精品解析：湖南省长沙市明德中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

明德中学2024年下学期期末考试 高二年级数学试卷 2025年1月 时量：120分钟 满分：150分 命题：张天飞 审定：何玲 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的四则运算求出复数，根据复数的几何意义即可判断. 【详解】由，可知复数在复平面内对应的点的坐标是. 故选：C. 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得. 【详解】解：对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D错误； 故选：B． 3. 已知为等差数列的前项和，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设的公差为，根据题意列出方程组，求得，得到和，进而求得答案. 【详解】设的公差为，因为，， 可得 ，解得，所以， 可得， 所以当时，取得最小值. 故选：D. 4. 已知点，，若过的直线与线段相交，则直线斜率k的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求出直线，的斜率，结合图象可得答案. 【详解】根据题意，，，， 则，， 结合图象可得直线的斜率k的取值范围是. 故选：D. 5. 如图，平行六面体中，AC与BD交于点M，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的加法、减法法则化简可得结果. 【详解】. 故选：D. 6. 已知函数则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先对原式进行求导，得到，再令代入，即可求出，，找到的解析式，求出. 【详解】因为，所以， 则，解得． 由，解得，则． 故选：D. 7. 已知点，，点P是圆上任意一点，则面积的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线的方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点到直线距离的最小值即可求得面积最小值. 【详解】根据，则直线的方程为，即， 又由，则圆心为， 则， 所以点到直线的最小值， . 故选：C 8. 若数列满足（且），则称数列为“幂数列”．已知正项数列是“幂2数列”且，设的前项积为，则（ ） A. 1024 B. 1023 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知，然后两边取对数得，从而得出数列是等比数列，从而可求解. 【详解】∵正项数列是“幂2数列”， ∴，又∵， ∴，解得或（舍去）， ∵， ∴，即， 又， 所以数列是首项为1，公比为2的等比数列， ∴, ∴ ， 所以． 故选:D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于数据2，6，8，2，3，4，6，8，则这组数据的（ ） A. 极差为6 B. 平均数为5.25 C. 30百分位数为3 D. 众数为6 【答案】AC 【解析】 【分析】把数据从小到大排列，利用极差、平均数、百分位数和众数的定义判断各选项是否正确. 【详解】数据2，6，8，2，3，4，6，8，从小到大排为2，2，3，4，6，6，8，8， 极差为，A选项正确； 平均数为，B选项错误； ，30百分位数是第3个数据，所以30百分位数为3，C选项正确； 众数为6和8，D选项错误. 故选：AC 10. 下列选项中，说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 向量，共线的充要条件是 C. 命题“，”的否定是“，” D. 设等比数列的前n项和为，则“”是“”的充要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性、两向量共线的充要条件、全称命题的否定、等比数列各项的符号依次判断各项命题是否正确. 【详解】 对于A,由为增函数,,可得,故A不正确； 对于B,两个向量共线的充要条件为,解得,故B不正确； 对于C,该命题的否定是“”,故C不正确; 对于D,因为,所以,所以,故D正确. 故选: D 【点睛】本题考查了常用逻辑用语,涉及逻辑连接词,全称命题的否定,充要条件,综合考查了对数函数的单调性、两向量共线的充要条件、全称命题的否定、等比数列奇数项的符号,属于基础题. 11. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与的左支相交于两点，若，且，则（ ） A. B. C. 双曲线的渐近线方程为 D. 直线的斜率为4 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，结合双曲线的定义求得，，再逐项计算判断即可. 【详解】由，设，，由，得， 则，，而，解得，因此，， 对于A，，A错误； 对于B，显然，则，B正确； 对于C，令，在中，由，得， 则，，即，因此双曲线的渐近线方程为，C正确； 对于D，由，结合对称性,则直线的斜率为，D错误. 故选：BC 【点睛】易错点睛：双曲线(a>0,b>0)的渐近线方程为，而双曲线(a>0,b>0)的渐近线方程为(即)，应注意其区别与联系. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点，且圆心与已知圆：相同的圆的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】将已知圆的一般方程转化为标准方程，得出圆心坐标，再求出半径即可得出圆的标准方程. 【详解】将已知圆的方程化为标准方程，圆心的坐标为，半径为4， 故所求圆的半径为．所求圆的方程为． 故答案为： 13. 已知，，则通项公式________. 【答案】 【解析】 【分析】对递推公式进行变形，结合等比数列的定义和通项公式进行求解即可. 【详解】， 因此数列是以为首项，为公比的等比数列， 因此， 故答案为： 14. 已知函数，若存在实数，，且，使得，则的最大值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先由题设数形结合得和，再构造函数，利用导数求出其最大值即可得解. 【详解】由题，当时，；当时，； 故作出的图象如图所示： 因为存在实数，，且，使得， 所以直线与图象有三个交点， 所以，且，， 所以， 设，则恒成立， 所以函数在单调递增，所以函数， 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是数形结合得到和，从而将问题转化成求函数的最大值，简化了问题的难度. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）已知锐角三个内角所对的边分别为，且，若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两角和（差）正弦公式化简得，再利用正弦函数的周期公式计算周期； （2）代入计算角，在利用三角形面积公式计算的出结果； 【小问1详解】 ， 所以函数的最小正周期． 【小问2详解】 因为，所以． 因为是锐角三角形的内角，所以或（舍去）， 所以．又， 所以的面积． 16. 已知数列满足：，. （1）若，求证：为等差数列. （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明：因为，所以， 即，，又， 所以是以为首项，为公差的等差数列； （2） 【解析】 【分析】（1）将两边取倒数，即可得到，从而得证； （2）由（1）可得，从而得到，利用裂项相消法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，则， 所以， 所以 . 17. 如图，在四棱锥中，侧棱底面，分别在棱上，平面. （1）若是的中点，求与平面所成角的余弦值； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量坐标公式计算即可； （2）分别求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量坐标公式计算即可. 【小问1详解】 由题意：底面是正方形；连接交于点，连接； 因为平面，平面平面平面， 所以；又是中点，故是中点； 以为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系； 不妨设，则. 由题意，是的中点，则；故； 设平面的法向量为，则； 令，得； 记与平面所成角为，则， 故； 故与平面所成角的余弦值为. 【小问2详解】 ，故， 故；又平面， 平面，故平面； 故平面的法向量； 平面的法向量； 记平面与平面的夹角为，则， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 设. （1）求在处的切线方程； （2）求证：当时，； （3）证明：对于任意正整数都有恒成立. 【答案】（1） （2） ，所以， 令，解得， 可知当时，，所以在区间上单调递增， 当时，，所以在区间上单调递减， 所以当时，取得最小值， 所以. （3） 由（2）可知当时，，即， 令，可得， 从而 ， ， 即， 则对于任意正整数都有恒成立. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程； （2）利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得证； （3）由（2）可知当时，可得，根据等比数列求和可知，即可得解. 【小问1详解】 已知，则， 则，又， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题 （1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围. （2）函数思想法第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解． 19. 已知椭圆焦距为2，离心率e是 （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作两条互相垂直的弦，其中在轴的上方，且在的右侧，设弦的中点分别为. ①若弦的斜率均存在，求四边形面积的最小值； ②判断直线是否过定点，若过定点，则求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由. 【答案】（1） （2）①；②直线恒过点 【解析】 【分析】（1）根据焦距得到的值，再根据离心率以及求得的值； （2）①设出直线方程以及点的坐标，联立分别求得弦长，根据面积公式求得最值；②根据①表示出的坐标，考虑直线斜率存在和不存在两种情况，可得到定点 【小问1详解】 依题意有，解得， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 ①设，则 联立，， 由弦长公式可得： 同理可得：， 所以 令，则 当的最小值是； ② ，由代替m，得， 当，即时，，过点. 当，即时，， ， 当时，，经验证直线过点， 综上，直线恒过点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 明德中学2024年下学期期末考试 高二年级数学试卷 2025年1月 时量：120分钟 满分：150分 命题：张天飞 审定：何玲 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知为等差数列的前项和，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，，若过的直线与线段相交，则直线斜率k的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 5. 如图，平行六面体中，AC与BD交于点M，设，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数则（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，点P是圆上任意一点，则面积的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 8. 若数列满足（且），则称数列为“幂数列”．已知正项数列是“幂2数列”且，设的前项积为，则（ ） A. 1024 B. 1023 C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于数据2，6，8，2，3，4，6，8，则这组数据的（ ） A. 极差为6 B. 平均数为5.25 C. 30百分位数为3 D. 众数为6 10. 下列选项中，说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 向量，共线的充要条件是 C. 命题“，”的否定是“，” D. 设等比数列的前n项和为，则“”是“”的充要条件 11. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与的左支相交于两点，若，且，则（ ） A. B. C. 双曲线的渐近线方程为 D. 直线的斜率为4 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点，且圆心与已知圆：相同的圆的方程为______． 13. 已知，，则通项公式________. 14. 已知函数，若存在实数，，且，使得，则的最大值为_____. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）已知锐角三个内角所对的边分别为，且，若，求的面积． 16. 已知数列满足：，. （1）若，求证：为等差数列. （2）求数列的前项和. 17. 如图，在四棱锥中，侧棱底面，分别在棱上，平面. （1）若是的中点，求与平面所成角的余弦值； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 设. （1）求在处的切线方程； （2）求证：当时，； （3）证明：对于任意正整数都有恒成立. 19. 已知椭圆焦距为2，离心率e是 （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作两条互相垂直的弦，其中在轴的上方，且在的右侧，设弦的中点分别为. ①若弦的斜率均存在，求四边形面积的最小值； ②判断直线是否过定点，若过定点，则求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $