第10讲 函数的极值与最大（小）值（6大知识点+7大题型+分层练习）-2024-2025学年高二数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019选修二）

第10讲 函数的极值与最大（小）值 目录 题型归纳 1 题型01 求已知函数的极值与根据极值求参数 1 题型02 函数（导函数）图象与极值的关系 5 题型03 由导数求函数的最值（不含参） 9 题型04 已知函数最值求参数 12 题型05 函数单调性、极值与最值的综合应用 16 题型06 根据极值点求参数 19 题型07 由导数求函数的最值（含参） 22 分层练习 26 夯实基础 26 能力提升 36 知识点01极值点与极值的概念 1．极小值点与极小值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．极大值点与极大值 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 3．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 注意点：(1)极值点不是点；(2)极值是函数的局部性质；(3)函数的极值不唯一；(4)极大值与极小值两者的大小不确定；(5)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点；(6)若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点． 知识点02函数极值和极值点的求解步骤 (1)确定函数的定义域． (2)求方程f′(x)＝0的根． (3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格． (4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况． 知识点03已知函数的极值求参数的方法 (1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号． 注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件． (2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立． 知识点04函数最值的定义 (1)一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值． 注意点：(1)开区间不一定有最值，闭区间上的连续函数一定有最值；(2)函数f(x)在闭区间[a，b]上连续是f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值的充分不必要条件． 知识点05 最值与极值的区别与联系 (1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言． (2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)． (3)函数f(x)的极值点在定义域内，但不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点． (4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得． 知识点06 求函数最值的步骤 (1)求函数的定义域． (2)求f′(x)，解方程f′(x)＝0. (3)求极值、端点处的函数值，确定最值． 注意：不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较． 题型01求已知函数的极值与根据极值求参数 【例1】（21-22高二上·江苏徐州·期末）函数的极小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求已知函数的极值 【分析】利用导数分析函数的单调性，可求得该函数的极小值. 【详解】对函数求导得，令，可得或， 列表如下： 减 极小值 增 极大值 减 所以，函数的极小值为. 故选：A. 【变式1】（23-24高二上·湖南邵阳·期末）已知函数，若时，取极值0，则ab的值为（    ） A．3 B．18 C．3或18 D．不存在 【答案】B 【知识点】根据极值求参数 【分析】利用导数与极值的定义得到关于的方程组，从而求得，然后再检验时，函数是否能取得极值，由此得解. 【详解】由，得， 因为时，取得极值0， 所以，解得或， 当时，， 此时函数在在处取不到极值； 经检验时，函数在处取得极值0，满足题意； 所以，所以. 故选：B. 【变式2】（23-24高二上·福建福州·期末）已知函数. (1)若曲线在处的切线与y轴垂直，求实数a的值； (2)若函数存在极大值为，求实数a的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知切线（斜率）求参数、根据极值求参数 【分析】（1）求导函数，根据导数的几何意义及切线与y轴垂直建立方程求解即可； （2）求导函数，按照和分类讨论，判断函数的单调性，求出极大值，即可求得a的值. 【详解】（1）依题意，，， 则， 因为在处的切线与y轴垂直，所以，解得； （2）由（1）知， 当时，由得，由得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间， 此时有极大值，解得，不合题意，舍去； 当时，分以下三种情况： 若，则在定义域内恒成立， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间，无极值，舍去； 若，令得或，令得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 此时有极大值，解得； 若，令得或，令得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 此时有极大值， 设，因为，所以在上单调递增， 所以，所以，故此时不存在a符合题意， 综上所述，实数. 【变式3】（23-24高二上·山西运城·期末）已知函数为的导函数． (1)当时，求函数在定义域内的极值； (2)若在内存在增区间，求实数a的取值范围． 【答案】(1)极大值为，无极小值； (2). 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、求已知函数的极值 【分析】（1）求得，根据导函数函数值的正负，即可判断其单调性和极值； （2）将问题转化为在有解，参变分离，构造函数，利用导数求函数最值即可. 【详解】（1）设，其中，则 ， 当时，若，则，故在上为增函数； 若，则，故在上为减函数； 故有极大值，其极大值为，无极小值. （2）因为在内存在增区间，所以在有解， 即在有解， 所以 今，则 令得，令得， 故在单调递减，单调递增 所以， 故. 【点睛】关键点点睛：处理本题第二问的关键是将在内存在增区间，转化为在有解，再参变分离，构造函数，利用导数求其最值即可. 题型02 函数（导函数）图象与极值的关系 【例2】（23-24高二·天津·期中）已知函数，其导函数的图象如图所示，则对于的描述正确的是（    ） A．在区间上单调递减 B．当时取得最大值 C．在区间上单调递减 D．当时取得最小值 【答案】C 【知识点】函数（导函数）图象与极值的关系、函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据导数图象与函数图象的关系可得答案. 【详解】由图可知，时，，为增函数； 时，，为减函数；当时，有极大值，不一定为最大值； 时，，为增函数；当时，有极小值，不一定为最小值； 时，，为减函数； 综上可得只有C正确. 故选：C 【变式1】（23-24高二上·安徽·期末）已知函数为连续可导函数，的图像如图所示，以下命题正确的是（    ）    A．是函数的极大值 B．是函数的极小值 C．在区间上单调递增 D．的零点是和 【答案】B 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系 【分析】根据题意结合导数判断的单调性，进而逐项分析判断. 【详解】因为， 由图可知：，；或，； 且或，；，； 可得或，；，； 且函数为连续可导函数， 则在内单调递减，在内单调递增， 可知有且仅有一个极小值，无极大值，故AC错误，B正确； 由于不知的解析式，故不能确定的零点，故D错误； 故选：B. 【变式2】（22-23高二上·陕西汉中·期末）定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递减 C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极大值 【答案】A 【知识点】函数（导函数）图象与极值的关系、函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据函数的单调性和导数值的正负的关系，可判断A、B；根据函数的极值点和导数的关系可判断C、D的结论． 【详解】在区间上，故函数在区间上单调递增，故A正确； 在区间上，故函数在区间上单调递增，故B错误； 当时，，可知函数在上单调递增，故不是函数的极值点，故C错误； 当时，，单调递减；当时，，单调递增，故函数在处取得极小值，故D错误， 故选：A. 【变式3】（21-22高二·北京平谷·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，那么（    ） A．函数在上不单调 B．函数在的切线的斜率为0 C．是函数的极小值点 D．是函数的极大值点 【答案】D 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系 【分析】根据导函数的图象与原函数的关系逐个判断即可 【详解】对A，在上，故函数在上单调，故A错误； 对B，，故函数在的切线的斜率大于0，故B错误； 对C，左右两边都有，故不是函数的极小值点； 对D，且在左侧，右侧，故是函数的极大值点，故D正确； 故选：D 题型03 由导数求函数的最值（不含参） 【例3】（21-22高二上·北京·期末）已知是函数的一个极值点，其中a为实数，则在区间上的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】根据极值点求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】求得，根据题意求得，进而得出函数的单调区间和极大值，结合，即可求得函数的最大值，得到答案. 【详解】由函数，可得， 因为是函数的一个极值点，所以，解得， 则，其中， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得极大值，极大值为， 又因为， 所以函数在上的最大值为. 故选：C. 【变式1】（23-24高二上·福建福州·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】依题意，在区间上恒成立，分离参数可得实数a的最大值. 【详解】由题意， 因为函数在区间上单调递减， 所以在区间上恒成立，即， 令，则， 又，所以，所以在为减函数， 所以， 所以，即实数a的最大值是. 故选：C 【变式2】（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知直线与函数的图象相切，则的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、求过一点的切线方程 【分析】设出切点坐标，求出切线方程为，从而可得，构造函数，求出其最小值即可得答案. 【详解】设切点为，，所以切线的斜率， 则切线方程为，即， 故， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即的最小值为. 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知函数的图象在点处的切线方程是. (1)求，的值； (2)求函数在区间上的最大值与最小值. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知切线（斜率）求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求导，根据切线的方程可得，即可求解， （2）求导，得函数的单调性，即可比较端点值以及极值点处的函数值得最值. 【详解】（1），， 所以，解得， （2）由（1）得， 当，令，解得或， 故在和单调递增，在单调递减， 又，， ， 由于，， 所以 题型04 已知函数最值求参数 【例4】（21-22高二上·江西九江·期末）若函数在区间内存在最大值，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知函数最值求参数 【分析】利用函数的导数，求解函数的极值，推出最大值，然后转化列出不等式组求解的范围即可． 【详解】， 或， ∴在单调递减，在单调递增，在单调递减， ∴f(x)有极大值， 要使f(x)在上有最大值，则极大值3即为该最大值， 则， 又或， ∴， 综上，. 故选：A. 【变式1】（21-22高二上·黑龙江鸡西·期末）若函数的最小值为，则实数（     ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【知识点】已知函数最值求参数 【分析】分三种情况，利用导数讨论函数单调性，求出每种情况下的函数最小值，进而确定的值。 【详解】因为，所以， 由题意，易知， 当时， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在时，取得最小值，即，解得； 当时， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以无最小值，故舍去； 综上，实数. 故选：B. 【变式2】（22-23高二上·陕西西安·期末）若函数在上有最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】已知函数最值求参数 【分析】求导得到导函数，确定函数的单调区间，计算，得到，解得答案. 【详解】，，取得到， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； ，取，则或， 函数在上有最小值，则， 解得，即. 故答案为： 【变式3】（22-23高二上·江苏淮安·期末）已知函数，． (1)当时，求函数的极值； (2)当时，若函数在上的最小值为，求实数a的值． 【答案】(1)的极小值为，极大值为11； (2). 【知识点】求已知函数的极值、已知函数最值求参数 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的极值作答. （3）利用导数探讨函数在的单调性，求出最小值即可求解作答. 【详解】（1）当时，函数定义域为R，， 当或时，，当时，，即函数在，上递减，在上递增， 因此当时，取得极小值，当时，取得极大值， 所以的极小值为，极大值为11． （2）函数，，求导得， 因为，则由得，显然， 当时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 而，，则函数在上的最小值为，解得， 所以实数a的值为1. 题型05 函数单调性、极值与最值的综合应用 【例5】（24-25高二上·四川眉山·期中）设函数，若函数存在两个极值点，且不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】先求导，然后根据导函数和极值点的关系求出及的范围，然后代入，构造函数求最值即可． 【详解】函数定义域为，， 又函数存在两个极值点， 所以方程在上有两个不相等的正实数根， 则，解得， 又 设h（a）=alna-a-16，0＜a＜4，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增加， h=h(1)=-17 因为不等式恒成立， 即恒成立， 所以． 故选：A． 【变式1】（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知实数x，y满足，则的最大值为 . 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】利用同构将目标式转化为一元函数，利用导数求解最值即可. 【详解】因为，所以. 令，所以，所以在上单调递增， 又，所以，所以，所以， 令，所以，令，解得；令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即的最大值为. 故答案为： 【变式2】（22-23高二上·江苏常州·期末）已知实数，满足，则的最大值为 . 【答案】/ 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】把已知等式变形为，利用函数的单调性得的关系，这样把转化为的函数，再利用导数求得极值即可得解． 【详解】由得，所以，则， 因为，，，所以. 令，则，所以在上单调递增， 所以由，即，得，所以， 所以， 令，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 故答案为： 【变式3】（22-23高二上·江苏南京·期末）已知函数. (1)讨论的极值； (2)求在上的最大值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）对求导，根据a的范围讨论单调性，求极值； （2）根据单调性求函数在区间上的最值. 【详解】（1）定义域， ①时，成立，所以在上递减，所以无极值； ②时，当时，，当时，， 所以在上单调递增，单调递减，所以的极大值为，无极小值； （2）时，在单调递减，所以； 时，在上单调递增，单调递减，所以； 时，在单增，所以； 综上：. 题型06 根据极值点求参数 【例6】（23-24高二上·安徽滁州·期末）若函数在处有极值，则实数（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】D 【知识点】根据极值点求参数 【分析】由极值的定义得，即可求解，注意检验. 【详解】解：因为，，在处有极值， 所以，所以，解得. 经检验当时，， 当或时，；当时，， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 函数在处有极大值，满足题意. 故选：D 【变式1】（21-22高二上·陕西西安·期末）若函数在处有极值，则实数（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】根据极值点求参数 【分析】利用极值的定义得到，从而求得，再代回检验即可得解. 【详解】因为，所以， 又在处有极值， 所以，所以，得， 当时，， 当或时，；当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 函数在处有极小值，满足题意. 故选：A. 【变式2】（23-24高二上·陕西西安·期末）已知函数在时取得极大值4，则 ． 【答案】 【知识点】根据极值点求参数、根据极值求参数 【分析】利用导数研究函数的极值，待定系数计算并验证即可. 【详解】由题意可知， 因为函数在时取得极大值4，所以， 解之得， 检验，此时，令或， 令， 即在上单调递增，在上单调递减，即满足题意， 故. 故答案为： 【变式3】（21-22高二上·宁夏银川·期末）已知函数在时有极值． (1)求常数的值； (2)求在区间上的最值． 【答案】(1)； (2)最大值为4，最小值为0. 【知识点】根据极值点求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）由求得值，并检验是极值点即可得； （2）由（1）得函数的单调性，计算出极值和区间端点处的函数值，比较可得最值． 【详解】（1），由已知，， 此时， 时，，递增，时，，递减，时，，递增，是极小值，满足题意， 所以； （2）由（1）知在上递增，在上递减，在上递增， 0，，，， 所以在区间上的最大值为4，最小值为0. 题型07 由导数求函数的最值（含参） 【例7】（22-23高二上·福建南平·期末）已知函数的最小值为－1，过点的直线中有且只有两条与函数的图象相切，则实数b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求过一点的切线方程、由导数求函数的最值（含参） 【分析】先利用导数求出函数的最小值，结合题意可得，设过点的直线与函数的图象相切的切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，根据切线过点建立方程，再结合过点的直线有两条与函数的图象相切可得，解之即可求解. 【详解】因为，则， 令可得． 当时，，是增函数． 当时，，是减函数． 所以当时，有最小值，所以， 设过点的直线与函数的图象相切的切点为， 则切线方程为， 又切线过点， 所以， 即， 即． 过点的直线有两条与函数的图象相切， 则，即， 解得：或． 故选：. 【变式1】（22-23高二上·陕西西安·期末）若函数在上有最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（含参） 【分析】求出函数的单调性，结合最小值的定义即可求解. 【详解】，令得， 时，时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 若函数在上有最小值，则其最小值必为， 则必有且，解得， 故答案为：. 【变式2】（21-22高二·全国·单元测试）设函数，其中．若的图像与x轴没有公共点，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（含参） 【分析】利用导数求得函数的最小值，由最小值大于0可得参数范围． 【详解】的定义域是， ． ∵，∴． ∴在上，，严格减；在上，，严格增． ∴． ∵的图像与x轴没有公共点， ∴，∴． 故答案为：． 【变式3】（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)设，对于任意，均存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）对函数求导，讨论，研究导数符号确定区间单调性； （2）首先转化为，再分别求两个函数最小值，最后解不等式，即得a的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为 则， 当时，，在为单调递减函数， 当时，令，解得， 当时，，在递减， 当时，，在递增， 综上：当时，在为单调递减函数， 当时，在为单调递减函数，为单调递增函数； （2），所以在单调递增， 则当时，， 题意转化为对于任意，均有恒成立， 由（1）知：当时，在为单调递减函数， ，解得，不满足题意， 当，即时，在为单调递减函数， ，解得，不满足题意， 当，即时，在为单调递增函数， ，，满足题意， 当，即时， ，不满足题意， 综上：. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知函数为连续可导函数，的图象如图所示，以下命题正确的是（    ） A．是函数的最小值 B．是函数的极小值 C．在区间上单调递增 D．在处的切线的斜率大于0 【答案】D 【分析】根据图象得到的单调性，并结合极值的定义和导数的几何意义求出答案. 【详解】C选项，由图象可看出当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，C错误； A选项，是函数的极小值，但无法确定是不是最小值，A错误； B选项，是函数的极大值，B错误； D选项，由于，故在处的切线的斜率大于0，D正确. 故选：D 2．（23-24高二上·江苏南通·期末）若函数的导数，的最小值为，则函数的零点为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】由，确定，由的最小值为，可求出，即可得出的解析式，进一步求出函数的零点. 【详解】因为函数的导数，所以，为常数， 设，则恒成立，在上单调递增， 即在上单调递增，又， 故当时，，即单调递减， 时，，即单调递增， 所以在处取得最小值，即，所以， 所以，由， 令，解得，所以的零点为. 故选：C. 3．（20-21高二上·山西太原·期末）已知函数的导函数为，函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．的极大值为，极小值为 B．在上单调递增 C．的极小值为，极大值为 D．在上单调递减 【答案】A 【分析】根据图象，判断函数的导数的符号，从而可求函数的单调性及极值. 【详解】解：当时，，由图象可得， 则，为增函数，D选项错误； 当时，，由图象可得 则，为减函数，B选项错误； 当时，由图象可得， 则，为减函数； 当时，，由图象可得 则，为增函数， 所以的极大值为，极小值为，选项A正确，C选项错误. 故选：A. 二、多选题 4．（21-22高二上·黑龙江哈尔滨·期末）如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（    ）    A．为函数的单调递增区间 B．为函数的单调递减区间 C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值 【答案】ABD 【分析】AB选项，利用函数的单调性和导数的正负关系判断；CD选项，利用函数的极值点的定义判断. 【详解】由图象知：当时，，则单调递增，故A正确； 当时，，则单调递减，故B正确； 当时，，当时，，所以函数在处取不到极大值，故C错误； 当时，，当时，，所以函数在处取得极小值，故D正确； 故选：ABD 5．（22-23高二上·广东深圳·期末）函数，的导函数图象如图所示，下列结论中一定正确的是（    ）    A．的减区间是 B．的增区间是 C．有一个极大值点，两个极小值点 D．有三个零点 【答案】BC 【分析】由已知结合导数与单调性及极值关系，函数性质检验各选项即可判断. 【详解】结合导函数图象可知，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，函数的单调递减区间为，，单调递增区间为，，错误，正确， 所以函数在，时取得极小值，在时，函数取得极大值，C正确； 因为无法确定，，的正负，从而无法确定函数的零点个数，D错误. 故选：BC 三、填空题 6．（23-24高二上·陕西榆林·期末）已知函数是上的增函数，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由函数单调性得恒成立，分离参数后构造函数求最值即得. 【详解】因为函数是上的增函数， 所以，即：. 令，则，令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以， 要使恒成立，则，故的最小值为. 故答案为：. 7．（20-21高二上·广西梧州·期中）已知函数在区间（其中）上存在最大值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】利用导数求出函数的单调性，判断出极值点后可得关于的不等式组，从而可得所求的范围. 【详解】因为，，所以. 当时，；当时，. 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以函数在处取得极大值. 因为函数在区间（其中）上存在最大值， 所以，解得. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：函数在开区间内有最值，则最值点（极值点）必在此开区间内，这是解决此题的关关键. 四、解答题 8．（23-24高二上·湖南张家界·期末）已知函数，且. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值. 【答案】(1) (2)极小值为，极大值为 【分析】（1）首先根据求，再根据导数的几何意义求切线方程； （2）首先根据导数判断函数的单调性，再求函数的极值. 【详解】（1）由题设，则； ，则， 所以点处的切线方程为，即； （2）由（1）， 由，有或，由，有， 故在区间上单调递增，在上单调递减， 所以的极小值为，极大值为. 9．（23-24高二上·江苏扬州·期末）已知函数在处取得极小值5． (1)求实数a，b的值； (2)当时，求函数的最小值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题意得到，，求出，，检验后得到答案； （2）求导，得到函数单调性，进而得到极值和最值情况，得到答案. 【详解】（1）， 因为在处取极小值5，所以，得， 此时 所以在上单调递减，在上单调递增 所以在时取极小值，符合题意 所以，． 又，所以． （2），所以 列表如下： 0 1 2 3 0 0 1 ↗ 极大值6 ↘ 极小值5 ↗ 10 由于，故时，． 10．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线. (1)求的值； (2)求函数的极值. 【答案】(1) (2)极大值为，极小值为 【分析】（1）求导得，由此即可求解； （2）求导得，根据导数与极值的关系列表即可得解. 【详解】（1）， ∵在点处的切线平行于直线， ∴，∴； （2）由（1）可得， 令得或，列表如下： 3 + 0 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴极大值为，极小值为. 11．（23-24高二上·江苏镇江·期末）已知函数在处取得极值. (1)求实数的值和函数的极值； (2)当时，求函数的最小值. 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）由题意得，代入求值，再求出函数的单调性，即可求出函数的极值； （2）结合（1）可得函数的单调性，求端点函数值，从而求出函数的最小值． 【详解】（1）函数，则， 又函数在处取得极值， 所以有； 此时，则， 所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值，符合题意， 所以，； （2）由（1）可知在上单调递增，在上单调递减， 所以在上的最小值为和中较小的一个， 又，， 故函数在上的最小值为. 【能力提升】 一、单选题 1．（22-23高二上·江苏徐州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用导数可得在上单调递减，从而有，即；令，利用导数可得在上单调递减，从而有，即，即可得答案. 【详解】设，则有， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以， 即有， 故； 令，则， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以， 即， 故， 综上所述，则有. 故选：B 【点睛】方法点睛：对于比较大小的题目，常用的方法有：(1)作差法；(2)作商法；(3)利用函数的单调性进行比较. 2．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知函数的导函数，若是函数的极大值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析得导函数必有2个零点，并且1必为小的零点，据此列不等式求解. 【详解】令，则或， 明显函数在上单调递增，且值域为， 所以方程必有根，设为， 即的根为或， 又是函数的极大值点， 则函数在上单调递增，上单调递减，上单调递增， 即，所以，得. 故选：B. 3．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知正四棱锥的顶点均在表面积为的球上，当该四棱锥体积取得最大值时，高的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出外接球的半径，再根据正四棱锥的几何特征可知外接球的球心在其高上，设正四棱锥的底面边长，利用勾股定理可得，进而由体积公式转化为关于的函数，利用导数可求出函数的最值，进而得到的值. 【详解】 如图，设正四棱锥的底面边长，高，外接球的球心为，半径为，则， 因为球的表面积为，所以球的半径为， 在中，，即， 所以正四棱锥的体积为 整理得，则， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值为， 故选：B. 4．（22-23高二上·河南·期末）若是函数的极值点，则函数在的零点个数是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数的极值点判断，再由导数的性质得出单调性和最值，最后结合图像得出结果. 【详解】由，则，则． 所以，函数在上，，单调递增，最小值 ， 结合图象可知，交点个数为1．    故选：A 二、多选题 5．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知函数，若存在，使得成立，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】依题意，得，可判断A项；由， ，可判断B项；由，故，设，利用导数求出单调性即可求出最大值判断D项. 【详解】解：由，得， 因为，所以， 得，故A项正确； 由，得，两边同时取对数可得， ， 由于函数在上为增函数，则， 即，故B项正确； 则，故， 设 则， 由，得， 由，得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故，因此的最大值为，故C项错误，D项正确. 故选：ABD 6．（23-24高二上·山西运城·期末）若是函数的极值点，则下面结论正确的为（    ） A． B．的递增区间为 C．的极小值为1 D．的极大值为 【答案】AD 【分析】先由求出值，再利用导函数研究函数的单调性与极值即可. 【详解】由题可得，， 因为是函数的极值点， 所以，则，解得， 故，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故的递增区间，递减区间为，故A正确，B错误； 由上可知，的极大值为，极小值为， 故C错误，D正确. 故选：AD. 三、填空题 7．（23-24高二上·河南开封·期末）若函数在上有且仅有一个极值点，则实数的最小值是 ． 【答案】 【分析】求导，将原问题转化成在区间上只有一个变号的根，构造函数解决问题. 【详解】，令，得， 由题意知在区间上只有一个变号的根， 令，则，令，得， 当时，单调递减；当时，单调递增． 又，如图： 所以当时，在区间上只有一个变号的根， 即函数在上有且仅有一个极值点时，的最小值为． 故答案为：. 8．（21-22高二上·山西大同·期末）已知函数（，），若函数与有相同的最小值，则实数m的最小值为 . 【答案】 【分析】求导确定函数的单调性，从而可得的最小值，再根据复合函数的最值设则，由此可得的最值，从而可得有解，构造函数，，求导确定单调性得实数m的取值范围，即可得实数m的的最小值. 【详解】由题可得，， 令，解得，令，解得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. 对于函数，设，则， 则当时，取得最小值， 所以有解，即有解. 令，，则， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，为. 因为有解，所以. 故m的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 9．（23-24高二上·福建福州·期末）已知函数. (1)求在上的最大值； (2)若函数恰有三个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，再利用导数求出函数的极值及端点的函数值，即可求出函数的最大值； （2）利用导数求出函数的极值，再结合题意列出不等式组即可得解. 【详解】（1）， 可知时，，单调递增， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以， 由，， ； （2）， 当或时，，当时，， 所以在和上单调递增，在单调递减， 所以，， 当时，，当时，， 因为有三个零点，所以，即， 解得，故的取值范围为. 10．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知函数． (1)求函数的极值点和零点； (2)若恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)极大值点为，没有极小值点；零点为1； (2) 【分析】（1）利用导数性质，结合函数极值点的定义和零点的定义进行求解即可； （2）运用常变量分离法，构造函数，利用导数进行求解即可. 【详解】（1）函数定义域为，， 当时单调递增， 当时单调递减， 所以函数在时取得极大值，函数没有极小值， 所以函数的极值点只有1个，即极大值点，无极小值点. 因为， 当时，， 当时， 所以 只有一个零点1. （2）要使恒成立，即恒成立， 令，则. 当时，， 单调递增， 当时，，单调递减， 所以在时取得极大值也是最大值，， 要使恒成立，则， 即实数k的取值范围是. 11．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知函数 ， ， ． (1)当 时，讨论函数在区间 上的单调性． (2)设是函数的最大值．求出的表达式并比较 与的大小． 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减 (2)，. 【分析】 （1）利用导数求解函数的单调区间； （2）利用导数求出函数的单调区间，得到的最大值，通过构造函数根据单调性比较与的大小. 【详解】（1）当时，则， 令得，令得， ∴在上单调递增，在上单调递减； （2）， 令得，令得， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴的最大值， ∵，， 因为，所以， ∴. 12．（24-25高二上·上海·期中）解答下列问题： (1)求函数的极小值； (2)若，函数为上严格增函数，求实数的取值范围； (3)已知，，且只有一个极大值点，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用导数求解即可； （2）由题意可知在R上恒成立，即在R上恒成立，设，利用导数求出函数的最小值即可； （3）求导得，，分恒成立，及有两实数根，分别求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得极小值为， 所以函数的极小值为； （2）因为函数为上严格增函数， 所以在R上恒成立， 即在R上恒成立， 设， 则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以， 所以， 所以实数的取值范围为； （3）因为，， 所以，， 因为函数只有一个极大值，故恒成立或方程有两个不同的根. 若恒成立，即在上恒成立， 则当时，单调递增； 当时，单调递减； 此时函数只有一个极大值点，满足题意，所以此时， 由（1）可知，所以； 令，则， 故当时，单调递减；当时，单调递增； 且时，时；时，如图， 若方程即有两个不同的根，则， 显然，当时，单调递增；当时，单调递减， 所以在处取得极大值， 因为只有一个极大值点，所以只能，即是的一个根，此时， 当时，， 令，解得；令，解得或， 所令在和上单调递增，在上单调递减，满足题意； 综上，. 【点睛】关键点睛：本题的第（3）问的求解关键是分恒成立和有两不相等实数根进行讨论. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 函数的极值与最大（小）值 目录 题型归纳 1 题型01 求已知函数的极值与根据极值求参数 1 题型02 函数（导函数）图象与极值的关系 5 题型03 由导数求函数的最值（不含参） 9 题型04 已知函数最值求参数 12 题型05 函数单调性、极值与最值的综合应用 16 题型06 根据极值点求参数 19 题型07 由导数求函数的最值（含参） 22 分层练习 26 夯实基础 26 能力提升 36 知识点01极值点与极值的概念 1．极小值点与极小值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．极大值点与极大值 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 3．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 注意点：(1)极值点不是点；(2)极值是函数的局部性质；(3)函数的极值不唯一；(4)极大值与极小值两者的大小不确定；(5)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点；(6)若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点． 知识点02函数极值和极值点的求解步骤 (1)确定函数的定义域． (2)求方程f′(x)＝0的根． (3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格． (4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况． 知识点03已知函数的极值求参数的方法 (1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号． 注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件． (2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立． 知识点04函数最值的定义 (1)一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值． 注意点：(1)开区间不一定有最值，闭区间上的连续函数一定有最值；(2)函数f(x)在闭区间[a，b]上连续是f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值的充分不必要条件． 知识点05 最值与极值的区别与联系 (1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言． (2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)． (3)函数f(x)的极值点在定义域内，但不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点． (4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得． 知识点06 求函数最值的步骤 (1)求函数的定义域． (2)求f′(x)，解方程f′(x)＝0. (3)求极值、端点处的函数值，确定最值． 注意：不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较． 题型01求已知函数的极值与根据极值求参数 【例1】（21-22高二上·江苏徐州·期末）函数的极小值为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·湖南邵阳·期末）已知函数，若时，取极值0，则ab的值为（    ） A．3 B．18 C．3或18 D．不存在 【变式2】（23-24高二上·福建福州·期末）已知函数. (1)若曲线在处的切线与y轴垂直，求实数a的值； (2)若函数存在极大值为，求实数a的值. 【变式3】（23-24高二上·山西运城·期末）已知函数为的导函数． (1)当时，求函数在定义域内的极值； (2)若在内存在增区间，求实数a的取值范围． 题型02 函数（导函数）图象与极值的关系 【例2】（23-24高二·天津·期中）已知函数，其导函数的图象如图所示，则对于的描述正确的是（    ） A．在区间上单调递减 B．当时取得最大值 C．在区间上单调递减 D．当时取得最小值 【变式1】（23-24高二上·安徽·期末）已知函数为连续可导函数，的图像如图所示，以下命题正确的是（    ）    A．是函数的极大值 B．是函数的极小值 C．在区间上单调递增 D．的零点是和 【变式2】（22-23高二上·陕西汉中·期末）定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递减 C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极大值 【变式3】（21-22高二·北京平谷·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，那么（    ） A．函数在上不单调 B．函数在的切线的斜率为0 C．是函数的极小值点 D．是函数的极大值点 题型03 由导数求函数的最值（不含参） 【例3】（21-22高二上·北京·期末）已知是函数的一个极值点，其中a为实数，则在区间上的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】（23-24高二上·福建福州·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知直线与函数的图象相切，则的最小值为 ． 【变式3】（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知函数的图象在点处的切线方程是. (1)求，的值； (2)求函数在区间上的最大值与最小值. 题型04 已知函数最值求参数 【例4】（21-22高二上·江西九江·期末）若函数在区间内存在最大值，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【变式1】（21-22高二上·黑龙江鸡西·期末）若函数的最小值为，则实数（     ） A． B． C．4 D． 【变式2】（22-23高二上·陕西西安·期末）若函数在上有最小值，则实数的取值范围是 . 【变式3】（22-23高二上·江苏淮安·期末）已知函数，． (1)当时，求函数的极值； (2)当时，若函数在上的最小值为，求实数a的值． 题型05 函数单调性、极值与最值的综合应用 【例5】（24-25高二上·四川眉山·期中）设函数，若函数存在两个极值点，且不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知实数x，y满足，则的最大值为 . 【变式2】（22-23高二上·江苏常州·期末）已知实数，满足，则的最大值为 . 【变式3】（22-23高二上·江苏南京·期末）已知函数. (1)讨论的极值； (2)求在上的最大值. 题型06 根据极值点求参数 【例6】（23-24高二上·安徽滁州·期末）若函数在处有极值，则实数（    ） A． B．2 C．1 D． 【变式1】（21-22高二上·陕西西安·期末）若函数在处有极值，则实数（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】（23-24高二上·陕西西安·期末）已知函数在时取得极大值4，则 ． 【变式3】（21-22高二上·宁夏银川·期末）已知函数在时有极值． (1)求常数的值； (2)求在区间上的最值． 题型07 由导数求函数的最值（含参） 【例7】（22-23高二上·福建南平·期末）已知函数的最小值为－1，过点的直线中有且只有两条与函数的图象相切，则实数b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高二上·陕西西安·期末）若函数在上有最小值，则实数的取值范围是 . 【变式2】（21-22高二·全国·单元测试）设函数，其中．若的图像与x轴没有公共点，则a的取值范围是 ． 【变式3】（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)设，对于任意，均存在，使得，求实数的取值范围. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知函数为连续可导函数，的图象如图所示，以下命题正确的是（    ） A．是函数的最小值 B．是函数的极小值 C．在区间上单调递增 D．在处的切线的斜率大于0 2．（23-24高二上·江苏南通·期末）若函数的导数，的最小值为，则函数的零点为（    ） A．0 B． C． D． 3．（20-21高二上·山西太原·期末）已知函数的导函数为，函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．的极大值为，极小值为 B．在上单调递增 C．的极小值为，极大值为 D．在上单调递减 二、多选题 4．（21-22高二上·黑龙江哈尔滨·期末）如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（    ）    A．为函数的单调递增区间 B．为函数的单调递减区间 C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值 5．（22-23高二上·广东深圳·期末）函数，的导函数图象如图所示，下列结论中一定正确的是（    ）    A．的减区间是 B．的增区间是 C．有一个极大值点，两个极小值点 D．有三个零点 三、填空题 6．（23-24高二上·陕西榆林·期末）已知函数是上的增函数，则的最小值为 . 7．（20-21高二上·广西梧州·期中）已知函数在区间（其中）上存在最大值，则实数的取值范围是 . 四、解答题 8．（23-24高二上·湖南张家界·期末）已知函数，且. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值. 9．（23-24高二上·江苏扬州·期末）已知函数在处取得极小值5． (1)求实数a，b的值； (2)当时，求函数的最小值． 10．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线. (1)求的值； (2)求函数的极值. 11．（23-24高二上·江苏镇江·期末）已知函数在处取得极值. (1)求实数的值和函数的极值； (2)当时，求函数的最小值. 【能力提升】 一、单选题 1．（22-23高二上·江苏徐州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知函数的导函数，若是函数的极大值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知正四棱锥的顶点均在表面积为的球上，当该四棱锥体积取得最大值时，高的值为（   ） A． B． C． D． 4．（22-23高二上·河南·期末）若是函数的极值点，则函数在的零点个数是（    ） A．1 B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知函数，若存在，使得成立，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 6．（23-24高二上·山西运城·期末）若是函数的极值点，则下面结论正确的为（    ） A． B．的递增区间为 C．的极小值为1 D．的极大值为 三、填空题 7．（23-24高二上·河南开封·期末）若函数在上有且仅有一个极值点，则实数的最小值是 ． 8．（21-22高二上·山西大同·期末）已知函数（，），若函数与有相同的最小值，则实数m的最小值为 . 四、解答题 9．（23-24高二上·福建福州·期末）已知函数. (1)求在上的最大值； (2)若函数恰有三个零点，求的取值范围. 10．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知函数． (1)求函数的极值点和零点； (2)若恒成立，求实数k的取值范围． 11．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知函数 ， ， ． (1)当 时，讨论函数在区间 上的单调性． (2)设是函数的最大值．求出的表达式并比较 与的大小． 12．（24-25高二上·上海·期中）解答下列问题： (1)求函数的极小值； (2)若，函数为上严格增函数，求实数的取值范围； (3)已知，，且只有一个极大值点，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$