第1章平行线培优拓展 2024-2025学年浙教版七年级数学下册

平行线培优拓展 一、选择题 1.已知直线 l₁∥l₂,一块含30°角的直角三角板如图34所示放置,∠2=35°,则∠1等于 ( )。 A.25° B.35° C.40° D.45° 2.如图35,已知AB∥DE,∠ABC=75°,∠CDE=145°,则∠BCD的值为 ( )。 A.20° B.30° C.40° D.70° 3.如图36,CD∥AB,点O在AB 上,OE 平分∠BOD,OF⊥OE,∠D=110°,则∠AOF的度数是 ( )。 A.20° B.25° C.30° D.35° 4.如图37,直线l₁∥l₂,∠1=30°,则∠2+∠3= ( )。 A.150° B.180° C.210° D.240° 5.如图38,AB∥CD,BE平分∠ABC,CE⊥BE。若∠BCD=50°,则∠BCE的度数为 ( )。 A.55° B.65° C.70° D.75° 二、填空题 6.如图39所示,AD∥BC,BO、CO分别平分∠ABC、∠DCB,若∠A+∠D=225°,则∠BOC= 度。 7.已知两个角的两边互相平行，其中一个角的度数为40°，则另一个角的度数为 。 8.若平面上4条直线两两相交且无三线共点，则共有同旁内角 对。 9.如图40,AB∥CD,求∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD的度数是 。 10.如图41,直线a∥b,那么∠x的度数是 。 三、解答题 11.光线在不同介质中的传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射。如图42，水面AB与水杯下沿CD平行，光线 EF 从水中射向空气时发生折射，光线变成 FH，点G 在射线EF 上，已知∠HFB=20°,∠FED=45°,求∠GFH 的度数。 12.如图43,在△ABC中,CD⊥AB,垂足为D,点E在BC上,EF⊥AB,垂足为F。 试判断DG与 BC的位置关系，并说明理由。 13.如图44,已知∠1+∠2=180°,∠3=∠B,试判断∠AED与∠ACB的大小关系,并说明理由。 14.直线AB∥CD,直线 EF分别交AB、CD于点A、C,CM是∠ACD的平分线,CM交AB 于点N。 (1)如图①,过点 A作AC 的垂线交CM 于点M,若∠MCD=55°,求∠MAN的度数; (2)如图②,点 G 是 CD 上的一点,连接 MA、MG,若 MC 平分∠AMG 且∠ ∠EAB=180°,求∠ACD 的度数。 15.如图46,直线AC∥BD,连接AB,直线AC、BD 及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分,规定:线上各点不属于任何部分。当动点 P 落在某个部分时，连接 PA、PB，构成 三个角。(提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角) (1)当动点 P 落在第①部分时，求证： (2)当动点 P 落在第②部分时， 是否成立? (直接回答成立或不成立) (3)当动点 P 落在第③部分时，全面探究 之间的关系，并写出动点 P 的具体位置和相应的结论。选择其中一种结论加以证明。 答案 一、选择题 1.解:过C作CM∥直线l₁, ∵直线l₁∥l₂, ∴CM∥直线l₁∥直线l₂, ∵∠ACB=60°,∠2=35°, ∴∠2=∠ACM=35°, ∴∠1=∠MCB=∠ACB-∠ACM=60°-35°=25°,故选:A。 2.解:延长ED交BC 于F,如图所示: ∵AB∥DE,∠ABC=75°, ∴∠MFC=∠B=75°, ∵∠CDE=145°, ∴∠FDC=180°-145°=35°, ∴∠C=∠MFC-∠MDC=75°-35°=40°, 故选:C。 3.解:∵CD∥AB,∴∠AOD+∠D=180°, ∴∠AOD=70°, ∴∠DOB=110°, ∵OE平分∠BOD, ∴∠DOE=55°, ∵OF⊥OE, ∴∠FOE=90°, ∴∠DOF=90°-55°=35°, ∴∠AOF=70°-35°=35°, 故选:D。 4.解:如图,过点 E作EF∥l₁, ∵l₁∥l₂,EF∥l₁, ∴EF∥l₁∥l₂, ∴∠1=∠AEF=30°, ∠FEC+∠3=180°, ∴∠2+∠3=∠AEF+∠FEC+∠3=30°+180°=210°,故选:C。 5.解:∵AB∥CD,∠BCD=50°, ∴∠ABC=50°, ∵BE平分∠ABC, ∴∠EBC=25°, ∵CE⊥BE, ∴∠BCE=90°-25°=65°, 故选:B。 二、填空题 6.解:∵AD∥BC, ∴∠A+∠ABC=180°,∠D+∠DCB=180°, ∵∠A+∠D=225°, ∴∠ABC+∠DCB=135°, ∵BO,CO分别平分∠ABC,∠DCB, ∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=112.5°,故答案为:112.5°。 7.解：∵两个角的两边互相平行， ∴这两个角互补或相等， ∵其中一个角为40°， ∴另一个角的度数为:40°或140°。 故答案为:40°或140°。 8.解:如图, ∵平面上4条直线两两相交且无三线共点， ∴共有3×4=12条线段。 又∵每条线段两侧各有一对同旁内角，∴共有同旁内角12×2=24对。 故答案为：24。 9.解:如图,过点 E作EM∥AB,过点 F作FN∥AB, ∵AB∥CD, ∴EM∥FN∥AB∥CD, ∴∠A+∠1=180°,.∠2+∠3=180°,∠4+∠C=180°, ∴∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=∠A+∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=540°。 故答案为:540°。 10.解:如图,过A作AE∥a,过B作BF∥a,过C作CR∥a, ∵直线a∥b, ∴直线a∥b∥ AE∥BF∥CR, ∴∠RCT=∠CTZ=30°, ∵∠BCT=48°, ∴∠BCR=48°-30°=18°, ∴∠RCB=∠CBF=18°, ∴∠ABF=30°-18°=12°=∠EAB, ∵∠QWY=120°, ∴∠YWA=180°-∠QWY=60°, ∴∠WAE=∠YWA=60°, ∴x=∠WAE+∠EAB=60°+12°=72°,故答案为:72°。 三、解答题 11.解:∵AB∥CD, ∴∠GFB=∠FED=45°。 ∵∠HFB=20°, ∴∠GFH=∠GFB-∠HFB=45°-20°=25°。 12.解:DG∥BC,理由如下: ∵CD⊥AB,EF⊥AB, ∴CD∥EF, ∴∠2=∠DCE, ∵∠1=∠2, ∴∠1=∠DCE, ∴DG∥BC。 13.解:∠AED=∠ACB。 理由:∵∠1+∠4=180°(平角定义),∠1+∠2=180°(已知), ∴∠2=∠4, ∴EF∥AB(内错角相等，两直线平行)， ∴∠3=∠ADE(两直线平行,内错角相等), ∵∠3=∠B(已知), ∴∠B=∠ADE(等量代换), ∴DE∥BC(同位角相等，两直线平行)， ∴∠AED=∠ACB(两直线平行,同位角相等)。 14.解:(1)如图① ∵CM是∠ACD的平分线,∠MCD=55°, ∴∠ACD=2∠MCD=110°, 又∵AB∥CD, 又∵AM⊥EF, (2)如图② ∵MC平分∠AMG 且∠AMG=36°, ∴∠CMG=18°, ∵MC平分∠ACG, ∵∠CAB+∠EAB=180°,∠MGD+∠EAB=180°, ∴∠BAC=∠MGD, ∵AB∥CD, ∴∠BAC+∠ACD=180°, 设∠ACD=α, 则 ∵∠MGD 是△CMG的外角, ∴∠MGD=∠CMG+∠MCG,即 解得α=108°, ∴∠ACD=108°。 15.解: (1)解法一:如图a,延长 BP 交直线AC于点E, ∵AC∥BD, ∴∠PEA=∠PBD, ∵∠APB=∠PAE+∠PEA, ∴∠APB=∠PAC+∠PBD; 解法二:如图b,过点 P作FP∥AC, ∴∠PAC=∠APF, ∵AC∥BD, ∴FP∥BD, ∴∠FPB=∠PBD, ∴∠APB=∠APF+∠FPB=∠PAC+∠PBD; 解法三：如图c， ∵AC∥BD, ∴∠CAB+∠ABD=180°,∠PAC+∠PAB+∠PBA+∠PBD=180°,又∵∠APB+∠PBA+∠PAB=180°, ∴∠APB=∠PAC+∠PBD。 (2)不成立。 (3)(a)当动点 P 在射线 BA 的右侧时,结论是: ∠PBD=∠PAC+∠APB。 (b)当动点 P 在射线BA 上,结论是: ∠PBD=∠PAC+∠APB 或∠PAC=∠PBD+∠APB 或∠APB=0°,∠PAC=∠PBD(任写一个即可)。 (c)当动点 P 在射线BA 的左侧时， 结论是∠PAC=∠APB+∠PBD。 选择(a)证明： 如图d,连接 PA,连接 PB交AC 于M, ∵AC∥BD, ∴∠PMC=∠PBD, 又∵∠PMC=∠PAM+∠APM(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)， ∴∠PBD=∠PAC+∠APB; 选择(b)证明：如图e， ∵点 P 在射线BA 上, ∴∠APB=0度, ∵AC∥BD, ∴∠PBD=∠PAC, ∴∠PBD=∠PAC+∠APB或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°,∠PAC=∠PBD; 选择(c)证明： 如图 f,连接PA,连接PB交AC于F, ∵AC∥BD, ∴∠PFA=∠PBD, ∵∠PAC=∠APF+∠PFA, ∴∠PAC=∠APB+∠PBD。 学科网（北京）股份有限公司 $$