长的直尺上任意点五个点，请你说明这五个点中至少有两个点的距离不大于25厘米。 【答案】见详解 【分析】5个点最多把1米长的直尺分成4段，要想使每一段都尽量长，应采取平均分的办法，把1米长的直尺平均划分成四段，每一段25厘米，把这四段看成四个抽屉。 【详解】当把五个点随意放入四个抽屉时，根据抽屉原理，一定有一个抽屉里面有两个或两个以上的点，落在同一段上的这两点间的距离一定不大于25厘米，所以结论成立。 【点睛】本题考查的是抽屉原理，抽屉原理注意应用的是最不利原则和平均原则。 18．平面上给定17个点，如果任意三个点中总有两个点之间的距离小于1，证明：在这17个点中必有9个点可以落在同一半径为1的圆内。 【答案】见详解 【分析】任意三个点中总有两个点之间的距离小于1，那么如果以其中的一个点为圆心，1为半径，那么另一个点一定落在圆内。 【详解】证明： 如果17个点中，任意两点之间的距离都小于1，那么，以这17个点中任意一点为圆心，以1为半径作一个圆，这17个点必然全落在这个圆内； 如果这17点中，有两点之间距离不小于1（即大于或等于1），设这两点为 O1 、 O2 ，分别以 O1 、 O2 为圆心，1为半径作两个圆（如图）； 把这两个圆看作两个抽屉，由于任意三点中总有两个点之间的距离小于1，因此其他15个点中每一点，到 O1 、 O2 的距离必有一个小于1； 也就是说这些点必落在某一个圆中，根据抽屉原理必有一个圆至少包含这15个点中的8个点，由于圆心是17个点中的一点，因此这个圆至少包含17个点中的9个点。 【点睛】本题本质上考查的还是抽屉原理，在这里构造抽屉比较困难，可以画图帮助理解问题。 19．从一副扑克牌中(去掉大小王)任意抽牌． (1)要保证有两种不同的花色，至少要抽出多少张？ (2)要保证有两张同样的花色，至少要抽出多少张？ (3)要保证有4张花色相同的牌，至少要抽出多少张？ 【答案】(1)14张   (2) 5张   (3) 13张 【详解】(1)(54－2)÷4＝13(张) 13＋1＝14(张) 答：至少要抽出14张． (2)4＋1＝5(张) 答：至少要抽出5张． (3)4×(4－1)＋1＝13(张) 答：至少要抽出13张． 20．体育活动中的数学． (1)体育老师把5个篮球分给4个班，总有一个班至少分到几个篮球？ (2)六(1)班45名同学分成6个组玩“老鹰抓小鸡”游戏，总有一个组至少有多少人？ (3)六(2)班同学分成5个组进行跳绳测试，不管怎么分，总有一个组至少有10人．六(2)班至少有学生多少人？ 【答案】(1) 2个 (2) 8人 (3)46人 【详解】(1)5÷4＝1(个)……1(个) 1＋1＝2(个) (2)45÷6＝7(人)……3(人) 7＋1＝8(人) (3)(10－1)×5＋1＝46(人) 第 - 1 - 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$