复习03 直线与圆的综合（九大考点）-2025年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

2025年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 复习03 直线与圆的综合 知识点 1 ：直线与圆的位置关系的判断方法 判断方法 几何法 由圆心到直线的距离与半径长的大小关系来判断 代数法 联立直线与圆的方程，消元后得到关于（或）的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数来判断 相离 相切 相交 知识点 2 ：圆与圆位置关系的两种判断方法 （1）几何法：由两圆的圆心距d与半径长的关系来判断（如下图，其中）． 图示 d与的关系 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 （2）代数法：设圆①，圆②， 联立①②， 如果该方程组没有实数解，那么两圆相离； 如果该方程组有两组相同的实数解，那么两圆相切； 如果该方程组有两组不同的实数解，那么两圆相交． 知识点 3 ：两圆相交时公共弦所在直线的方程 设圆①，圆②， 若两圆相交，则有一条公共弦，由，得③． 方程③表示圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程． 考点01 直线与圆的位置关系的判断 【方法点拨】判断直线与圆位置关系的两种方法： （1）几何法：由圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系判断． （2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． 例1．已知直线与圆，点， ①若点在圆上，则直线与圆相切   ②若点在圆内，则直线与圆相交 ③若点在圆外，则直线与圆相离   ④若点在直线上，则直线与圆相切 则上述说法正确的是 ． 【答案】①④ 【详解】圆心到直线的距离， 对于①，若点在圆上，则，所以，直线与圆相切，故①正确； 对于②，若点在圆内，则，所以，直线与圆相离，故②错误； 对于③，若点在圆外，则，所以，直线与圆相交，故③错误； 对于④，若点在直线上，则，即， 所以，直线与圆相切，故④正确. 故答案为：①④. 例2．曲线 与直线有公共点，则k的取值范围是 . 【答案】 【详解】直线过定点，由得，故曲线是圆心为，半径为的上半圆，如图所示： 当直线与半圆相切时， 设切线倾斜角为，，则，∴切线的斜率， 所以曲线 与直线有公共点，则k的取值范围是. 故答案为：. 变式1-1．已知直线关于对称的直线与圆相离，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【详解】设直线上任一点为，则其关于的对称点在直线上， ∴，且， ∴，即， ∴直线， ∵圆，即， ∴圆心，半径，且， ∴圆心到直线的距离， ∵直线与圆相离， ∴，即，又，解得. 故选：C. 变式1-2．如果直线与圆相切，则的值（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题，圆心到直线的距离等于半径，即， 故选：B． 变式1-3．为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交 【答案】C 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为M在圆内，且不为圆心，则， 则圆心到直线的距离为， 所以直线与该圆的位置关系为相离. 故选：C． 考点02 弦长与面积问题 【方法点拨】由于半径r、弦长距d、弦长l的一半构成直角三角形，所以利用求解 例3．若圆上存在点，直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为圆上存在点，直线上存在点，使得， 所以直线与圆有公共点. 所以，解得. 故选：A 例4．在平面直角坐标系中，已知直线与圆相交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】圆的圆心为半径， 圆心到直线的距离，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：D 变式2-1．若直线截得圆的弦长为2，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．12 D．16 【答案】B 【详解】由圆的方程知：圆心坐标为，半径为1， 因直线截圆的弦长为2，故该直线过圆心， 即，则有，因, 则由， 当且仅当时取等号，即时，取得最小值为6. 故选：B. 变式2-2．已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)若直线与圆相交于、两点，点，求的面积. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）由题意， 在圆中， ，圆心,半径, 由,可得点在圆外, 当过点的直线斜率存在时， 设直线方程为， 即, 则圆心到直线的距离为,解得：, ∴的方程为,即, 当过点的直线斜率不存在时, 的方程为,此时与圆相切, ∴的方程为或； 综上，的方程为：或 （2）由题意及（1）得， 设点到直线的距离为，中点为， ， 在中，， 由几何知识得，, ， 由勾股定理得，， ∴， ∴ 变式2-3．在平面直角坐标系中，圆经过和点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线被圆截得弦长为，求实数的值 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）依题意，线段的中点，直线的斜率， 则线段的垂直平分线的方程为，由，解得， 因此圆的圆心，半径， 所以圆的方程为. （2）由直线被曲线截得弦长为，得圆心到直线的距离 因此，解得， 所以实数的值为. 考点03 切线问题、切线长问题 【方法点拨】】求切线方程的常用方法： （1）求过圆上一点的圆的切线方程的方法 先求切点与圆心的连线所在直线的斜率，再由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式方程可得切线方程．若或不存在，则切线的斜率不存在或为0，从而可直接得切线方程为或. （2）求过圆外一点的圆的切线方程的方法 设切线方程为，由圆心到直线的距离等于半径长，可求得，切线方程即可求出． 注意：过圆外一点的切线必有两条，当求得的值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出． 例5．已知圆的圆心在直线上，且点，在上. (1)求圆的标准方程； (2)若倾斜角为的直线经过点，且与圆相交于D，E两点，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设线段的中点为，则， 因为直线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线所在的直线方程为， 由得， 所以圆心，半径为， 所以圆的标准方程为； （2）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 又直线经过点，所以直线的方程为， 即， 所以点到直线的距离为， 所以. 例6．已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为 . 【答案】 【详解】由圆，则圆心为，故，则点P处的切线斜率为， 所以圆在点P处的切线方程为，可得. 故答案为： 变式3-1．已知直线与y轴交于点A，点P在直线l上（异于点A），过点P作圆的两条切线，切点分别为M，N，当最大时，四边形的面积为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】如图所示，连接，易知，，， 又，因此当最大时，也最大， 此时也最大，即最小，此最小值即为点O到直线l的距离， 则四边形的面积为． 故选：A． 变式3-2．已知直线，圆． (1)若，求直线被圆所截得的弦长； (2)已知直线过定点，过点作圆的切线，求点的坐标及该切线方程． 【答案】(1) (2)，或 【详解】（1）圆的圆心，半径， ，圆心到直线的距离， 所以直线被圆所截得的弦长为； （2）直线变形得， 令，则， 所以直线过定点， 当直线的斜率不存在时，方程为， 此时，圆心到直线的距离等于半径，符合题意； 当直线的斜率存在时，设方程为，即， 则圆心到切线的距离为，解得， 所以直线方程为，即， 综上所述所求直线方程为或. 变式3-3．已知直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】曲线是圆的上半部分，且含端点， 由过点定点，如下图， 由图知，当与半圆左上部相切时，且，可得， 结合图知. 故选：B 考点04 切点弦问题 例7．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 若切线斜率不存在时，则直线方程为，此时，圆心到直线的距离为，不合乎题意； 当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即， 则有，整理可得， 则， 设两切线的斜率分别为、， 则、为关于的方程的两根， 由韦达定理可得，， 所以，， 所以，， 由题意，，由，解得. 故选：D. 例8．已知，，三点，点在圆上运动． (1)若的最大值和最小值分别为和，求的值； (2)过点向圆作切线，切点分别为，，求直线的一般式方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，且， 故 ， 而，当时，取得最小值， 当时，取得最大值， 所以； （2）因为过且斜率不存在的直线不是圆的切线， 过且斜率为0的直线也不是圆的切线， 所以直线，，，的斜率都存在， 设切点，，则，， 直线方程为， 整理得， 同理可得直线方程为：， 由直线，均过点，则， ， 即点，都在直线上， 所以直线的方程为. 变式4-1．若一个圆的圆心为，且该圆与直线相切，则该圆的标准方程为 ，过点作该圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 . 【答案】 【详解】①点到直线距离等于半径， ∴，∴圆的标准方程为 ②当斜率不存在时，切线：，与圆相切与点； 由圆的切线的性质可知，， ∴ ∴，即 故答案为：①② 变式4-2．已知圆，是x轴上动点，分别是圆的切线，切点分别为两点，则直线恒过定点 ． 【答案】 【详解】设,，易知 由平面向量数量积的几何意义可知， 所以有 所以点在直线上 故直线的方程为，过定点 故答案为： 变式4-3．已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为 . 【答案】 【详解】由题意，切点弦所在直线的方程为: ， 化简得：. 故答案为：. 考点05 圆的轨迹问题 【方法点拨】求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：根据题目条件，建立关于动点的几何关系，再利用有关公式(如两点间的距离公式、点到直线的距离公式等)进行整理、化简． （2）代入法：如果动点依赖于另一动点，而又按某个规律运动，则可先用表示，再把代入它满足的条件便得到动点的轨迹方程． 例9．已知为直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为 ． 【答案】 【详解】设， 过点引圆的两条切线，切点分别为， 则切点在以为直径的圆上， 圆心，半径，则圆的方程是， 整理为：， 又点在圆上， 两圆方程相减得到， 即直线的方程是，因为， 代入得，则直线恒过定点， 所以点到直线的距离， 所以点到直线的距离的最大值为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：首先本题求以为直径的圆，利用两圆相减，求得过两圆交点的直线方程，关键是发现直线过定点，这样通过几何关系就容易求定点与动直线距离的最大值. 例10．已知直线，圆，若直线上存在两点，圆上存在点，使得，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得点在以线段为直径，中点为圆心的动圆上， 令圆的圆心为，则，当且仅当时取等号， 而点在圆上，则圆与圆必有公共点，显然点在圆外，于是， 又有最小值2，无最大值，因此无最大值，， 所以的取值范围是. 故选：C 变式5-1．在平面直角坐标系中，，，直线上存在点满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】设，则， 整理化简得， 若直线上存在点满足， 即直线与圆有公共点， 易知圆的圆心为，半径为， 故圆心到直线的距离， 解得， 故答案为：． 变式5-2．在平面直角坐标系中，已知点，且动点满足，则动点的轨迹与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．外离 D．内切 【答案】C 【详解】，得， 则，整理得， 表示圆心为，半径为的圆， 圆的圆心为，半径， 两圆的圆心距为，满足， 所以两个圆外离. 故选：C. 变式5-3．已知点在圆上运动，点是的中点，记点的轨迹为曲线.若直线过定点，且与曲线有且仅有一个公共点，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】设， ∵M是线段中点， ∴，整理可得， ∵A在圆上，∴， 整理可得曲线的方程为：．曲线E是以圆心，半径的圆， 所以若直线l与曲线E只有一个公共点，即直线l与曲线E相切． 当直线l斜率不存在时，方程为，是圆的切线，满足题意； 当直线l斜率存在时，设其方程为，即， ∴圆心到直线l的距离，解得， 所以直线l的方程为，即． 综上，直线l的方程为或． 故选：D． 考点06 圆中的最值(范围)问题 例11．已知，，若圆上存在点满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设点，则由得点的轨迹方程为， 圆心为，半径为2， 由此可知圆与有公共点， 又圆的圆心为，半径为3， 所以，解得，即的取值范围是. 故选：A. 例12．已知直线过定点，圆的方程为，若是直线与圆的一个交点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由直线可得， 令，解得，所以直线过定点， 因为圆的方程为，而， 所以点在圆内部，即直线与圆相交，点是圆上的任意一点， 因为，设， 所以 ，其中， 则当时，取得最大值，且最大值为 故选：C 变式6-1．（多选）已知实数、满足方程，则下列说法正确的是（   ） A．直线被圆截得的弦长为 B．的最大值 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】CD 【详解】对于A选项，实数、满足方程， 所以把看作是以为圆心，以为半径的圆上点， 由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离， 于是弦长，故A错误； 对于B选项，原点到圆心的距离为，所以圆上的点到原点的距离的范围为， 所以，即， 所以的最大值为，故B错误； 对于C选项，令，则直线与圆有公共点，所以，， 解得，所以的最大值为，故C正确； 对于D选项，令，则直线与圆有公共点，所以， 解得，所以的最大值为，故D正确. 故选：CD. 变式6-2．（多选）已知，，是曲线上的任意一点，若的值与无关，则（   ） A．m的取值范围为 B．n的取值范围为 C．的最大值为7 D．的最小值为 【答案】ACD 【详解】由曲线，得，则（）， 所以曲线表示以为圆心，半径的半圆（轴及以上部分）. 设直线：与：， 由， 得表示点到直线和的距离和的倍， 对于AB，若的值与无关， 则该曲线在两平行直线：与：之间， 当与该曲线相切时，，解得， 则的取值范围为， 当经过点时，，解得， 则的取值范围为，故A正确，B错误； 对于C，由图知，当点的坐标为时， 点到直线的距离最大，为， 所以的最大值为7，故C正确； 对于D，由图可知，当与该曲线相切，且经过点时， 点到直线和的距离和最小， 此时， 则点到直线和的距离和最小值为， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：将转化为点到直线和的距离和的倍，是解决本题的关键. 变式6-3．已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由圆的方程知：圆心，半径， ， 的几何意义是圆上的点与点连线的斜率， 设过点的圆的切线方程为：，即， 圆心到切线的距离，解得：， ，. 故选：C. 考点07 圆与圆的位置关系 【方法点拨】判断圆与圆的位置关系的一般步骤：①将两圆的方程化为标准方程；②分别求出两圆的圆心坐标和半径；③求两圆的圆心距；④比较与的大小；⑤根据大小关系确定圆与圆的位置关系． 例13．圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．内含 【答案】C 【详解】的圆心和半径为， 的圆心和半径为, 故两圆的圆心距离为, 故两圆为外切， 故选：C 例14．已知圆的标准方程是，圆关于直线对称，则圆与圆的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．内含 【答案】C 【详解】由题意可得，圆的圆心为，半径为5. 因为圆关于直线对称， 又的圆心为， 所以，解得， 所以圆，圆心为，半径为2， 则两圆圆心距， 因为， 所以圆与圆的位置关系是相交. 故选：C. 变式7-1．已知圆，圆，直线． (1)若圆与圆外切，求实数的值； (2)若与圆都相切，求实数的值． 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）化为标准方程， 两圆的圆心和半径分别为 则，解得或. （2）圆心到直线的距离，解得（舍负）， 圆心到直线的距离，解得或. 变式7-2．已知圆与圆恰有三条公切线，则（   ） A．15 B．23 C．21 D．17 【答案】B 【详解】的标准形式为. 所以，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为两圆有三条公切线，所以两圆外切， 所以，解得. 故选：B. 变式7-3．如图，在边长为的正内部的两圆，与外切，且与两边相切，与两边相切，则两圆的半径之和的最小值为 . 【答案】 【详解】如图1，设圆与圆的半径分别为， 圆与圆与边的切点分别为点，过作，垂足为， 因为， 所以， 设为边中点，则， 因为圆与圆是边长为的正三角形内部的两圆， 所以，当圆为边长为的正三角形的内切圆时，取最大，取最小，如图2， 则，即，所以，， 所以，在中，， 所以，，即， 因为，所以，，解得， 所以，的最小值为，当且仅当时等号成立. 故答案为：. 考点08 两圆的公共弦问题 【方法点拨】两圆相减先得到公共弦的方程，然后在一个圆内进行求弦长 例15．若圆与圆的公共弦的长为，则圆的半径为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】解法一：由，得， 所以圆的圆心为，半径为， 所以， 可得，所以圆的半径为. 解法二：两圆的方程相减，可得公共弦所在直线方程为.因为两圆的公共弦的长为， 所以圆心到直线的距离为， 故，解得. 将圆的方程化为标准方程，可得， 所以圆的半径为. 故选：C. 例16．（多选）已知圆，圆，（，且，不同时为0）交于不同的两点，，下列结论正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】圆和圆交于不同的两点，， ∴两圆方程相减可得直线的方程为：， 即，分别把点，两点坐标代入 得：，， 上面两式相减得：， 即，所以选项A正确； 由上得：，所以选项B正确； ∵两圆的半径相等，∴由圆的性质可知，线段与线段互相平分， 则有，， 变形可得，，故C正确，D错误. 故选：ABC 变式8-1．已知圆与圆相交于A，B两点，则两圆公共弦所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，① ，② ①②得. 故选：B. 变式8-2．已知圆与圆相交所得的公共弦长为，则圆的半径（ ） A． B． C．或1 D． 【答案】C 【详解】两圆相减得公共弦方程为：， 根据题意可知，圆的圆心到公共弦的距离， 解得：或， 当时，圆的标准方程为：， 当时，圆的标准方程为：， 所以或. 故选：C 变式8-3．在平面直角坐标系xOy中，圆C过和，且圆心在直线上； (1)求圆C的标准方程； (2)在（1）的条件下，过点分别作圆C的两条切线，（Q，R为切点），求直线的方程，并求弦长. 【答案】(1)； (2)，. 【详解】（1）因为圆心在直线，设圆心， 则，解得， 故圆心为，半径为，则圆的标准方程为； （2）由题意，，，则四点共圆且为直径， 因为，所以的中点为，， 以线段为直径的圆为，整理得， 因为也在圆上，所以由两圆的方程作差，得，即， 故直线的方程为. 因为到直线的距离， 所以 考点09 两圆的公切线问题 例17．写出与圆和圆都相切的一条直线方程 . 【答案】（或或，任写一条即可，答案不唯一） 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆心距为，故两圆外切， 两圆圆心所在直线的方程为，即，中点为， 切线垂直于直线，且经过中点，所以切线的方程为； 切线平行于直线，且到直线的距离为， 设平行于直线切线方程为， 则或， 所以切线的方程分别为.    故答案为：（或或，任写一条即可，答案不唯一）. 例18．圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 【答案】D 【详解】如图： 由图可知圆与圆的内公切线有一条为轴， 则公切线的长为， 方法二：， 所以内公切线的长为： 故选：D 变式9-1．已知圆，圆，则的公切线方程为 ．（写出一条即可） 【答案】，，（三个方程写出一个即给满分） 【详解】因为，的半径均为1，则外切，结合图像可知，的公切线方程为，，． 故答案为：，， 变式9-2．（多选）圆与圆相交于，两点，下列说法正确的是（    ） A．的直线方程为 B．公共弦的长为 C．圆与圆的公切线段长为1 D．线段的中垂线方程为 【答案】AC 【详解】由，得，则，半径， 由，得，则，半径， 对于A，公共弦所在的直线方程为， 即，所以A正确， 对于B，到直线的距离， 所以公共弦的长为，所以B错误， 对于C，因为，，， 所以圆与圆的公切线长为，所以C正确， 对于D，根据题意可知线段的中垂线就是直线，因为， 所以直线为，即，所以D错误， 故选：AC. 变式9-3．已知圆A的方程为，圆的方程为. (1)判断圆A与圆是否相交，若相交，求过两交点的直线方程及两交点间的距离；若不相交，请说明理由. (2)求两圆的公切线长. 【答案】(1)两圆相交，，； (2). 【详解】（1）圆A：，圆：， 两圆心距， ∵， ∴两圆相交， 将两圆方程左、右两边分别对应相减得：， 此即为过两圆交点的直线方程. 设两交点分别为、，则垂直平分线段， ∵A到的距离， ∴. （2）设公切线切圆A、圆的切点分别为，，则四边形是直角梯形. ∴， ∴. 1．（2024-25高二上·江苏南通·期中）已知圆，圆，则与圆和都相切的直线的条数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 圆心距为，所以，， 所以，两圆相交，故两圆的公切线条数为. 故选：B. 2．（2024-25高二上·山东·阶段练习）直线与以点为圆心的圆相交于A，B两点，且，则圆C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】点到直线的距离为， 所以圆C的半径为， 则圆C的方程为. 故选：A. 3．（2024-25高二上·重庆·期中）一条光线从点射出，经反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 由题意知切线的斜率存在，设直线方程为：，即， 由，可得，半径， 则圆心到切线的距离等于半径，即， 整理得：，解得或. 故选：B. 4．（2024-25高三上·湖北黄冈·阶段练习）（多选）已知直线与圆，则（   ） A．直线过定点 B．圆的半径为4 C．直线与圆一定相交 D．圆心到直线的距离的最大值是1 【答案】ACD 【详解】直线变形为，故，解得，故直线过定点，A正确， 圆为，故半径为2，B错误， 由于定点在圆内，故直线与圆一定相交，C正确， 到圆心的距离为1，故当定点与圆心的连线与直线垂直时，距离最大，故圆心到直线的距离的最大值是1，D正确， 故选：ACD 5．（2024·广东·模拟预测）已知圆与圆交于、两点，则（为圆的圆心）面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得：，所以圆心，半径， 由两圆相交于、两点可知：， 所以的面积， 因为是半径为的圆，所以， 当时，， 又， 此时由，解得，，故可以取最大值， 所以当时，最大，且是锐角， 根据函数的单调性可知：当时，最大， 在中由余弦定理可得：， 所以，所以， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：利用三角形的面积公式表示面积之后，关键点在于利用圆的几何性质寻找的最大值，从而确定面积的的最大值. 6．（2024-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知点，若曲线上存在两点，，使为正三角形，则称为型曲线.给定下列三条曲线：①；②；③.其中，是型曲线的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】对于①，到直线的距离为，若直线上存在两点，，使为正三角形，则， 以为圆心，以为半径的圆的方程为，联立，如图，可求解出两解，所以曲线①是型曲线. 对于②，化为，图形是半圆（包括端点），则由为顶点的角两边能与半圆找到交点，故曲线②也是型曲线， 对于③，过分别作倾斜角为和的直线交于，两点， 则， 同时过倾斜角为和的直线关于对称，也关于对称， 所以曲线上存在两点，，使为正三角形，所以曲线③是型曲线. 故选：D 7．（2024-25高二上·湖北武汉·期中）（多选）直线：与圆：的公共点的个数可能为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】BC 【详解】圆：的圆心为，半径， 当时，点到直线的距离， 因此直线与圆相切或相交，所以直线与圆的公共点个数为或． 故选：BC． 8．（2024-25高三上·山东临沂·阶段练习）（多选）下列命题正确的有（    ） A．若方程表示圆，则的取值范围是 B．若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是 C．已知点在圆上，的最大值为 D．已知圆和，圆和圆的公共弦长为 【答案】ACD 【详解】对于A：若方程表示圆， 则，解得或， 即的取值范围是，故A正确； 对于B：设圆心，则圆心到直线的距离为， 解得（负值已舍去），即圆心为，所以圆的标准方程是，故B错误； 对于C：圆，即， 圆心，半径，表示圆上的点与点连线的斜率， 可得相切时取得最值，设切线为，则， 解得或，所以的最大值为，故C正确； 对于D：圆，即，圆心，； 圆，即，圆心，； 所以，所以圆和圆相交， 两圆相减可得， 所以圆心到直线的距离， 所以弦长为，所以公共弦长为，故D正确. 故选：ACD 9．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，，分别在轴、轴正半轴上移动，，若点满足，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】取的中点为，连接， 则， ， 故在以为圆心，为半径的圆上. 由条件知，在以为直径的半圆上，故. 故答案为：. 10．（2024-25高二上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，圆以原点为圆心，且经过点．则圆的方程为 ；若直线与圆交于两点A，B，则弦长 . 【答案】 【详解】由题意，圆的半径为， 则圆的方程为； 圆到直线的距离为， 则弦长. 故答案为：；. 11．（2024-25高二上·天津滨海新·期中）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大.”如图，其结论是：点为过两点且和射线相切的圆与射线的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标是 . 【答案】2 【详解】因为则线段的中点坐标为，易知， 则经过、两点的圆的圆心在线段的垂直平分线上， 设圆心为，则圆的方程为， 当取最大值时，圆必与轴相切于点（由题中结论得）， 则此时的坐标为， 代入圆的方程得，解得或， 即对应的切点分别为和， 因为对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大， 又过点、、的圆的半径大于过点、、的圆的半径， 所以，故点为所求，即点的横坐标为. 故答案为：2 12．（2024-25高三上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆，上存在两点关于直线对称. (1)求的半径； (2)过坐标原点的直线被截得的弦长为2，求的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）圆，即， 则圆心为，半径， 因为上存在两点关于直线对称，所以点在直线上， 所以，解得， 所以的半径； （2）由（1）可得，圆心为， 因为过坐标原点的直线被截得的弦长为，所以圆心到直线的距离， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离，符合题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，则，解得， 所以直线的方程为，即； 综上可得直线的方程为或.    13．（2024-25高二上·重庆·阶段练习）已知：圆与圆． (1)当时，判断两圆是否相交．并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． (2)当两圆外切时， ①求的值； ②某直线分别与圆和圆相切于相异的两点，求． 【答案】(1)两圆相交，理由见解析； (2)①，②4. 【详解】（1）由圆与圆， 可知两圆圆心分别为，半径，则， 当时，，则，， 所以，故两圆相交． 两圆方程相减得，即两圆公共弦所在直线的方程为． （2）①若两圆外切，则，即，解得． ②因为，所以. 14．（2024-25高三上·江苏·阶段练习）已知圆：，过点的直线交圆于，两点． (1)若，求此时直线的方程； (2)过，分别作圆的切线，，设直线和的交点为，求证：点在定直线上． 【答案】(1)或 (2)证明见解析 【详解】（1）设，， 当直线的斜率不存在时，：， 联立，解得，，则，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设：， 由，得，则， 联立，可得， 则，解得， 所以，解得， 故直线的方程为或． （2）设，圆为，圆心为， 则以线段为直径的圆的方程为， 化简可得， 上述方程与圆的方程相减得， 因为直线过点，则，所以， 所以点在直线上． 15．（2024-25高二上·山西太原·阶段练习）已知平面内的动点与两个定点的距离的比为，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程，并说明其形状； (2)已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线（为切点），证明：直线过定点，并求该定点坐标； 【答案】(1)，曲线是以为圆心，半径为2的圆； (2)证明见解析， 【详解】（1）设， 由，得， 化简得，即 故曲线是以为圆心，半径为2的圆； （2）由题意知，与圆相切，为切点， 则，则四点共圆 在以为直径的圆上， ，又， 则的中点为， 以线段为直径的圆的方程为， 整理得，①， 又在上，②， 由两圆方程作差即②-①得：. 所以，切点弦所在直线的方程为. 则恒过坐标点. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 复习03 直线与圆的综合 知识点 1 ：直线与圆的位置关系的判断方法 判断方法 几何法 由圆心到直线的距离与半径长的大小关系来判断 代数法 联立直线与圆的方程，消元后得到关于（或）的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数来判断 相离 相切 相交 知识点 2 ：圆与圆位置关系的两种判断方法 （1）几何法：由两圆的圆心距d与半径长的关系来判断（如下图，其中）． 图示 d与的关系 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 （2）代数法：设圆①，圆②， 联立①②， 如果该方程组没有实数解，那么两圆相离； 如果该方程组有两组相同的实数解，那么两圆相切； 如果该方程组有两组不同的实数解，那么两圆相交． 知识点 3 ：两圆相交时公共弦所在直线的方程 设圆①，圆②， 若两圆相交，则有一条公共弦，由，得③． 方程③表示圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程． 考点01 直线与圆的位置关系的判断 【方法点拨】判断直线与圆位置关系的两种方法： （1）几何法：由圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系判断． （2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． 例1．已知直线与圆，点， ①若点在圆上，则直线与圆相切   ②若点在圆内，则直线与圆相交 ③若点在圆外，则直线与圆相离   ④若点在直线上，则直线与圆相切 则上述说法正确的是 ． 例2．曲线 与直线有公共点，则k的取值范围是 . 变式1-1．已知直线关于对称的直线与圆相离，则（    ） A． B． C． D．或 变式1-2．如果直线与圆相切，则的值（   ） A． B． C． D． 变式1-3．为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交 考点02 弦长与面积问题 【方法点拨】由于半径r、弦长距d、弦长l的一半构成直角三角形，所以利用求解 例3．若圆上存在点，直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例4．在平面直角坐标系中，已知直线与圆相交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 变式2-1．若直线截得圆的弦长为2，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．12 D．16 变式2-2．已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)若直线与圆相交于、两点，点，求的面积. 变式2-3．在平面直角坐标系中，圆经过和点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线被圆截得弦长为，求实数的值 考点03 切线问题、切线长问题 【方法点拨】】求切线方程的常用方法： （1）求过圆上一点的圆的切线方程的方法 先求切点与圆心的连线所在直线的斜率，再由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式方程可得切线方程．若或不存在，则切线的斜率不存在或为0，从而可直接得切线方程为或. （2）求过圆外一点的圆的切线方程的方法 设切线方程为，由圆心到直线的距离等于半径长，可求得，切线方程即可求出． 注意：过圆外一点的切线必有两条，当求得的值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出． 例5．已知圆的圆心在直线上，且点，在上. (1)求圆的标准方程； (2)若倾斜角为的直线经过点，且与圆相交于D，E两点，求. 例6．已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为 . 变式3-1．已知直线与y轴交于点A，点P在直线l上（异于点A），过点P作圆的两条切线，切点分别为M，N，当最大时，四边形的面积为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 变式3-2．已知直线，圆． (1)若，求直线被圆所截得的弦长； (2)已知直线过定点，过点作圆的切线，求点的坐标及该切线方程． 变式3-3．已知直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点04 切点弦问题 例7．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 例8．已知，，三点，点在圆上运动． (1)若的最大值和最小值分别为和，求的值； (2)过点向圆作切线，切点分别为，，求直线的一般式方程． 变式4-1．若一个圆的圆心为，且该圆与直线相切，则该圆的标准方程为 ，过点作该圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 . 变式4-2．已知圆，是x轴上动点，分别是圆的切线，切点分别为两点，则直线恒过定点 ． 变式4-3．已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为 . 考点05 圆的轨迹问题 【方法点拨】求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：根据题目条件，建立关于动点的几何关系，再利用有关公式(如两点间的距离公式、点到直线的距离公式等)进行整理、化简． （2）代入法：如果动点依赖于另一动点，而又按某个规律运动，则可先用表示，再把代入它满足的条件便得到动点的轨迹方程． 例9．已知为直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为 ． 例10．已知直线，圆，若直线上存在两点，圆上存在点，使得，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式5-1．在平面直角坐标系中，，，直线上存在点满足，则的取值范围为 ． 变式5-2．在平面直角坐标系中，已知点，且动点满足，则动点的轨迹与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．外离 D．内切 变式5-3．已知点在圆上运动，点是的中点，记点的轨迹为曲线.若直线过定点，且与曲线有且仅有一个公共点，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 考点06 圆中的最值(范围)问题 例11．已知，，若圆上存在点满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例12．已知直线过定点，圆的方程为，若是直线与圆的一个交点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式6-1．（多选）已知实数、满足方程，则下列说法正确的是（   ） A．直线被圆截得的弦长为 B．的最大值 C．的最大值为 D．的最大值为 变式6-2．（多选）已知，，是曲线上的任意一点，若的值与无关，则（   ） A．m的取值范围为 B．n的取值范围为 C．的最大值为7 D．的最小值为 变式6-3．已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点07 圆与圆的位置关系 【方法点拨】判断圆与圆的位置关系的一般步骤：①将两圆的方程化为标准方程；②分别求出两圆的圆心坐标和半径；③求两圆的圆心距；④比较与的大小；⑤根据大小关系确定圆与圆的位置关系． 例13．圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．内含 例14．已知圆的标准方程是，圆关于直线对称，则圆与圆的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．内含 变式7-1．已知圆，圆，直线． (1)若圆与圆外切，求实数的值； (2)若与圆都相切，求实数的值． 变式7-2．已知圆与圆恰有三条公切线，则（   ） A．15 B．23 C．21 D．17 变式7-3．如图，在边长为的正内部的两圆，与外切，且与两边相切，与两边相切，则两圆的半径之和的最小值为 . 考点08 两圆的公共弦问题 【方法点拨】两圆相减先得到公共弦的方程，然后在一个圆内进行求弦长 例15．若圆与圆的公共弦的长为，则圆的半径为（    ） A． B． C．1 D． 例16．（多选）已知圆，圆，（，且，不同时为0）交于不同的两点，，下列结论正确的是(    ) A． B． C． D． 变式8-1．已知圆与圆相交于A，B两点，则两圆公共弦所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 变式8-2．已知圆与圆相交所得的公共弦长为，则圆的半径（ ） A． B． C．或1 D． 变式8-3．在平面直角坐标系xOy中，圆C过和，且圆心在直线上； (1)求圆C的标准方程； (2)在（1）的条件下，过点分别作圆C的两条切线，（Q，R为切点），求直线的方程，并求弦长. 考点09 两圆的公切线问题 例17．写出与圆和圆都相切的一条直线方程 . 例18．圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 变式9-1．已知圆，圆，则的公切线方程为 ．（写出一条即可） 变式9-2．（多选）圆与圆相交于，两点，下列说法正确的是（    ） A．的直线方程为 B．公共弦的长为 C．圆与圆的公切线段长为1 D．线段的中垂线方程为 变式9-3．已知圆A的方程为，圆的方程为. (1)判断圆A与圆是否相交，若相交，求过两交点的直线方程及两交点间的距离；若不相交，请说明理由. (2)求两圆的公切线长. 1．（2024-25高二上·江苏南通·期中）已知圆，圆，则与圆和都相切的直线的条数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024-25高二上·山东·阶段练习）直线与以点为圆心的圆相交于A，B两点，且，则圆C的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2024-25高二上·重庆·期中）一条光线从点射出，经反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．（2024-25高三上·湖北黄冈·阶段练习）（多选）已知直线与圆，则（   ） A．直线过定点 B．圆的半径为4 C．直线与圆一定相交 D．圆心到直线的距离的最大值是1 5．（2024·广东·模拟预测）已知圆与圆交于、两点，则（为圆的圆心）面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．（2024-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知点，若曲线上存在两点，，使为正三角形，则称为型曲线.给定下列三条曲线：①；②；③.其中，是型曲线的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（2024-25高二上·湖北武汉·期中）（多选）直线：与圆：的公共点的个数可能为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（2024-25高三上·山东临沂·阶段练习）（多选）下列命题正确的有（    ） A．若方程表示圆，则的取值范围是 B．若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是 C．已知点在圆上，的最大值为 D．已知圆和，圆和圆的公共弦长为 9．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，，分别在轴、轴正半轴上移动，，若点满足，则的取值范围为 . 10．（2024-25高二上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，圆以原点为圆心，且经过点．则圆的方程为 ；若直线与圆交于两点A，B，则弦长 . 11．（2024-25高二上·天津滨海新·期中）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大.”如图，其结论是：点为过两点且和射线相切的圆与射线的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标是 . 12．（2024-25高三上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆，上存在两点关于直线对称. (1)求的半径； (2)过坐标原点的直线被截得的弦长为2，求的方程. 13．（2024-25高二上·重庆·阶段练习）已知：圆与圆． (1)当时，判断两圆是否相交．并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． (2)当两圆外切时， ①求的值； ②某直线分别与圆和圆相切于相异的两点，求． 14．（2024-25高三上·江苏·阶段练习）已知圆：，过点的直线交圆于，两点． (1)若，求此时直线的方程； (2)过，分别作圆的切线，，设直线和的交点为，求证：点在定直线上． 15．（2024-25高二上·山西太原·阶段练习）已知平面内的动点与两个定点的距离的比为，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程，并说明其形状； (2)已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线（为切点），证明：直线过定点，并求该定点坐标； 2 学科网（北京）股份有限公司 $$