第04讲 点到直线的距离（6个知识点+5种必考题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（沪教版2020选择性必修第一册）

第04讲点到直线的距离 课程标准 学习目标 1. 通过点到直线的距离的学习，提升数学运算、直观想象的数学素养. 1.掌握点到直线的距离公式，了解点到直线的距离公式的两种推导方法.（平面几何法与向量法）(难点) 2.会求平面内点与直线的距离，并能解决与距离有关的平面几何问题. (重点) 知识点01．点到直线的距离 1．点到直线的距离 点到直线的距离，是指从点到直线的垂线段的长度，其中为垂足．实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外一点所连线段的长度的最小值． 2．点到直线的距离公式 平面上任意一点到直线l：Ax+By+C=0（A，B不同时为0）的距离为． 【点拨】用向量法推导点P到直线l的距离|PQ|公式的向量法推导，在直线上取任意一点M，与直线方向向量垂直的单位向量为n，则有 ，所以有. 【即学即练1】（2023下·上海静安·高二校考期中）点到直线的距离为 ． 【答案】1 【分析】直接利用点到直线的距离公式计算可得. 【详解】点到直线的距离. 故答案为： 知识点02．点到直线的距离问题 （1）求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可． （2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线x=a或y=b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成或． （3）若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可． 【即学即练2】 （2023下·上海浦东新·高二统考期中）已知动点在直线上，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】根据题意可知表示动点到坐标原点，利用点到直线的距离求最小值. 【详解】因为表示动点到坐标原点， 所以的最小值为到线的距离. 故答案为：2. 知识点03.两条平行直线间的距离 1．两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长． 2．两条平行直线间的距离公式 一般地，两条平行直线（其中A与B不同时为0，且）间的距离． 【即学即练3】（2023上·高二课时练习）求平行直线与之间的距离． 【答案】 【分析】两条平行线之间的距离就是其中一条直线上的一个点到另一条直线的距离，结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】两条平行线之间的距离就是其中一条直线上的一个点到另一条直线的距离， 为方便计算，我们在直线上取一个特殊点， 则点到直线的距离为， 所以直线与之间的距离为． 知识点04．直线关于直线对称 （1）直线与关于直线l对称，它们具有以下几种几何性质： ①若与相交，则直线l是、夹角的平分线； ②若与平行，则直线l在、之间且到、的距离相等； ③若点A在上，则点A关于直线l的对称点B一定在上，此时AB⊥l，且线段AB的中点M在l上（即l是线段AB的垂直平分线）．充分利用这些性质，可以找出多种求直线的方程的方法． （2）常见的对称结论有：设直线l为Ax+By+C=0， ①l关于x轴对称的直线是Ax+B（−y）+C=0； ②l关于y轴对称的直线是A（−x）+By+C=0； ③l关于直线y=x对称的直线是Bx+Ay+C=0； ④l关于直线y=−x对称的直线是A（−y）+B（−x）+C=0． 【即学即练4】（2025高二·全国·专题练习）一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为 ． 【答案】 【分析】先根据点关于直线对称得出，又点，应用斜率公式求出斜率，最后点斜式写出直线方程即可. 【详解】设点关于直线的对称点为，则解得 所以．又点， 所以，直线的方程为， 由图可知，直线即为入射光线，所以化简得入射光线所在直线的方程为． 故答案为：. 知识点05．两点间的距离 两点间的距离公式 平面上任意两点间的距离公式为. 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离． 【即学即练5】（2023春·上海市奉贤中学高二第二学期期中）己知直线l：，则原点到直线l的距离的最大值是______． 【答案】5 【分析】求出动直线所过定点，可知原点与定点的距离即为所求. 【详解】直线l：可化为， 当时，即时方程恒成立， 所以直线l恒过定点， 所以当直线l与垂直时，原点到直线的距离最大，最大值为. 故答案为：5 知识点06．对称问题 对称问题包括点关于点的对称、点关于直线的对称、直线关于点的对称． 1．点关于点对称 点关于点的对称是对称问题中最基本的问题，是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对称问题． 设点关于点M（a，b）的对称点为P′（x，y），则有，所以，即点．特别地，点P关于坐标原点O的对称点为． 2．点关于直线对称 对于点关于直线的对称问题，若点P关于直线l的对称点为，则直线l为线段的中垂线，于是有等量关系： ①（直线l的斜率存在且不为零）； ②线段的中点在直线l上； ③直线l上任意一点M到P，的距离相等，即． 常见的点关于直线的对称点： ①点关于x轴的对称点； ②点关于y轴的对称点； ③点关于直线y=x的对称点； ④点关于直线y=−x的对称点； ⑤点关于直线x=m（m≠0）的对称点； ⑥点关于直线y=n（n≠0）的对称点. 【即学即练6】（2020高三·全国·专题练习）已知直线，点.求: (1)点关于直线的对称点的坐标; (2)直线关于直线的对称直线的方程; (3)直线关于点对称的直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据中点和斜率列方程组来求得对称点的坐标. （2）在直线上取一点，并求其关于直线的对称点，然后结合直线与直线的交点来求得对称直线的方程. （3）利用相关点代入法来求得对称直线的方程. 【详解】（1）设，由已知条件得 所以. （2）在直线上取一点，则关于直线l的对称点必在直线上. 设对称点，则故. 设直线与直线的交点为，则由即. 又因为经过点，所以由两点式得， 整理直线的方程为. （3）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 因为在直线上，所以，即. 题型一：求点到直线的距离 1．（23-24高二下·上海金山·期末）已知直线过点，倾斜角为，则坐标原点到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】先求出直线的方程，再根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由题意知，斜率为， 则直线方程为，即， 则坐标原点到直线的距离为. 故答案为：. 2．（23-24高二下·上海·期中）点到直线的距离是 . 【答案】2 【分析】利用点到直线的距离公式可求答案. 【详解】点到直线的距离. 故答案为：2. 3．（22-23高二上·上海普陀·阶段练习）已知定点..和直线：，则点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定直线过定点，故点到直线的距离的最大值为，计算得到答案. 【详解】直线，整理得， 由，解得，故直线过定点 故点到直线的距离的最大值为. 故选：C 4．（2023·上海浦东新·模拟预测）设点满足，则“”是“为定值”的（     ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据几何意义，将所求式转化为点到直线的距离，进而研究图像求解. 【详解】若为定值， 即点到直线两条直线距离之和为定值， 显然，这两条直线平行，如图，    所以当点在与这两条直线平行的直线上时，此时直线满足且， 即，且，为定值， 所以“”是“为定值”的必要不充分条件. 故选：B 5．（23-24高二上·上海·期末）已知直线的倾斜角为，，且这条直线经过点. (1)求直线的方程； (2)直线恒过定点，求点到直线的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线斜率，由点斜式求出直线方程； （2）直线变形后求出定点坐标，进而由点到直线距离公式求出答案. 【详解】（1）由，，则，， ∴直线的斜率，且直线过点， ∴由直线的点斜式方程得， 即， ∴所求直线的方程为； （2）∵直线化简得：， ∴定点， 则点到直线的距离为： ， 故到直线的距离为. 题型二：直线围成图形的面积问题 1．（22-23高二上·上海·期中）已知点，直线将分割成面积相等的两部分，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算直线与和轴的交点，计算，考虑当在点与点之间（包括点）和当在点的左侧两种情况，根据坐标之间的关系得到不等式，解得答案. 【详解】，由已知得，由得，， ，直线与轴交于， 当在点与点之间（包括点）时， ，， 则有，所以，， ，故，所以，，又，，故； 当在点的左侧时， 解得，， 由得，此时，， 点到直线的距离， ，得， 则有，所以，， 又，，故，，即. 综上所述：实数b的取值范围. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：这道题的关键点是考虑当在点与点之间（包括点）和当在点的左侧两种情况，然后通过计算各点的坐标计算面积 2．（23-24高二上·上海静安·阶段练习）已知直线：，且与轴、轴分别交于、两点．若使的面积为的直线共有（   ）条 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用直线方程求得直线与两坐标轴的交点、，从而将的面积表示为斜率的函数，分和两种情况根据的面积为的条件计算，利用一元二次方程的解法运算即可得解. 【详解】解：    如上图，当时，则直线过定点， ∵与轴、轴分别交于、两点， ∴直线的斜率存在且不为， 且∵直线方程为， ∴当时，当时， ∴直线与轴交于点，直线与轴交于点， ∴，， ∵，则是直角三角形， ∴， （i）当时，， 由题意，的面积为，则， 即，解得：. （ii）当时，， 由题意，的面积为，则， 即，解得：. 综上知，使的面积为的直线共有3条. 故选：C. 3．（22-23高二上·上海·阶段练习）已知点，，，直线将分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求得直线（）与x轴的交点为，由可得点M在射线OA上.求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M和点A重合，求得；②若点M在点O和点A之间，求得；③若点M在点A的左侧，求得.再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果. 【详解】由题意可得，三角形ABC的面积为， 由于直线与x轴的交点为， 由直线将分割为面积相等的两部分，可得， 故，故点M在射线OA上，设直线和BC的交点为N， 则由可得点N的坐标为， ①若点M和点A重合，如图： 则点N为线段BC的中点，故，把A、N两点的坐标代入直线， 求得. ②若点M在点O和点A之间，如图： 此时，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于， 即，即，可得，求得， 故有. ③若点M在点A的左侧， 则，由点M的横坐标，求得. 设直线和AC的交点为P，则由求得点P的坐标为， 此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即 ， 即，化简可得，由于此时， 所以，两边开方可得，所以， 故有. 综上可得b的取值范围应是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据直线与三角形的交点位置分类讨论，利用三角形的面积求得等式，根据不等式性质求解即可，要注意讨论的完整性. 4．（高二上·上海嘉定·阶段练习）已知点，且，. (1)求直线CD的方程； (2)求点C的坐标，并求四边形ABCD的面积. 【答案】(1) (2)，四边形ABCD的面积为 【分析】（1）根据求得直线的方程. （2）设出点坐标，根据已知条件求得点坐标，结合点到直线的距离公式求得四边形的面积. 【详解】（1）直线的斜率为， 由于，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为. （2）设，则①， 由于，所以直线的斜率为②， 由①②解得，所以. ， 直线的方程为， 到直线的距离为， 所以三角形的面积为. ， 到直线的距离为， 所以三角形的面积为， 所以四边形的面积为 题型三：已知点到直线距离求参数 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知从点射出的光线经直线上的点反射后经过点.则 . 【答案】 【分析】设点关于直线的对称点为，列出方程组，求得，结合垂直平分线的性质，利用，即可求解. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，即 因为反射光线进过点，根据垂直平分线的性质，可得： . 故答案为：. 2．（24-25高二上·上海·单元测试）中，，、的平分线方程为、，则直线BC的方程是 ． 【答案】 【分析】先求出点关于直线、的对称点的坐标，由于它们都在直线BC上，再利用两点式方程求解即可． 【详解】∵、的平分线方程为、， ∴AB与BC对于对称，AC与BC对于对称． 因为点关于的对称点在直线BC上， 点关于的对称点也在直线BC上． 由两点式得 所求直线BC的方程：. 故答案为：. 3．（23-24高二上·上海·阶段练习）在平面直角坐标系内，一束光线从点A（1，2）出发，被直线反射后到达点B（3，6），则这束光线从A到B所经过的距离为（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】作出点A关于直线的对称点，连接，利用光线关于直线对称得到即为光线经过路程的最小值，再利用两点间的距离公式进行求解. 【详解】作出点A关于直线的对称点， 连接，交直线于点， 则即为光线经过路程的最小值， 且， 此即光线从A到B所经过的距离为. 故选：B． 4．（24-25高二上·上海·期末）在平面直角坐标系中，记第一象限内的动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】过点作点关于直线的对称点，则的最小值即为到轴的距离，故可求得最小值. 【详解】如图，过点作点关于直线的对称点，则. 设，则有，解得，所以. 设第一象限内的点，则，所以， 而，，所以点到轴的距离为， 所以可视为线段上的点到轴的距离和到的距离之和. 过作轴，显然有， 当且仅当三点共线时，和有最小值. 过点作轴，则即为的最小值，此时与重合. 又，所以的最小值为. 故选：B. 5．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知点和点B关于直线l：对称．若直线过点B，且使得点A到直线的距离最大，求直线的方程． 【答案】 【分析】先求点B,再使得点A到直线的距离最大，则直线与过点A、B的直线垂直得出斜率即可求出直线. 【详解】设点，则，解得， 所以点关于直线l：对称的点的坐标为． 若直线过点B，且使得点A到直线的距离最大， 当为到的距离时为距离最大，其他情况距离为以为斜边的直角边， 则直线与过点A、B的直线垂直，所以， 则直线的方程为，即． 题型四：求两点的对称轴 1．（21-22高二·全国·课后作业）将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，则折痕所在直线的一般式方程为 . 【答案】 【分析】利用折痕所在直线与两点连线垂直可得所求直线斜率，利用中点在折痕所在直线上可得所求直线方程. 【详解】点与点连线斜率，折痕所在直线斜率， 又点与点的中点为， 折痕所在直线方程为：，即. 故答案为：. 2．（24-25高二上·上海虹口·期中）点与点关于直线l：对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据垂直关系和中点在直线上可求，从而可求的值. 【详解】因为，故，而的中点为， 故，所以，所以， 故答案为：. 3．（23-24高二上·上海·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意直线为线段的中垂线，先求出直线的斜率及中点坐标，再根据两直线垂直的性质得到直线的斜率，最后利用点斜式求出方程，化简即可得出. 【详解】因为点关于直线对称的点为，所以直线为线段的中垂线， 因为，中点为，且， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为即. 故选：D 4．（22-23高二上·上海·阶段练习）已知点与点关于直线对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】将线段的中点代入直线的方程中可得答案. 【详解】因为、，所以的中点为， 因为点与点关于直线对称，所以的中点在此直线上， 所以，即， 故答案为： 题型五：直线的对称问题 1．（24-25高二上·上海·期中）已知一条光线从点发出被直线反射，若反射光线过点，则反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出发光点关于直线的对称点，再借助光的反射定律求出反射光线所在直线的方程. 【详解】设点关于直线的对称点为，则，解得， 因此反射光线所在直线过点，方程为，即. 故选：A 2．（24-25高二上·全国·期中）已知点在直线：上运动，点，，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】可以验证点与点关于直线对称，从而，结合三角不等式即可得解. 【详解】 设，注意到点，，所以中点为，满足， 且，所以点关于直线对称， 从而，等号成立当且仅当三点共线， 所以的最大值为. 故选：A. 3．（23-24高二上·北京·期中）将一张坐标纸对折，如果点与点重合，则点与点 重合. 【答案】 【分析】先求线段的中垂线方程，再根据点关于直线对称列式求解即可. 【详解】已知点与点，可知线段的中点为， 且，则线段的中垂线的斜率， 则线段的中垂线方程为，即， 设点关于直线的对称点为， 则，解得， 所以所求点为. 故答案为：. 4．（22-23高二上·全国·阶段练习）在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）．若光线经过的重心，则的长度等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，得出各顶点以及重心的坐标，设，.求出直线的方程，根据光的反射原理得出点关于以及轴的对称点的坐标，表示出的方程，代入重心坐标，求出的值，得出的方程.进而求出的坐标，即可根据两点间的距离公式得出答案. 【详解】   如图，建立平面直角坐标系，则，，，的重心坐标为，方程为，设，. 根据光的反射原理以及已知可知，点关于的对称点在的反向延长线上，点关于轴的对称点在的延长线上，即四点共线. 由已知可得点满足，解得， 所以. 易知. 因为四点共线， 所以有直线的斜率为， 所以，直线的方程为. 由于直线过重心， 所以有，整理可得， 解得或（舍去）， 所以直线的方程为，整理可得. 所以，点坐标为. 联立与的方程，解得，即， 所以，. 故选：B. 5．（22-23高二·全国·课堂例题）建立适当的直角坐标系，证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． 【答案】证明见解析 【分析】利用等腰三角形的对称性建立直角坐标系，设点写出直线方程，再利用点线距离公式即可证明. 【详解】设是等腰三角形，以底边CA所在直线为x轴， 过顶点B且垂直于CA的直线为y轴，建立直角坐标系．    设，，则． 直线AB的方程为，即． 直线BC的方程为，即． 设底边AC上任意一点为， 则点P到直线AB的距离为， 点P到直线BC的距离为， 点A到直线BC的距离为． 所以． 因此，等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． 一、单选题 1．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】首先求直线所过定点，再判断选项. 【详解】， ，得，定点在第一象限，则直线一定经过第一象限 故选：A 2．（24-25高二下·上海·随堂练习）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据顶点坐标可得重心与外心的坐标，进而得欧拉线方程. 【详解】由重心坐标公式可得：重心，即. 由，，可知外心在的垂直平分线上， 所以设外心，因为， 所以， 解得，即：， 则， 故欧拉线方程为：， 即：， 故选：A. 3．（22-23高二下·上海松江·阶段练习）若对一个角，存在角满足，则称为的“伴随角”.有以下两个命题： ①若，则必存在两个“伴随角”； ②若，则必不存在“伴随角”； 则下列判断正确的是（    ） A．①正确②正确； B．①正确②错误； C．①错误②正确； D．①错误②错误. 【答案】B 【分析】将已知方程变形为，则为直线与单位圆的交点.用圆心到直线的距离解决问题 【详解】将已知方程变形为， 则为直线与单位圆的交点. 考虑圆心到直线的距离 ，其中. 对于①，若，则，于是，即， 直线与圆必有两个不同交点， 为直线与单位圆的交点， 故必存在两个“伴随角”，即①正确； 对于②若，则，于是， 即直线与圆可能公共点，故可能存在“伴随角”，即②错误； 综上，①正确②错误， 故选:B. 【点睛】 关键点点睛: 把转化为直线与单位圆的交点是解题的关键点. 4．（2022·上海浦东新·模拟预测）已知点与点在直线的两侧，给出以下结论： ①； ②当时，有最小值，无最大值； ③； ④当且时，的取值范围是. 正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由与的位置关系有，数形结合法判断位置，结合的几何意义判断、的范围，应用点线距离公式有判断③. 【详解】将代入有， 而与在的两侧，则，①错误； 由上知：且，则在直线上方与y轴右侧部分， 所以，故无最值，②错误； 由上图知：在直线左上方，则，③正确； 由过且且，即在直线上方与y轴右侧部分， 而表示与连线的斜率，由图知：，④正确. 故选：B 二、填空题 5．（24-25高二上·上海闵行·期末）台球运动已有五六百年的历史，参与者用球杆在台上击球．如图，有一张长方形球台，，现从角落沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中，若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律，则的值为 ． 【答案】1 【分析】根据题意画出示意图，进而求解结论． 【详解】因为，现从角落沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中； 当是图一时，如图： 关于 的对称点为，关于的对称点为； 如图；根据直线的对称性可得：； 当是图2时，如图： 关于 的对称点为，关于的对称点为， 如图：根据直线的对称性可得：； 因为，则，故只有. 故答案为：1． 6．（24-25高二·上海·随堂练习）若与平行，则两直线之间的距离为 . 【答案】 【分析】先根据直线与平行求出参数，再由两平行直线间的距离公式可得答案. 【详解】∵直线与平行，∴，解得， ∴直线，直线， ∴直线与之间的距离， 故答案为：. 7．（24-25高二下·上海·随堂练习）将一张长为2宽为1的矩形纸片置于平面直角坐标系中，其中，将矩形纸片折叠，使O点落在线段上，设折痕所在直线的斜率为k，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】取上任意一点D，求出的斜率范围（斜率存在时）可得的范围，再考虑当折叠后O与C重合时的情况即可得解. 【详解】如图， 要想使折叠后O点落在线段上，可取上任意一点D，作线段的垂直平分线l，以l为折痕可使O与D重合， 因为，所以，且． 又当折叠后O与C重合时，，所以，∴k的取值范围是． 故答案为：. 8．（24-25高二上·上海·课后作业）已知点到直线l的距离为5，且直线l在两坐标轴上的截距相等，则满足条件的直线共有 条． 【答案】3 【分析】结合点到直线的距离公式，分截距是否为0进行讨论即可得解. 【详解】当截距不为0时，由题意设所求直线为， 则，解得； 当截距为0时，设原点为，则，注意到， 所以此时满足题意的直线方程可以是； 综上所述，满足条件的直线共有3条. 故答案为：3. 9．（23-24高二下·上海·期中）设，若直线与直线之间的距离为，则的值为 ． 【答案】2或 【分析】根据平行线间距离公式即可求解. 【详解】由题意可得，解得或， 故答案为：2或 10．（2023高二·全国·专题练习）若恰有三组不全为0的实数对,满足关系式，则实数t的所有可能的值为 ． 【答案】或或 【分析】化简得到，然后对进行分类讨论即可求解. 【详解】由已知得，整理得， 看成有且仅有三条直线满足和到直线(不过原点)的距离t相等， 又， （1）当，此时易得符合题意的直线 l 为线段AB的垂直平分线以及与直线平行的两条直线和； （2）当时，有4条直线l会使得点和到它们的距离相等，注意到l不过原点， 所以当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去． 设点A到l的距离为d， ①作为增根被舍去的直线l，过原点和A，B的中点，其方程为，此时，符合； ②作为增根被舍去的直线l，过原点且与平行，其方程为，此时，符合； 综上，满足题意的实数t为或或 故答案为：或或 【点睛】关键点点睛：本题的关键是化简得到，将问题转化为有且仅有三条直线满足和到直线(不过原点)的距离t相等，然后分类讨论即得. 11．（22-23高二上·上海徐汇·期中）若动点A、B分别在直线和上移动，则中点到原点的距离的最小值为 . 【答案】 【分析】先求出中点的轨迹，判断为直线，则其到原点的距离的最小值即为原点到该直线的距离. 【详解】设，，中点 由题可知， 所以， 又， 所以 即中点P的轨迹为直线. 则P到原点的距离的最小值即为原点到直线的距离， 故答案为：. 12．（23-24高二上·上海·期末）已知点与点关于直线l对称，则直线l的方程为 ． 【答案】 【分析】利用斜率之积为，中点坐标公式和点斜式共同求出直线方程. 【详解】设直线l的斜率为k， 则， 直线的中点坐标为， 所以由点斜式写出直线方程为，即. 故答案为：. 13．（23-24高三上·上海宝山·期末）已知直线与轴的交点为，直线上的动点满足：点到直线的距离恒成立，则动点所对应轨迹的长度为 . 【答案】 【分析】设，根据，求出的范围，再根据两点间的距离公式即可得解. 【详解】因为直线与轴的交点为，所以 由题意，设， 由， 得， 即，解得， 所以动点所对应轨迹为， 其长度为. 故答案为：. 14．（21-22高二上·上海金山·期末）已知为坐标原点，在直线上存在点，使得，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】解不等式即得解. 【详解】由题得直线的方程为， 所以原点到直线的距离， 所以， 解得. 故答案为： 15．（22-23高二上·上海长宁·期末）已知，两点关于直线对称，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】设点，由题意可得，求解即可. 【详解】解：设点， 因为直线的斜率为， 则有， 解得：， 所以点的坐标为. 故答案为： 16．（高二·全国·期末）设直线，为直线上动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意转化为点到直线的距离的平方，即可求解. 【详解】记点，设，则. 要求的最小，只需最小，即为点到直线的距离， 所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 三、解答题 17．（23-24高二下·上海·期中）数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心､垂心､重心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，若其欧拉线的方程为， (1)求三角形外心的坐标； (2)求顶点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得边的垂直平分线的所在的直线方程为，结合题意联立方程求解即可； （2）设，根据题意结合重心坐标公式可得，由外心可得，联立方程求解即可. 【详解】（1）由题意可知：边的中点坐标为，， 边的垂直平分线的所在的直线方程为，即， 联立方程，解得 所以的外心的坐标为. （2）设，则的重心为， 代入欧拉线方程得，整理得， 由（1）可知：的外心坐标为， 可知，则， 整理得， 联立方程，解得或， 当时，点B，C重合，舍去， 所以顶点C的坐标是. 18．（23-24高二上·上海·期末）已知直线经过点，且被两平行线所截得的线段长为5. (1)求，之间的距离； (2)求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据平行求出值，再根据两平行线距离公式即可. （2）设出直线与直线的交点坐标，根据给定条件列式探求两个交点坐标间的关系，求出直线方程作答. 【详解】（1）当平行时，则，解得，此时， 则，之间的距离. （2）设直线与直线分别交于点， 则，两式相减得：，而， 即，解得或， 由，即，轴，得直线方程为，经验证符合题意， 由，即，轴，得直线方程为，经验证符合题意， 所以直线l的方程为或. 故答案为：或 19．一束光从光源射出，经轴反射后（反射点为），射到线段上处． (1)若，求光从出发，到达点时所走过的路程； (2)若，求反射光的斜率的取值范围； (3)若，求光从出发，到达点时所走过的最短路程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出关于轴的对称点，则光所走过的路程为； （2）根据 ，可得反射光斜率的取值范围； （3）当的横坐标，光所走过的最短路程为点到直线的距离．当的横坐标，光所走过的最短路程为点． 【详解】（1）关于轴的对称点，， 由 ，则此时， 所以光所走过的路程即． （2）对于线段，令其端点， 则， 所以反射光斜率的取值范围是． （3）若反射光与直线垂直，则由． ①当，即时，光所走过的最短路程为点到直线的距离， 所以路程． ②当，即时，光所走过的最短路程为线段，其中， 所以． 综上：． 20．（22-23高二上·上海嘉定·期末）已知， (1)求线段垂直平分线所在直线方程 (2)若直线过，且、到直线距离相等，求方程 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）由题可得的中点坐标，再根据互相垂直的直线斜率之间的关系及点斜式方程即得； （2）根据点到直线距离公式结合条件即得. 【详解】（1）因为点，． 所以线段的中点坐标为，直线的斜率为， 因此直线的中垂线的斜率为， 因此线段的垂直平分线所在直线方程为， 即； （2）因为直线过点，，， 当直线的斜率不存在时，显然不合题意， 设直线的方程为，即， 所以，解得或， 所以直线的方程为或. 21．（高二下·上海·开学考试）已知的三个顶点、、． (1)求边所在直线的方程； (2)边上中线的方程为，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）根据直线的两点式求解直线方程即可； （2）首先根据直线方程，可得，然后利用点到直线距离，得到点到直线的距离为：，再根据，得到，最后解方程组即可得到参数的值. 【详解】（1）因为、，所以BC边所在直线的方程为：； （2）BC边上中线AD的方程为，所以有， 点A到直线BC的距离为：，，因为， 所以有， 因此有或，解得：或， 所以点A的坐标为：或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲点到直线的距离 课程标准 学习目标 1. 通过点到直线的距离的学习，提升数学运算、直观想象的数学素养. 1.掌握点到直线的距离公式，了解点到直线的距离公式的两种推导方法.（平面几何法与向量法）(难点) 2.会求平面内点与直线的距离，并能解决与距离有关的平面几何问题. (重点) 知识点01．点到直线的距离 1．点到直线的距离 点到直线的距离，是指从点到直线的垂线段的长度，其中为垂足．实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外一点所连线段的长度的最小值． 2．点到直线的距离公式 平面上任意一点到直线l：Ax+By+C=0（A，B不同时为0）的距离为． 【点拨】用向量法推导点P到直线l的距离|PQ|公式的向量法推导，在直线上取任意一点M，与直线方向向量垂直的单位向量为n，则有 ，所以有. 【即学即练1】（2023下·上海静安·高二校考期中）点到直线的距离为 ． 知识点02．点到直线的距离问题 （1）求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可． （2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线x=a或y=b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成或． （3）若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可． 【即学即练2】 （2023下·上海浦东新·高二统考期中）已知动点在直线上，则的最小值为 . 知识点03.两条平行直线间的距离 1．两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长． 2．两条平行直线间的距离公式 一般地，两条平行直线（其中A与B不同时为0，且）间的距离． 【即学即练3】（2023上·高二课时练习）求平行直线与之间的距离． 知识点04．直线关于直线对称 （1）直线与关于直线l对称，它们具有以下几种几何性质： ①若与相交，则直线l是、夹角的平分线； ②若与平行，则直线l在、之间且到、的距离相等； ③若点A在上，则点A关于直线l的对称点B一定在上，此时AB⊥l，且线段AB的中点M在l上（即l是线段AB的垂直平分线）．充分利用这些性质，可以找出多种求直线的方程的方法． （2）常见的对称结论有：设直线l为Ax+By+C=0， ①l关于x轴对称的直线是Ax+B（−y）+C=0； ②l关于y轴对称的直线是A（−x）+By+C=0； ③l关于直线y=x对称的直线是Bx+Ay+C=0； ④l关于直线y=−x对称的直线是A（−y）+B（−x）+C=0． 【即学即练4】（2025高二·全国·专题练习）一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为 ． 知识点05．两点间的距离 两点间的距离公式 平面上任意两点间的距离公式为. 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离． 【即学即练5】（2023春·上海市奉贤中学高二第二学期期中）己知直线l：，则原点到直线l的距离的最大值是______． 知识点06．对称问题 对称问题包括点关于点的对称、点关于直线的对称、直线关于点的对称． 1．点关于点对称 点关于点的对称是对称问题中最基本的问题，是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对称问题． 设点关于点M（a，b）的对称点为P′（x，y），则有，所以，即点．特别地，点P关于坐标原点O的对称点为． 2．点关于直线对称 对于点关于直线的对称问题，若点P关于直线l的对称点为，则直线l为线段的中垂线，于是有等量关系： ①（直线l的斜率存在且不为零）； ②线段的中点在直线l上； ③直线l上任意一点M到P，的距离相等，即． 常见的点关于直线的对称点： ①点关于x轴的对称点； ②点关于y轴的对称点； ③点关于直线y=x的对称点； ④点关于直线y=−x的对称点； ⑤点关于直线x=m（m≠0）的对称点； ⑥点关于直线y=n（n≠0）的对称点. 【即学即练6】（2020高三·全国·专题练习）已知直线，点.求: (1)点关于直线的对称点的坐标; (2)直线关于直线的对称直线的方程; (3)直线关于点对称的直线的方程. 题型一：求点到直线的距离 1．（23-24高二下·上海金山·期末）已知直线过点，倾斜角为，则坐标原点到直线的距离为 ． 2．（23-24高二下·上海·期中）点到直线的距离是 . 3．（22-23高二上·上海普陀·阶段练习）已知定点..和直线：，则点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·上海浦东新·模拟预测）设点满足，则“”是“为定值”的（     ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（23-24高二上·上海·期末）已知直线的倾斜角为，，且这条直线经过点. (1)求直线的方程； (2)直线恒过定点，求点到直线的距离. 题型二：直线围成图形的面积问题 1．（22-23高二上·上海·期中）已知点，直线将分割成面积相等的两部分，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·上海静安·阶段练习）已知直线：，且与轴、轴分别交于、两点．若使的面积为的直线共有（   ）条 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（22-23高二上·上海·阶段练习）已知点，，，直线将分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是 . 4．（高二上·上海嘉定·阶段练习）已知点，且，. (1)求直线CD的方程； (2)求点C的坐标，并求四边形ABCD的面积. 题型三：已知点到直线距离求参数 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知从点射出的光线经直线上的点反射后经过点.则 . 2．（24-25高二上·上海·单元测试）中，，、的平分线方程为、，则直线BC的方程是 ． 3．（23-24高二上·上海·阶段练习）在平面直角坐标系内，一束光线从点A（1，2）出发，被直线反射后到达点B（3，6），则这束光线从A到B所经过的距离为（    ） A． B． C．4 D．5 4．（24-25高二上·上海·期末）在平面直角坐标系中，记第一象限内的动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知点和点B关于直线l：对称．若直线过点B，且使得点A到直线的距离最大，求直线的方程． 题型四：求两点的对称轴 1．（21-22高二·全国·课后作业）将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，则折痕所在直线的一般式方程为 . 2．（24-25高二上·上海虹口·期中）点与点关于直线l：对称，则的值为 ． 3．（23-24高二上·上海·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二上·上海·阶段练习）已知点与点关于直线对称，则的值为 ． 题型五：直线的对称问题 1．（24-25高二上·上海·期中）已知一条光线从点发出被直线反射，若反射光线过点，则反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·期中）已知点在直线：上运动，点，，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D．1 3．（23-24高二上·北京·期中）将一张坐标纸对折，如果点与点重合，则点与点 重合. 4．（22-23高二上·全国·阶段练习）在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）．若光线经过的重心，则的长度等于（    ）    A． B． C． D． 5．（22-23高二·全国·课堂例题）建立适当的直角坐标系，证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． 一、单选题 1．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25高二下·上海·随堂练习）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二下·上海松江·阶段练习）若对一个角，存在角满足，则称为的“伴随角”.有以下两个命题： ①若，则必存在两个“伴随角”； ②若，则必不存在“伴随角”； 则下列判断正确的是（    ） A．①正确②正确； B．①正确②错误； C．①错误②正确； D．①错误②错误. 4．（2022·上海浦东新·模拟预测）已知点与点在直线的两侧，给出以下结论： ①； ②当时，有最小值，无最大值； ③； ④当且时，的取值范围是. 正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 5．（24-25高二上·上海闵行·期末）台球运动已有五六百年的历史，参与者用球杆在台上击球．如图，有一张长方形球台，，现从角落沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中，若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律，则的值为 ． 6．（24-25高二·上海·随堂练习）若与平行，则两直线之间的距离为 . 7．（24-25高二下·上海·随堂练习）将一张长为2宽为1的矩形纸片置于平面直角坐标系中，其中，将矩形纸片折叠，使O点落在线段上，设折痕所在直线的斜率为k，则k的取值范围是 ． 8．（24-25高二上·上海·课后作业）已知点到直线l的距离为5，且直线l在两坐标轴上的截距相等，则满足条件的直线共有 条． 9．（23-24高二下·上海·期中）设，若直线与直线之间的距离为，则的值为 ． 10．（2023高二·全国·专题练习）若恰有三组不全为0的实数对,满足关系式，则实数t的所有可能的值为 ． 11．（22-23高二上·上海徐汇·期中）若动点A、B分别在直线和上移动，则中点到原点的距离的最小值为 . 12．（23-24高二上·上海·期末）已知点与点关于直线l对称，则直线l的方程为 ． 13．（23-24高三上·上海宝山·期末）已知直线与轴的交点为，直线上的动点满足：点到直线的距离恒成立，则动点所对应轨迹的长度为 . 14．（21-22高二上·上海金山·期末）已知为坐标原点，在直线上存在点，使得，则的取值范围为 ． 15．（22-23高二上·上海长宁·期末）已知，两点关于直线对称，则点的坐标为 . 16．（高二·全国·期末）设直线，为直线上动点，则的最小值为 ． 三、解答题 17．（23-24高二下·上海·期中）数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心､垂心､重心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，若其欧拉线的方程为， (1)求三角形外心的坐标； (2)求顶点的坐标. 18．（23-24高二上·上海·期末）已知直线经过点，且被两平行线所截得的线段长为5. (1)求，之间的距离； (2)求直线的方程. 19．一束光从光源射出，经轴反射后（反射点为），射到线段上处． (1)若，求光从出发，到达点时所走过的路程； (2)若，求反射光的斜率的取值范围； (3)若，求光从出发，到达点时所走过的最短路程． 20．（22-23高二上·上海嘉定·期末）已知， (1)求线段垂直平分线所在直线方程 (2)若直线过，且、到直线距离相等，求方程 21．（高二下·上海·开学考试）已知的三个顶点、、． (1)求边所在直线的方程； (2)边上中线的方程为，且，求点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$