高一数学开学摸底考（湘教版2019，必修一全册）-2024-2025学年高中下学期开学摸底考试卷

2025届高一下学期开学摸底考试卷（湘教版2019） 数学•全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．集合的子集个数为（   ） A． B． C． D． 2．设命题，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．已知角的终边在射线上，则（    ） A． B． C． D． 5．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，若关于x的不等式的解集为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8．定义在上的奇函数在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 10．如图所示，角、（）的始边均落在轴的正半轴上，终边与单位圆的交点分别为、，已知，则下列结论正确的是（   ）    A．的长度为 B．扇形的面积为 C． D．的面积为 11．已知函数的定义域为，对任意实数，有且，当时，．则下列选项正确的是（   ） A． B． C．为奇函数 D．为上的减函数 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则 . 13．已知甲：，乙：关于的不等式，若甲是乙的必要不充分条件，则的取值范围是 ． 14．已知函数在上严格单调递增，则实数a的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15.（本小题满分13分）已知函数. (1)当时，分别求出函数在上的最大值和最小值； (2)求关于的不等式的解集. 16．（本小题满分15分）已知函数且. (1)求函数的定义域； (2)当时，关于的不等式恒成立，求实数的最小值. 17．（本小题满分15分）首届全国青少年三大球运动会于年月日在长沙、岳阳成功举办，这次运动会的举办激发了青少年对三大球（篮球、排球、足球）的爱好兴趣.王先生现有资金万元，准备全部用于投资销售篮球和足球器材.已知投资万元销售篮球器材，获得利润（万元）与成正比；投资万元销售足球器材，获得利润为（万元）（没有投资时的利润为万元），且满足. (1)求、的解析式； (2)王先生应投资销售篮球器材和足球器材各多少万元时，他所获得的利润最大，最大利润是多少？ 18．（本小题满分17分）已知． (1)的对称轴方程； (2)的单调递增区间； (3)若方程在上有解，求实数m的取值范围． 19．（本小题满分17分）已知集合，其中且，，非空集合，记为集合中所有元素之和，并规定当中只有一个元素时，． (1)若，，写出所有可能的集合； (2)若，，且是12的倍数，求集合的个数； (3)若；证明：存在非空集合，使得是的倍数． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025届高一下学期开学摸底考试卷（湘教版2019） 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高一下学期开学摸底考试卷（湘教版2019） 数学•全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．集合的子集个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，则， 所以集合只有一个元素，故集合的子集个数为，故选A. 2．设命题，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】存在量词命题的否定为全称量词命题，即的 否定格式为：,所以的量词格式错误， 而选项未对结论进行否定，其正确的写法为，故选C. 3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，解得，故定义域为.故选C 4．已知角的终边在射线上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为角的终边在射线上，不妨在终边上取一点， 则，， 所以，， 所以.故选：A 5．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由对数函数的性质知，解得， 因为函数的图象的对称轴为，开口向下， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又，则函数为减函数， 由复合函数单调性知，函数的单调递增区间为 故选：A. 6．已知函数，若关于x的不等式的解集为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由关于的不等式的解集为， 得为方程的两根， 即， 整理得：， 所以函数的值域为. 故选：D. 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由辅助角公式，， . 因， 则， . 故选：B. 8．定义在上的奇函数在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为定义在的奇函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，且， 又，则， 则当时，， 当时，， 则由不等式，得或， 即或， 解得或， 所以的的取值范围是. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【解析】对于A，当时，，A错误； 对于B，，，可得且，，即，故B正确； 对于C，举反例，时，，故C错误； 对于D，因为在上为增函数，所以，故D正确. 故选：BD. 10．如图所示，角、（）的始边均落在轴的正半轴上，终边与单位圆的交点分别为、，已知，则下列结论正确的是（   ）    A．的长度为 B．扇形的面积为 C． D．的面积为 【答案】AC 【解析】对于A：因为，所以的长度为，故正确； 对于B：因为，所以扇形的面积为，故错误； 对于C：在中，过作交于点，如下图，    易知全等，所以，故正确； 对于D：因为， 所以，故错误； 故选：AC. 11．已知函数的定义域为，对任意实数，有且，当时，．则下列选项正确的是（   ） A． B． C．为奇函数 D．为上的减函数 【答案】ACD 【解析】A.令，得，即，故A正确； B.令，所以，故B错误； C.令，则，即，所以函数为奇函数，故C正确； D.设，，即， 即， 因为，所以，则，所以， 即，所以为上的减函数，故D正确. 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则 . 【答案】64 【解析】由可得， ， 即， 设，则， 所以，整理得，， 解得或， 所以或，解得（舍）或， 13．已知甲：，乙：关于的不等式，若甲是乙的必要不充分条件，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】甲：，设此范围对应集合； 由，则乙：，设此范围对应集合， 因为甲是乙的必要不充分条件，则是的真子集， 则，所以的取值范围是：. 14．已知函数在上严格单调递增，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】若使函数在上单调递增，则， 解得，故实数的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15.（本小题满分13分）已知函数. (1)当时，分别求出函数在上的最大值和最小值； (2)求关于的不等式的解集. 【解】（1）由题设，开口向上且对称轴为， 结合二次函数的图象，在上最大值为，最小值为. （2）由题意， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 16．（本小题满分15分）已知函数且. (1)求函数的定义域； (2)当时，关于的不等式恒成立，求实数的最小值. 【解】（1）令关于的不等式，有. ①当时，解不等式，可得， 此时函数的定义域为： ②当时，解不等式，可得， 此时函数的定义域为； （2）当时，函数的定义域为 令， 有 令，可得， 因为，所以， 有， 由，当且仅当时取等号， 有，有， 所以，故的最小值为. 17．（本小题满分15分）首届全国青少年三大球运动会于年月日在长沙、岳阳成功举办，这次运动会的举办激发了青少年对三大球（篮球、排球、足球）的爱好兴趣.王先生现有资金万元，准备全部用于投资销售篮球和足球器材.已知投资万元销售篮球器材，获得利润（万元）与成正比；投资万元销售足球器材，获得利润为（万元）（没有投资时的利润为万元），且满足. (1)求、的解析式； (2)王先生应投资销售篮球器材和足球器材各多少万元时，他所获得的利润最大，最大利润是多少？ 【解】（1）由题意可知，所以，则， 所以，所以. 由题意可设，所以，所以 （2）设王先生投资（万元）销售足球器材，则投资（万元）销售篮球器材， 设他所获得的利润为（万元）， 则由题意有 ， 当且仅当，即时等号成立. 所以当王先生投资（万元）销售足球器材，投资（万元）销售篮球器材时， 他所获得的利润最大，最大利润为（万元）. 18．（本小题满分17分）已知． (1)的对称轴方程； (2)的单调递增区间； (3)若方程在上有解，求实数m的取值范围． 【解】（1）由题设， 令，得， 所以函数对称轴方程为； （2）由，则单调增区间为的单调减区间， 令，则， 所以的单调增区间为； （3）方程在上有解，等价于与的图象有交点． 由，则，即， 所以，故的取值范围为． 19．（本小题满分17分）已知集合，其中且，，非空集合，记为集合中所有元素之和，并规定当中只有一个元素时，． (1)若，，写出所有可能的集合； (2)若，，且是12的倍数，求集合的个数； (3)若；证明：存在非空集合，使得是的倍数． 【解】（1），集合可能为：，，，； （2）不妨设，则，， 因此或， 时，， 时，， 因此中只能选项一个，中选两个，为， 综上集合有，共有4个； （3）（1）若，则是从这个数所取， 把这个数分成组，每组中两个数的和为， 从这组中取个数，必有两个数属于同一组，例如，则取，是的倍数，结论成立； （2）若，不妨设， 从中任取3个数，， 若与都是的倍数，则，这与矛盾， 所以中任意两个数的差都不是的倍数，不妨设不是倍数， 考虑这个数：， ①若这个数除以的余数各不相同，则必有一个是的倍数，又且均不为， 故存在，使得， 若为偶数，取，则，结论成立； 若为奇数，取，则，结论成立； ②若这个数除以的余数中有两个相同，由它们的差是的倍数，又均不为的倍数， 所以存在，使得， 若是偶数，取，，结论成立， 若是奇数，取，，结论成立， 综上，存在非空集合，使得是的倍数． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高一下学期开学摸底考试卷（湘教版2019） 数学·参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A C C A A D B B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD AC ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．64 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15.（本小题满分13分） 【解】（1）由题设，开口向上且对称轴为， 结合二次函数的图象，在上最大值为，最小值为. （2）由题意， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 16．（本小题满分15分） 【解】（1）令关于的不等式，有. ①当时，解不等式，可得， 此时函数的定义域为： ②当时，解不等式，可得， 此时函数的定义域为； （2）当时，函数的定义域为 令， 有 令，可得， 因为，所以， 有， 由，当且仅当时取等号， 有，有， 所以，故的最小值为. 17．（本小题满分15分） 【解】（1）由题意可知，所以，则， 所以，所以. 由题意可设，所以，所以 （2）设王先生投资（万元）销售足球器材，则投资（万元）销售篮球器材， 设他所获得的利润为（万元）， 则由题意有 ， 当且仅当，即时等号成立. 所以当王先生投资（万元）销售足球器材，投资（万元）销售篮球器材时， 他所获得的利润最大，最大利润为（万元）. 18．（本小题满分17分） 【解】（1）由题设， 令，得， 所以函数对称轴方程为； （2）由，则单调增区间为的单调减区间， 令，则， 所以的单调增区间为； （3）方程在上有解，等价于与的图象有交点． 由，则，即， 所以，故的取值范围为． 19．（本小题满分17分） 【解】（1），集合可能为：，，，； （2）不妨设，则，， 因此或， 时，， 时，， 因此中只能选项一个，中选两个，为， 综上集合有，共有4个； （3）（1）若，则是从这个数所取， 把这个数分成组，每组中两个数的和为， 从这组中取个数，必有两个数属于同一组，例如，则取，是的倍数，结论成立； （2）若，不妨设， 从中任取3个数，， 若与都是的倍数，则，这与矛盾， 所以中任意两个数的差都不是的倍数，不妨设不是倍数， 考虑这个数：， ①若这个数除以的余数各不相同，则必有一个是的倍数，又且均不为， 故存在，使得， 若为偶数，取，则，结论成立； 若为奇数，取，则，结论成立； ②若这个数除以的余数中有两个相同，由它们的差是的倍数，又均不为的倍数， 所以存在，使得， 若是偶数，取，，结论成立， 若是奇数，取，，结论成立， 综上，存在非空集合，使得是的倍数． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$