高一入学学情摸底测试（考试范围：必修第一册）-2024-2025学年高一数学下学期重难点突破及易错点分析（人教A版）

高一入学学情摸底测试 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，故不是不等式的解， 不等式可化为，因为，故， 所以且， 所以且， 又， 所以. 故选：B. 2．下列函数中，是偶函数且在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A选项，函数为非奇非偶函数，且在上单调递增； 对于B选项，函数为偶函数，且在上单调递增； 对于C选项，函数为奇函数，且在上单调递增； 对于D选项，函数为偶函数，且在上单调递减. 故选：D. 3．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，则， 但当时，，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4．已知正数满足，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】原式，当且仅当，即时，等号成立，取得最大值. 故选：A 5．已知函数，若方程有两个不同的实数解，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为方程有2个实数解，所以与的图象有两个交点， 因为， 所以作出与的大致图象，如图，    由图像可得或， 故选：D. 6．函数的图象大致为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则， ∴函数为奇函数，选项B错误. 当时，， 由得，， ∴，∴，CD错误，选项A符合要求. 故选：A. 7．已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知函数，所以函数的定义域为， 且，所以为偶函数， 对于函数，当时，，可得其在区间上单调递增， 又因为为增函数，由复合函数定义及偶函数的性质可知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减. 所以，则得，即， 当时，成立， 当时，由，可得， 因为，当且仅当，即，即时取等号， 所以，得，故A正确. 故选：A. 8．已知函数则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，，，则； 又，，则，所以，故A错误； 对于B，当时，，所以，则， 当时，，所以，则， 因为余弦函数在上单调递减，所以，即，故B错误； 对于C，取，因为，所以， 又，所以，此时不成立，故C错误； 对于D，由，得，即， 由，，解得，， 所以当，时，； 当，时，； 因此，当，时，， 此时，，则， 此时满足； 当，时，， 此时，，则， 此时满足； 综上所述，函数满足，故D正确； 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．下列计算或化简结果正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若为第二象限角，则 【答案】ABD 【详解】若，则，故A正确； 若，则，故B正确； 若，则，所以，故C错； 若为第二象限角，则，，所以，故D正确； 故选：ABD 10．已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】∵，∴，， ∴，即，∴，A选项正确， ∵，，且，∴，即，C选项正确， ∴， ∴，B选项错误， ，D选项正确. 故选：ACD. 11．（多选题）已知函数，函数，则下列结论正确的是（    ） A．若方程有3个不同的实数根，则的取值范围是 B．若方程有4个不同的实数根，则的取值范围是 C．若方程有4个实数根，，，（），则 D．若方程有4个实数根，，，（），则的取值范围是 【答案】BCD 【详解】令，得， 即实数根的个数为函数与图象交点个数，故作出函数图象如图： 对于A，方程有3个不相等的实数根，则a的取值范围是，A错误； 对于B，方程有4个不相等的实数根，则a的取值范围是，B正确； 对于C，方程有4个不相等的实数根（）， 此时，关于直线对称，则，C正确； 对于D，由C选项知，则， 由于方程有4个不相等的实数根，的取值范围是， 故，因此，D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知函数的定义域为 ，则函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】解：因为的定义域为， 则，即， 所以的定义域为， 又， 所以函数的定义域为. 故答案为： 13．设集合.下面命题中，是真命题的命题序号为 . ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则 【答案】②③④ 【详解】①若，①错误， ②，②正确， ③，③正确， ④，④正确， ⑤若，⑤错误. 故答案为：②③④ 14．已知，函数在上单调递增，则的最大值为 . 【答案】/0.5 【详解】因为，所以， 又在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 而，，所以由正弦函数性质得， 解得，则的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）设集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)设，若且，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1），且，所以. 若，此时，解得； 若，此时，且，解得， 则实数的取值范围是. （2）因为且，所以集合中至少存在一个整数. 或，，要使中至少存在一个整数， 则，解得，则实数的取值范围是. 16．（15分）已知函数的图象过点 (1)求的值，判断函数的单调性，并根据定义证明； (2)证明：的图象关于点对称； (3)任取，且，恒有成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)；在定义域内单调递增，证明见详解 (2)证明见详解 (3) 【详解】（1）因为函数的图象过点， 则，解得， 所以. 可知在定义域内单调递增，证明如下： 任取，令， 则， 因为，则， 可得，即， 所以在定义域内单调递增. （2）因为的定义域为， 且， 所以的图象关于点对称. （3）因为，即， 由（1）可知：在定义域内单调递增，则， 由（2）可知：，即， 可得，即， 又因为，可得， 即，解得， 所以实数m的取值范围. 17．（15分）按要求求值. (1)已知角的终边与单位圆交于点，求的值. (2)设，且，求的值. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）角的终边与单位圆交于点知：， 根据诱导公式化简得. （2）， ， 即：，化简得：， ，所以， 化简得，解得或. 所以为或 18．（17分）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求和的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)单调递增，证明见解析 (3) 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以满足，又，可得， 解得，可得， ，是奇函数，满足题意， 所以，. （2），在上单调递增，证明如下： 设任意，且，则 ， 由，可得， 又，，， 则，则， 则在上单调递增； （3）对任意的，由在上单调递增， 可得，即，则在上的值域为， 的对称轴为， 当时，在上为增函数， 值域为， 由题意可得，则，解得， 综上，实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问解题按照单调性的定义经历“设元”、“作差”、“变形”、“定号”等过程即可完成；第三问的关键是函数的值域为函数的值域的子集，并由集合的包含关系建立关于参数的不等式，即可求解. 19．（17分）已知. (1)求的单调递增区间； (2)若对任意的恒成立，求a的取值范围； (3)已知函数，记方程在区间上的根从小到大依次为，，…，，求的值. 【答案】(1)，. (2) (3)92 【详解】（1） . 令，，则，， 故的单调递增区间为，. （2），即对任意的恒成立， 则对任意的恒成立， 令， 因为，则， 由对勾函数的性质知在上单调递减， 又，所以， 则的最大值为，故. （3）令， ，， 令，又， 函数在上的图象如下图所示， 由图可知，的图象与直线共有6个交点，即， ， . 【点睛】关键点点睛：本题考查正弦函数图像及应用，关键是利用整体思想结合对称性求解第三问. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一入学学情摸底测试 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，是偶函数且在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 3．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知正数满足，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 5．已知函数，若方程有两个不同的实数解，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．函数的图象大致为（    ）. A． B． C． D． 7．已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．下列计算或化简结果正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若为第二象限角，则 10．已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（多选题）已知函数，函数，则下列结论正确的是（    ） A．若方程有3个不同的实数根，则的取值范围是 B．若方程有4个不同的实数根，则的取值范围是 C．若方程有4个实数根，，，（），则 D．若方程有4个实数根，，，（），则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知函数的定义域为 ，则函数的定义域为 ． 13．设集合.下面命题中，是真命题的命题序号为 . ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则 14．已知，函数在上单调递增，则的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）设集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)设，若且，求实数的取值范围. 16．（15分）已知函数的图象过点 (1)求的值，判断函数的单调性，并根据定义证明； (2)证明：的图象关于点对称； (3)任取，且，恒有成立，求实数m的取值范围. 17．（15分）按要求求值. (1)已知角的终边与单位圆交于点，求的值. (2)设，且，求的值. 18．（17分）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求和的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 19．（17分）已知. (1)求的单调递增区间； (2)若对任意的恒成立，求a的取值范围； (3)已知函数，记方程在区间上的根从小到大依次为，，…，，求的值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$