【名校面对面】2023-2024学年高二下学期开学大联考数学试题（word版)

2023—2024学年下期高二开学考试 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置。 2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上。 4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在等差数列中，若，，则 A．18 B．20 C．22 D．24 2．直线与直线平行，则实数a的值是 A． B．2 C．或2 D．或3 3．已知双曲线C：的一条渐近线的斜率为，焦距为，则C的方程为 A． B． C． D． 4．已知是函数的一个极值点，其中a为实数，则在区间上的最小值为 A．0 B． C． D． 5．设椭圆的左、右焦点分别为，，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 6．已知，，，则平面的法向量与的夹角的余弦值为 A． B．或 C． D．或 7．过直线上一点作圆的切线，切点为，则四边形的面积的最小值为 A． B． C． D． 8．已知函数，则 A．是奇函数 B．曲线在点处切线的斜率为 C．有一个零点 D．在上单调递增 二、选择题：本题共4个小题，每小题5分，共计20分，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。 9． 已知数列满足，数列满足，记数列的前项和为，则下列结论正确的是 A． 数列是等差数列 B． C． D． 10．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且则下列说法中正确的有 A． B． C．直线与所成角的余弦值为 D．平面 11．已知函数，则 A．是上的增函数 B．是上的增函数 C．在得到极大值 D．在区间内只有一个零点 12．过抛物线上一点A(1，-4)作两条相互垂直的直线，与C的另外两个交点分别为M，N，则 A．抛物线C的方程是 B．过C的焦点的最短弦长为16 C．直线MN过定点(4，4) D．当点A到直线MN的距离最大值为 三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．函数的极小值为 ． 14．已知空间三点，，，设，，，且，则___________． 15．已知等比数列的各项均为正数，前项乘积为，，，则 ． 16．已知曲线E的方程为，给出下列四个结论： ①若点是曲线E上的点，则，； ②曲线E关于x轴对称，且关于y轴对称； ③曲线E与x轴，y轴共有3个交点； ④曲线E与直线只有1个交点． 其中所有正确结论的序号是 ． 四、解答题(本题共6小题，共70分，其中第17题10分，剩余题目每题12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（10分） 已知圆C的圆心在直线上，圆心到x轴的距离为4，且截y轴所得弦长为． （1）求圆C的方程； （2）若圆C上有四个不同的点到直线的距离为3，求实数b的取值范围． 18．（12分） 已知数列的前项和为，， 从条件①、条件②和条件③中选择两个能够确定一个数列的条件，并完成解答． （条件①：；条件②：；条件③：．） 选择条件　　　　和　　　　　． （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，并求数列的前项的和 19．（12分） 已知点是抛物线上的动点，过点向轴作垂线段，垂足为，垂线段中点为，设的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）设过点且斜率为1的直线交曲线于，两点，为坐标原点，求的面积． 20．（12分） 如图，在四棱锥中，，，． （1）求证：平面平面； （2）若线段上存在点，满足，平面与平面的夹角的余弦值为，且三棱锥的体积为，求实数的值． 21．（12分） 如图，椭圆（a>b>0）的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A、B两点．且离心率． （1）当直线AB垂直x轴时，|AB|=3，求椭圆的方程； （2）设线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴、y轴分别交于D、E两点．求的取值范围． 22．（12分） 已知函数． （1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值； （2）当时，讨论函数的零点个数． 高二数学试题 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年下期高二开学考试 数学答案 1．【答案】B 【分析】根据，，求出，然后用公式计算即可． 【解析】在等数列中，，，所以，得， 解得，所以，故选：B． 2．【答案】C 【分析】由，解得a，经过验证即可得出． 【解析】由，解得或，经过验证适合题意，故选：C 【点睛】本题考查了直线的平行关系，考查了学生概念理解，转化与划归，数学运算的能力，属于基础题． 3．【答案】B 【分析】由焦距，根据双曲线C：的一条渐近线的斜率为，可得，结合求得，即可得出答案． 【解析】因为双曲线C：的一条渐近线的斜率为，所以，即， 又焦距，即，又因，解得，所以，所以C的方程为．故选：B． 4．【答案】B 【分析】求得，根据题意求得，进而得出函数的单调区间和极小值，得到答案． 【解析】由函数，可得，因为是函数的一个极值点，所以，解得，则，其中，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，函数取得极小值，极小值为，所以函数在上的最小值为．故选：B． 5．【答案】C 【分析】由是底角为的等腰三角形，把用表示出来后可求得离心率． 【解析】解：由题意可得，，如图，，则，，所以，所以，∴，∴． 故选：C． 6．【答案】D 【分析】求解法向量，即可由夹角公式求解． 【解析】设为平面的一个法向量，则由， 可得，令，得，，∴．， 由于法向量的方向不能确定，故平面的法向量与的夹角的余弦值也可能为． 故选：D 7．【答案】A 【分析】由切线性质可得，由勾股定理表示出，进而得解． 【解析】如图，由切线性质可知，，所以，圆的标准方程为，圆心为，半径为，点到直线距离，，要使最小，需使，故． 故选：A 8．【答案】C 【分析】选项A由定义域就可以判断，B，C，D选项通过对函数求导逐一分析即可． 【解析】由函数的定义域为，不关于原点对称，故非奇非偶函数，故A错误，因为，所以，即在点处切线的斜率为1，故B错误，当时，，所以，当时，，所以，所以在上单调递减，在上单调递增，所以函数在有增有减，故选项D错误， 由D选项知在上单调递减，在上单调递增且，所以当，，当，，故函数只有唯一一个零点，故选项C正确，故选C． 9．【答案】ABD 【分析】由题意可得，再根据等差数列的定义及性质即可判断AB；求出数列和的通项，再利用裂项相消法即可求出，从而可判断CD． 【解析】因为，所以，所以，且，所以数列是等差数列，且该数列的首项为1，公差为，所以，所以选项AB正确；因为，所以， 所以， 所以 ，所以选项D正确，C错误．故选：ABD． 10．【答案】ABD 【解析】以为空间一组基底，， ，所以，A选项正确． ，所以 ，所以，B选项正确． 设直线与所成角为，，， ， ，所以，C选项错误．依题意可知，四边形是菱形，所以，由于，平面，所以平面，D选项正确．故选：ABD 11．【答案】ACD 【解析】，该函数的定义域为，所以， 由，可得，由，可得，所以当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，，故B选项错误，AC选项正确；由题可知函数在区间内单调递减，而，故在区间内只有一个零点，D选项正确．故选：ACD． 12．【答案】AB 【解析】将代入中得：，则为，故A正确；由题可知的焦点为，可设过的焦点的直线为，由，可得，设交点为，则，， 所以，即过C的焦点的最短弦长为16，故B正确； 设，，直线为，联立抛物线得：， 所以，，又， 所以， 因为，，即，所以，整理得，故，得，所以直线为，所以直线过定点，故C不正确； 当时，到直线的距离最大，此时直线为，距离最大值为，（或）故D不正确．故选：AB． 13．【答案】 【解析】由，得，当时，，当时，，函数在单调递增，在单调递减，函数存在极小值，极小值为．故答案为：． 14．【答案】或 【解析】，由于，所以， 所以，所以为或． 15．【答案】 32 【分析】设等比数列的公比为（），然后由题意列方程组可求出，从而可． 【解析】设等比数列的公比为（），因为，， 所以，，因为，所以，所以，即，所以代入，得，解得或（舍去），所以，则，所以，故答案为：32． 16．【答案】①③④ 【分析】①由，分别得到， 求解判断； ②设点是曲线E上的点，分别得到点关于x轴对称和原点对称的对称点，代入方程验证判断； ③由，分别令，求解判断； ④分和，曲线方程与直线方程联立求解判断． 【解析】①若点是曲线E上的点，由，得，即， 当时，，当时，成立，综上，而，则，故①正确； ②设点是曲线E上的点，点关于x轴对称的对称点为，因为，所以曲线E关于x轴对称，点关于y轴对称的对称点为，因为，所以曲线E不关于y轴对称，故②错误； ③由，令，得，解得，曲线E与y轴的交点为 ，令，得 ，解得 ，曲线E与x轴的交点为 ，所以曲线E与x轴，y轴共有3个交点，故③正确；④当时，由，解得，所以曲线E与直线曲线E与直线的交点为；当时，方程组无解，则曲线E与直线无交点，所以曲线E与直线只有1个交点，故④正确，故答案为：①③④ 17．【分析】（1）设圆心为，由题意及圆的弦长公式即可列方程组 ，解方程组即可；（2）由题意可将问题转化为圆心到直线l：的距离，解不等式即可． 【解析】（1）设圆心为，半径为r，根据题意得，……3分 解得，所以圆C的方程为或．……5分 （2）由（1）知圆C的圆心为或，半径为4， 由圆C上有四个不同的点到直线的距离为3，……7分 可知圆心到直线l：的距离．即，或，……9分 解得或，所以直线l斜率的取值范围为或．……10分 18．【解析】选①②，（1）由可知数列是以公差的等差数列， 又，得，……3分 故；…………5分 （2），其中, ，……7分 得，……8分 相减得……10分，得．……12分 选②③，（1）由可知数列是以公差的等差数列，由，可知，，……3分 故；…………5分 （2），其中, ，……7分 得，……8分 相减得……10分，得．……12分 选①③，无法确定数列．…………0分 19． 【解析】（1）设，则，由于在抛物线上， 所以，即；……3分 （2）根据题意可设直线l的方程为，联立，……5分 设，则，……6分 因此，……9分 ∴面积为．……12分 20．【解析】（1）如图：    因为．又，，为平面内的两条相交直线，所以平面，……1分 平面，所以平面平面；…………2分 （2）由题意，得，因为，所以为等边三角形，又，所以，……4分 设三棱锥的高为h，由体积为，得，得，……3分 取中点，中点，因为，又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又，故以为原点，建立如图空间直角坐标系，……4分    所以，，，，，． 设，因为， 解得，所以．……6分 设平面的法向量为，则，取；……8分 设平面的法向量为，则 ，取．……10分 那么，，．……11分 由，又，所以．……12分 【点睛】关键点睛：根据，和点、的坐标，求点坐标是本题的一个关键． 21．【解析】（1）依题意，当直线AB垂直x轴时，|AB|=3，得．得，……2分 由椭圆的离心率．得．又，所以，，得椭圆的方程；……4分 （2）由（1）知，，椭圆方程可设为，……5分 设，．依题意，直线AB不能与x、y轴垂直，故设直线AB的方程为，将其代入，整理得．则．……7分 所以．因为，所以．……9分 所以，……11分 得，所以的取值范围是．……12分 22．【解析】（Ⅰ）由已知，∵函数图象在点处的切线与直线平行，∴，即，．……2分 （Ⅱ）， 由，得，得，由，得，，，……3分 当变化，，变化情况如下： ＋ 0 － 0 ＋ 增 极大值 减 极小值 增 ………………5分 ∴在和是增函数，在是减函数， 又，，∴函数有一个零点；……7分 ，，，， ∴当时，此时，函数只有一个零点，…………9分 当时，，函数有两个零点，……10分 时，，函数有三个零点， 当，即时，由于，因此函数有两个零点，……11分 综上所述，（1）时，函数有一个零点，或时，函数有两个零点，当时，函数有三个零点．……12分 【点睛】本题考查导数的几何意义，用导数研究函数零点个数，解题关键是确定导数与函数单调性、函数极值的关系，本题属于困难题，旨在考查学生的逻辑推理能力，运算求解能力，分类讨论思想的应用． 高二数学答案 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$