江苏省南京市第一中学2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题

南京一中2024-2025学年第一学期期末考试 高二数学 2025．1 命题人：雷蕾 校对人：蒋文化 审核人：蒋文化 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．抛物线y＝x2的焦点坐标是 A．(，0) B．(1，0) C．(0，) D．(0，1) 2．已知直线l1：3x＋ay＋1＝0，l2：(a＋2)x＋y＋a＝0．当l1//l2时，实数a的值为 A．1 B．－ C．－3或1 D．－3 3．已知f(x)是定义在R上的可导函数，若＝，则f '(2)＝ A．－1 B．1 C．－ D． 4．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三 百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层 灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A．3盏 B．5盏 C．7盏 D．9盏 5．已知两个等差数列2，6，10，…及2，8，14，…，100，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列{an}，则数列{an}的各项之和为 A．438 B．450 C．254 D．278 6．椭圆＋＝1上任意一点P到点Q(0，1)的距离的最小值为 A． B． C．2 D．1 7．若曲线y＝x3与直线y＝3ax＋2有3个不同的交点，则实数a的取值范围是 A．(－∞，1) B．(－1，1) C．(1，＋∞) D．(2，＋∞) 8．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在直线x－y＋2＝0上，半径为1，点A(3，0)．若圆C上存在点M，满足|MA|＝2|MO|，则点C的横坐标的取值范围是 A．(－∞，0] B．[－1－2，0] C．[0，1＋2] D．[1＋2，＋∞) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f '(x)的图象，则 A．函数y＝f(x)的图象在x＝0处切线的斜率小于零 B．函数y＝f(x)在区间(－2，2)上单调递增 C．在x＝－2时，函数y＝f(x)取得极值 D．在x＝1时，函数y＝f(x)取得极值 10．已知实数x，y满足y＝，则 A．2x＋1的最小值为－5 B．x2＋y2的最大值为9 C．的最大值为 D．的最小值为－ 11．已知数列{an}满足an＋1＝a－an＋2，a1＝1，则 A．an＋1＜3an B．{an}是递增数列 C．a1＋a2＋…＋an≥2n－1 D．＋＋…＋＜2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设数列{an}的前n项和为Sn，且n∈N*，an＞an＋1，Sn≤S6．请写出一个满足条件的数列{an} 的通项公式an＝． 13．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则其离心率为． 14．已知直线y＝kx＋b(k，b∈R)与曲线f(x)＝e2x－x相切，则k＋b的最大值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝14，S6＝126． （1）求{an}的通项公式； （2）若a＋Sn＞958，求n的最小值． 16．（本小题满分15分） 已知圆C过点A(1，－1)，且与圆O：x2＋y2＝100相切于点B(8，6)． （1）求圆C的方程； （2）设直线l过点P(，0)，且与圆C交于M，N两点，若∠MCN＝，求l的方程． 17．（本小题满分15分） 已知数列{an＋1－an}是首项为4，公差为2的等差数列，且a1＝2． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn＝，λ∈R，若{bn}是等差数列，求λ的值． 18．（本小题满分17分） 已知函数f(x)＝x2＋aln x，a∈R． （1）若曲线f(x)在x＝1处的切线与直线2x＋3y＋1＝0垂直，求a的值； （2）讨论f(x)的单调性； （3）当x∈[，e]时，f(x)≥(a＋2)x，求a的取值范围． 19．（本小题满分17分） 已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，且过点(2，3)．设A，B 分别是C的左、右顶点，M，N是C的右支上异于点B的两点． （1）求C的方程； （2）若直线MN过点P(3，0)，且MN的斜率为2，求|MP－PN|的值； （3）设直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，若3k1＋k2＝0，求证：直线MN恒过定点． 高二数学试卷 第4页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$高二数学试卷 第 1 页（共 4 页） 南京一中 2024-2025 学年第一学期期末考试 高二数学 2025．1 命题人：雷蕾 校对人：蒋文化 审核人：蒋文化 注意事项： 1．本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分 150 分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0．5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．抛物线 y＝x2的焦点坐标是 A．( 1 4 ，0) B．(1，0) C．(0， 1 4 ) D．(0，1) 2．已知直线 l1：3x＋ay＋1＝0，l2：(a＋2)x＋y＋a＝0．当 l1//l2时，实数 a 的值为 A．1 B．－ 3 2 C．－3 或 1 D．－3 3．已知 f(x)是定义在 R 上的可导函数，若 lim △x→0 f(2＋Δx)－f(2) 2Δx ＝ 1 2 ，则 f '(2)＝ A．－1 B．1 C．－ 1 4 D． 1 4 4．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三 百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层 灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯 A．3 盏 B．5 盏 C．7 盏 D．9 盏 5．已知两个等差数列 2，6，10，…及 2，8，14，…，100，将这两个等差数列的公共项按从小到 大的顺序组成一个新数列{an}，则数列{an}的各项之和为 A．438 B．450 C．254 D．278 6．椭圆 x 2 4 ＋ y 2 9 ＝1 上任意一点 P 到点 Q(0，1)的距离的最小值为 A． 4 5 5 B． 5 C．2 D．1 7．若曲线 y＝x3与直线 y＝3ax＋2 有 3 个不同的交点，则实数 a 的取值范围是 A．(－∞，1) B．(－1，1) C．(1，＋∞) D．(2，＋∞) 高二数学试卷 第 2 页（共 4 页） 8．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C 的圆心在直线 x－y＋2 2＝0上，半径为 1，点 A(3，0)．若 圆 C 上存在点 M，满足|MA|＝2|MO|，则点 C 的横坐标的取值范围是 A．(－∞，0] B．[－1－2 2，0] C．[0，1＋2 2] D．[1＋2 2，＋∞) 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．如图是函数 y＝f(x)的导函数 y＝f '(x)的图象，则 A．函数 y＝f(x)的图象在 x＝0 处切线的斜率小于零 B．函数 y＝f(x)在区间(－2，2)上单调递增 C．在 x＝－2 时，函数 y＝f(x)取得极值 D．在 x＝1 时，函数 y＝f(x)取得极值 10．已知实数 x，y 满足 y＝ －x2－4x－3，则 A．2x＋1 的最小值为－5 B．x2＋y2的最大值为 9 C． y x 的最大值为 3 3 D． y x 的最小值为－ 3 3 11．已知数列{an}满足 an＋1＝a 2 n－an＋2，a1＝1，则 A．an＋1＜3an B．{an}是递增数列 C．a1＋a2＋…＋an≥2 n－1 D． 1 a1 ＋ 1 a2 ＋…＋ 1 an ＜2 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．设数列{an}的前 n 项和为 Sn，且n∈N *，an＞an＋1，Sn≤S6．请写出一个满足条件的数列{an} 的通项公式 an＝ ▲________． 13．若双曲线 x 2 a 2－ y 2 b 2＝1(a＞0，b＞0)的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则其离心率为 ▲________． 14．已知直线 y＝kx＋b(k，b∈R)与曲线 f(x)＝e 2x －x 相切，则 k＋b 的最大值为 ▲________． 高二数学试卷 第 3 页（共 4 页） 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 13 分） 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S3＝14，S6＝126． （1）求{an}的通项公式； （2）若 a 2 n＋Sn＞958，求 n 的最小值． 16．（本小题满分 15 分） 已知圆 C 过点 A(1，－1)，且与圆 O：x2＋y2＝100 相切于点 B(8，6)． （1）求圆 C 的方程； （2）设直线 l 过点 P( 3 2 ，0)，且与圆 C 交于 M，N 两点，若∠MCN＝ 2π 3 ，求 l 的方程． 17．（本小题满分 15 分） 已知数列{an＋1－an}是首项为 4，公差为 2 的等差数列，且 a1＝2． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设 bn＝ 2an－n－1 n＋λ ，λ∈R，若{bn}是等差数列，求 λ的值． 高二数学试卷 第 4 页（共 4 页） 18．（本小题满分 17 分） 已知函数 f(x)＝x2＋aln x，a∈R． （1）若曲线 f(x)在 x＝1 处的切线与直线 2x＋3y＋1＝0 垂直，求 a 的值； （2）讨论 f(x)的单调性； （3）当 x∈[ 1 e ，e]时，f(x)≥(a＋2)x，求 a 的取值范围． 19．（本小题满分 17 分） 已知双曲线 C： x 2 a 2－ y 2 b 2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为 y＝ 3x，且过点(2，3)．设 A，B 分别是 C 的左、右顶点，M，N 是 C 的右支上异于点 B 的两点． （1）求 C 的方程； （2）若直线 MN 过点 P(3，0)，且 MN 的斜率为 2，求|MP－PN|的值； （3）设直线 AM，BN 的斜率分别为 k1，k2，若 3k1＋k2＝0，求证：直线 MN 恒过定点． 南京一中2024-2025学年第一学期期末考试 高二数学 2025.1 命题人：雷蕾 校对人：蒋文化 审核人：蒋文化 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分， 3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1.抛物线y=x2的焦点坐标是 A.京0 B.(1,0) c.@ D.(0,1) 【答案】C 【解析】=之，即2=y,焦点在y轴正半轴上，由2p=1,得号寻所以焦点为0，寻，故选C. 2.已知直线l1:3x十y+1=0,2:(a+2)x+y+a=0.当/2时，实数a的值为 A.1 B. C.-3或1 D.-3 【答案】D 【解折】若a0则与6不平行，故a0由化，得时-号解得。=-3.放选D. 3.已知x)是定义在R上的可导函数，若im 2+A②- 2△r ,则f2)= △+0 A.-1 B.1 1 C.-4 D.4 【答案】B 【解析】f2)=1im 2+A巴-2im2+2_=2Xl,故选B. Ar 2Ar 4.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三 百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层 灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A,3盏 B.5盏 C.7盏 D.9盏 【答案】A 【解析】设塔顶共有灯a1盏，根据题意，各层灯数构成以，为首项，2为公比的等比数列， 高二数学答案第1页（共11页） 所以S=0二2=1270，=381，解得a=3,故选A 1-2 5.已知两个等差数列2,6,10，…及2,8,14，…，100，将这两个等差数列的公共项按从小到 大的顺序组成一个新数列{an},则数列{an}的各项之和为 A.438 B.450 C.254 D.278 【答案】B 【解析】由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列： 2,14,26,…,98,是公差为12，项数为9的等差数列， 2+98 故新数列{a}的各项之和为2×9=450.故选B. 6.椭圆+号1上任意一点P到点Q0,1)的距离的最小值为 A.5 B.5 C.2 D.I 【答案】A 【解析】设Pm,小，则学+号-1，可得m=41-分、其中ne[-3.引 所以=Vm+u-可=V4-号+a-=V得2-2n+5, 当n=时，PO取得最小值，POm9,故选A 7,若曲线y=x3与直线y=3ax+2有3个不同的交点，则实数a的取值范围是 A.(-∞，1) B.(-1,I) C.(1,+∞) D.(2,+∞) 【答案】C 【解析】令x)=x-3ar-2,则x)有3个零点. 令fx)=3x2-3a=0,得x2=a,显然a>0,则x=±Va, 当x∈(-∞，-Va)UNa,+o∞)时，fx)>0,当x∈(-Va,Va,fx)<0, 所以x)在（一∞，一√a)上递增，在（一√a,Va上递减，在Wa,十∞）上递增. 要使x)有3个零点，则x)极大值大于0，极小值小于0， 即回=06-2之0解得u>1.故选C. Rva)=-20Va-2<0, 8.在平面直角坐标系xOy中，己知圆C的圆心在直线x一y十2V2=0上，半径为1，点A(3,0).若 圆C上存在点M,满足MA=2MO,则点C的横坐标的取值范围是 A.(-∞，0] B.[-1-22,0] C.[0,1+2V2 D.[1+2V2,+∞) 高二数学答案第2页（共11页） 【答案】B 【解析】设M,吵，则MA=V-3)+,MO=√R+ 由MA=2M0,可得(x-3)子+y2=42+y),整理得(x+1)2+y2=4, 即点M在以N(一1，O)为圆心，2为半径的圆N上。 又M在圆C上，所以圆C与圆N有公共点，则1≤CW≤3， 设Ca,a+2V2),则1≤Va+1+(a+2VW2≤3，解得-1-2V2≤a≤0.故选B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.如图是函数y=x)的导函数y=∫x)的图象，则 A.函数y=x)的图象在x=0处切线的斜率小于零 B.函数y=x)在区间（一2,2）上单调递增 C.在x=一2时，函数y=x)取得极值 D.在x=1时，函数y=x)取得极值 【答案】BC 【解析】对于A,y=x)的图象在x=0处的切线斜率为f《O)>0,故A错误： 对于B,当x∈（一2,2）时，∫x)≥0，且只有f《(1)=0,此时x)单调递增，故B正确： 对于C,x=一2是导函数f()的一个变号零点，故当x=一2时，x)取得极值，故C正确： 对于D,x=1不是导函数f(x)的一个变号零点，故当x=1时，x)不能取得极值，故D错误. 故选BC 10.已知实数x,y满足y=V一x一4r-3,则 A.2x+1的最小值为-5 B.x2+y的最大值为9 c.的最大值为得 D.的最小值为-退 3 【答案】ABD 高二数学答案第3页（共11页） 【解析】设P,y,由y=V-x2-4x-3得，点P在半圆C:+2)2+y2=10y≥0)上. 对于A,因为x∈[一3，一1]，所以当x=一3时，2x+1的最小值为-5，故A正确： 对于B,设x2+y2=0P2,因为0Pm=0C+r=3,所以x2+y2的最大值为9，故B正确： 对于C,D,设=kop,当OP过圆心C-2,0)时，(oPx=0, 当OP与半圆相切时，(o=- 3, 故C错误，D正确. 故选ABD. 11.已知数列{an}满足an+1=a元-an十2，a1=1,则 A.a+<3an B.{an}是递增数列 C.a1+a2+…+am≥2"-1 D.2 an 【答案】BCD 【解析】对于A,由已知，得a2=2,a3=4,a4=14>3a3,故A错误： 对于B,因为an+1一an=d后-2an十2=(an-1)2十1>0，所以an+1>an,即{an}是递增数列，故B 正确： 对于C,由B知an≥1，因为an1-2an=a后-3an十2=(a。-1(aw-2)≥0，所以an+1≥2a,所 以a十十+a,≥0十2a+2a十…+2a1X二9-2-1，故C正确 1-2 对于D.(方法-）由C知a≥2所以长动 a'az =2-2六<2 (方法二)由C知an≥l,因为ant1-l=ai-an十1>ai-an=a(an-1), 所以当n≥2时， 1<=所以< an+1-1 an(an-1)an-1 an dn dn-1 an+1-1' 当n≥2时，4十a2 11 =L+1-1 a1Ta2-1a+1-1-1十1a+1-73 又对1<2，所以+女+2，故D正确 an 故选BCD. 高二数学答案第4页（共11页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.设数列{an}的前n项和为Sn,且n∈N",an>an+H,Sn≤S6.请写出一个满足条件的数列{an} 的通项公式an=▲一 【答案】6-n(答案不唯一) 【解析】由Vn∈N”,an>an+1知，数列{an}递减，又Sn≤S6,即S6最大，所以an=6一n符合 13.若双曲线蛤-云=1>0，b>0的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则其离心*为▲一 【答案】9 【解析】设双曲线的焦距为2c,由题意得2a2c=(2h)2,即b2=ac,所以c2-a2=ac, 两边同除以山得心。一1=0，解得e1生5又e>1,所以e=士5 2 2 14.已知直线y=k十bk,b∈R)与曲线)=e红一x相切，则k十b的最大值为▲ 【答案】e2-1 【解析】设切点为（化，e24-),因为fx)=2e2-1, 所解特62水 fk=2e2-1, 所以k+b=(3-2)e-1. 令g0=(3-20e-1,则g《0=-2e2+(3-21)2e2=4e(1-0, 令g《0=0,得1=1. 当1∈（一∞，1）时，g'(0>0,g)单调递增：当1∈(1，十∞)时，g0<0,g0单调递减， 所以g)mx=g(1)=e2-1,即k+b的最大值为e2-1. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知等比数列{am}的前n项和为Sn,且S3=14,S。=126. (1)求{am}的通项公式： (2)若a元+Sm>958,求n的最小值， 解：(1)设等比数列{an}的公比为g, 若g=1,则S3=3a1,S6=6a1,即S6=2S3,与已知矛盾，故q≠1.…1分 a-9d=14. 1-g 由S3=14,S6=126,得 a0一92=126 1-9 高二数学答案第5页（共11页） 两式相除，得1+g3=9,解得q=2, …3分 代入-14新得a2. …5分 所以an=ag-l=2.… …6分 （2)(方法-）由（1知，S2二29-=21-2.…8分 1-2 由a+Sn>958得22+2+1-2>958，即(22+2×2"-960>0， 即(2-30)(2”+32)>0，因为2”>0，所以2>30.…11分 又n∈N”,所以n≥5，即n的最小值为5.…13分 （方法二）由0①)知，S21二2=21-2.…8分 1-2 由a+Sm>958,得22+2+1-2>958，即(2"2+2×2"-960>0， 令bm=(2"2+2×2”-960, 因为2}是递增数列，且2”>0，所以数列}是递增数列， 又b4=162+2×16-960=-672<0,b5=322+2×32-960=128>0,…11分 所以n的最小值为5.…们3分 16.(本小题满分15分) 己知圆C过点A(1,一1)，且与圆O:x2+y2=100相切于点B(8,6). (1)求圆C的方程： (2)设直线I过点PG,0,且与圆C交于M.N两点，若∠MCN=至，求I的方程. 解：(1)（方法一）因为圆C与圆O相切于点B,所以C,O,B三点共线， 因为ka子所以OB的方程为y=子， 3 6+1 因为ka一8-1，所以AB的中垂线斜奉为一1， 又AB的中点为号， 所以4B的中垂线方程为y一多一《-号.即y=一X十7.3分 9 3 由 y=, 解得4， y=3 即圆心C(4,3), …5分 y=-x+7, 所以半径r=CA=V(4-1)+(3+1厅=5， 所以圆C的方程为一4)2+0y-3)2=25.… …7分 (方法二)设圆心Ca,b,由题意得CA=CB,kac=k。子 所以a-+6+1=u-8+6-6,略是 …3分 高二数学答案第6页（共11页） 解得a=4,b=3,即圆心C(4,3), …5分 所以半径=CA=V(4-1+(3+1=5, 所以圆C的方程为(x一4)十0y一3)}=25.…7分 (2)过圆心C作直线1的垂线，垂足为H, 因为∠MCN=经所以∠MCH-号 又半径为5，所以圆心C4,3)到直线1的距离d=CH …9分 ①当1的斜率不存在时，1的方程为-多此时d=4一多多符合题意.。………1分 35 ②当1的斜率存在时，设1的方程为y=一》，即2一2y一3认=0， 所以品-多相得-品 所以1的方程为y= 60-》，即22-120y-33=0.-14 综上，1的方程为x=亏或22x一120y-33=0.…15分 17.(本小题满分15分) 已知数列{aa+1一an}是首项为4，公差为2的等差数列，且a1=2. (1)求数列{an}的通项公式： (2)设b,=20,1-1 n十λ ，∈R,若b是等差数列，求2的值. 解：(1)因为{an+1一am}是首项为4，公差为2的等差数列， 所以an+1-an=4十2(n-1)=2n十2. …2分 由a2-a1=4,a3-a=6,…,an-am-1=2n(n≥2) 相加，得an一a1=4十6十…十21， …4分 又a1=2,所以当n≥2时，4，=2+4+6+…+2n=2,20-=+: 2 又a1=2符合上式， 所以an=十n.…7分 (（2)(方法一由(1)知，6，-20二”-1_2m+n-」 n+i 因为{bn}是等差数列，所以可设bn=m十b,… …9分 则2T+n=知十b.即2n十n-1=+k+加十沾对任意n∈N恒成立， n十入 高二数学答案第7页（共11页） k=2, 所以k+b=1, …12分 b=一1， k=2, k=2, 解得 2=1, 即2的值为1或一2 …15分 b=-1 b=2, (方法=)由(1)知，b,=20二m=1_22+m-1 n十入 n+i 因为{bn}是等差数列，所以b1十b3=2b2,… …9分 即+0-2异化简得22-1=0，解得=1该号 9 …2分 当=1时，b,=a+2-2n-,此时b1-b,=2,符合题意： n+1 当=时，6，-a+20-少-=20n+1.此时61一b=2,符合圈意. n-2 所以2的值为1或一》 …15分 18.(本小题满分17分) 已知函数fx)=x2+alnx,a∈R, (1)若曲线x)在x=1处的切线与直线2x十3y+1=0垂直，求a的值： (2)讨论fx)的单调性： (3)当x∈6c时，)≥(a+2x,求a的取值范围. 解：(1)因为)=2+an,所以f)=2x+号 所以f(1)=2+a, 又)在x=1处的切线与直线2x+3+1=0垂直，所以f)(一子=-1， 即2+a=多所以a=一2 …4分 (2)ft)=2x+g2+ ,x>0. ①当a≥0时，∫(x)>0,所以x)在(0，十o)上单调递增.…6分 ②当a<0时，令f)=0,得=号又>0，所以x=√厂是 当x∈0，√一》时，)<0，)单调递减：当x∈一号+)时，)>0，单调递增 综上，当a≥0时，x)在(0，+∞)上单调递增： 高二数学答案第8页（共11页） 当a<0时在0，V厂号上单调递减，在√号 十∞)上单调递增.…9分 (3)由x)≥(a+2x, 得ax-lnx)≤x2-2x在上恒成立. 令s树=-a,>0,则g国=1-号，令g树=0，得x=1, 当x∈(0,1)时，gx)<0,gx)单调递减：当x∈(1，十∞)时，g《x)>0,gx)单调递增， 所以g(x)≥g(I)=1>0,即x-lnx>0,…11分 则 e上恒成立 令hx) x2-2x x-Inr xel e. 2x-20c-1n）-2-2x0-3 则h'(x) 2x-1-nr）-x-2c-D_c-1x+2-2nd (x-Inx) (x-Inx) (x-Inx) 因为x∈尽c小，所以nx≤1，则x+2-2hx>0, 令h(x)=0,得x=1,… …14分 当x∈日1)时，h)<0,M)单调递减：当x∈(1，©]时，h)>0,h)单调递增， 所以h(x)min=h(I)=一1， 所以a≤一1，即a的取值范围是（一o∞，一1】…17分 19.(本小题满分17分) x22 已知双曲线C:荨一方=1a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=VBx,且过点2,3引.设4，B 分别是C的左、右顶点，M,N是C的右支上异于点B的两点 (1)求C的方程： (2)若直线MN过点P3,O),且MN的斜率为2，求MP-PW的值： (3)设直线AM,BN的斜率分别为k1,k2,若3k十3=O,求证：直线MN恒过定点. b=3 解：(1)由题意得， a=1, 49 a26=1, 解得b=5, 所以C的方程为2-青=1.…4分 (2)由题意得，MN的方程为y=2x一3)，设Mx,y),Nx2,, 由'32》3得7-24x+39=0,所以+=24.…6分 因为M,N在P点的两侧，所以x1一3与x一3异号， 高二数学答案第9页（共11页） 所以MP-PW=V1+2x-3-V1+2x-3|=V51-3)十(2-3) =V51+2-6=18V5.… …8分 (3)(方法一)由题意得，MN的斜率不为0， 设MN的方程为x=my十1，Mm1,Nx2,. [x=my十1， r-号-1得6m-W2+6m+3r-3=0, 由 一6mt 32-3 所以3m2-1≠0，且n+h=3m5=3m- …10分 因为手1.4-10，，0所以kwkw中户 足=3 又3站十k=0,即k4w=—gv所以aM*kav=-一9，…12分 则。产-9，即w=-9nt一X+一， 整理得(9m2+1y02十9m(t-10十2)十91-1)=0， 所以o+盖号+a-3曾+9-=0， 化简得子-31十2=0，解得1=1或2.… …15分 当t=1时，MN的方程为x=my十L,此时MN过点B(1,O),不合题意， 当1=2时，MN的方程为x=my十2，此时MN过点(2,0)，符合题意， 所以MN恒过定点(2,0).…17分 (方法二)①若MN的斜率不存在，设MN的方程为x=(>I),M(,y,NL,). 因为=-3,4(-1,0B1,0.所以，片=-3 由对称性可知，=一y,则t十1=3t一1)，解得=2， 所以MN的方程为=2，此时MN过点(2,0).…9分 ②若MN的斜率存在，设MN的方程为y=:+m,M(r,y),Nx2,). y=k女十m, 得(3-x2-2km-m2-3=0, 所以3-0，且+0瓷=会 -m2-3 …10分 图为手-h,,0所以wa中点卉 2 3 高二数学答案第10页（共11页） 南京一中2024-2025学年第一学期期末考试 高二数学 2025．1 命题人：雷蕾 校对人：蒋文化 审核人：蒋文化 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．抛物线y＝x2的焦点坐标是 A．(，0) B．(1，0) C．(0，) D．(0，1) 【答案】C 【解析】y＝x2，即x2＝y，焦点在y轴正半轴上，由2p＝1，得＝，所以焦点为(0，)，故选C． 2．已知直线l1：3x＋ay＋1＝0，l2：(a＋2)x＋y＋a＝0．当l1//l2时，实数a的值为 A．1 B．－ C．－3或1 D．－3 【答案】D 【解析】若a＝0，则l1与l2不平行，故a≠0，由l1//l2，得＝≠，解得a＝－3．故选D． 3．已知f(x)是定义在R上的可导函数，若＝，则f '(2)＝ A．－1 B．1 C．－ D． 【答案】B 【解析】f '(2)＝＝2＝2×＝1，故选B． 4．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三 百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层 灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A．3盏 B．5盏 C．7盏 D．9盏 【答案】A 【解析】设塔顶共有灯a1盏，根据题意，各层灯数构成以a1为首项，2为公比的等比数列， 所以S7＝＝127a1＝381，解得a1＝3，故选A． 5．已知两个等差数列2，6，10，…及2，8，14，…，100，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列{an}，则数列{an}的各项之和为 A．438 B．450 C．254 D．278 【答案】B 【解析】由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列： 2，14，26，…，98，是公差为12，项数为9的等差数列， 故新数列{an}的各项之和为×9＝450．故选B． 6．椭圆＋＝1上任意一点P到点Q(0，1)的距离的最小值为 A． B． C．2 D．1 【答案】A 【解析】设P(m，n)，则＋＝1，可得m2＝4(1－)，其中n∈[－3，3]， 所以|PQ|＝＝＝， 当n＝时，|PQ|取得最小值，|PQ|min＝，故选A． 7．若曲线y＝x3与直线y＝3ax＋2有3个不同的交点，则实数a的取值范围是 A．(－∞，1) B．(－1，1) C．(1，＋∞) D．(2，＋∞) 【答案】C 【解析】令f(x)＝x3－3ax－2，则f(x)有3个零点． 令f '(x)＝3x2－3a＝0，得x2＝a，显然a＞0，则x＝±， 当x∈(－∞，－)∪(，＋∞)时，f '(x)＞0，当x∈(－，)，f '(x)＜0， 所以f(x)在(－∞，－)上递增，在(－，)上递减，在(，＋∞)上递增． 要使f(x)有3个零点，则f(x)极大值大于0，极小值小于0， 即解得a＞1．故选C． 8．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在直线x－y＋2＝0上，半径为1，点A(3，0)．若圆C上存在点M，满足|MA|＝2|MO|，则点C的横坐标的取值范围是 A．(－∞，0] B．[－1－2，0] C．[0，1＋2] D．[1＋2，＋∞) 【答案】B 【解析】设M(x，y)，则|MA|＝，|MO|＝， 由|MA|＝2|MO|，可得(x－3)2＋y2＝4(x2＋y2)，整理得(x＋1)2＋y2＝4， 即点M在以N(－1，0)为圆心，2为半径的圆N上． 又M在圆C上，所以圆C与圆N有公共点，则1≤|CN|≤3， 设C(a，a＋2)，则1≤≤3，解得－1－2≤a≤0．故选B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f '(x)的图象，则 A．函数y＝f(x)的图象在x＝0处切线的斜率小于零 B．函数y＝f(x)在区间(－2，2)上单调递增 C．在x＝－2时，函数y＝f(x)取得极值 D．在x＝1时，函数y＝f(x)取得极值 【答案】BC 【解析】对于A，y＝f(x)的图象在x＝0处的切线斜率为f '(0)＞0，故A错误； 对于B，当x∈(－2，2)时，f '(x)≥0，且只有f '(1)＝0，此时f(x)单调递增，故B正确； 对于C，x＝－2是导函数f '(x)的一个变号零点，故当x＝－2时，f(x)取得极值，故C正确； 对于D，x＝1不是导函数f '(x)的一个变号零点，故当x＝1时，f(x)不能取得极值，故D错误． 故选BC． 10．已知实数x，y满足y＝，则 A．2x＋1的最小值为－5 B．x2＋y2的最大值为9 C．的最大值为 D．的最小值为－ 【答案】ABD 【解析】设P(x，y)，由y＝得，点P在半圆C：(x＋2)2＋y2＝1(y≥0)上． 对于A，因为x∈[－3，－1]，所以当x＝－3时，2x＋1的最小值为－5，故A正确； 对于B，设x2＋y2＝OP2，因为OPmax＝OC＋r＝3，所以x2＋y2的最大值为9，故B正确； 对于C，D，设＝kOP，当OP过圆心C(－2，0)时，(kOP)max＝0， 当OP与半圆相切时，(kOP)min＝－，故C错误，D正确． 故选ABD． 11．已知数列{an}满足an＋1＝a－an＋2，a1＝1，则 A．an＋1＜3an B．{an}是递增数列 C．a1＋a2＋…＋an≥2n－1 D．＋＋…＋＜2 【答案】BCD 【解析】对于A，由已知，得a2＝2，a3＝4，a4＝14＞3a3，故A错误； 对于B，因为an＋1－an＝a－2an＋2＝(an－1)2＋1＞0，所以an＋1＞an，即{an}是递增数列，故B正确； 对于C，由B知an≥1，因为an＋1－2an＝a－3an＋2＝(an－1)(an－2)≥0，所以an＋1≥2an，所以a1＋a2＋…＋an≥a1＋2a1＋22a1＋…＋2n－1a1＝＝2n－1，故C正确； 对于D，（方法一）由C知an≥2n－1，所以≤， 所以＋＋…＋≤1＋＋＋…＋＝＝2－＜2． （方法二）由C知an≥1，因为an＋1－1＝a－an＋1＞a－an＝an(an－1)， 所以当n≥2时，＜＝－，所以＜－． 当n≥2时，＋＋…＋＜＋(－)＋(－)＋…＋(－) ＝＋－＝1＋1－＜2， 又＝1＜2，所以＋＋…＋＜2，故D正确． 故选BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设数列{an}的前n项和为Sn，且n∈N*，an＞an＋1，Sn≤S6．请写出一个满足条件的数列{an} 的通项公式an＝． 【答案】6－n（答案不唯一） 【解析】由n∈N*，an＞an＋1知，数列{an}递减，又Sn≤S6，即S6最大，所以an＝6－n符合． 13．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则其离心率为． 【答案】 【解析】设双曲线的焦距为2c，由题意得2a·2c＝(2b)2，即b2＝ac，所以c2－a2＝ac， 两边同除以a2，得e2－e－1＝0，解得e＝，又e＞1，所以e＝． 14．已知直线y＝kx＋b(k，b∈R)与曲线f(x)＝e2x－x相切，则k＋b的最大值为． 【答案】e2－1 【解析】设切点为(t，e2t－t)，因为f '(x)＝2e2x－1， 所以解得 所以k＋b＝(3－2t)e2t－1． 令g(t)＝(3－2t)e2t－1，则g'(t)＝－2e2t＋(3－2t)·2e2t＝4e2t(1－t)， 令g'(t)＝0，得t＝1． 当t∈(－∞，1)时，g'(t)＞0，g(t)单调递增；当t∈(1，＋∞)时，g'(t)＜0，g(t)单调递减， 所以g(t)max＝g(1)＝e2－1，即k＋b的最大值为e2－1． 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝14，S6＝126． （1）求{an}的通项公式； （2）若a＋Sn＞958，求n的最小值． 解：（1）设等比数列{an}的公比为q， 若q＝1，则S3＝3a1，S6＝6a1，即S6＝2S3，与已知矛盾，故q≠1．………………………1分 由S3＝14，S6＝126，得 两式相除，得1＋q3＝9，解得q＝2， …………………………………………………………3分 代入得＝14，解得a1＝2，……………………………………………………………5分 所以an＝a1qn－1＝2n． ……………………………………………………………………………6分 （2）（方法一）由（1）知，Sn＝＝2n＋1－2．………………………………………8分 由a＋Sn＞958，得22n＋2n＋1－2＞958，即(2n)2＋2×2n－960＞0， 即(2n－30)(2n＋32)＞0，因为2n＞0，所以2n＞30．…………………………………………11分 又n∈N*，所以n≥5，即n的最小值为5． …………………………………………………13分 （方法二）由（1）知，Sn＝＝2n＋1－2．………………………………………………8分 由a＋Sn＞958，得22n＋2n＋1－2＞958，即(2n)2＋2×2n－960＞0， 令bn＝(2n)2＋2×2n－960， 因为{2n}是递增数列，且2n＞0，所以数列{bn}是递增数列， 又b4＝162＋2×16－960＝－672＜0，b5＝322＋2×32－960＝128＞0， …………………11分 所以n的最小值为5． …………………………………………………………………………13分 16．（本小题满分15分） 已知圆C过点A(1，－1)，且与圆O：x2＋y2＝100相切于点B(8，6)． （1）求圆C的方程； （2）设直线l过点P(，0)，且与圆C交于M，N两点，若∠MCN＝，求l的方程． 解：（1）（方法一）因为圆C与圆O相切于点B，所以C，O，B三点共线， 因为kOB＝，所以OB的方程为y＝x． 因为kAB＝＝1，所以AB的中垂线斜率为－1， 又AB的中点为(，)，所以AB的中垂线方程为y－＝－(x－)，即y＝－x＋7．………3分 由解得即圆心C(4，3)，…………………………………………………5分 所以半径r＝CA＝＝5， 所以圆C的方程为(x－4)2＋(y－3)2＝25．………………………………………………………7分 （方法二）设圆心C(a，b)，由题意得CA＝CB，kOC＝kOB＝， 所以(a－1)2＋(b＋1)2＝(a－8)2＋(b－6)2，且＝，……………………………………………3分 解得a＝4，b＝3，即圆心C(4，3)，……………………………………………………………5分 所以半径r＝CA＝＝5， 所以圆C的方程为(x－4)2＋(y－3)2＝25．………………………………………………………7分 （2）过圆心C作直线l的垂线，垂足为H， 因为∠MCN＝，所以∠MCH＝， 又半径为5，所以圆心C(4，3)到直线l的距离d＝CH＝．…………………………………9分 ①当l的斜率不存在时，l的方程为x＝，此时d＝4－＝，符合题意．…………………11分 ②当l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x－)，即2kx－2y－3k＝0， 所以d＝＝，解得k＝， 所以l的方程为y＝(x－)，即22x－120y－33＝0．………………………………………14分 综上，l的方程为x＝或22x－120y－33＝0． ………………………………………………15分 17．（本小题满分15分） 已知数列{an＋1－an}是首项为4，公差为2的等差数列，且a1＝2． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn＝，λ∈R，若{bn}是等差数列，求λ的值． 解：（1）因为{an＋1－an}是首项为4，公差为2的等差数列， 所以an＋1－an＝4＋2(n－1)＝2n＋2．……………………………………………………………2分 由a2－a1＝4，a3－a2＝6，…，an－an－1＝2n(n≥2)， 相加，得an－a1＝4＋6＋…＋2n，………………………………………………………………4分 又a1＝2，所以当n≥2时，an＝2＋4＋6＋…＋2n＝＝n2＋n， 又a1＝2符合上式， 所以an＝n2＋n． …………………………………………………………………………………7分 （2）（方法一）由（1）知，bn＝＝． 因为{bn}是等差数列，所以可设bn＝kn＋b，…………………………………………………9分 则＝kn＋b，即2n2＋n－1＝kn2＋(λk＋b)n＋λb对任意n∈N*恒成立， 所以 ………………………………………………………………………………12分 解得或即λ的值为1或－．……………………………………………15分 （方法二）由（1）知，bn＝＝． 因为{bn}是等差数列，所以b1＋b3＝2b2，………………………………………………………9分 即＋＝2·，化简得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或－．…………………………12分 当λ＝1时，bn＝＝2n－1，此时bn＋1－bn＝2，符合题意； 当λ＝－时，bn＝＝2(n＋1)，此时bn＋1－bn＝2，符合题意． 所以λ的值为1或－．…………………………………………………………………………15分 18．（本小题满分17分） 已知函数f(x)＝x2＋aln x，a∈R． （1）若曲线f(x)在x＝1处的切线与直线2x＋3y＋1＝0垂直，求a的值； （2）讨论f(x)的单调性； （3）当x∈[，e]时，f(x)≥(a＋2)x，求a的取值范围． 解：（1）因为f(x)＝x2＋aln x，所以f '(x)＝2x＋， ………………………………………………1分 所以f '(1)＝2＋a， 又f(x)在x＝1处的切线与直线2x＋3y＋1＝0垂直，所以f '(1)·(－)＝－1， 即2＋a＝，所以a＝－．………………………………………………………………………4分 （2）f '(x)＝2x＋＝，x＞0． ①当a≥0时，f '(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．…………………………………6分 ②当a＜0时，令f '(x)＝0，得x2＝－，又x＞0，所以x＝． 当x∈(0，)时，f'(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(，＋∞)时，f'(x)＞0，f(x)单调递增． 综上，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a＜0时，f(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增．………………9分 （3）由f(x)≥(a＋2)x，得a(x－ln x)≤x2－2x在[，e]上恒成立． 令g(x)＝x－ln x，x＞0，则g'(x)＝1－＝，令g'(x)＝0，得x＝1， 当x∈(0，1)时，g'(x)＜0，g(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g'(x)＞0，g(x)单调递增， 所以g(x)≥g(1)＝1＞0，即x－ln x＞0，………………………………………………………11分 则a≤在[，e]上恒成立． 令h(x)＝，x∈[，e]， 则h′(x)＝＝＝． 因为x∈[，e]，所以ln x≤1，则x＋2－2ln x＞0， 令h′(x)＝0，得x＝1，……………………………………………………………………………14分 当x∈[，1)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减；当x∈(1，e]时，h′(x)＞0，h(x)单调递增， 所以h(x)min＝h(1)＝－1， 所以a≤－1，即a的取值范围是(－∞，－1]．………………………………………………17分 19．（本小题满分17分） 已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，且过点(2，3)．设A，B 分别是C的左、右顶点，M，N是C的右支上异于点B的两点． （1）求C的方程； （2）若直线MN过点P(3，0)，且MN的斜率为2，求|MP－PN|的值； （3）设直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，若3k1＋k2＝0，求证：直线MN恒过定点． 解：（1）由题意得，解得 所以C的方程为x2－＝1．……………………………………………………………………4分 （2）由题意得，MN的方程为y＝2(x－3)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由得x2－24x＋39＝0，所以x1＋x2＝24．………………………………………6分 因为M，N在P点的两侧，所以x1－3与x2－3异号， 所以|MP－PN|＝||x1－3|－|x2－3||＝|(x1－3)＋(x2－3)| ＝|x1＋x2－6|＝18．………………………………………………………8分 （3）（方法一）由题意得，MN的斜率不为0， 设MN的方程为x＝my＋t，M(x1，y1)，N(x2，y2)． 由得(3m2－1)y2＋6mty＋3t2－3＝0， 所以3m2－1≠0，且y1＋y2＝，y1y2＝．………………………………………10分 因为x－＝1，A(－1，0)，B(1，0)，所以kAM·kBM＝·＝＝＝3． 又3k1＋k2＝0，即kAM＝－kBN，所以kBM·kBN＝－9，………………………………………12分 则·＝－9，即y1y2＝－9(my1＋t－1)(my2＋t－1)， 整理得(9m2＋1)y1y2＋9m(t－1)(y1＋y2)＋9(t－1)2＝0， 所以(9m2＋1)·＋9m(t－1)·＋9(t－1)2＝0， 化简得t2－3t＋2＝0，解得t＝1或2．…………………………………………………………15分 当t＝1时，MN的方程为x＝my＋1，此时MN过点B(1，0)，不合题意， 当t＝2时，MN的方程为x＝my＋2，此时MN过点(2，0)，符合题意， 所以MN恒过定点(2，0)．………………………………………………………………………17分 （方法二）①若MN的斜率不存在，设MN的方程为x＝t(t＞1)，M(t，y1)，N(t，y2)． 因为k2＝－3k1，A(－1，0)，B(1，0)，所以＝－3·， 由对称性可知，y2＝－y1，则t＋1＝3(t－1)，解得t＝2， 所以MN的方程为x＝2，此时MN过点(2，0)．……………………………………………9分 ②若MN的斜率存在，设MN的方程为y＝kx＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2)． 由得(3－k2)x2－2kmx－m2－3＝0， 所以3－k2≠0，且x1＋x2＝，x1x2＝．…………………………………………10分 因为x－＝1，A(－1，0)，B(1，0)，所以kAM·kBM＝·＝＝＝3． 又3k1＋k2＝0，即kAM＝－kBN，所以kBM·kBN＝－9，………………………………………12分 则·＝－9，即(kx1＋m)(kx2＋m)＝－9(x1－1)(x2－1)， 整理得(k2＋9)x1x2＋(km－9)(x1＋x2)＋m2＋9＝0， 所以(k2＋9)·＋(km－9)·＋m2＋9＝0， 化简得m2＋3km＋2k2＝0，解得m＝－k或m＝－2k．………………………………………15分 当m＝－k时，MN的方程为y＝k(x－1)，此时MN过点B(1，0)，不合题意， 当m＝－2k时，MN的方程为y＝k(x－2)，此时MN过点(2，0)，符合题意． 综上，MN恒过定点(2，0)．……………………………………………………………………17分 （方法三）因为A(－1，0)，B(1，0)，AM，BN的斜率分别为k1，k2， 所以AM，BN的方程分别为y＝k1(x＋1)，y＝k2(x－1)． 由得(3－k)x2－2kx－k－3＝0， 所以xAxM＝，又xA＝－1，所以xM＝， 所以yM＝k1(＋1)＝，即M(，)． ………………………………………10分 由得(3－k)x2＋2kx－k－3＝0， 所以xBxM＝，又xB＝1，所以xN＝， 又3k1＋k2＝0，即k2＝－3k1，所以xN＝， 所以yN＝－3k1(－1)＝，即N(，)． ………………………………12分 ①若MN的斜率不存在，则xM＝xN，即＝，解得k＝1， 则xM＝xN＝2，所以MN的方程为x＝2，此时MN过点(2，0)．……………………………13分 ②若MN的斜率存在，则kMN＝＝＝，……………………14分 所以MN的方程为y－＝(x－)，即y＝x－·＋， 化简得y＝x－，即y＝(x－2)， 此时MN过点(2，0)． 综上，MN恒过定点(2，0)．……………………………………………………………………17分 高二数学答案 第10页（共11页） 学科网（北京）股份有限公司 $$