广东省阳江市高新区2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题

机密★启用前 2024-2025学年度第一学期高二期末测试 数学试题 本试卷共4页，19小题，满分150分. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．在复平面内，复数对应的点位于第二象限，则实数a的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 3．在梯形 中，满足 ，则 （    ） A．4 B．6 C．10 D．12 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 5．圆台的高为2，体积为，两底面圆的半径比为，则母线和轴的夹角的正切值为（   ） A． B． C． D． 6．已知球的半径为，是球表面上的定点，是球表面上的动点，且满足，则线段轨迹的面积为（   ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，，点在直线上，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 8．已知两个不同的圆，均过定点，且圆，均与轴、轴相切，则圆与圆的半径之积为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法不正确的是（    ） A．至少有一个实数x，使 B．若的定义域为，则的定义域是 C．命题p：，，则， D．“集合中只有一个元素”是“”的必要不充分条件 10．投掷一枚质地均匀的硬币三次，设随机变量．记A表示事件“”，表示事件“”，表示事件“”，则（   ） A．和互为对立事件 B．事件和不互斥 C．事件和相互独立 D．事件和相互独立 11．已知两定点，，动点M满足条件，其轨迹是曲线C，过B作直线l交曲线C于P，Q两点，则下列结论正确的是（    ） A．取值范围是 B．当点A，B，P，Q不共线时，面积的最大值为6 C．当直线l斜率时，AB平分 D．最大值为 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．设，若，则的值为 ． 13．已知三棱台的上、下底面均为正三角形，且平面平面，，为的中点，则直线与夹角的余弦值为 ． 14．点为圆上一点，过作圆的切线，且直线与直线平行，则与之间的距离是 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．在中，内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，求. 16．已知圆过，两点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若直线过点且被圆截得的线段长为，求的方程． 17．课外阅读对于培养学生的阅读兴趣、拓宽知识视野、提高阅读能力具有重要作用．某市为了解中学生的课外阅读情况，从该市全体中学生中随机抽取了500名学生，调查他们在寒假期间每天课外阅读平均时长（单位：分钟），得到如下所示的频数分布表，已知所调查的学生中寒假期间每天课外阅读平均时长均不超过100分钟． 时长 学生人数 50 100 200 125 25 (1)估计这500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)若按照分层抽样的方法从本次调查中寒假期间每天课外阅读平均时长在和的两组中共抽取6人进行问卷调查，并从6人中随机选取2人进行座谈，求这2人中至少有一人寒假期间每天课外阅读平均时长在的概率． 18．如图，三棱锥中，平面，，为中点，为中点，为中点.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 19．已知为圆上任意一点，点，线段的垂直平分线与交于点，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点作直线（与轴不重合）与相交于点，，直线与轴交于点，，求的方程. 试卷第1页，共3页 【数学试题】第 1 页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025学年度第一学期高二期末测试 数学试题参考答案及评分标准： 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A C C B C C C 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 ABC BC ACD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12． 13． 14．/ 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．【解析】（1）因为，所以由正弦定理得，................（1分） 因为，所以，................................................................（2分） 所以，则，.................................（3分） 因为，所以，.................................（5分） 又因为，所以；.................................（6分） （2），由余弦定理可得，，.................（2分） 又，，，.................................（4分） ，即，.................................（6分） ..................................（8分） 16．【解析】（1）设圆的一般方程为，圆心，......................（2分） 根据题意有，解得，.................................（4分） 故所求圆的一般方程为，.................................（6分） （2）如图所示，，设是线段的中点，则，，..............（2分） 又，∴在中，得，.................................（4分） 当直线的斜率不存在时，满足题意，此时方程为．.................................（6分） 当直线的斜率存在时，设所求直线的斜率为，则直线的方程为，即， 由点到直线的距离公式，得，此时直线的方程为． 综上，所求直线的方程为或．.................................（8分） 17．【解析】（1）依题意，样本中500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数 ，.................................（4分） 所以估计这500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数为49．.................................（6分） （2）抽取的6人中寒假期间每天课外阅读平均时长在内有：人，在内有4人，.................................（2分） 记内的2人为A，B，记内的4人为，.................................（4分） 从这6人中随机选2人的基本事件有：................（6分） ，共15种，.................................（8分） 其中至少有一人每天课外阅读平均时长在的基本事件有，共9种，.................................（10分） 设“选取的2人中至少有一人每天课外阅读平均时长在”，则．......（12分） 18．【解析】（1）连，由为中点，为中点，得，................（2分） 又平面，平面，.................................（4分） 所以平面..................................（6分） （2）设，由平面，平面，............（2分） 得，则，取中点，则，........................（4分） 又平面，则平面，.................................（6分） 又平面，于是平面平面，又平面面， 过点在平面内作于，于是平面，连，.................................（8分） 则为直线与平面所成的角， 在中，，，， 在中，，..................................................................（10分） 所以直线与平面所成角的正弦值.........................................................................（12分） 19.【解析】（1）由题意可知：的圆心为，半径为4，且， ................（2分） 则，..........................................................（3分） 可知点的轨迹是以为焦点的椭圆，则，................（4分） 所以的方程为...........................................................（5分） （2）因为点在椭圆内部，可知直线与椭圆必相交，...............................................（1分） 设直线，，则，..........................（2分） 联立方程，消去x可得，.......................................（3分） 则，..........................................................（4分） 又因为，..........................................................（5分） 若，则，即，..........................................................（6分） 可得，解得，..........................................................（7分） 所以的方程为，即...........................................................（8分） 第 2 页 共 17 页 【数学试题参考答案及评分标准】第 1 页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 $$