预习04 函数的极值（点）与最值（九大考点）-2025年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

2025年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 预习04 函数的极值（点）与最值 知识点 1 ：函数的极值 1.极值的概念：若函数在点附近有定义， 如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作； 如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作； 极大值与极小值统称为极值，称为极值点． 2.求可导函数极值的步骤 求导函数求方程的根考查在方程的根附近的左右两侧导数值的符号如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值． 知识点 2 ：函数的最值 1.最值的概念： 函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我们有如下结论：一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 2.求可导函数最值的步骤： 求在内的极值（极大值或极小值）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 知识点 3 ：函数的最值与极值的关系 1.极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； 2.在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； 3.函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； 4.对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 考点01 求函数的极值（点） 【方法点拨】求可导函数的极值的步骤：①求函数的定义域;②求函数的导数; ③令,求出全部的根;④列表:方程的根将整个定义域分成若干个区间,把在每个区间内的变化情况列在一个表格内;⑤判断得结论:若导数在附近左正右负,则在处取得极大值;若左负右正，则取得极小值. 例1．下列函数中，存在极值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于：函数是实数集上的增函数，不存在极值； 对于：函数在上单调递增，不存在极值； 对于：函数在区间上单调递减，不存在极值； 对于：在上单调递增，在上单调递减， 因此是函数的极小值点，符合题意. 故选：D. 例2．求下列函数的极值. (1)； (2). 【答案】(1)极小值为；极大值为. (2)极大值为，没有极小值. 【详解】（1）函数的定义域为. 令，得或. 当变化时，，的变化情况如表所示： 1 0 0 ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘. 由表格可以看出，当时，函数有极小值，且极小值为； 当时，函数有极大值，且极大值为. （2）函数的定义域为， 且. 令，解得. 当变化时，，的变化情况如表所示： e 0 ↗ 极大值 ↘ 因此，是函数的极大值点，极大值为，没有极小值. 变式1-1．（多选）下列函数中，存在极值点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，函数在上单调递增，在和上单调递增， 所以函数在和上单调递增，没有极值点； 对于B，函数为偶函数， 且当时单调递增， 所以当时，单调递减， 所以函数在处取得极小值； 对于C，易知函数在上单调递减，没有极值点； 对于D，函数，则， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，函数取得极小值. 故选：BD. 变式1-2．（多选）已知，函数，则下列说法正确的是（    ） A．若为奇数，则是的极小值点 B．若为奇数，则是的极大值点 C．若为偶数，则是的极小值点 D．若为偶数，则是的极大值点 【答案】BC 【详解】由题可得. 当为奇数时，，令， 且当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以是的极大值点，B正确； 当为偶数时，， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以是的极小值点，C正确. 故选：BC. 变式1-3．已知函数. (1)求的单调区间； (2)求的极值. 【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为 (2)极大值为，无极小值. 【详解】（1）由，得， 令，得，令，得， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为. （2）由（1）可得的极大值为，无极小值. 考点02 求不含参函数的最值 【方法点拨】求解函数在固定区间上的最值的步骤：①对函数进行准确求导,并检验的根是否在给定区间内；②研究函数的单调性,正确确定极值和端点函数值；③比较极值与端点函数值的大小,确定最值 例3．已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求在区间上的值域. 【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为. (2). 【详解】（1）函数的定义域是， . 令，解得或. 当x变化时，，的变化情况如下表： 1 2 + 0 0 + 极大值 极小值 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为. （2）由（1）可知在区间内， 当时，取得极小值. 由，，， 得， 所以在区间上的值域为. 例4．函数的最小值为（    ） A． B．12 C．9 D． 【答案】A 【详解】解法一：因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为. 解法二：由题意知， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故的最小值为. 故选：A. 【点睛】题型点睛：与基本不等式相关的4种常考类型 根式形式 ，当且仅当时，等号成立. 【注意】利用基本不等式求最值，一定要注意“一正、二定、三相等”缺一不可. 整式形式 ，，，，以上不等式当且仅当时，等号成立. 分式形式 ，当且仅当时，等号成立. 倒数形式 ，当且仅当时，等号成立；，当且仅当时，等号成立. 变式2-1．函数 的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以． 令可得；令可得， 所以在上单调道增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，即最大值， 所以． 故选：C 变式2-2．已知在处取得极值. (1)求实数的值； (2)求在区间上的最大值. 【答案】(1)1 (2)9 【详解】（1）因为， 所以，由于在处取得极值， 故，即，解得， 经检验，当时，在处取得极值，故. （2）由（1）得，则， 由得或；由得. 故的单调递增区间为，，单调递减区间为. 所以在区间上的单调递增区间为，单调递减区间为 又，，所以函数在区间上的最大值为9. 变式2-3．函数的最小值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【详解】由，得， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为． 故选：B. 考点03 导函数图象与极值（点）、最值的关系 【方法点拨】（1）对于原函数,要注意其图象在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减; （2）对于导函数,则应注意其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零 例5．（多选）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中正确的是（    ） A．函数在处取得极大值 B．函数在处取得极值 C．在区间上单调递减 D．的图象在处的切线斜率小于零 【答案】ACD 【详解】由图可得，当时，，当时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减，即C正确； 可得函数在处取得极大值，即A正确； 因时，，且时，，故在处没有取得极值，B错误； 又，即的图象在处的切线斜率小于零，故D正确. 故选：ACD. 例6．已知函数的导函数的大致图象如图所示，则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图象可得在上单调递减， 在单调递增，所以，故B、C错误，D正确； 和为的极值点，所以， 但无法确定值的大小，故A错误. 故选：D. 变式3-1．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列关于函数的说法正确的是（    ） A．单调减区间是 B．是极大值点 C．没有最大值 D．最多能有四个零点 【答案】D 【详解】由图可知：当或时，，当或时，， 因此函数在和上单调递减，在和上单调递增， ∴函数在上不单调，A错误；不是极值点，B错误； 函数在处取得极大值，当不小于函数在，上的所有函数值时，函数有最大值，C错误； 当，，，且函数在，上的图象都与轴相交时， 函数在，，，上各有1个零点，共有4个零点， 因此最多能有四个零点，D正确. 故选：D. 变式3-2．（多选）如图是函数的导函数的图象，则以下说法正确的为（　　） A．是函数的极值点 B．函数在处取最小值 C．函数在处切线的斜率小于零 D．函数在区间上单调递增 【答案】AD 【详解】对于A，由导函数的图象可知：当时，，时，， 且仅当时，， 故函数在上函数单调递减；在函数单调递增， 所以是函数的极小值点，所以A正确； 对于B，两侧函数的单调性不变，则在处不是函数的最小值，所以B不正确； 对于C，由图像可知，所以函数在处的切线的斜率大于零，所以C不正确； 对于D，由图象可得，当时，，当且仅当时等号成立， 所以函数在上单调递增，所以D正确， 故选：AD． 变式3-3．（多选）如图所示是的导函数的图象，则下列结论中正确的是（    ）    A．在区间上单调递增 B．是的极小值点 C．在区间上单调递减 D．是的极小值点 【答案】BC 【详解】A选项，由导函数图象可知，当时，，时，， 时，，时，， 故在，上单调递增，不能用连接，A错误； B选项，在上单调递减，在上单调递增，， 故为的极小值点，B正确； C选项，在区间上单调递减，C正确； D选项，在上单调递增，在上单调递减，， 故是的极大值点，D错误. 故选：BC 考点04 由极值（点）求参数的值或取值范围 【方法点拨】（1）利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程,从而求出参数的值. （2）导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件,所以必须对求出的参数值进行检验,看是否符合函数取得极值的条件. 例7．（多选）已知函数的极小值点为1，极小值为.则（    ） A． B． C．有3个零点 D．直线与的图像仅有1个公共点 【答案】ACD 【详解】由题意得 则，解得，故A正确. 由，解得，故B错误. ， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以的极大值为， 画出草图，所以有3个零点，故C正确； 直线与的图像仅有1个公共点，故D正确. 故选：ACD. 例8．若函数有极值，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由， 则， 由函数有极值， 即有变号零点， 即， 解得或， 故答案为：. 变式4-1．若函数在时取得极小值，则的极大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数，求导可得， 由题意可得，则，解得， 所以，则， ， 令，解得或2， 可得下表： 1 2 正 0 负 0 正 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 则函数的极大值为. 故选：D. 变式4-2．已知函数在处取得极大值，则 ． 【答案】0 【详解】函数，求导得， 依题意，，解得或， 当时，，当或时，，当时，， 函数在处取得极大值，符合题意，则； 当时，，当或时，，当时，， 函数在处取得极小值，不符合题意， 所以. 故答案为：0 变式4-3．函数无极值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为，则， 若函数无极值，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 考点05 利用函数极值解决函数零点（方程根）问题 【方法点拨】（1）研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题.一般地,方程的根就是函数的图象与轴交点的横坐标,方程的根就是函数与的图象的交点的横坐标； （2）利用导数可以判断函数的单调性,研究函数的极值情况,并能在此基础上画出函数的大致图象,从直观上判断函数图象与轴的交点或两个函数图象的交点的个数,从而为研究方程根的个数问题提供了方便. 例9．函数在上的零点个数为 【答案】2 【详解】令，可得，因为，则，也即， ，整理可得； 令，则， 故当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 又当时，，时，， ，且当趋近于正无穷时，趋近于； 在同一坐标系中，作出与的函数图象如下所示： 数形结合可知，与的函数图象在有个交点， 故在有两个零点. 故答案为：. 例10．（多选）已知函数，若函数恰有两个零点，则c可以为（    ） A． B．6 C．4 D．2 【答案】AC 【详解】或， 在和上单调递增，在上单调递减， ， 由函数恰有两个零点，可得且或且， 解得或．即实数c的值是或4． 故选：AC. 变式5-1．若函数的导数，的最小值为，则函数的零点为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数的导数，所以，为常数， 设，则恒成立，在上单调递增， 即在上单调递增，又， 故当时，，即单调递减， 时，，即单调递增， 所以在处取得最小值，即，所以， 所以，由， 令，解得，所以的零点为. 故选：C. 变式5-2．函数的零点个数为 ，其极小值为 . 【答案】 【详解】令，则或（舍去） 所以，故函数的零点个数为； 又， 令，得，在上单调递减， 令，得，在上单调递增， 故的极小值为. 故答案为：；. 变式5-3．已知函数有一个零点，则的取值范围是 【答案】 【详解】，则， 设，函数有一个零点，转化为与函数的图象有一个交点， ，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，， 注意到，当，当，作出g(x)的大致图像，    由图可知，当或时，与函数的图象有一个交点. 故答案为： 考点06 求函数的最值求参数 【方法点拨】已知函数最值求参数的步骤：①求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值.； ②通过比较它们的大小,判断出哪个是最大值,哪个是最小值；③结合已知求出参数,进而使问题得以解决.注意分类讨论思想的应用. 例11．已知函数，当时，函数取得最大值，则（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【详解】由题设，故，且， 所以，故，即， 此时，且， 所以，时，在上单调递增； 时，在上单调递减； 故处为极大值，也是最大值，满足题设； 所以. 故选：D 例12．设函数. (1)求曲线的单调区间； (2)已知在区间上的最大值为13，求的值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）已知的定义域为，所以， 当时，解得，当时，解得， 所以，的递增区间为，递减区间为. （2）由（1）可知在上，在上单调递增，上单调递减， 所以在处取得极大值，也为最大值， 所以，解得. 变式6-1．已知函数 (1)求的单调增区间和单调减区间 (2)若在区间上的最小值为，求实数的值 【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是和； (2) 【详解】（1），令，得或， 如图，的变化关系如下表， 0 0 单调递减 单调递增 单调递减 所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是和； （2）根据（1）的结果，得到如下表， 4 0 0 单调递减 单调递增 单调递减 如表可知，的最小值为，得. 变式6-2．已知函数在区间上的最小值为1，则实数a的值为（    ） A．-2 B．2 C．-1 D．1 【答案】D 【详解】由题意可知：， 所以当时，则在上单调递增， 所以. 故选：D. 变式6-3．如果函数在上的最大值是2，那么在上的最小值是 . 【答案】/-0.5 【详解】，则， 令，得或. 当时，，则为增函数； 当时，，则为减函数. ∴当时，取得最大值为a，得， 又，. ∴在上，的最小值为. 故答案为：. 考点07 恒成立问题 【方法点拨】（1）不等式恒成立问题的转化技巧： ①或恒成立或； ②或)恒有解或）； ③恒成立其中）; ④恒有解其中). （2）对于函数,若存在,使得或成立,则或. 例13．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则恒成立，， ， 所以，当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ，解得， 即实数的取值范围为. 故选：B. 例14．已知函数在处取得极值. (1)求的单调区间； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)的单调递增区间是，单调递减区间是． (2) 【详解】（1）由题意知，， 由，解得， 此时，， 令，得，令，得，故是函数的极值点， 故符合要求， 进而函数的单调递增区间是，单调递减区间是． （2）由恒成立可得恒成立， 令则， 令，则， 故当时，单调递增，当时，单调递减， 而，且时，， 故当时，，当时，，故在单调递减，在单调递增，故，因此 变式7-1．已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若恒成立，求实数的取值范围； 【答案】(1)极小值，无极大值 (2) 【详解】（1）当时，，定义域为， 则， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，无极大值. （2）因为恒成立，得，， 令，，则， 当，，当时，， 即函数在上递减，在上递增， 因此，则， 所以的取值范围为. 变式7-2．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】设，， 因为， 由或； 由， 又，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. 所以. 故答案为： 变式7-3．已知函数，若在定义域上恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的定义域为， 由在定义域上恒成立，得在上恒成立， 令，， 令得， 时，，单调递增， 时，，单调递减， 所以，所以. 故选：A 考点08 含参函数的最值问题 例15．已知函数． (1)若是函数的极值点，求在处的切线方程． (2)若，求在区间上最大值． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）， 又是函数的极值点， ∴，即 ∴， ∴， 在处的切线方程为，即， 所以在处的切线方程是 （2），令，得， ∴在单调递减，在单调递增 而， ①当，即时， ②当，即时， 综上，当时，； 当时， 例16．已知函数，．讨论函数的最值； 【答案】答案见解析 【详解】由函数，可得其定义域为，且， 当时，可得，在上单调递增，无最值； 当时，令，可得，所以在上单调递减； 令，可得，所以在单调递增， 所以的最小值为，无最大值． 综上可得： 当时，无最值；当时，的最小值为，无最大值． 变式8-1．设函数 (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，求证： (3)当时，求函数在上的最小值 【答案】(1) (2)证明过程见解析 (3)答案见解析 【详解】（1）当时，，， 又，故， 所以函数在处的切线方程为； （2）当时，，， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故在上取得极小值，也是最小值， 且， 故在R上恒成立. （3）， ，， 令，解得，令，解得， 当时，，故在上单调递减，在上单调递增， 此时在上取得极小值，也是最小值， 故在上的最小值为， 当时，，故在上单调递减， 此时在上的最小值为 综上：当时，在上的最小值为， 当时，在上的最小值为. 变式8-2．已知函数 (1)当时，求的极值； (2)若，求在区间的最小值. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）当时定义域为R， 且， 所以当或时，当时， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 即，； （2）函数定义域为R，则， 令，解得或， 当时，则当或时，， 当时，， 所以的单调增区间为，，单调减区间为； 若，即时在上单调递减， 所以在上的最小值为， 若，即时，在单调递减，在单调递增， 所以在的最小值为， 所以 变式8-3．已知函数，当时，求函数的最大值． 【答案】答案见解析 【详解】， 令，则， 当,即时，和随x的变化情况如下表： x －2 1 ＋ 0 － 0 ＋ 单调 递增 极大值 单调 递减 极小值 单调 调增 因为，所以，故， 又， 因为在上单调递增，故， 故， 由上可知，所以的最大值为. 当即时，和随x的变化情况如下表： x －2 1 ＋ 0 － 单调递增 极大值 单调递减 由上可知，所以的最大值为； 当即时，在恒成立，即在上单调递减，所以的最大值为， 综上所述，当时，的最大值为；当时，的最大值为． 考点09 利用导数解决实际问题 【方法点拨】①分析实际问题中各量之间的关系,找出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式;②求函数的导数,解方程; ③比较函数在区间端点和极值点的函数值大小,最大(小)者为最大(小)值; ④把所得数学结论回归到数学问题中,看是否符合实际情况并下结论. 例17．在经济学中，收益是指产品售出后所得的收入，收益函数可表示为销售量与销售单价的乘积.若某商品的单价为，经市场研究分析表明，销售量可表示为（其中均为正数，且，则此时的最大收益为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，收益函数， 所以，令，得， 且当时，单调递增； 当时，单调递减． 所以最大收益为． 故选：B 例18．某箱子的容积V与底面边长x的关系为，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【详解】因为， 所以， 所以在上，单调递增， 在上，单调递减， 所以当时，最大，故A，B，D错误. 故选：C． 变式9-1．已知圆锥的外接球半径为2，则该圆锥的最大体积为 . 【答案】/ 【详解】设圆锥的高为，底面圆的半径为， 则，即， 所以该圆锥的体积为， 设函数，则， 令，函数单调递增， 令，函数单调递减， 所以. 即圆锥的最大体积为. 故答案为：. 变式9-2．喀什二中拟在高二年段举行手工制作书柜比赛，现有一边长为的正方形硬纸板，纸板的四角截去四个边长为的小正方形，然后做成一个无盖方柜， (1)试把方柜的容积表示为的函数？ (2)多大时，方柜的容积最大？并求最大容积． 【答案】(1)，； (2)时，容积最大，最大容积为. 【详解】（1）， 又，解得， 故关于的函数为，； （2），令，解得（舍去）或， 令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故时，方柜的容积最大，最大容积为. 变式9-3．现有一批货物从上海洋山深水港运往青岛，已知该船的最大航行速度为35海里/小时，上海至青岛的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费用和其余费用组成. 轮船每小时使用的燃料费用与轮船速度的平方成正比（比例系数为0.6），其余费用为每小时960元． （1）把全程运输成本y元表示为速度x（海里/小时）的函数； （2）为了使全程运输成本最小，轮船应以多大的速度航行？ 【答案】（1）；（2）35海里/小时． 【详解】解：（1）依题意，速度是(海里/时)，轮船每小时的燃料费，总共行驶（小时）， 所以全程运输成本， 由题意知，函数的定义域为， 即全程运输成本(元)表示为速度(海里/时)的函数为； （2）由（1）知，， 当时，，即在上单调递减， 所以当时，取得最小值. 故当轮船应以35海里/时的速度行驶时，全程运输成本最小． 1．（2023-24高二上·陕西西安·期末）函数的极小值为（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【详解】由题知函数的定义域为， 则. 令，得（舍去）. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以函数的极小值为. 故选：A 2．（2023-24高三上·山东济南·阶段练习）函数在上的最小值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【详解】由，求导可得，令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以. 故选：B. 3．（2023-24高三上·四川达州·阶段练习）已知可导函数的部分图象如图所示，为函数的导函数，下列结论不一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A.由导数的几何意义可知，，由图可知，，所以，故A成立； B.，故B成立； C.由图可知，，，但不确定与的大小关系，故C不一定成立. D.由图可知，函数在上单调递增，且增长速度越来越快，所以，故D成立. 故选：C 4．（2023-24高二下·山东·期中）若函数在上有小于0的极值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为R，求导得， 当时，恒成立，函数在上单调递增，无极值； 当时，由，得；由，得， 因此为的极值点，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B 5．（2023-24高二上·河南·阶段练习）若函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为既有极大值又有极小值， 且， 所以有两个不相等的正实数解，所以且，解得且. 故选：B 6．（2023-24高二下·新疆乌鲁木齐·期中）若函数（）在上的最大值为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得， 若，则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故当时，取得极大值，也是最大值，为， 解得，不符合题意； 若，则当时，，且不恒为0， 故在上单调递减，，不符合题意； 若，则当时，，在上单调递减， ，解得，符合题意. 故选：D. 7．（2023-24高三上·江苏·阶段练习）已知函数有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 令，显然该函数单调递增，，则有两个根， 当时，等式为，不符合题意； 故，等式转化为有两个根，即和有两个交点， 设，求导得， 故当时，，故在上单调递减； 时，，单调递增； 且当时，，， 故如图所示 由图可得，的取值范围是 故选：A. 【点睛】思路点睛：含指对数的函数的零点问题，注意利用同构转化为简单函数的零点问题. 8．（2023-24高三上·江苏扬州·阶段练习）（多选）已知函数，为的导函数，则下列说法正确的是（   ） A． B．为奇函数 C．的极小值为 D．在上单调递增 【答案】BD 【详解】因为，所以，，故A错误； 因为且， 所以函数为奇函数，故B正确； 由，解得或， 当或时，，当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极小值为，故C错误； 由在上单调递增，故D正确． 故选：BD． 9．（2023-24高二下·云南昆明·期末）（多选）已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若在上单调递增，则的范围为 D．函数有两个极值点 【答案】ABD 【详解】由，则， A选项：由，解得， ，，A选项正确； B选项：，解得，B选项正确； C选项，D选项：， 由， 所以令，解得或， 所以函数的单调递增区间为和， 单调递减区间为， 则函数函数有两个极值点，D选项正确； 又函数在上单调递增，则，解得， 或，无解，综上，C选项错误. 故选：ABD. 10．（2023-24高三上·陕西西安·期末）函数的极大值点为 . 【答案】 【详解】由，得. 当时，0，当时，， 即函数在上均单调递增，在上单调递减， 从而的极大值点为，极小值点为. 故答案为：. 11．（2023-24高三上·重庆·期中）若函数在其定义域的一个区间内不单调，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】解：函数的定义域是， 所以，即. 因为， 所以在上单调递增， 由，可得 若函数在区间内不单调， 则，解之可得， 又因为，所以. 故答案为：. 12．（2023-24高三上·四川成都·阶段练习）若，，且函数在处有极值，则的最小值等于 ． 【答案】 【详解】函数，求导得， 由函数在处有极值，得，解得， 此时，由，得， 当时，，当时，，函数在处取得极值， 因此，， 当且仅当时取等号， 所以的最小值等于. 故答案为： 13．（2023-24高三上·江西新余·阶段练习）已知函数. (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值． 【答案】(1)单调递增区间为；递减区间为 (2) 【详解】（1）易知函数的定义域为， 令，得或， 令，得， 故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ∴函数的单调递增区间为；递减区间为. （2）由（1）得，当时，函数单调递增， 当时，函数单调递减， 所以. 14．（2023-24高三上·上海松江·期中）已知函数. (1)求函数在上的单调减区间； (2)若函数在区间上有且只有两个极大值点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为 ， 由，则， 令，解得， 所以函数在上的单调递减区间为； （2）由，则， 因为函数在区间上有且只有两个极大值点， 所以，解得， 即实数的取值范围. 15．（2023-24高三上·上海嘉定·阶段练习）设函数，. (1)求方程的实数解； (2)若不等式对于一切都成立，求实数b的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，代入方程得：， 即，解得，即. （2）不等式即， 原不等式可化为对都成立， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故当时，， 所以，即，解得：. 16．（2023-24高二下·四川遂宁·期中）已知函数． (1)求函数的单调区间． (2)若对，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）因， 由可解得，或；由可解得，. 故函数的单调递增区间为：和； 函数的单调递减区间为：. （2）因等价于，依题意，需求函数在区间上的最小值. 由（1）知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故，所以. 即实数的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 预习04 函数的极值（点）与最值 知识点 1 ：函数的极值 1.极值的概念：若函数在点附近有定义， 如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作； 如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作； 极大值与极小值统称为极值，称为极值点． 2.求可导函数极值的步骤 求导函数求方程的根考查在方程的根附近的左右两侧导数值的符号如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值． 知识点 2 ：函数的最值 1.最值的概念： 函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我们有如下结论：一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 2.求可导函数最值的步骤： 求在内的极值（极大值或极小值）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 知识点 3 ：函数的最值与极值的关系 1.极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； 2.在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； 3.函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； 4.对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 考点01 求函数的极值（点） 【方法点拨】求可导函数的极值的步骤：①求函数的定义域;②求函数的导数; ③令,求出全部的根;④列表:方程的根将整个定义域分成若干个区间,把在每个区间内的变化情况列在一个表格内;⑤判断得结论:若导数在附近左正右负,则在处取得极大值;若左负右正，则取得极小值. 例1．下列函数中，存在极值的是（   ） A． B． C． D． 例2．求下列函数的极值. (1)； (2). 变式1-1．（多选）下列函数中，存在极值点的是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．（多选）已知，函数，则下列说法正确的是（    ） A．若为奇数，则是的极小值点 B．若为奇数，则是的极大值点 C．若为偶数，则是的极小值点 D．若为偶数，则是的极大值点 变式1-3．已知函数. (1)求的单调区间； (2)求的极值. 考点02 求不含参函数的最值 【方法点拨】求解函数在固定区间上的最值的步骤：①对函数进行准确求导,并检验的根是否在给定区间内；②研究函数的单调性,正确确定极值和端点函数值；③比较极值与端点函数值的大小,确定最值 例3．已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求在区间上的值域. 例4．函数的最小值为（    ） A． B．12 C．9 D． 变式2-1．函数 的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 变式2-2．已知在处取得极值. (1)求实数的值； (2)求在区间上的最大值. 变式2-3．函数的最小值为（   ） A． B． C．0 D． 考点03 导函数图象与极值（点）、最值的关系 【方法点拨】（1）对于原函数,要注意其图象在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减; （2）对于导函数,则应注意其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零 例5．（多选）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中正确的是（    ） A．函数在处取得极大值 B．函数在处取得极值 C．在区间上单调递减 D．的图象在处的切线斜率小于零 例6．已知函数的导函数的大致图象如图所示，则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 变式3-1．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列关于函数的说法正确的是（    ） A．单调减区间是 B．是极大值点 C．没有最大值 D．最多能有四个零点 变式3-2．（多选）如图是函数的导函数的图象，则以下说法正确的为（　　） A．是函数的极值点 B．函数在处取最小值 C．函数在处切线的斜率小于零 D．函数在区间上单调递增 变式3-3．（多选）如图所示是的导函数的图象，则下列结论中正确的是（    ）    A．在区间上单调递增 B．是的极小值点 C．在区间上单调递减 D．是的极小值点 考点04 由极值（点）求参数的值或取值范围 【方法点拨】（1）利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程,从而求出参数的值. （2）导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件,所以必须对求出的参数值进行检验,看是否符合函数取得极值的条件. 例7．（多选）已知函数的极小值点为1，极小值为.则（    ） A． B． C．有3个零点 D．直线与的图像仅有1个公共点 例8．若函数有极值，则实数的取值范围是 ． 变式4-1．若函数在时取得极小值，则的极大值为（   ） A． B． C． D． 变式4-2．已知函数在处取得极大值，则 ． 变式4-3．函数无极值，则实数的取值范围是 . 考点05 利用函数极值解决函数零点（方程根）问题 【方法点拨】（1）研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题.一般地,方程的根就是函数的图象与轴交点的横坐标,方程的根就是函数与的图象的交点的横坐标； （2）利用导数可以判断函数的单调性,研究函数的极值情况,并能在此基础上画出函数的大致图象,从直观上判断函数图象与轴的交点或两个函数图象的交点的个数,从而为研究方程根的个数问题提供了方便. 例9．函数在上的零点个数为 例10．（多选）已知函数，若函数恰有两个零点，则c可以为（    ） A． B．6 C．4 D．2 变式5-1．若函数的导数，的最小值为，则函数的零点为（    ） A．0 B． C． D． 变式5-2．函数的零点个数为 ，其极小值为 . 变式5-3．已知函数有一个零点，则的取值范围是 考点06 求函数的最值求参数 【方法点拨】已知函数最值求参数的步骤：①求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值.； ②通过比较它们的大小,判断出哪个是最大值,哪个是最小值；③结合已知求出参数,进而使问题得以解决.注意分类讨论思想的应用. 例11．已知函数，当时，函数取得最大值，则（    ） A． B．或 C． D． 例12．设函数. (1)求曲线的单调区间； (2)已知在区间上的最大值为13，求的值. 变式6-1．已知函数 (1)求的单调增区间和单调减区间 (2)若在区间上的最小值为，求实数的值 变式6-2．已知函数在区间上的最小值为1，则实数a的值为（    ） A．-2 B．2 C．-1 D．1 变式6-3．如果函数在上的最大值是2，那么在上的最小值是 . 考点07 恒成立问题 【方法点拨】（1）不等式恒成立问题的转化技巧： ①或恒成立或； ②或)恒有解或）； ③恒成立其中）; ④恒有解其中). （2）对于函数,若存在,使得或成立,则或. 例13．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例14．已知函数在处取得极值. (1)求的单调区间； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 变式7-1．已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若恒成立，求实数的取值范围； 变式7-2．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 变式7-3．已知函数，若在定义域上恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点08 含参函数的最值问题 例15．已知函数． (1)若是函数的极值点，求在处的切线方程． (2)若，求在区间上最大值． 例16．已知函数，．讨论函数的最值； 变式8-1．设函数 (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，求证： (3)当时，求函数在上的最小值 变式8-2．已知函数 (1)当时，求的极值； (2)若，求在区间的最小值. 变式8-3．已知函数，当时，求函数的最大值． 考点09 利用导数解决实际问题 【方法点拨】①分析实际问题中各量之间的关系,找出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式;②求函数的导数,解方程; ③比较函数在区间端点和极值点的函数值大小,最大(小)者为最大(小)值; ④把所得数学结论回归到数学问题中,看是否符合实际情况并下结论. 例17．在经济学中，收益是指产品售出后所得的收入，收益函数可表示为销售量与销售单价的乘积.若某商品的单价为，经市场研究分析表明，销售量可表示为（其中均为正数，且，则此时的最大收益为（    ） A． B． C． D． 例18．某箱子的容积V与底面边长x的关系为，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 变式9-1．已知圆锥的外接球半径为2，则该圆锥的最大体积为 . 变式9-2．喀什二中拟在高二年段举行手工制作书柜比赛，现有一边长为的正方形硬纸板，纸板的四角截去四个边长为的小正方形，然后做成一个无盖方柜， (1)试把方柜的容积表示为的函数？ (2)多大时，方柜的容积最大？并求最大容积． 变式9-3．现有一批货物从上海洋山深水港运往青岛，已知该船的最大航行速度为35海里/小时，上海至青岛的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费用和其余费用组成. 轮船每小时使用的燃料费用与轮船速度的平方成正比（比例系数为0.6），其余费用为每小时960元． （1）把全程运输成本y元表示为速度x（海里/小时）的函数； （2）为了使全程运输成本最小，轮船应以多大的速度航行？ 1．（2023-24高二上·陕西西安·期末）函数的极小值为（   ） A． B． C． D．不存在 2．（2023-24高三上·山东济南·阶段练习）函数在上的最小值为（    ） A．0 B．1 C． D． 3．（2023-24高三上·四川达州·阶段练习）已知可导函数的部分图象如图所示，为函数的导函数，下列结论不一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 4．（2023-24高二下·山东·期中）若函数在上有小于0的极值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2023-24高二上·河南·阶段练习）若函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2023-24高二下·新疆乌鲁木齐·期中）若函数（）在上的最大值为，则（   ） A． B． C． D． 7．（2023-24高三上·江苏·阶段练习）已知函数有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2023-24高三上·江苏扬州·阶段练习）（多选）已知函数，为的导函数，则下列说法正确的是（   ） A． B．为奇函数 C．的极小值为 D．在上单调递增 9．（2023-24高二下·云南昆明·期末）（多选）已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若在上单调递增，则的范围为 D．函数有两个极值点 10．（2023-24高三上·陕西西安·期末）函数的极大值点为 . 11．（2023-24高三上·重庆·期中）若函数在其定义域的一个区间内不单调，则实数的取值范围是 . 12．（2023-24高三上·四川成都·阶段练习）若，，且函数在处有极值，则的最小值等于 ． 13．（2023-24高三上·江西新余·阶段练习）已知函数. (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值． 14．（2023-24高三上·上海松江·期中）已知函数. (1)求函数在上的单调减区间； (2)若函数在区间上有且只有两个极大值点，求实数的取值范围. 15．（2023-24高三上·上海嘉定·阶段练习）设函数，. (1)求方程的实数解； (2)若不等式对于一切都成立，求实数b的取值范围. 16．（2023-24高二下·四川遂宁·期中）已知函数． (1)求函数的单调区间． (2)若对，恒成立，求实数的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$