第07讲：相遇问题—2025年小升初数学压轴应用题精讲精练讲义（通用版）（学生版+教师版）

2025年小升初数学压轴应用题精讲精练讲义（通用版） —— 相遇问题 —— 目 录 第一部分：解题技巧 第二部分：真题精讲 第三部分：专题演练 （基础巩固-培优拔尖） 第一部分：解题技巧   【含义】 两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。 【数量关系】 相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速） 总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间 【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。 第二部分：压轴精讲   【压轴精讲一】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，并在两地间不断往返行驶，甲车的速度是15千米/时，乙车的速度是25千米/时，甲、乙两车第三次、第四次相遇地点相差100千米，求A、B两地的距离。 【答案】200千米【分析】根据题意，甲、乙两车第一次、第二次、第三次、第四次相遇时，两车共行了1个全程、3个全程、5个全程、7个全程。把全程看 作单位“1”，根据相遇问题中，速度比等于路程比，已知甲车与乙车的速度， 可以求出两车的路程比；进而求出第一次相遇时，甲车行了全程几分之几，再 分别乘5，乘7求出第三次、第四次相遇时，甲车行了全程的几分之几；找到第三次、第四次相遇地点相差100千米对应的分率，用除法计算，求出全程。【详解】在相同的时间内，甲、乙两车所行的路程比为：15∶25＝3∶5第一次相遇时，甲行了全程的＝第三次相遇时，甲行了：×5＝，即走了1个全程，还多；第四次相遇时，甲行了：×7＝，即走了2个全程，还多；第三次、第四次相遇地点相差：＋－1＝－1＝ 全程：100÷＝200（千米） 答：A、B两地的距离是200千米。 【点睛】复杂的相遇问题，需明确两车第n次相遇时，共行了（2n－1）个全程是解题的关键。 【压轴精讲二】甲乙两辆车分别从A、B两地同时出发相向而行，甲车每小时行40千米。当两车在途中相遇时，甲车行的路程与乙车行的路程比是8∶7。相遇后，两车立即返回各自的出发点，这时甲车把速度提高25%，乙车速度不变。当甲车返回A地时，乙车距B地还有1.2小时的路程，A、B两地相距多少千米？ 【答案】450千米 【分析】相遇时，甲车行的路程与乙车行的路程的比是8∶7，则甲行了全程的＝，乙行了全程的1－＝，相同时间内，速度和路程成正比，可得：开始时甲、乙的速度比为8∶7，所以，乙车速度为40×＝35千米/小时。相遇后，甲乙两车的速度比变为[8×（1＋25%）]∶7＝10∶7，当甲车返回A地时，甲又行了全程的，则乙又行了全程的×＝，所以，A、B两地相距35×1.2÷（－）＝450千米。 【详解】＝ 1－＝ [8×（1＋25%）]∶7 ＝[8×1.25]∶7 ＝10∶7 ×＝ 40××1.2÷（－） ＝35×1.2÷（－） ＝35×1÷ ＝450（千米） 答：A、B两地相距450千米。 【点睛】本题主要是根据“行驶相同的时间，两车的速度比等于所行路程比”进行分析解答的。 【压轴精讲三】甲从A地到B地需要5小时，乙从B地到A地，速度是甲的。现在甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，相向而行。在途中相遇后继续前进。甲到B地后立即返回，乙到A地后也立即返回，他们在途中又一次相遇。如果两次相遇点相距72千米，A、B两地相距多少千米？ 【答案】156千米 【分析】根据题意，把A、B两地的距离看作单位“1”，则甲每小时行，乙每小时行×，那第一次相遇的时间即可求出，此时甲、乙各行了全程的几分之几也可以求出，从第一次相遇到第二次相遇，两人合走了两个全程，因此甲走了全程的几分之几可以求出，这个地方离甲的出发点是全程的几分之几也可以求出，由此问题即可解决。 【详解】将A、B两地的距离看作单位“1”。 则甲每小时行，乙每小时行： 第一次相遇时间是：（小时） 此时甲行了全程的： 乙行了全程的： 从第一次相遇到第二次相遇，两人合走了两个全程。 所以，甲走了全程的： 这个地方离甲的出发点是全程的： 故两次相遇点之间距离是全程的： 全程的距离是：（千米） 答：A、B两地相距156千米。 【点睛】解答此题的关键是，根据题中的数量关系，求出两次相遇点之间距离是全程的几分之几，用对应的数除以对应的分数，即可求出单位“1”。 第三部分：专题演练   1．甲乙两人从圆形操场的同一地点出发，沿着场地的边背向而行，2分钟后两人相遇。 （1）这个圆形场地的直径是多少米？ （2）它的占地面积是多少平方米？ 2．两辆汽车分别同时从甲、乙两地相对开出，甲车每小时行驶80千米，乙车每小时行驶64千米。经过3小时甲、乙两车相遇，甲乙两地相距多少千米？ 3．甲乙两人分别从相距480千米的两地同时出发相向而行，4小时后两人相遇，已知甲每小时行65千米，乙每小时行多少千米？ 4．一辆客车和一辆货车同时从相距480千米的甲、乙两地相对开出，3小时后两车相遇，已知货车和客车的速度之比是7∶9，货车和客车每小时各行多少千米？ 5．一辆轿车和一辆货车同时从甲地和乙地相对开出，经过4小时相遇，轿车的速度是每小时82.8千米，货车的速度是每小时67.2千米，甲乙两地相距多少千米？ 6．两地相距90千米，甲、乙两辆汽车同时从两地相对开出，小时后相遇。已知甲、乙两车的速度比是4∶5，甲、乙两车每小时各行驶多少千米？ 7．于新家和王磊家相距1800米，两人同时从各自家中出发，相向而行，于新每分钟走50米，王磊每分钟走70米。（1）走了5分钟时，他们还相距多少米？（2）经过多长时间两人相遇？ 8．甲、乙两辆汽车同时从两地相对开出。甲车每小时行85千米，乙车每小时行75千米，两车出发后4.8小时相遇。两地之间的公路长多少千米？ 9．于新家和王磊家相距1800米，两人同时从各自家中出发，相向而行，于新每分钟走50米，王磊每分钟走70米。 （1）走了5分钟时，他们还相距多少米？ （2）经过多长时间两人相遇？ 10．两地相距90千米，甲、乙两辆汽车同时从两地相向开出，小时相遇。甲、乙两车的速度比是5∶7，甲、乙两车每小时各行多少千米？ 11．甲、乙两城相距360千米。A、B两列火车分别从这两城同时出发，相向而行，经过1.8小时相遇。A车平均速度为90千米/小时，B车平均速度为多少千米/小时？ 12．A、B两地间的公路全长375千米。甲、乙两辆货车从两地同时相向而行，经过3小时两车相遇。如果甲货车的速度是65千米/时，乙货车的速度是多少千米/时。 13．甲乙两汽车从相距600千米的两城市相对开出，甲汽车每小时行65千米，乙汽车每小时行55千米，两车开出几小时后相遇？ 14．A、B两地间的公路全长375千米。甲、乙两辆货车从A、B两地同时出发，相向而行，经过3小时两车相遇。如果甲货车每小时行驶65千米，乙货车每小时行驶多少千米？（列方程解答） 15．洛阳的龙门石窟景区到西安的兵马俑景区自驾路线全长约350千米。甲、乙两辆小轿车分别从两地出发，相向而行，经过2小时相遇。已知甲车的平均速度是90千米/时，乙车的平均速度是多少？ 16．甲、乙两车早晨9：00从相距350千米的两地同时出发，相向而行。已知甲车的速度是70千米/小时，乙两车的速度是80千米/小时，请问到11：00的时候，两车相遇了吗？ 17．淘气家到笑笑家的路程是840米，两人同时从家里出发。淘气步行速度为70米/分，笑笑步行速度为50米/分。出发后多长时间两人相遇？（列方程解答） 18．甲、乙两城相距450千米，两辆汽车同时从甲、乙两城相对开出，3小时后相遇，已知快车和慢车的速度之比是3∶2，快车每小时行驶多少千米？ 19．客车从甲城市到乙城市要行驶3小时，货车从乙城市到甲城市要行驶6小时。两车同时分别从甲、乙城市相向出发，几小时后相遇？ 20．甲、乙两车从相距360千米的两个城市同时相对开出，甲车的速度为65千米/时，乙车的速度为55千米/时，两车开出几小时后相遇？ 1．甲、乙两车分别从A、B两地同时相向开出，甲、乙两车的速度比是5∶4。两车开出后60分钟相遇并继续前进，甲车比乙车早到多少分钟？ 2．客、货两车分别从A、B两地同时出发相向而行，客、货两车的速度比是4∶3，相遇后，客车的速度减少20%，货车的速度增加，这样，当客车到达B地时，货车离A地还有25千米，A、B两地相距多少千米？ 3．客车和货车分别从A、B两地同时出发相向而行，客车与货车的速度比是。相遇后客车速度减少20%，货车速度增加20%，两车按原方向继续前进，当客车距B地还有15千米时，货车距A地还有27千米。A、B两地相距多少千米？ 4．甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行，6小时后相遇，相遇后继续前行，甲又行了5小时到达B地，这时乙车离A地还有150千米。A、B两地相距多少千米？ 5．一辆轿车和一辆货车同时从甲、乙两地相向而行，2小时后在距中点36千米处相遇。已知轿车和货车的速度比是5∶3。 （1）甲、乙两地相距多少千米？ （2）轿车每小时行多少千米？ 6．一辆轿车和一辆货车分别从A、B两地同时出发，相向而行。轿车每小时行45千米，与货车的速度比是5∶4，两车在距离中点10千米处相遇，A、B两地相距多少千米？ 7．小红骑车从甲地去乙地，小明步行从乙地去甲地，两人同时出发。当两人相遇时，小明走了全程的。相遇后两人继续前行，当小红到达乙地后，小明离甲地还有12千米。甲乙两地相距多少千米？ 8．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，甲、乙两人的速度比是4∶5。相遇后，如果甲的速度提高20%，乙的速度降低20%，然后沿原方向行驶，当乙到达A地时，甲距离B地20千米。那么A、B两地相距多少千米？ 9．甲、乙、丙三人同时出发，甲、乙两人由A地到B地，丙由B地到A地；甲步行，速度是5千米/小时；乙骑自行车，速度是15千米/小时；丙也骑自行车，速度是18千米/小时。已知丙在途中遇到乙后，又经过1小时才遇到甲，求丙和乙从出发到相遇用了多长时间？ 10．客车和货车分别从甲、乙两站同时相向开出，5小时后相遇，相遇后两车仍按原速度前进，当它们相距224千米时，客车行了全程的，货车行了全程的80%。 （1）全程是多少千米？ （2）货车行完全程需要多少小时？ 11．甲、乙两车分别从福州和莆田两地同时相对开出，两车速度比为6∶5。途中相遇后，两车继续前行，乙车再行5千米到达两地中点。福州到莆田全程多少千米？ 12．西安和合肥是“一带一路”战略规划中两个重要的内陆节点城市，客、货两车分别从合肥、西安两地相对开出。已知客、货两车的速度比是4∶5，两车在途中相遇后继续行驶，客车把速度提高20%，货车速度不变，再行4小时后，货车到达合肥，而客车离西安还有116千米，西安合肥两地相距多少千米？ 13．在一幅比例尺为1∶9000000的地图上量得甲、乙两地的图上距离是3厘米。一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两地相对开出，开出1.8小时后两车相遇。已知客车的平均速度为85千米/时，货车的平均速度是多少？ 14．A、B两地相距90千米，甲、乙两人都骑自行车同时从A地去B地，甲的速度每小时比乙慢3千米，乙到达B地立即返回，在距B地15千米处与甲相遇，甲每小时行多少千米？ 15．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，相遇时甲、乙两车所行驶的路程比是6∶5，相遇后乙车每小时比相遇前多行驶33千米，甲车按原速前进，结果两车同时到达对方的出发站。已知甲车一共行驶了5小时，A、B两地一共相距多少千米？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年小升初数学压轴应用题精讲精练讲义（通用版） —— 相遇问题 —— 目 录 第一部分：解题技巧 第二部分：真题精讲 第三部分：专题演练 （基础巩固-培优拔尖） 第一部分：解题技巧   【含义】 两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。 【数量关系】 相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速） 总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间 【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。 第二部分：压轴精讲   【压轴精讲一】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，并在两地间不断往返行驶，甲车的速度是15千米/时，乙车的速度是25千米/时，甲、乙两车第三次、第四次相遇地点相差100千米，求A、B两地的距离。 【答案】200千米【分析】根据题意，甲、乙两车第一次、第二次、第三次、第四次相遇时，两车共行了1个全程、3个全程、5个全程、7个全程。把全程看 作单位“1”，根据相遇问题中，速度比等于路程比，已知甲车与乙车的速度， 可以求出两车的路程比；进而求出第一次相遇时，甲车行了全程几分之几，再 分别乘5，乘7求出第三次、第四次相遇时，甲车行了全程的几分之几；找到第三次、第四次相遇地点相差100千米对应的分率，用除法计算，求出全程。【详解】在相同的时间内，甲、乙两车所行的路程比为：15∶25＝3∶5第一次相遇时，甲行了全程的＝第三次相遇时，甲行了：×5＝，即走了1个全程，还多；第四次相遇时，甲行了：×7＝，即走了2个全程，还多；第三次、第四次相遇地点相差：＋－1＝－1＝ 全程：100÷＝200（千米） 答：A、B两地的距离是200千米。 【点睛】复杂的相遇问题，需明确两车第n次相遇时，共行了（2n－1）个全程是解题的关键。 【压轴精讲二】甲乙两辆车分别从A、B两地同时出发相向而行，甲车每小时行40千米。当两车在途中相遇时，甲车行的路程与乙车行的路程比是8∶7。相遇后，两车立即返回各自的出发点，这时甲车把速度提高25%，乙车速度不变。当甲车返回A地时，乙车距B地还有1.2小时的路程，A、B两地相距多少千米？ 【答案】450千米 【分析】相遇时，甲车行的路程与乙车行的路程的比是8∶7，则甲行了全程的＝，乙行了全程的1－＝，相同时间内，速度和路程成正比，可得：开始时甲、乙的速度比为8∶7，所以，乙车速度为40×＝35千米/小时。相遇后，甲乙两车的速度比变为[8×（1＋25%）]∶7＝10∶7，当甲车返回A地时，甲又行了全程的，则乙又行了全程的×＝，所以，A、B两地相距35×1.2÷（－）＝450千米。 【详解】＝ 1－＝ [8×（1＋25%）]∶7 ＝[8×1.25]∶7 ＝10∶7 ×＝ 40××1.2÷（－） ＝35×1.2÷（－） ＝35×1÷ ＝450（千米） 答：A、B两地相距450千米。 【点睛】本题主要是根据“行驶相同的时间，两车的速度比等于所行路程比”进行分析解答的。 【压轴精讲三】甲从A地到B地需要5小时，乙从B地到A地，速度是甲的。现在甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，相向而行。在途中相遇后继续前进。甲到B地后立即返回，乙到A地后也立即返回，他们在途中又一次相遇。如果两次相遇点相距72千米，A、B两地相距多少千米？ 【答案】156千米 【分析】根据题意，把A、B两地的距离看作单位“1”，则甲每小时行，乙每小时行×，那第一次相遇的时间即可求出，此时甲、乙各行了全程的几分之几也可以求出，从第一次相遇到第二次相遇，两人合走了两个全程，因此甲走了全程的几分之几可以求出，这个地方离甲的出发点是全程的几分之几也可以求出，由此问题即可解决。 【详解】将A、B两地的距离看作单位“1”。 则甲每小时行，乙每小时行： 第一次相遇时间是：（小时） 此时甲行了全程的： 乙行了全程的： 从第一次相遇到第二次相遇，两人合走了两个全程。 所以，甲走了全程的： 这个地方离甲的出发点是全程的： 故两次相遇点之间距离是全程的： 全程的距离是：（千米） 答：A、B两地相距156千米。 【点睛】解答此题的关键是，根据题中的数量关系，求出两次相遇点之间距离是全程的几分之几，用对应的数除以对应的分数，即可求出单位“1”。 第三部分：专题演练   1．甲乙两人从圆形操场的同一地点出发，沿着场地的边背向而行，2分钟后两人相遇。 （1）这个圆形场地的直径是多少米？ （2）它的占地面积是多少平方米？ 【答案】（1）100米； （2）7850平方米 【分析】（1）根据相遇问题，路程＝速度和×相遇时间，据此求出圆的周长，再根据圆的周长公式：C＝πd，那么d＝C÷π，把数据代入公式解答。 （2）根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。 【详解】（1）（75＋82）×2 ＝157×2 ＝314（米） 314÷3.14＝100（米） 答：这个圆形场地的直径是100米。 （2）3.14×（100÷2）2 ＝3.14×502 ＝3.14×2500 ＝7850（平方米） 答：它的占地面积是7850平方米。 【点睛】此题主要考查圆的周长公式、面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 2．两辆汽车分别同时从甲、乙两地相对开出，甲车每小时行驶80千米，乙车每小时行驶64千米。经过3小时甲、乙两车相遇，甲乙两地相距多少千米？ 【答案】432千米 【分析】已知甲车每小时行驶80千米，乙车每小时行驶64千米，相遇时间是3小时，根据总路程＝（甲的速度＋乙的速度）×相遇时间，代入数据，即可求出甲乙两地相距多少千米。 【详解】（80＋64）×3 ＝144×3 ＝432（千米） 答：甲乙两地相距432千米。 【点睛】此题主要考查相遇问题，根据速度、时间和路程三者的关系，解决问题。 3．甲乙两人分别从相距480千米的两地同时出发相向而行，4小时后两人相遇，已知甲每小时行65千米，乙每小时行多少千米？ 【答案】55千米 【分析】假设乙每小时行驶x千米，根据甲和乙的速度和是（x＋65）千米/时，相遇时间是4小时，根据相遇时间×速度和＝路程，据此列出方程，解方程即可求出乙每小时行多少千米。 【详解】解：设乙每小时行x千米， （x＋65）×4＝480 （x＋65）×4÷4＝480÷4 x＋65＝120 x＋65－65＝120－65 x＝55 答：乙每小时行55千米。 【点睛】此题主要考查相遇问题，把乙的速度设为未知数x，利用题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，解方程得到最终的结果。 4．一辆客车和一辆货车同时从相距480千米的甲、乙两地相对开出，3小时后两车相遇，已知货车和客车的速度之比是7∶9，货车和客车每小时各行多少千米？ 【答案】货车70千米/时；客车90千米/时 【分析】根据“速度＝路程÷时间”，用甲、乙两地的距离除以两车相遇时间，就是客车与货车的速度之和，再把客车、货车的速度之和平均分成（7＋9）份，先用除法求出1份的速度是多少，再用乘法分别求出7份（货车的速度）、9份（客车的速度）即可。 【详解】480÷3＝160（千米/时） 160÷（7＋9） ＝160÷16 ＝10（千米/时） 10×7＝70（千米/时） 10×9＝90（千米/时） 答：货车每小时行70千米，客车每小时行90千米。 【点睛】此题是考查按比例分配，解答本题的关键是按比例分配解题的计算方法。 5．一辆轿车和一辆货车同时从甲地和乙地相对开出，经过4小时相遇，轿车的速度是每小时82.8千米，货车的速度是每小时67.2千米，甲乙两地相距多少千米？ 【答案】600千米 【分析】根据速度×时间＝路程，代入数据分别求出轿车和货车行驶的路程，把两段路程相加，即可求出甲乙两地的总路程。也可利用速度和×相遇时间＝总路程，代入数据即可求出甲乙两地的总路程。 【详解】方法一： 82.8×4＋67.2×4 ＝331.2＋268.8 ＝600（千米） 方法二： （82.8＋67.2）×4 ＝150×4 ＝600（千米） 答：甲乙两地相距600千米。 【点睛】此题主要考查相遇问题，通过小数的四则混合运算，求出结果。 6．两地相距90千米，甲、乙两辆汽车同时从两地相对开出，小时后相遇。已知甲、乙两车的速度比是4∶5，甲、乙两车每小时各行驶多少千米？ 【答案】甲车：60千米；乙车：75千米 【分析】甲乙两车的速度比是4∶5，所以甲的速度是乙的，可以列方程解决问题，设乙的速度是千米，那么甲的速度就是，根据路程＝速度×时间，列方程即可，因为甲乙的时间是一样的，所以等量关系是甲的路程＋乙的路程＝总路程。 【详解】解：设乙的速度是千米，那么甲的速度就是 （千米） 答：甲车每小时各行驶60千米，乙车每小时行驶75千米。 【点睛】本题考查列方程解决问题的计算方法以及比的意义，重点是能够找到题目中的等量关系。 7．于新家和王磊家相距1800米，两人同时从各自家中出发，相向而行，于新每分钟走50米，王磊每分钟走70米。（1）走了5分钟时，他们还相距多少米？（2）经过多长时间两人相遇？ 【答案】（1）1800－(50＋70)×5＝1200（米） 答：走了5分钟时，他们还相距1200米。 （2）1800÷(50＋70)＝15（分） 答：经过15分钟两人相遇。 【解析】略 8．甲、乙两辆汽车同时从两地相对开出。甲车每小时行85千米，乙车每小时行75千米，两车出发后4.8小时相遇。两地之间的公路长多少千米？ 【答案】768千米 【分析】“路程和×时间＝总路程”，据此解答即可。 【详解】（85＋75）×4.8 ＝160×4.8 ＝768（千米）； 答：两地之间的公路长768千米。 【点睛】明确路程、速度和时间的关系是解答本题的关键。 9．于新家和王磊家相距1800米，两人同时从各自家中出发，相向而行，于新每分钟走50米，王磊每分钟走70米。 （1）走了5分钟时，他们还相距多少米？ （2）经过多长时间两人相遇？ 【答案】（1）1200米 （2）5分 【分析】（1）根据路程＝速度×时间，求出5分钟他们各自走了多少米，再用全程减去他们走的路程，即可得知走了5分钟时，他们还相距多少米。 （2）已知路程是1800米，两人的速度和为（50＋70）米，根据时间＝路程÷速度，两人相遇时间为1800÷（50＋70），据此解答。 【详解】（1）1800－（50＋70）×5 ＝1800－120×5 ＝1800－600 ＝1200（米） 答：走了5分钟时，他们还相距1200米。 （2）1800÷（50＋70） ＝1800÷120 ＝15（分） 答：经过15分钟两人相遇。 10．两地相距90千米，甲、乙两辆汽车同时从两地相向开出，小时相遇。甲、乙两车的速度比是5∶7，甲、乙两车每小时各行多少千米？ 【答案】甲车50km；乙车70km 【分析】由题意，甲乙两辆汽车相向而行，小时一共行驶了90千米，根据：速度和＝总路程÷时间，先计算出甲乙两辆汽车的速度和，再按5∶7将其分配，即可分别求出甲乙两辆汽车的速度。 【详解】速度和：90÷＝120（km） 甲车速度：120×＝120×＝50（km） 乙车速度：120×＝120×＝70（km） 答：甲乙两车每小时各行50km、70km。 【点睛】这是一道按比例分配的题目，只是要先计算出按比例分配的总数，就是甲乙的速度和。考查了对于比的意义的理解，以及对于分数乘除法运算的掌握。 11．甲、乙两城相距360千米。A、B两列火车分别从这两城同时出发，相向而行，经过1.8小时相遇。A车平均速度为90千米/小时，B车平均速度为多少千米/小时？ 【答案】110千米/小时 【分析】根据速度和＝路程÷相遇时间，先求出A车和B车的速度和，再减去A车的速度，即可求出B车的速度。 【详解】360÷1.8＝200（千米/时） 200－90＝110（千米/时） 答：B车平均速度为110千米/小时。 【点睛】解决本题的关键是能根据速度和＝路程÷相遇时间，先求出A车和B车的速度和。 12．A、B两地间的公路全长375千米。甲、乙两辆货车从两地同时相向而行，经过3小时两车相遇。如果甲货车的速度是65千米/时，乙货车的速度是多少千米/时。 【答案】60千米/时 【分析】用总路程除以相遇时间即可求出两车的速度和，再减去甲货车的速度即可求出乙货车的速度。 【详解】375÷3－65 ＝125－65 ＝60（千米/时） 答：乙货车的速度是60千米/时。 【点睛】明确路程、速度和时间之间的关系是解答本题的关键。 13．甲乙两汽车从相距600千米的两城市相对开出，甲汽车每小时行65千米，乙汽车每小时行55千米，两车开出几小时后相遇？ 【答案】5小时 【分析】要求两车开出几小时后相遇，应先求出两车的速度和，根据题意，速度和为65＋55＝120（千米/时），然后用总路程除以速度和，即为所求。 【详解】600÷（65＋55） ＝600÷120 ＝5（小时） 答：两车开出5小时后相遇。 【点睛】此题解答的关键是求出两车的速度和，然后根据关系式“路程÷速度和＝相遇时间”，解决问题。 14．A、B两地间的公路全长375千米。甲、乙两辆货车从A、B两地同时出发，相向而行，经过3小时两车相遇。如果甲货车每小时行驶65千米，乙货车每小时行驶多少千米？（列方程解答） 【答案】60千米 【分析】根据题意可得等量关系式：速度和×相遇时间＝路程，甲货车每小时行驶65千米，假设乙货车每小时行驶x千米，代入未知数然后列方程求解即可。 【详解】解：设乙货车每小时行驶x千米。 （65＋x）×3＝375 65＋x＝375÷3 65＋x＝125 x＝125－65 x＝60 答：乙货车每小时行驶60千米。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握相遇问题的基本数量关系及应用，即速度和×相遇时间＝路程。 15．洛阳的龙门石窟景区到西安的兵马俑景区自驾路线全长约350千米。甲、乙两辆小轿车分别从两地出发，相向而行，经过2小时相遇。已知甲车的平均速度是90千米/时，乙车的平均速度是多少？ 【答案】85千米/时 【分析】根据“速度和＝路程÷相遇时间”先求出甲乙两车的速度和，然后再减去甲车的速度即可。 【详解】350÷2－90 ＝175－90 ＝85（千米/时） 答：乙车的平均速度是85千米/时。 【点睛】解答此题应根据速度、时间、路程三者之间的关系进行解答，即速度＝路程÷时间。 16．甲、乙两车早晨9：00从相距350千米的两地同时出发，相向而行。已知甲车的速度是70千米/小时，乙两车的速度是80千米/小时，请问到11：00的时候，两车相遇了吗？ 【答案】没相遇 【分析】先用到达时刻减去出发时刻，求出两车行驶的时间；然后根据“路程＝速度和×相遇时间”求出两车一共行驶的路程，再与总路程350千米相比较，得出结论。 【详解】11时－9时＝2（小时） （70＋80）×2 ＝150×2 ＝300（千米） 300＜350 答：两车没相遇。 【点睛】掌握速度、时间、路程之间的关系是解题的关键。 17．淘气家到笑笑家的路程是840米，两人同时从家里出发。淘气步行速度为70米/分，笑笑步行速度为50米/分。出发后多长时间两人相遇？（列方程解答） 【答案】7分钟 【分析】根据相遇时间×速度和＝路程，可列出题目中的等量关系：（淘气的步行速度＋笑笑的步行速度）×相遇时间＝路程，假设出发后x分两人相遇，把已知数据和未知数都代入到等量关系中，列出方程并解方程，即可求出出发后多久两人能相遇。 【详解】解：设出发后x分两人相遇， （70＋50）x＝840 120x＝840 x＝840÷120 x＝7 答：出发后7分钟两人相遇。 【点睛】此题的解题关键是弄清题意，把出发后相遇的时间设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，解方程得到最终的结果。 18．甲、乙两城相距450千米，两辆汽车同时从甲、乙两城相对开出，3小时后相遇，已知快车和慢车的速度之比是3∶2，快车每小时行驶多少千米？ 【答案】90千米 【分析】甲、乙两城相距450千米，两车分别从甲、乙两城同时相向而行，3小时后相遇，则两车的速度和是每小时（450÷3）千米；快车和慢车的速度之比是3∶2，所以快车的速度是两车速度和的，根据分数乘法的意义，即可求出快车每小时行驶多少千米。 【详解】450÷3＝150（千米/时） 150× ＝150× ＝90（千米/时） 答：快车每小时行驶90千米。 【点睛】本题考查了简单的相遇问题以及按比例分配应用题。 19．客车从甲城市到乙城市要行驶3小时，货车从乙城市到甲城市要行驶6小时。两车同时分别从甲、乙城市相向出发，几小时后相遇？ 【答案】2小时 【分析】把甲城市到乙城市的路程看作单位“1”，根据时间×速度＝路程，分别求出客车和货车的速度，把两车的速度相加，求出两车的速度和，再根据相遇时间＝路程÷两车速度和，即可求出几小时后相遇。 【详解】1÷3＝ 1÷6＝ 1÷（＋） ＝1÷（＋） ＝1÷ ＝1× ＝2（小时） 答：2小时后相遇。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握路程、速度、时间三者之间的关系及应用，以及相遇问题的基本的数量关系的应用。 20．甲、乙两车从相距360千米的两个城市同时相对开出，甲车的速度为65千米/时，乙车的速度为55千米/时，两车开出几小时后相遇？ 【答案】3小时 【分析】设两车开出x小时后相遇。甲车的速度为65千米/时，x小时行驶65x千米，乙车的速度为55千米/时，x小数行驶55x千米。甲车行驶的路程＋乙车行驶的路程＝两个城市的距离，列方程：65x＋55x＝360，解方程，即可解答。 【详解】解：设两车开出x小时后相遇。 65x＋55x＝360 120x＝360 120x÷120＝360÷120 x＝3 答：两车开出3小时后相遇。 1．甲、乙两车分别从A、B两地同时相向开出，甲、乙两车的速度比是5∶4。两车开出后60分钟相遇并继续前进，甲车比乙车早到多少分钟？ 【答案】27分钟 【分析】假设甲车的速度是5x千米/分钟，乙车的速度是4x千米/分钟，根据路程＝速度×时间，两车60分钟后相遇，此时甲车行驶了（5x×60）千米，乙车行驶了（4x×60）千米，总路程为（4x＋5x）×60＝9x×60（千米），相遇后再继续前进，再根据时间＝路程÷时间，用（9x×60）除以甲车的速度，求出甲车开到B地的时间，用（9x×60）除以乙车的速度，求出甲车开到A地的时间，两段时间相减即可求出甲车比乙车早到多少分钟。 【详解】假设甲车的速度是5x千米/分钟，乙车的速度是4x千米/分钟， 4x＋5x＝9x（千米/分钟） （9x×60）÷5x ＝540x÷5x ＝108（分钟） （9x×60）÷4x ＝540x÷4x ＝135（分钟） 135－108＝27（分钟） 答：甲车比乙车早到27分钟。 【点睛】此题主要考查比的应用，掌握路程、速度、时间三者之间的关系，从而解决问题。 2．客、货两车分别从A、B两地同时出发相向而行，客、货两车的速度比是4∶3，相遇后，客车的速度减少20%，货车的速度增加，这样，当客车到达B地时，货车离A地还有25千米，A、B两地相距多少千米？ 【答案】700千米 【分析】客、货两车的速度比是4∶3，可将客、货车速度分别看作4、3，则相遇后客车速度为4－4×20%，火车速度为3＋3×，根据比的基本性质：比的前项、后项同时乘或除以一个数（0除外），比值不变，得出相遇后客、货车的速度比。根据按比分配的原则，当客车到达B地时，货车离A地还有25千米，则此时客车行驶路程－货车行驶路程＝25千米，运用路程差÷速度差＝路程总长，据此可得出答案。 【详解】根据题意，相遇后客车和货车的速度比是： （4－4×20%）：（3＋3×） ＝3.2∶4 ＝4∶5 25÷（） ＝25÷（） ＝25÷（） ＝25÷ ＝25×28 ＝700（千米） 答：A、B两地相距700千米。 【点睛】本题主要考查的是相遇问题及比的应用，解题的关键是得出相遇后的速度比，运用相遇问题相关知识点得出答案。 3．客车和货车分别从A、B两地同时出发相向而行，客车与货车的速度比是。相遇后客车速度减少20%，货车速度增加20%，两车按原方向继续前进，当客车距B地还有15千米时，货车距A地还有27千米。A、B两地相距多少千米？ 【答案】405千米 【分析】由题意可知，相遇前客车与货车的速度比是，相遇后，客车速度减少20%，货车速度增加20%，则相遇后客车、货车的速度比是（5－5×20%）∶（4＋4×20%）＝5∶6，把两地间的距离看作单位“1”，当相遇时货车行驶了全程的，则客车行驶了全程的，相遇后货车还需行驶全程的，客车行驶全程的，设AB相距x千米，根据时间一定，路程和速度成正比例，据此列比例解答即可。 【详解】解：设A、B两地相距x千米。 （5－5×20%）∶（4＋4×20%） ＝（5－1）∶（4＋0.8） ＝4∶4.8 ＝（4×10）∶（4.8×10） ＝40∶48 ＝（40÷8）∶（48÷8） ＝5∶6 （x－27）∶（x－15）＝6∶5 （x－27）×5＝（x－15）×6 x－135＝x－90 x－135＋135＝x－90＋135 x＝x＋45 x－x＝x＋45－x x＝45 x×9＝45×9 x＝405 答：A、B两地相距405千米。 【点睛】本题考查应用正比例解决实际问题，明确时间一定，路程和速度成正比例是解题的关键。 4．甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行，6小时后相遇，相遇后继续前行，甲又行了5小时到达B地，这时乙车离A地还有150千米。A、B两地相距多少千米？ 【答案】900千米 【分析】速度×时间＝路程，设A、B两地相距x千米，总路程÷相遇时间＝两车速度和，甲行完全程用了（6＋5）小时，也是乙车用的时间，总路程÷甲车用的时间＝甲车速度，乙车行了（x－150）千米，乙车路程÷乙车用的时间＝乙车速度。根据甲车速度＋乙车速度＝两车速度和，列出方程解答即可。 【详解】解：设A、B两地相距x千米。 x÷（6＋5）＋（x－150）÷（6＋5）＝ x÷6 x÷11＋（x－150）÷11＝ x÷6 [x÷11＋（x－150）÷11]×11＝ x÷6×11 x＋x－150＝x 2x－150＝x 2x－150－x＋150＝x－x＋150 x＝150 x÷＝150÷ x＝150×6 x＝900 答：A、B两地相距900千米。 【点睛】关键是理解速度、时间、路程之间的关系，用方程解决问题的关键是找到等量关系。 5．一辆轿车和一辆货车同时从甲、乙两地相向而行，2小时后在距中点36千米处相遇。已知轿车和货车的速度比是5∶3。 （1）甲、乙两地相距多少千米？ （2）轿车每小时行多少千米？ 【答案】（1）288千米 （2）90千米 【分析】（1）根据题意，轿车和货车相向而行，2小时后在距中点36千米处相遇，轿车和货车的速度比是5∶3，时间相同时，轿车和货车的路程比等于它们的速度比5∶3； 由此可知相遇时，轿车行驶了全程的，比全程的多行驶了36千米，所以36千米占全程的（－），把全程看作单位“1”，单位“1”未知，根据分数除法的意义解答，求出甲、乙两地的距离。 （2）根据相遇问题中“速度和＝路程÷相遇时间”，据此求出轿车和货车的速度和；已知轿车和货车的速度比是5∶3，即轿车的速度占速度和的，根据求一个数的几分之几是多少，用速度和乘，即可求出轿车的速度。 【详解】（1）36÷（－） ＝36÷（－） ＝36÷ ＝36×8 ＝288（千米） 答：甲、乙两地相距288千米。 （2）轿车和货车每小时共行驶： 288÷2＝144（千米） 轿车每小时行驶： 144× ＝144× ＝90（千米） 答：轿车每小时行90千米。 【点睛】（1）明确时间相同时，路程比等于速度比；分析出36千米占全程的几分之几是解题的关键，然后根据分数除法的意义解答。 （2）掌握相遇问题中速度、时间、路程之间的关系，以及按比分配问题的解题方法是解题的关键。 6．一辆轿车和一辆货车分别从A、B两地同时出发，相向而行。轿车每小时行45千米，与货车的速度比是5∶4，两车在距离中点10千米处相遇，A、B两地相距多少千米？ 【答案】180千米 【分析】将比的前后项看成份数，轿车速度÷对应份数×货车对应份数＝货车速度，两车在距离中点10千米处相遇，说明轿车比货车多行驶（10×2）千米，轿车比货车多行驶的距离÷轿车和货车的速度差＝相遇时间，两车速度和×相遇时间＝总路程，据此列式解答。 【详解】45÷5×4＝36（千米） 10×2÷（45－36） ＝20÷9 ＝ （45＋36）× ＝81× ＝180（千米） 答：A、B两地相距180千米。 【点睛】关键是掌握按比分配问题的解题方法，先求出货车速度，再根据速度、时间、路程之间的关系，进一步求出相遇时间，进而求出总路程。 7．小红骑车从甲地去乙地，小明步行从乙地去甲地，两人同时出发。当两人相遇时，小明走了全程的。相遇后两人继续前行，当小红到达乙地后，小明离甲地还有12千米。甲乙两地相距多少千米？ 【答案】18千米 【分析】把甲乙两地的距离看作单位“1”，小明走了全程的，则小红走了全程的1－＝，再用小明走的路程占全程的分率÷小红走的路程占全程的分率，即÷＝，求出小明走的路程是小红的几分之几；相遇后两人继续前行，当小红到达乙地后，说明小红又走了全程的，那么小明走了×＝，小明一共走了路程的（＋）；再用1减去小明走了的路程占全程的分率，求出剩下的路程占全程的分率，对应的是12千米，求单位“1”，用12÷剩下路程占全长的分率，即可解答。 【详解】÷（1－） ＝÷ ＝× ＝ 12÷（1－－×） ＝12÷（－） ＝12÷（－） ＝12÷ ＝12× ＝18（千米） 答：甲乙两地相距18千米。 【点睛】求出当小红到达乙地时，小明共走了全程的几分之几是解答本题的关键。 8．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，甲、乙两人的速度比是4∶5。相遇后，如果甲的速度提高20%，乙的速度降低20%，然后沿原方向行驶，当乙到达A地时，甲距离B地20千米。那么A、B两地相距多少千米？ 【答案】900千米 【分析】两车相遇，说明甲乙两车的速度比也就是两车的路程比，所以相遇时，甲车行了全程的﹔相遇后甲乙两车的速度比是：[4×（1＋20%）]∶[5×（1－20%）]＝6∶5，此时，乙车行驶的路程是甲车的﹔相遇后乙到达A地行驶的路程也就是相遇前甲车行驶的路程，所以当乙到达A地时，乙车又行驶了，那么20千米对应的分数是，由此用除法即可求出A、B两地相距多少千米。 【详解】[4×（1＋20%）]∶[5×（1－20%）] ＝[4×1.2]∶[5×0.8] ＝4.8∶4 ＝6∶5 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝20×45 ＝900（千米） 答：那么A、B两地相距900千米。 【点睛】本题考查复杂的行程问题，关键是根据时间一定，速度比也就是路程比，求出相遇前后乙车行驶的路程对应的分数。 9．甲、乙、丙三人同时出发，甲、乙两人由A地到B地，丙由B地到A地；甲步行，速度是5千米/小时；乙骑自行车，速度是15千米/小时；丙也骑自行车，速度是18千米/小时。已知丙在途中遇到乙后，又经过1小时才遇到甲，求丙和乙从出发到相遇用了多长时间？ 【答案】2.3小时 【分析】丙与乙相遇后，又经过1小时才遇到甲，所以甲与丙同时行的1小时的路程，就是丙与乙相遇时，乙比甲多行的路程。求丙和乙从出发到相遇用了多长时间，就是求丙和乙相遇时，乙比甲多行的路程所用的时间，根据时间＝路程差÷速度差，列式计算。 【详解】（18＋5）×1 ＝23×1 ＝23（千米/时） 15－5＝10（千米/时） 23÷10＝2.3（小时） 答：丙和乙从出发到相遇用了2.3小时。 【点睛】本题解题关键是理解丙与乙相遇后，又经过1小时才遇到甲，所以甲与丙同时行的1小时的路程，就是丙与乙相遇时，乙比甲多行的路程；再根据时间＝路程差÷速度差，列式计算。 10．客车和货车分别从甲、乙两站同时相向开出，5小时后相遇，相遇后两车仍按原速度前进，当它们相距224千米时，客车行了全程的，货车行了全程的80%。 （1）全程是多少千米？ （2）货车行完全程需要多少小时？ 【答案】（1）560千米； （2）8.75小时 【分析】（1）找出224千米占全程的几分之几，224千米相当于甲乙两站之间的路程的（＋80%－1），根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法求出全程。 （2）把甲乙两站之间的路程看作单位“1”，客车行了全程的，货车行了全程的80%。由此可知：客车和货车所行路程的比是：∶80%＝3∶4，即两车的速度比，再根据路程÷相遇时间＝速度和，求出两车的速度和，由此可以求出货车的速度，再根据路程÷速度＝时间，即可求出货车完全程需要几小时。 【详解】（1）224÷（＋80%－1） ＝224÷（＋－） ＝224÷ ＝560（千米） 答：全程是560千米。 （2）560÷5＝112（千米/时） ∶80%＝∶＝3∶4 112×＝112×＝64（千米/时） 560÷64＝8.75（小时） 答：货车行完全程需要8.75小时。 【点睛】本题是一道复杂的分数乘除法应用题，考查了行程问题的有关内容，同时考查了学生灵活解决问题的能力。 11．甲、乙两车分别从福州和莆田两地同时相对开出，两车速度比为6∶5。途中相遇后，两车继续前行，乙车再行5千米到达两地中点。福州到莆田全程多少千米？ 【答案】110千米 【分析】从出发到两车相遇，因为两车行驶的时间一样，根据时间＝路程÷速度，甲、乙两车的速度之比等于两车行驶的路程之比，已知两车速度比为6∶5，即两车行驶的路程比也为6∶5，假设福州到莆田全程为x千米，甲车行驶了x千米，乙车行驶了x千米，从出发点到中点的距离为x千米，根据题中数量关系：乙车行驶的距离＋5千米＝从出发点到中点的距离，据此列出方程，解出方程即可求出福州到莆田全程是多少千米。 【详解】解：设福州到莆田全程为x千米， x＋5＝x x－x＝5 x－x＝5 x＝5 x＝5÷ x＝110 答：福州到莆田全程110千米。 【点睛】此题主要根据速度、时间、路程三者之间的关系，通过比的应用，利用题目中的数量关系，列出方程，解决实际的问题。 12．西安和合肥是“一带一路”战略规划中两个重要的内陆节点城市，客、货两车分别从合肥、西安两地相对开出。已知客、货两车的速度比是4∶5，两车在途中相遇后继续行驶，客车把速度提高20%，货车速度不变，再行4小时后，货车到达合肥，而客车离西安还有116千米，西安合肥两地相距多少千米？ 【答案】900千米 【分析】时间相同，客、货车路程比等于速度比，即4∶5，把两地的路程看作单位“1”，由题意可知，相遇时货车行了＝，客车行了＝，客车距离西安还剩；相遇后货车行了，用了4小时，每小时行：÷4＝，则客车未提高20%前的速度：×＝；客车提高20%后的速度：×（1＋20%）＝；相遇后客车再行4小时行了：×4＝，客车离西安还剩：－＝，由“客车离西安还有116千米”可知，116千米对应的分率是 ，用对应量除以对应分率就是全程的长度。 【详解】时间相同，客、货车路程比＝客、货车速度比＝4∶5 相遇后货车4小时的速度： ÷4 ＝÷4 ＝ 则客车未提高20%前的速度：×＝ 客车提高20%后的速度： ×（1＋20%） ＝× ＝ 相遇后客车再行4小时行了×4＝ 客车离西安还剩：－＝ 两地的距离：116÷＝900（千米） 答：西安合肥两地相距900千米。 【点睛】解答此题的关键是求出对应量116千米的对应分率，用对应量除以对应分率就是全程的长度。 13．在一幅比例尺为1∶9000000的地图上量得甲、乙两地的图上距离是3厘米。一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两地相对开出，开出1.8小时后两车相遇。已知客车的平均速度为85千米/时，货车的平均速度是多少？ 【答案】65千米/时 【分析】先根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，求出甲、乙两地的实际距离，根据进率“1千米＝100000厘米”换算单位；然后根据“速度和＝路程÷相遇时间”，求出客车和货车的速度之和，再减去客车的平均速度，就是货车的平均速度。 【详解】甲、乙两地的实际距离： 3÷＝27000000（厘米） 27000000厘米＝270千米 客车和货车的速度和： 270÷1.8＝150（千米/时） 货车的平均速度： 150－85＝65（千米/时） 答：货车的平均速度是65千米/时。 【点睛】本题考查比例尺的应用及相遇问题，掌握图上距离、实际距离、比例尺之间的关系，以及速度、时间、路程之间的关系是解题的关键。 14．A、B两地相距90千米，甲、乙两人都骑自行车同时从A地去B地，甲的速度每小时比乙慢3千米，乙到达B地立即返回，在距B地15千米处与甲相遇，甲每小时行多少千米？ 【答案】7.5千米 【分析】根据“甲的速度每小时比乙慢3千米”，可以设甲每小时行千米，则乙每小时行（＋3）千米。 根据题意可知，相遇时甲行了（90－15）千米，乙行了（90＋15）千米；相遇时两人行驶的时间一样，根据路程÷速度＝时间，可得等量关系：＝，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设甲每小时行千米，则乙每小时行（＋3）千米。 （90＋15）＝（90－15）×（＋3） 105＝75（＋3） 105＝75＋225 105－75＝75＋225－75 30＝225 30÷30＝225÷30 ＝7.5 答：甲每小时行7.5千米。 【点睛】本题考查列比例方程解决问题，关键是明确两人相遇时行驶的时间一样，然后根据速度、时间、路程之间的关系，得出等量关系，根据等量关系列出方程。 15．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，相遇时甲、乙两车所行驶的路程比是6∶5，相遇后乙车每小时比相遇前多行驶33千米，甲车按原速前进，结果两车同时到达对方的出发站。已知甲车一共行驶了5小时，A、B两地一共相距多少千米？ 【答案】450千米 【分析】 相遇时甲、乙两车所行驶的路程比是6∶5，如图，相遇后，两车同时到达对方的出发站，说明相遇后甲、乙两车所行驶的路程比是5∶6，路程比＝速度比，甲车速度没变，将甲车速度看作单位“1”，相遇前乙车速度是甲车速度的，相遇后乙车速度是甲车速度的，乙车相遇前后的速度差占甲车速度的（－），乙车相遇前后的速度差÷对应分率＝甲车速度，甲车速度×总时间＝总路程，据此即可求出A、B两地距离。 【详解】33÷（－） ＝33÷ ＝33× ＝90（千米） 90×5＝450（千米） 答：A、B两地一共相距450千米。 【点睛】关键是理解速度、时间、路程之间的关系，通过甲车速度不变，确定相遇前后乙车速度的对应分率，求出甲车速度，进行求出总路程。 第 - 1 - 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$