【名校面对面】2023-2024学年高一下学期开学大联考数学试题（word版)

2023—2024学年下期高一开学考试 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置。 2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上。 4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设全集 ，集合，，则 A． B． C． D． 2．设命题：，则的否定为 A． B． C． D． 3．不等式对一切恒成立，则的取值范围是 A． B． C．或 D．或 4．函数的图象大致为 A． B． C D． 5．设 ，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知的质量随时间（年）的指数衰减规律是：（其中为的初始质量）．则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间约为（参考数据：，） A．300年 B．575年 C．675年 D．725年 7．已知函数的部分图象如图所示，则 A． B． C．2 D． 8．已知函数是上的增函数，，点 在其图象上，那么的解集是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共4个小题，每小题5分，共计20分，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。 9．已知，都是正数，则下列不等式一定成立的是 A． B． C．若，则 D．若，则 10．设是第二象限角，则下列函数值一定为负数的是 A． B． C． D． 11．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则以下关于狄利克雷函数 的结论中，正确的是 A．函数 为偶函数 B．函数的值域是 C．函数的值域是 D．在 图象上存在不同的三个点 ，使得 为等边三角形 12．某地区的绿化的面积（单位：）为时间（单位：月）的指数函数，即，且有关数据如图所示．则下列说法正确的是 A．绿化面积的月增长率为1 B．第10个月，绿化面积为 C．绿化面积的月增加量都相等 D． 三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知，，则________． 14．函数 （，且 ）的图象恒过定点 ，且点 在幂函数 的图象上，则_________________． 15．若，，则______． 16．已知函数，若函数 有三个零点，则实数的取值范围是_________________． 四、解答题(本题共6小题，共70分，其中第17题10分，剩余题目每题12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（10分） 已知函数． （1）若，求函数的值域 （2）若函数在上单调递增，求的取值范围 18．（12分） 已知集合． （1）当时，求； （2）设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 19．（12分） 已知函数的最小正周期为． （1）求ω的值及函数f（x）的单调减区间； （2）若，且，求的值． 20．（12分） （1）若关于的不等式对都成立，求的取值范围； （2）已知二次不等式的解集为，且，求的值． 21．（12分） 已知函数（），． （1）求的值； （2）将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来，再把所有得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图像．求函数在区间上的值域； （3）若时，不等式恒成立，求实数c的取值范围． 22．（12分） 已知函数 ． （1）证明：； （2）若，不等式恒成立，求实数 的取值范围． 高一数学试题 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年下期高一开学考试 数学答案 1．【答案】C 【分析】利用集合的交集和补集运算进行求解即可． 【解析】，，．故选：C． 2．【答案】C 【分析】根据题意直接写出命题的否定即可． 【解析】命题：，命题的否定：．故选：C． 3．【答案】A 【解析】当时，明显成立，当时，则，即，解得， 综上：，故选：A． 4．【答案】D 【分析】根据题意可证明函数为奇函数，再利用特殊点的值即可逐项判断求解． 【解析】由题意得设，函数的定义域为，，所以函数为奇函数． 对B、C：由图象可知函数为偶函数，因为函数为奇函数，故B、C错误； 对A、D：由图象可知函数为奇函数，令，得，故A错误，故D正确．故选：D． 5．【答案】A 【分析】根据不等式的性质，其中充分性中，等价于，得到后两边同乘即可；必要性中，取特殊值，按照必要性的定义进行判断即可． 【解析】充分性：由，可得，则，两边同乘，可得，满足充分性；必要性：取特殊值，满足，但不满足，不满足必要性；所以“”是“”的充分也不必要条件；故选：A． 6．【答案】B 【分析】根据题意列出方程，进而结合对数的运算法则即可求得答案． 【解析】依题意可得，即， 所以．故选：B． 7．【答案】C 【分析】根据图象求得的解析式，进而求得． 【解析】由图可知，所以， ，由于，所以，所以．故选：C 8．【答案】A 【分析】由题可得，原不等式等价于，根据函数的单调性可求得结果． 【解析】且，，原不等式等价于，又是上的增函数，，解得．所以不等式的解集为．故选：A． 9．【答案】BC 【分析】利用基本不等式，“一正二定三相等”求解即可． 【解析】，都是正数， 对于A，，，， 当且仅当，即时等号成立，故A不正确； 对于B，因为，都是正数，又，当且仅当，即时等号成立， ，故B正确； 对于C，，，当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，因为，都是正数，又，，当且仅当时等号成立，故D错误．故选：BC． 10．【答案】BC 【分析】根据已知得出的范围，进而得出以及的范围，即可得出以及终边所在的象限，进而得出答案． 【解析】对于A、B，由已知可得，， 所以．当为偶数时，设， 则，此时为第一象限角； 当为奇数时，设，则， 此时为第三象限角．综上所述，为第一或第三象限角． 所以，不能确定的正负，．故A错误，B正确； 对于C、D，由已知可得，，所以， 所以，为第三或第四象限角或终边落在轴非正半轴．所以不能确定的正负，，故C正确，D错误．故选：BC ． 11．【答案】ACD 【分析】选项A中注意“若，则；，则”即可；选项B中注意；选项C中，内层函数或，函数值都是有理数；选项D取特殊情况判断即可． 【解析】由于， 对于选项A，设任意，则，；设任意，则，；总之，对于任意实数，恒成立，A正确； 对于选项B，值域为，，B错误； 对于选项C，当，则，； 当，则，；得函数的值域是 ，C正确； 对于选项D，取，得到为等边三角形，D正确；故选：ACD． 【点睛】本题主要考查了函数新定义问题和函数的基本性质，还考查了理解辨析的能力，解题的关键是将文化情景转化为数学模型即可，属于中档题． 12．【答案】ABD 分析】根据图象所过点可求得函数解析式，可判断AB；代入可知C错误；分别求出相应函数值可得D． 【解析】过点，，则； 对于A，每个月的月增长率为，A正确； 对于B，当时，，即绿化面积为，B正确； 对于C，率绿化面积第个月的增加量为；第个月的增加量为，增加量不相等，C错误； 对于D，，则，D正确．故选：ABD． 13．【答案】0 【分析】先根据题意求出，再代入原式，再根据对数的运算性质，对数的换底公式即可求解． 【解析】由，，则，，得 ，得．故答案为0． 14．【答案】 【分析】根据指数函数过定点的特点结合平移变换得到点，再设出幂函数 的解析式，将点代入，解出幂函数解析式，再将-4代入求得结果． 【解析】由已知得点的坐标为，设幂函数 ， 将点代入得，解得，所以，所以．故答案为： 15．【答案】 【分析】对等式两边同时平方可得，可求得，进而求出，即可求出． 【解析】解法一 由题意知，，等式两边同时平方， 得，即， 所以，又，所以，所以，由，解得，所以． 得，故答案为：． 解法二 由题意知，，等式两边同时平方，得，即，所以，又，所以，所以，得 ， 16．【答案】 【分析】由解析式画出函数草图，将问题化为与有三个交点，数形结合求参数范围． 【解析】由函数解析式可得图象如下， 若函数有三个零点，即方程有三个根，即函数与有三个交点，由图象得，所以实数的取值范围为．故答案为：． 17．【分析】：（1）根据二次函数的性质及对数函数的性质，即可求解；（2）根据复合函数单调性结合条件可得且，进而即得． 【解析】（1）由题知， ∵，…………2分 ∴，…………4分 即函数的值域为；…………5分 （2）因为函数在上单调递增，又函数在定义域上单调递增， 所以在上单调递增，且在上恒成立，…………7分 所以且，解得，即的取值范围为．……10分 18．【分析】（1）解分式不等式求得集合A，由并集定义可得结果； （2）根据必要不充分条件的定义可得集合B是集合A的真子集，分和两种情况，由此可构造不等式组求得结果． 【解析】（1）由，解得，即；……2分 当时，；所以．……4分 （2）由（1）可知：， 若是成立的必要不充分条件，则集合B是集合A的真子集，……6分 若，则，解得；……7分 若，则，解得，……9分 或，解得，即，检验符合题意；……11分 综上所述：实数的取值范围为．……12分 19．【解答】：（1）因为， 由题意，得，所以，所以，……3分 由，得， 所以函数的单调减区间是．……6分 （2）由，得：，所以，……7分 因为，所以，所以，……8分 所以……10分 ．……12分 【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质的应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题． 20．【分析】（1）由条件分和两种情况讨论即可； （2）由题意利用韦达定理得到和，再利用即可求出值． 【解析】（1）当时，，符合题意；……1分 当时，要使对都成立， 则，……4分 解得，．故的取值范围为；……6分 （2）二次不等式的解集为， 且 ，为一元二次方程的两根，……8分 由韦达定理得，，……9分 ，……10分 ．故的值为．……12分 21．【分析】（1）根据可求得，进而可得出答案； （2）先求出函数的解析式，再根据正弦函数的性质即可得解； （3）由不等式恒成立，可得，求出函数在上的最值即可得解． 【解析】（1）由，得，……2分 ∴，∴；……4分 （2）函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来， 得，再把所有得到的图象向右平移个单位长度， 得，∴，……6分 ∵，∴，∴在区间上的值域为；……8分 （3）∵，∴，此时，，……9分 ∵不等式恒成立，∴，即，……10分 解得，故c的取值范围是．…………12分 【点睛】方法点睛：求函数在区间上值域的一般步骤： 第一步：三角函数式的化简，一般化成形如的形式或的形式； 第二步：由的取值范围确定的取值范围，再确定（或)的取值范围； 第三步：求出所求函数的值域（或最值）． 22．【分析】（1）利用完全平方公式得到，从而得证； （2）先将变形为，令，构造函数，研究其性质即可． 【解析】（1）由于，得，……1分 ，得成立．……3分 （2） ，，当且仅当时， 即时等号成立，……5分 由第（1）问可知，“不等式恒成立”等价于：“不等式恒成立”，令，即对任意，恒成立，……7分 构造函数， 当时，函数在区间上单调递增，函数的最小值为， 只需，此时满足题意；……9分 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，……10分 函数的最小值为，只需，此时不存在；……11分 总之，不等式恒成立，实数 的取值范围为．……12分 高一数学答案 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $$