2.2  展开与折叠（2个知识点+5类热点题型精讲+习题巩固）同步分层作业-2024-2025学年数学五年级下册（北师大版）

2.2  展开与折叠 学习重难点 学习目标 1、重点：经历长方体和正方体的展开与折叠的过程，体验长方体、正方体等图形展开与折叠之间的关系，加深对长方体和正方体的认识。 2、难点：能正确判断长方体和正方体与展开图之间的对应关系。 1、了解长方体和正方体展开图的特点，加深对长方体和正方体的认识。 2、通过展开与折叠等活动发展空间观念，培养动手能力。 知识点一长方体和正方体的展开图的特点 1、长方体的展开图是由6个小长方形（特殊情况下有2个正方形）组成的，相对的面完全隔开。 2、正方体的展开图是由6个小正方形组成的，且相对的面也完全隔开。由于剪法不同，正方体和长方体的展开图均有多种。 知识点二长方体和正方体的展开图的应用 1、根据长方体和正方体的特点，可以判断长方体和正方体的展开图中哪两个面是相对的。 2、由于长方体并不是每个面都相同，有时可直接根据面的大小来判断(相对的面大小相同)。 题型一正方体的展开图（找对应面） 1．下图是一个正方体的展开图，将这个展开图围成一个正方体后，与“国”字相对面上的字是( )。 【正确答案】“诗” 【解题思路】正方体有6个面，都是完全一样的正方形，相对的面之间一定隔着一个正方形；想象把正方体展开图折成正方体，取相对的面即可。 【详细解答】把正方体的展开图围成一个正方体后，可以想象成：“里”是下面，“诗”是后面，“唐”是左面，“的”是右面，“中”是上面，“国”是前面。 所以，与“国”字相对面上的字是“诗”。 2．下图是正方体的展开图，折叠后“学”字对面的字是( )。 【正确答案】知 【解题思路】正方体的展开图相邻的面不相对，相对的面不相邻，相对的面中间隔开一个；据此解答。 【详细解答】由正方体展开图的特征可知：“学”字对面的字是“知”；“爱”字对面的字是“习”；“长”字对面的字是“识”。 所以折叠后“学”字对面的字是“知”。 3．折一折，用做一个正方体，3的对面是( )。 【正确答案】6 【解题思路】正方体展开图相对面的找法：同一层间隔一面是相对面，3和6中间隔着5，故，3和6是相对面；据此解决。 【详细解答】由题意分析得： 折一折，用做一个正方体，3的对面是6。 4．用做成一个，那么“们”字的对面是“( )”字。 【正确答案】好 【解题思路】正方体展开图相对面的找法：①同一层间隔一面是相对面，“我”和“是”中间隔着“们”，故，“我”和“是”相对面；“们”和“好”中间隔着“是”，故，“们”和“好”相对面； ②剩下两面必是相对面，故，“孩”和“子”是相对面。 【详细解答】由题意分析得： 用做成一个，那么“们”字的对面是“好”字。 题型二长方体的展开图（找对应面） 5．下图是一个长方体的展开图，围成长方体时，点C与点( )重合。 【正确答案】D 【解题思路】由图可知，此题属于长方体展开图中的“1-4-1”型，折叠成长方体后，点C与点D重合，据此选择。 【详细解答】由分析可知，围成长方体时，点C与点D重合。 【考点点评】本题主要考查长方体的展开图。 6．下图是一个长方体的展开图，与1号、2号、5号面相对的面各是几号面？ 1号面相对的面是( )号面； 2号面相对的面是( )号面； 5号面相对的面是( )号面。 【正确答案】3 4 6 【解题思路】根据长方体展开图的特征，属于“1－4－1”型结构；折叠成长方体，1号面对3号面；2号面对应4号面；5号面对应6号面，据此解答。 【详细解答】根据分析可知： 1号面对应的面是3号面； 2号面对应的面是4号面； 5号面对应的面是6号面。 【考点点评】本题考查长方体展开图的特征，根据长方体展开图的特征进行解答。 7．下面是一个火柴盒拆开后的平面图。请你仔细观察，在火柴盒未拆开前，A的对面是( )，B的对面是( )，E的对面是( )。 【正确答案】C D F 【解题思路】可以复原火柴盒，也可以根据长方体相对的面大小形状完全相同据此进行解答。 【详细解答】A的对面是C，B的对面是D，E的对面是F。 【考点点评】此题考查长方体的展开图，需熟练掌握长方体的特征。 8．将一个长方体沿着一些棱剪开，可以得到下面的图形。 与A相对的面是( )，与D相对的面是( )，与F相对的面是( )。 【正确答案】E B C 【解题思路】长方体共有6个面，相对的两个面形状和大小完全一样，把长方体进行展开，展开图中与A相对的面是E，与D相对的面是B，与F相对的面是C。 【详细解答】根据分析可知，展开图中与A相对的面是E，与D相对的面是B，与F相对的面是C。 题型三作正方体或正方体的展开图 9．折成如图的小正方体（如左图）需要6个相连的正方形纸片，认真思考，怎样排列的小正方形才能刚好折成，把它的形状画出来。 【正确答案】见详解 【解题思路】正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“1－4－1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2－2－2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3－3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1－3－2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形。根据正方体展开图的11中特征作图即可。 【详细解答】如图： （答案不唯一） 10．请你分别给下面的两个平面图形添加1个小正方形，使其都能成为正方体的展开图。 【正确答案】见详解 【解题思路】正方体展开图有11种特征，分四种类型，即第一种：“1－4－1”，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2－2－2”，即每一行放2个正方形；第三种：“3－3”，即每一行放3个正方形；第四种：“1－3－2”，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形。已知给出的两个平面图形可以看成是第一种“1－4－1”类型，即分别在两个平面图形的第二行添加1个小正方形，都能成为正方体的展开图。 【详细解答】如图所示： 11．下面是一张长方形硬纸板，正好分成15个小正方形。请你把它平均分成三份，使每份有5个小正方形相连，且每份都可以折叠成一个无盖的正方体纸盒。 【正确答案】见详解（答案不唯一） 【解题思路】由5个小正方形折叠成一个无盖的正方体，它的展开图可以是1--4型，（即上下两行，一行四个，一行一个摆放），也可以是1--1--3型，如右图，据此可以来分此硬纸卡。 【详细解答】 12．琪琪用一根铁丝做成了一个长为6厘米，宽为3厘米，高为2厘米的长方体框架。现要在它的外面糊上彩纸，使它成为一个无盖的纸盒。请你在图中画出所需彩纸的展开图。（方格边长为1厘米）。 【正确答案】见详解 【解题思路】根据长方体展开图的特征，可以画一个“1－4－1”结构，“1”表示上、下底面，4表示的四个长方形，4个长方形表示长方体的侧面展开图，因为无盖，要去掉一个“1”，侧面是前、后为长6厘米，宽2厘米的长方形，左、右面是长3厘米，宽是2厘米的长方形，底面是长6厘米，宽3厘米的长方形（画法不唯一）。 【详细解答】（答案不唯一） 【考点点评】本题考查长方体展开图的知识，结合长方体展开图的特征进行解答。 题型四正方体展开图的应用 13．奇思上课时用相同的正方体剪开得到不同形状的展开图，惊奇地发现所有展开图的周长都是70厘米。奇思剪开的正方体展开图的面积是多少？（请画出任意一种正方体展开图，再计算） 【正确答案】150平方厘米 【解题思路】 正方体展开图如图所示，根据正方体每条棱长都相等的特征可知，用展开图的周长除以14计算出正方体的棱长；该展开图的面积可以看作是2个正方形的面积加上一个长方形的面积，据此解答。 【详细解答】正方体的展开图如下： 70÷14＝5（厘米） 5×5×2＋（5＋5＋5＋5）×5 ＝25×2＋20×5 ＝50＋100 ＝150（平方厘米） 答：奇思剪开的正方体展开图的面积是150平方厘米。 14．熊妈妈在魔方的六个面上各贴了一个数字，分别是1，2，3，4，5，6。第一次熊宝宝看到了，第二次熊宝宝又看到了。数字1，2，3对面分别是多少？ 【正确答案】见详解 【解题思路】从两次的图形中可以得知：3是和1、2、4、6相邻，所以3的对面就是5；由第二次看到的图形可以得知2与1、3、5、6相邻，据此可推出2的对面是4，进而推出1的对面是6。据此解答。 【详细解答】根据分析可得，以3为中心的展开图如下： 答：数字1的对面是数字6；数字2的对面是数字4；数字3的对面是数字5。 【考点点评】本题的关键是明确数字6是靠着数字2的。 15．如图是一个正方体纸盒的展开图，这个纸盒的棱长总和是多少厘米？ 【正确答案】60厘米 【解题思路】根据正方体展开图可知，4个棱长之和等于20厘米，由此可知正方体纸盒的棱长是20÷4＝5厘米。再根据正方体棱长和＝棱长×12，代入数据计算即可。 【详细解答】20÷4×12 ＝5×12 ＝60（cm） 答：这个纸盒的棱长总和是60厘米。 【考点点评】本题主要考查正方体展开图及棱长和公式，解题的关键是求出纸盒的棱长。 16．将一张长方形硬纸片，剪去多余部分后，折叠成一个棱长为l厘米的正方体．这张长方形硬纸片的面积最小是多少平方厘米？ 【正确答案】12平方厘米 【详细解答】试题分析：将一张长方形硬纸片，剪去多余部分后，折叠成一个棱长为l厘米的正方体，剪成后的图形应是 所以这张长方形的硬纸片的长应是4厘米，宽应是3厘米．然后再根据长方形的面积公式进行解答． 解：根据以上分析知这个长方形硬纸片的长应是4厘米，宽是3厘米，它的面积是： 4×3=12（平方厘米）． 答：这个长方形碣纸片的面积最小是12平方厘米． 【考点点评】本题的关键是求出这个长方形硬纸片的长和宽，再根据长方形的面积公式进行计算． 题型五长方体展开图的应用 17．按下面虚线能折成长方体吗？如果能，它的长、宽、高各是多少？（单位：厘米） 【正确答案】能；长4厘米；宽2.5厘米；高2厘米 【解题思路】图中的6个面都是长方形，相对的面相同，符合长方体的特征，可以折成长方体。 从展开图中可知，长方体的长是4厘米，长方体的宽是2.5厘米，展开图中的6.5厘米包含2个高和一个宽，由此求出长方体的高。 【详细解答】长方体的高： （6.5－2.5）÷2 ＝4÷2 ＝2（厘米） 答：按图中的虚线能折成长方体，它的长是4厘米，宽是2.5厘米，高是2厘米。 18．有一张宽20厘米的长方形铁皮，先从它的四个角分别裁去一个边长5厘米的正方形，然后将剩余铁皮焊接成一个无盖的盒子。如果盒子的容积是1200立方厘米，那么原来这张铁皮的面积是多少平方厘米？（铁皮厚度忽略不计） 【正确答案】680平方厘米 【解题思路】由图可知，这个长方体盒子的高为5厘米、宽为（20－5×2）厘米，根据长方体的体积＝底面积×高可以求出这个盒子的底面积，再用底面积除以宽就可以得到这个长方体盒子的长，那么铁皮的长就等于盒子的长度＋2×5厘米，最后根据长方形的面积＝长×宽求得这个原来这张铁皮的面积是多少平方厘米。据此解答即可。 【详细解答】盒子的底面积：1200÷5＝240（平方厘米） 盒子的宽：20－5×2 ＝20－10 ＝10（厘米） 盒子的长：240÷10＝24（厘米） 铁皮的长：24＋5×2 ＝24＋10 ＝34（厘米） 铁皮的面积：34×20＝680（平方厘米） 答：原来这张铁皮的面积是680平方厘米。 19．下图中每个方格的边长都是1厘米，请按要求回答下面各题。 （1）下图中是一个不完整的长方体展开图，请在合适的把缺少的面添上。 （2）观察并想象，与★相对的面的面积是（    ）平方厘米。 【正确答案】（1）见详解 （2）2 【解题思路】（1）长方体有6个面，展开图有“1－4－1”型、“2－3－1”型和“3－3”型，图中这个不完整的长方体展开图是“1－4－1”型，缺少的一个面应在最下面一行，是与最上面一行相同的长3厘米，宽1厘米的长方形。据此作图。 （2）长方体相对的面面积相等。有★的面是长2厘米，宽1厘米的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算，求出有★的面的面积，即是与它相对的面的面积。 【详细解答】通过分析可得： （1） （2）2×1＝2（平方厘米），则与★相对的面的面积是2平方厘米。 20．如图，从一张长方形纸上剪下部分（图中阴影部分）后，正好折叠成一个长方体。已知长方体的长、宽、高分别是5厘米，2厘米，3厘米。你能求出原来长方形纸的面积是多少平方厘米吗？请尝试算一算。 【正确答案】98平方厘米 【解题思路】根据图示可知，原来长方形纸的长是2＋5＋2＋5＝14（厘米），宽是2＋3＋2＝7（厘米），根据长方形面积＝长×宽，代入数据解答即可。 【详细解答】2＋5＋2＋5＝14（厘米） 2＋3＋2＝7（厘米） 14×7＝98（平方厘米） 答：原来长方形纸的面积是98平方厘米。 一、选择题 1．下面是一个正方体的展开图，这个正方体5号面对应的是（    ）号面。 A．1 B．2 C．3 D．4 2．小明将“仁、义、礼、智、信、孝”这六个字写在一个正方体的六个面上，下图是这个正方体的平面展开图，在原正方体中和“义”相对的字是（    ）。 A．礼 B．智 C．孝 D．仁 3．如下图，有一个后面无盖的盒子，相对的面图案相同，它的展开图是（    ）。 A． B． C． D． 4．下面是长方体（或正方体）纸盒的展开图的是（    ）。 A．B．C．D． 5．一个正方体，六个面上分别写着六个连续的整数，且每个相对面上的两个数的和相等。如下图，你能看到的数为3，6，7，则六个整数的和是（    ）。 A．27 B．28 C．33 二、填空题 6．下图是一个正方体的展开图，将这个展开图围成一个正方体后，与“国”字相对面上的字是（ ）。 7．一个长方体沿着棱剪开，得到一个展开图（如图，单位：cm）。图中阴影部分的面积是（ ）cm2。 8．下面是一个正方体的展开图，请你观察展开图填一填。 （ ）号与（ ）号相对； （ ）号与（ ）号相对； （ ）号与（ ）号相对。 9．如图，将一张纸对折再对折，把对折的角剪下，纸上有一个洞，如果将一张纸对折4次，把对折的角剪下，纸上有（ ）个洞。（可以动手试一试哦！） 10．如图所示，的平面展开图与（ ）正方体相符合。                    A              B          C          D        E 三、作图题 11．琪琪用一根铁丝做成了一个长为6厘米，宽为3厘米，高为2厘米的长方体框架。现要在它的外面糊上彩纸，使它成为一个无盖的纸盒。请你在图中画出所需彩纸的展开图。（方格边长为1厘米）。 四、解答题 12．如图，一张硬纸板剪下4个边长4厘米的小正方形后，可以做成一个没有盖子的盒子。请你求出剪后的硬纸板的面积？ 13．贝贝为妈妈准备了一份生日礼物（如下图）。他用下面第（    ）种尺寸的包装纸包装这个礼物盒比较合适。先画一画这个礼物盒的展开图，再选择。 14．淘气用一张长40厘米、宽25厘米的长方形纸板做了一个无盖的长方体纸盒。（纸盒的展开图如图所示） （1）这个纸盒的长是（    ）厘米，宽是（    ）厘米，高是（    ）厘米。 （2）把这个纸盒放在地上，最多占地多少平方厘米？ 参考答案 1．【解题思路】根据正方体的展开图特征，上下隔一行，左右隔一列，所以1号面和6号面相对，2号面和4号面相对，3号面和5号面相对，据此解答即可。 【详细解答】这个正方体5号面对应的是3号面。 故答案为：C 2．【解题思路】对于正方体的平面展开图，要确定相对的面，可以通过分析展开图的折叠方式来判断在这种2－3－1型的展开图中，“相间、Z端是对面”。 【详细解答】观察这个展开图，“义”字和“孝”字在展开图中处于“Z”字形的两端。根据正方体展开图相对面的判断规则，所以在原正方体中和“义”相对的字是“孝”。 故答案为：C 3．【解题思路】观察图形可知，这个盒子是没有后盖的，所以该盒子的展开图只有5个面，再结合相对的面图案相同逐一分析各项即可。 【详细解答】 A．该图不符合正方体的展开图的特征，不符合题意； B．该图中相对的面是，不符合题意； C．该图中相对的面是，不符合题意； D．该图符合题意。 故答案为：D 4．【解题思路】根据长方体展开图的“1－4－1”结构，“2－3－1”结构，长方体展开图有6个面，同时相对的面相等； 正方体展开图中的3-3结构，是上面三个小正方形中的左边的小正方形和下面三个小正方形的最右边的对齐，据此进行解答。 【详细解答】 A．，不属于长方体展开图的特征，不是长方体展开图； B．，不属于正方体展开图的特征，不是正方体展开图； C．，属于长方体展开图的“1－4－1”结构，是长方体的展开图； D．，只有5个面，不属于长方体展开图的特征，不是长方体展开图。 长方体纸盒的展开图的是。 故答案为：C 5．【解题思路】从3、6、7三个数字看出可能是2，3，4，5，6，7或3，4，5，6，7，8；因为相对面上的数字和相等，2＋7＝9；3＋6＝9；4＋5＝9；由于3和6相邻，3和6不是相对的面，所以这六个数字只能是3，4，5，6，7，8，所以3与8，6和5，7和4处于对面位置。 【详细解答】根据分析可知，这6连续的整数是3，4，5，6，7，8。 3＋8＝11 6＋5＝11 7＋4＝11 11＋11＋11 ＝22＋11 ＝33 一个正方体，六个面上分别写着六个连续的整数，且每个相对面上的两个数的和相等。如下图，你能看到的数为3，6，7，则六个整数的和是33。 故答案为：C 【考点点评】解答本题的关键是根据题意，求出这6个连续的数字分别是多少。 6．【解题思路】正方体有6个面，都是完全一样的正方形，相对的面之间一定隔着一个正方形；想象把正方体展开图折成正方体，取相对的面即可。 【详细解答】把正方体的展开图围成一个正方体后，可以想象成：“里”是下面，“诗”是后面，“唐”是左面，“的”是右面，“中”是上面，“国”是前面。 所以，与“国”字相对面上的字是“诗”。 7．【解题思路】根据题意，一个长方体沿着棱剪开，得到一个展开图，图中阴影部分是一个长5cm，宽是2cm的长方形，根据长方形面积＝长×宽，据此解答。 【详细解答】5×2＝10（cm2） 所以图中阴影部分的面积是10cm2。 8．【解题思路】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形且没有公共顶点；据此解答。 【详细解答】根据分析可得： 1号与6号相对； 2号与4号相对； 3号与5号相对。 【考点点评】本题主要考查正方体的展开图。 9．【解题思路】对折1次纸分成21份，4次以后，纸被分成24；在角上剪一刀，纸上洞的个数为24－2＝22个，依此即可求解。 【详细解答】由分析可知，如果将一张纸对折4次，把对折的角剪下，纸上有24－2＝22＝4个洞 【考点点评】此题考查了剪纸问题，解题的关键是让学生亲自动手操作，培养学生的动手能力和空间想象能力。 10．【解题思路】 根据正方体展开图知识，结合题意可知，平面展开图围成正方体后，两个黑色的三角拼成正方体一个面的一半，并且这个面与黑色的面相对，另外四个白色的面相邻，据此解答即可。 【详细解答】 分析可知，的平面展开图与正方体相符合。 11．【解题思路】根据长方体展开图的特征，可以画一个“1－4－1”结构，“1”表示上、下底面，4表示的四个长方形，4个长方形表示长方体的侧面展开图，因为无盖，要去掉一个“1”，侧面是前、后为长6厘米，宽2厘米的长方形，左、右面是长3厘米，宽是2厘米的长方形，底面是长6厘米，宽3厘米的长方形（画法不唯一）。 【详细解答】（答案不唯一） 【考点点评】本题考查长方体展开图的知识，结合长方体展开图的特征进行解答。 12．【解题思路】由题意可知，剪后的硬纸板的面积＝原长方形面积－4×小正方形面积，将数值代入长方形面积计算公式求值即可。 【详细解答】26×20－4×4×4 ＝520－64 ＝456（cm2） 答：剪后的硬纸板的面积是456平方厘米。 【考点点评】此题主要考查了学生动手操作的能力，在计算不规则图形的面积时，一般都会把它转化成几个规则图形的面积之和或差，再利用规则图形的面积公式进行解答。 13．【解题思路】先画出长方体礼盒展开图，分别计算出长＋高×2，宽＋高×2，与①号和②号长方形的长和宽进行比较即可。 【详细解答】作图如下： 21＋13×2＝21＋26＝47（厘米） 15＋13×2＝15＋26＝41（厘米） 60＞47，50＞41；②70＞47，40＜41 所以用第①中尺寸的包装纸比较合适。 【考点点评】本题考查了长方体的展开图，长方体有6个面，相对的面完全一样。 14．【解题思路】（1）从图中可知，在长方形纸板的四个角上分别剪去边长为5厘米的正方形，然后把四边折起来即可做成一个无盖长方体纸盒，那么这个长方体的长是（40－5－5）厘米，宽是（25－5－5）厘米，高是5厘米。 （2）物体的底面积叫做占地面积。把长方体纸盒面积最大的面放在地上，就是占地最多的面积。 【详细解答】（1）长：40－5－5＝30（厘米） 宽：25－5－5＝15（厘米） 这个纸盒的长是30厘米，宽是15厘米，高是5厘米。 （2）30×15＞30×5＞15×5 30×15＝450（平方厘米） 答：最多占地450平方厘米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$