高二数学开学摸底考（新高考地区通用）02-2024-2025学年高中下学期开学摸底考试卷

2025届高二下学期开学摸底考试卷（新高考通用）02 数学•全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，即，所以焦点坐标为，故选C. 2．已知两条直线和相互垂直，则（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【解析】∵直线和相互垂直， ∴，解得，故选C. 3．如图，在四棱锥中，点是的中点，设，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 所以，故选A. 4．已知函数的导函数在区间上的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．在处取得最大值，在处取得最小值 B．的极大值点为，极小值点为 C．在区间上单调递增，在区间上单调递减 D．的增区间为和，减区间为 【答案】C 【解析】由图可知，当或时，，当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减，D错误； 所以的极大值点为，极小值点为，B错误； 又，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，C正确；所以，所以在处取不到最小值，A错误. 故选：C 5．已知点，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（    ） A． B．9 C．5 D．6 【答案】D 【解析】由点，得直线，圆的圆心，半径，点C到直线的距离， 因此点P到直线距离的最小值为， 所以面积的最小值为，故选D. 6．已知等比数列的各项均为正数且公比大于1，前项积为，且，则使得的的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设等比数列的公比为，由，得，解得， 因此，则， 由，得，又，解得，所以的最小值为10，故选D 7．已知双曲线，两焦点分别为，过右焦点作直线交右支于点，且，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，设，则，， 因为， 所以， 因为，所以 所以离心率为：故选B. 8．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得，，， 设，，则， 故当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因为，，，且， 可得，，所以. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（   ） A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B．直线l的方向向量，平面的法向量是，则 C．两个不同的平面，的法向量分别是，，则 D．直线l的方向向量，平面的法向量是，则 【答案】AC 【解析】对于A，因为，所以直线，的方向向量共线，故，故A正确； 对于B，因为，所以不共线，故不成立，故B错误； 对于C，因为，所以，故，故C正确； 对于D，因为，所以共线，所以，故D错误； 故选：AC． 10．（0分）对于点和圆，下列说法错误的是（   ） A．点在圆上 B．过点有两条圆的切线 C．过点被圆截得的弦长最大时的直线方程为 D．过点被圆截得的弦长为的直线方程为 【答案】ABD 【解析】由题意，因为，所以点在圆内， 则过点不存在圆的切线，故A不正确，B不正确； 圆的圆心，半径， 对于C，根据圆的几何性质可知，当过点被圆截得的弦长最大时，直线经过圆心， 即直线经过点和，此时直线方程为，故C正确； 对于D，当过点的直线斜率不存在时，方程为，与圆交于点和，此时弦长为，符合题意； 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为，即， 设圆心到弦所在直线的距离为，由，解得，则，解得，直线方程为，故D不正确； 故选：ABD. 11．已知函数 ，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则在上单调递增 D．若，则在上单调递增 【答案】AD 【解析】由题意知，得， 若，所以是的极小值点， 此时，解得， 则， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增， 所以，则，故A正确，B错误； 若，此时， 当时，，在上单调递减，故C错误； 若，此时， 当时，，在上单调递增，故D正确． 故选：AD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．数列与的所有公共项由小到大构成一个新的数列，则 . 【答案】116 【解析】与的所有公共项由小到大构成一个新的数列为， 故为首项为2，公差为6的等差数列， 所以， 所以. 13．在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E满足，点F满足，若P，A，C，F四点共面，则 . 【答案】 【解析】连接BD，由题可知. 又，所以，且P，A，C，F四点共面， 所以，解得. 14．设函数，若恒成立，求a的取值范围 . 【答案】 【解析】， 由题意恒成立，则， ①当时，令，得； 令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得 ②当时，存在，不满足题意， 综上，实数a的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分）已知圆O： (1)过圆外一点引圆的切线，求切线方程； (2)设点P是直线上的一点，过点P作圆的切线，切点是M，求的面积最小值以及此时点P的坐标． 【解】（1）当切线斜率存在时，设切线的方程为，即， 圆心到切线的距离是2， ，解得， 切线方程为，即 当切线斜率不存在时，易知与圆也相切， 故所求切线方程为和 （2）由圆的几何性质可知，当时，的面积最小值． 又因为， 所以直线OP的方程为 由解得 即点P 的坐标为 此时的面积最小值为 16．（本小题满分15分）如图，在多面体中，四边形是边长为3的正方形，，，且，，面，，为中点．    (1)若是中点，求证：面； (2)求平面与平面夹角的正弦值． 【解】（1）取的中点，连接， 因为是中点，为中中点，， 所以，， 因为平面，平面， 所以平面， 同理可得平面， 又，平面， 故平面平面， 又平面， 所以平面； （2）因为面，平面， 所以， 又四边形是边长为3的正方形，⊥， 故，，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，，所以四边形为矩形， 其中，， 则， 设平面的一个法向量为， 则， 解得，令，则，故， 设平面的一个法向量为， 则， 解得，令，则，故， 设平面与平面夹角为， 则， 所以， 故平面与平面夹角的正弦值为. 17．（本小题满分15分）已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆C交于M，N两点，且的周长为8，的最大面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)设，是否存在x轴上的定点P，使得的内心在x轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【解】（1）∵的周长为8，的最大面积为， ∴，解得，或，． ∴椭圆C的方程为或等． （2）    由（1）及易知， 不妨设直线MN的方程为：，， 联立，得． 则，， 若的内心在x轴上，则， ∴，即，即， 可得． 则，得，即． 当直线MN垂直于x轴，即时，显然点也是符合题意的点． 故在x轴上存在定点，使得的内心在x轴上. 18．（本小题满分17分）设． (1)求在处的切线方程； (2)求证：当时，； (3)设为整数，且对于任意正整数都有，求的最小值． 【解】（1）已知，则， 则，又， 所以切线方程为，即. （2），，所以， 令，解得， 可知当时，，所以在区间上单调递增， 当时，，所以在区间上单调递减， 所以当时，取得最小值， 所以. （3）由（2）可知当时，，即， 令，可得， 从而， ， 即， 则对于任意正整数都有，只需，又为整数， 所以的最小值为. 19．（本小题满分17分）已知项数为m（，）的数列为递增数列，且满足，若，且，则称为的“伴随数列”. (1)数列4，10，16，19是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”，若不存在，说明理由； (2)若为的“伴随数列”，证明：； (3)已知数列存在“伴随数列”，且，，求m的最大值. 【解】（1），, ,，均为正整数， 所以数列4，10，16，19存在“伴随数列”，且其“伴随数列”是15,13,11,10. （2）因为数列存在“伴随数列”， 所以，且， 所以， 所以，即， 所以. （3）①因为，，其中， 当时，，，有，均为正整数， 即当时，数列1,2025存在“伴随数列”：， 因此的最小值为2； ②一方面，由（2）知，， 于是， 所以， 另一方面，由数列存在“伴随数列”，知， 所以是的正约数， 取， 即取， 综合上述为最大值，取，， 当时， ， 符合条件， 当，， 符合条件 因此的最大值为. 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025届高二下学期开学摸底考试卷（新高考通用）02 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16． （15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高二下学期开学摸底考试卷（新高考通用）02 数学·参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C C A C D D B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC ABD AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．116 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分） 【解】（1）当切线斜率存在时，设切线的方程为，即， 圆心到切线的距离是2， ，解得， 切线方程为，即 当切线斜率不存在时，易知与圆也相切， 故所求切线方程为和 （2）由圆的几何性质可知，当时，的面积最小值． 又因为， 所以直线OP的方程为 由解得 即点P 的坐标为 此时的面积最小值为 16．（本小题满分15分） 【解】（1）取的中点，连接， 因为是中点，为中中点，， 所以，， 因为平面，平面， 所以平面， 同理可得平面， 又，平面， 故平面平面， 又平面， 所以平面； （2）因为面，平面， 所以， 又四边形是边长为3的正方形，⊥， 故，，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，，所以四边形为矩形， 其中，， 则， 设平面的一个法向量为， 则， 解得，令，则，故， 设平面的一个法向量为， 则， 解得，令，则，故， 设平面与平面夹角为， 则， 所以， 故平面与平面夹角的正弦值为. 17．（本小题满分15分） 【解】（1）∵的周长为8，的最大面积为， ∴，解得，或，． ∴椭圆C的方程为或等． （2）    由（1）及易知， 不妨设直线MN的方程为：，， 联立，得． 则，， 若的内心在x轴上，则， ∴，即，即， 可得． 则，得，即． 当直线MN垂直于x轴，即时，显然点也是符合题意的点． 故在x轴上存在定点，使得的内心在x轴上. 18．（本小题满分17分） 【解】（1）已知，则， 则，又， 所以切线方程为，即. （2），，所以， 令，解得， 可知当时，，所以在区间上单调递增， 当时，，所以在区间上单调递减， 所以当时，取得最小值， 所以. （3）由（2）可知当时，，即， 令，可得， 从而， ， 即， 则对于任意正整数都有，只需，又为整数， 所以的最小值为. 19．（本小题满分17分） 【解】（1），, ,，均为正整数， 所以数列4，10，16，19存在“伴随数列”，且其“伴随数列”是15,13,11,10. （2）因为数列存在“伴随数列”， 所以，且， 所以， 所以，即， 所以. （3）①因为，，其中， 当时，，，有，均为正整数， 即当时，数列1,2025存在“伴随数列”：， 因此的最小值为2； ②一方面，由（2）知，， 于是， 所以， 另一方面，由数列存在“伴随数列”，知， 所以是的正约数， 取， 即取， 综合上述为最大值，取，， 当时， ， 符合条件， 当，， 符合条件 因此的最大值为. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高二下学期开学摸底考试卷（新高考通用）02 数学•全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知两条直线和相互垂直，则（   ） A．2 B．3 C． D． 3．如图，在四棱锥中，点是的中点，设，，，则等于（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的导函数在区间上的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．在处取得最大值，在处取得最小值 B．的极大值点为，极小值点为 C．在区间上单调递增，在区间上单调递减 D．的增区间为和，减区间为 5．已知点，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（    ） A． B．9 C．5 D．6 6．已知等比数列的各项均为正数且公比大于1，前项积为，且，则使得的的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．已知双曲线，两焦点分别为，过右焦点作直线交右支于点，且，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．设，，，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（   ） A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B．直线l的方向向量，平面的法向量是，则 C．两个不同的平面，的法向量分别是，，则 D．直线l的方向向量，平面的法向量是，则 10．（0分）对于点和圆，下列说法错误的是（   ） A．点在圆上 B．过点有两条圆的切线 C．过点被圆截得的弦长最大时的直线方程为 D．过点被圆截得的弦长为的直线方程为 11．已知函数 ，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则在上单调递增 D．若，则在上单调递增 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．数列与的所有公共项由小到大构成一个新的数列，则 . 13．在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E满足，点F满足，若P，A，C，F四点共面，则 . 14．设函数，若恒成立，求a的取值范围 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分）已知圆O： (1)过圆外一点引圆的切线，求切线方程； (2)设点P是直线上的一点，过点P作圆的切线，切点是M，求的面积最小值以及此时点P的坐标． 16．（本小题满分15分）如图，在多面体中，四边形是边长为3的正方形，，，且，，面，，为中点．    (1)若是中点，求证：面； (2)求平面与平面夹角的正弦值． 17．（本小题满分15分）已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆C交于M，N两点，且的周长为8，的最大面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)设，是否存在x轴上的定点P，使得的内心在x轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 18．（本小题满分17分）设． (1)求在处的切线方程； (2)求证：当时，； (3)设为整数，且对于任意正整数都有，求的最小值． 19．（本小题满分17分）已知项数为m（，）的数列为递增数列，且满足，若，且，则称为的“伴随数列”. (1)数列4，10，16，19是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”，若不存在，说明理由； (2)若为的“伴随数列”，证明：； (3)已知数列存在“伴随数列”，且，，求m的最大值. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$