第一章 三角形的证明（单元重点综合测试卷，北师大版）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记•巧练（山东专用）

第一章 三角形的证明（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：150分） 姓名___________ 班级_________ 考号______________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2024秋•西山区期末）等腰三角形的两边分别是3，7，则它的周长是（　　） A．13 B．17 C．13或17 D．16 2．（2023秋•襄汾县期末）用反证法证明命题“在△ABC中，AB＝AC，求证：∠C＜90°．”第一步应先假设（　　） A．∠C≥90° B．∠C＞90° C．∠C＜90° D．AB≠AC 3．（2024秋•简阳市期末）△ABC的三边为a、b、c，不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A． B．a：b：c＝3：4：5 C．∠A﹣∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 4．（2024秋•官渡区期末）正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知点A，B在格点上，点C也在格点上，若△ABC为等腰三角形，则图中符合条件的点C有（　　） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 5．（2024秋•饶平县期末）如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC，BF＝BD，则∠CDF的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 6．（2024秋•安宁区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若AB＝3，BC＝4.5，AC＝5，则△AMN的周长为（　　） A．12.5 B．7.5 C．8 D．9.5 7．（2024秋•西山区期末）如图，△ABC中，线段AC的垂直平分线分别交AC、AB于点E、D，连接CD，若AB＝12，BC＝9，则△BCD的周长为（　　） A．19 B．20 C．21 D．22 8．（2024秋•齐齐哈尔月考）如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠EDC等于（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 9．（2024秋•山丹县校级期末）如图，在△ABC中，点O在∠BAC的平分线上，连接OC，作OD⊥AB于点D．若OD＝4，AC＝12，则△AOC的面积是（　　） A．48 B．36 C．24 D．20 10．（2024秋•川汇区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，CD平分∠ACB，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，CD与BE交于点H，EF⊥BC于点F，且与CD交于点G．则下面的结论：①S△BEF＝S△EFC；②∠ABE＝∠ACD；③DB＝DG．其中正确结论的序号有（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．（2024秋•永康市校级期中）已知一个等腰三角形的其中两边长分别为x，y，且满足|x﹣3|+（4x﹣2y）2＝0，则这个等腰三角形的周长为　 　． 12．（2024秋•湘桥区期末）如图，在△ABC的BC边上截取BE＝AB，连接AE，作△ABE的角平分线BD交AE于点D，若∠EAC＝∠C，BC＝9，AB＝5，则AD＝　 　． 13．（2024秋•前郭县期末）如图，BD是等边三角形ABC的边AC上的中线，以点D为圆心，DB长为半径画弧交BC的延长线于点E，则∠CDE＝ 　 　． 14．（2024秋•南山区期末）如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度DE＝6cm，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度BF＝8cm，此时摆锤与静止位置时的水平距离BC＝10cm时，钟摆AD的长度是 　 　cm． 15．（2024秋•越秀区期末）已知AD是△ABC的高，AC＝BC，∠CAD＝50°，则∠B的度数为 　 　． 16．如图，长方形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．若AB＝6，，则DF的长为　 　． 三、解答题（本大题共10小题，共86分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）（2024春•榆阳区月考）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，连接AE，点D为CE的中点，连接AD，此时∠CAD＝18°，∠ACB＝72°．试说明：BE＝AC． 18．（6分）（2024秋•宿豫区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CE⊥BA，垂足为点E，延长CE至点F，使CF＝BA，过点F作FD⊥AC，垂足为点D． 求证：Rt△ABC≌Rt△FCD． 19．（6分）（2023秋•汾阳市期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝126°，∠B＝42°，边AB的垂直平分线DE与AB交于点E，与BC交于点D，连接AD．求证：△ACD是等腰三角形． 20．（8分）（2024秋•朝阳区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数． 21．（8分）（2024秋•交城县期中）如图，在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M． （1）求证：M是BE的中点； （2）若CM＝2，求BE的长度． 22．（8分）（2024秋•普宁市期末）如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2﹣DA2＝AC2． （1）求证：∠A＝90°； （2）若BC2＝56，AD：BD＝3：4，求AC的长． 23．（10分）（2023秋•天山区校级期末）已知在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC． （1）如图1，求证：△CDE是等腰三角形； （2）如图2，若DE平分∠ADC交AC于E，∠ABC＝30°，在BC边上取点F使BF＝DF，若BC＝12，求DF的长． 24．（10分）（2024秋•海口期末）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助学生更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，海口市某学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地． （1）当班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为5m，12m，13m时，小明很快就给出这块试验基地的面积．请你写出完整的求解过程． （2）如图所示，八（2）班的劳动实验基地的三边长分别为AB＝15m，BC＝14m，AC＝13m，请帮助他们求出该实验基地的面积． 25．（12分）（2023秋•宜州区期末）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD． （1）求证：△OCD是等边三角形； （2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形． 26．（12分）（2024秋•本溪期中）已知在△ABC中，AB＝AC，点D在线段BC上，点F在射线AD上，连接CF，作BE∥CF交射线AD于E，∠CFA＝∠BAC＝α． （1）如图1，当α＝70°时，∠ABE＝20°时，求∠BAE的大小； （2）当α＝90°，AB＝AC＝8时， ①如图2．连接BF，当BF＝BA，求CF的长； ②若，直接写出CF的长． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 三角形的证明（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：150分） 姓名___________ 班级_________ 考号______________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2024秋•西山区期末）等腰三角形的两边分别是3，7，则它的周长是（　　） A．13 B．17 C．13或17 D．16 【分析】分①腰长为3和②腰长为7两种情况，再结合三角形的三边关系，利用三角形的周长公式即可得． 【解答】解：分以下两种情况： ①当腰长为3时，则这个等腰三角形的三边长分别为3，3，7， 此时，不满足三角形的三边关系，舍去； ②当腰长为7时，则这个等腰三角形的三边长分别为3，7，7， 此时，满足三角形的三边关系， ∴3+7+7＝17； 综上，这个等腰三角形的周长为17， 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的三边关系、等腰三角形的定义，正确分两种情况讨论是解题关键． 2．（2023秋•襄汾县期末）用反证法证明命题“在△ABC中，AB＝AC，求证：∠C＜90°．”第一步应先假设（　　） A．∠C≥90° B．∠C＞90° C．∠C＜90° D．AB≠AC 【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答． 【解答】解：反证法证明命题“在△ABC中，AB＝AC，求证：∠C＜90°．”第一步应先假设∠C≥90°， 故选：A． 【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 3．（2024秋•简阳市期末）△ABC的三边为a、b、c，不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A． B．a：b：c＝3：4：5 C．∠A﹣∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可． 【解答】解：A、设a＝x，则bx，c＝2x， .∵a2+b2＝x2+3x2＝4x2，c2＝4x2， ∴a2+b2＝c2． ∴△ABC是直角三角形． 故A不符合题意； B、设a＝3x，则b＝4x，c＝5x． ∵a2+b2＝9x2+16x2＝25x2，c2＝25x2， ∴a2+b2＝c2． ∴△ABC是直角三角形， 故B不符合题意； C、∵∠A﹣∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2∠A＝180°， ∴∠A＝90°， ∴△ABC是直角三角形， 故C不符合题意； D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5， 设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴3x+4x+5x＝180°，解得x＝15°， ∴∠C＝5×15°＝75°， ∴△ABC不是直角三角形， 故D符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形内角和定理，熟知以上知识是解答此题的关键． 4．（2024秋•官渡区期末）正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知点A，B在格点上，点C也在格点上，若△ABC为等腰三角形，则图中符合条件的点C有（　　） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【分析】根据等腰三角形的定义判断即可． 【解答】解：如图，满足条件点C有8种情形． 故选：C． 【点评】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是掌握等腰三角形的判定方法． 5．（2024秋•饶平县期末）如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC，BF＝BD，则∠CDF的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【分析】先由三线合一定理和垂直的定义得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出∠BDF＝75°，则∠CDF＝∠BDC﹣∠BDF＝15°． 【解答】解：∵在等边三角形ABC中，BD⊥AC， ∴∠CBD∠ABC60°＝30°，∠BDC＝90°， ∵BF＝BD， ∴∠BDF＝∠BFD75°， ∴∠CDF＝∠BDC﹣∠BDF＝90°﹣75°＝15°， 故选：B． 【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，关键是等边三角形性质的熟练掌握． 6．（2024秋•安宁区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若AB＝3，BC＝4.5，AC＝5，则△AMN的周长为（　　） A．12.5 B．7.5 C．8 D．9.5 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证△MEB和△NCE是等腰三角形，从而可得MB＝ME，NE＝NC，然后利用等量代换可得△AMN的周长＝AB+AC，从而进行计算，即可解答． 【解答】解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB， ∴∠ABE＝∠EBC，∠ACE＝∠ECB， ∵MN∥BC， ∴∠MEB＝∠EBC，∠NEC＝∠ECB， ∴∠ABE＝∠MEB，∠NEC＝∠ACE， ∴MB＝ME，NE＝NC， ∵AB＝3，AC＝5， ∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AM+ME+EN+AN＝AM+MB+CN+AN＝AB+AC＝3+5＝8， 故选：C． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 7．（2024秋•西山区期末）如图，△ABC中，线段AC的垂直平分线分别交AC、AB于点E、D，连接CD，若AB＝12，BC＝9，则△BCD的周长为（　　） A．19 B．20 C．21 D．22 【分析】根据线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等得到AD＝CD，进而求解即可． 【解答】解：由条件可知AD＝CD， ∴△BCD的周长为BC+BD+CD＝BC+BD+AD＝BC+AB＝12+9＝21， 故选：C． 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握该知识点是关键． 8．（2024秋•齐齐哈尔月考）如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠EDC等于（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【分析】由等边三角形的性质可求解∠CAD＝30°，AD⊥BC，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠ADE的度数，进而可求解． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝∠C＝60°， ∵AD是等边三角形ABC的中线， ∴∠CAD∠BAC60°＝30°，AD⊥BC， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED， ∵∠AED+∠ADE+∠CAD＝180°， ∴∠ADE（180°﹣30°）＝75°， ∴∠EDC＝15°， 故选：A． 【点评】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，求解∠ADE的度数是解题的关键． 9．（2024秋•山丹县校级期末）如图，在△ABC中，点O在∠BAC的平分线上，连接OC，作OD⊥AB于点D．若OD＝4，AC＝12，则△AOC的面积是（　　） A．48 B．36 C．24 D．20 【分析】过点O作OE⊥AC于E，根据角平分线的性质求出OE，再根据三角形面积公式计算． 【解答】解：如图，过点O作OE⊥AC于E， ∵点O在∠BAC的平分线上，OD⊥AB，OE⊥AC， ∴OE＝OD＝4， ∴S△AOCAC•OE12×4＝24， 故选：C． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 10．（2024秋•川汇区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，CD平分∠ACB，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，CD与BE交于点H，EF⊥BC于点F，且与CD交于点G．则下面的结论：①S△BEF＝S△EFC；②∠ABE＝∠ACD；③DB＝DG．其中正确结论的序号有（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】根据BE⊥AC，∠ACB＝45°，得到BE＝CE，根据EF⊥BC，得到BF＝FC，即可判断①；根同角的余角相等可判断②，连接BG，根据角平分线定义得到∠BCD＝22.5°，根据线段垂直平分线性质得到BG＝CG，进而得到∠CBG＝22.5°，根据三角形外角性质得到∠BGD＝45°，根据CD⊥AB，推出∠DBG＝45°，即得DB＝DG，即可判断③． 【解答】解：①∵在△ABC中，∠ACB＝45°，BE⊥AC于点E， ∴∠BEC＝90°， ∴∠CBE＝90°﹣∠ACB＝45°， ∴BE＝CE， ∵EF⊥BC， ∴BF＝FC， ∴S△BEF＝S△EFC， 故结论①正确，符合题意； ②∵BE⊥AC，CD⊥AB， ∴∠AEB＝∠ADC＝90°， ∴∠A+∠ABE＝∠A+∠ACD＝90°， ∴∠ABE＝∠ACD， 故结论②正确，符合题意； ③如图，连接BG， ∵∠ACB＝45°，CD平分∠ACB， ∴， ∵EF垂直平分BC， ∴BG＝CG， ∴∠CBG＝∠BCG＝22.5°， ∴∠BGD＝∠BCG+∠CBG＝45°， ∵CD⊥AB， ∴∠BDG＝90°， ∴∠DBG＝90°﹣∠BGD＝45°， ∴DB＝DG， 故结论③正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，合．熟练掌握等腰三角形判定和性质，线段垂直平分线的性质是解决本题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．（2024秋•永康市校级期中）已知一个等腰三角形的其中两边长分别为x，y，且满足|x﹣3|+（4x﹣2y）2＝0，则这个等腰三角形的周长为　 　． 【分析】先根据绝对值、平方的非负性求出x和y，再根据三角形的三边关系确定腰长、底长，即可求解． 【解答】解：∵|x﹣3|+（4x﹣2y）2＝0， ∴x﹣3＝0且4x﹣2y＝0， 解得x＝3，y＝6， ∵等腰三角形的其中两边长分别为x，y， ∴当3为腰长，6为底边长时，三条边长为3，3，6，3+3＝6，不符合三角形三边关系，不存在； 当6为腰长，3为底边长时，三条边长为3，6，6，符合三角形三边关系， ∴等腰三角形的周长＝6+6+3＝15， 故答案为：15． 【点评】本题考查非负数的性质，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，熟知以上知识是解题的关键． 12．（2024秋•湘桥区期末）如图，在△ABC的BC边上截取BE＝AB，连接AE，作△ABE的角平分线BD交AE于点D，若∠EAC＝∠C，BC＝9，AB＝5，则AD＝　 　． 【分析】根据BE＝AB，BD平分∠ABE得出AD＝DE，根据∠EAC＝∠C可得EA＝EC，进而即可求解． 【解答】解：∵BE＝AB，BD平分∠ABE ∴AD＝DE， ∵∠EAC＝∠C， ∴EA＝EC， ∵BC＝9，AB＝5，BE＝AB， ∴CE＝BC﹣BE＝BC﹣AB＝9﹣5＝4， ∴， 故答案为：2． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质与判定，解题的关键是掌握等腰三角形的性质． 13．（2024秋•前郭县期末）如图，BD是等边三角形ABC的边AC上的中线，以点D为圆心，DB长为半径画弧交BC的延长线于点E，则∠CDE＝ 　 　． 【分析】根据等边三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝60°，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得∠DBC＝30°，再利用等腰三角形的性质可得∠DBE＝∠E＝30°，再根据三角形外角性质求解即可． 【解答】解：在等边△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵BD是等边△ABC的边AC上的中线， ∴BD平分∠ABC， ∴∠CBD∠ABC＝30°， ∵BD＝ED， ∴∠DEC＝∠CBD＝30°， ∵∠ACB＝∠DEC+∠CDE， ∴∠CDE＝30°． 故答案为：30°． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 14．（2024秋•南山区期末）如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度DE＝6cm，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度BF＝8cm，此时摆锤与静止位置时的水平距离BC＝10cm时，钟摆AD的长度是 　 　cm． 【分析】根据题意可得到CD＝BF﹣DE＝8﹣6＝2（cm），AD＝AB，然后根据勾股定理可以得到钟摆AD的长． 【解答】解：由已知可得， CD＝BF﹣DE＝8﹣6＝2（cm），AD＝AB， 设钟摆AD的长为x cm，则AC的长为（x﹣2）cm， ∵BC⊥AD，BC＝10cm， ∴AC2+BC2＝AB2， 即（x﹣2）2+102＝x2， 解得x＝26， 即钟摆AD的长为26cm， 故答案为：26． 【点评】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 15．（2024秋•越秀区期末）已知AD是△ABC的高，AC＝BC，∠CAD＝50°，则∠B的度数为 　 　． 【分析】分两种情况：当高AD在等腰三角形外部时；当高AD在等腰三角形内部时；然后分别进行计算即可解答． 【解答】解：分两种情况： 当高AD在等腰三角形外部时，如图： ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∵∠CAD＝50°， ∴∠ACD＝90°﹣∠DAC＝40°， ∵∠ACD是△ABC是的外角， ∴∠ACD＝∠CAB+∠B＝40°， ∵CA＝CB， ∴∠CAB＝∠B＝20°； 当高AD在等腰三角形内部时，如图： ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∵∠CAD＝50°， ∴∠ACD＝90°﹣∠CAD＝40°， ∵CA＝CB， ∴∠CAB＝∠B70°， 综上所述：∠B的度数为20°或70°， 故答案为：20°或70°． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，分两种情况讨论是解题的关键． 16．如图，长方形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．若AB＝6，，则DF的长为　 　． 【分析】根据点E是AD的中点以及翻折的性质可以求出AE＝DE＝EG，然后利用“HL”证明△EDF和△EGF全等，根据全等三角形对应边相等可证得DF＝GF；设DF＝x，表示出FC、BF，然后在Rt△BCF中，利用勾股定理列式进行计算即可得解． 【解答】解：∵E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE， ∴AE＝EG，AB＝BG， ∴ED＝EG， ∵在矩形ABCD中， ∴∠A＝∠D＝90°， ∴∠EGF＝90°， 在Rt△EDF和Rt△EGF中， ， ∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL）， ∴DF＝FG， 设DF＝x，则BF＝6+x，CF＝6﹣x， 在Rt△BCF中，BC2+CF2＝BF2，即， 解得：x＝4，即DF＝4； 故答案为：4． 【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折变换的性质；熟记矩形的性质和翻折变换的性质，根据勾股定理列出方程是解题的关键． 3、 解答题（本大题共10小题，共84分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）（2024春•榆阳区月考）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，连接AE，点D为CE的中点，连接AD，此时∠CAD＝18°，∠ACB＝72°．试说明：BE＝AC． 【分析】根据三角形内角和定理得到∠ADC＝90°，根据等腰三角形的判定与性质得到DE＝DC，AE＝BE，等量代换证明结论． 【解答】证明：∵∠ACB＝72°，∠CAD＝18°， ∴∠ADC＝180°﹣∠CAD﹣∠ACB＝180°﹣18°﹣72°＝90°， ∴AD⊥EC， ∵点D为CE的中点， ∴DE＝DC， ∴△AEC是等腰三角形， ∴AE＝AC， ∵EF垂直平分AB， ∴AE＝BE， ∴BE＝AC． 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 18．（6分）（2024秋•宿豫区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CE⊥BA，垂足为点E，延长CE至点F，使CF＝BA，过点F作FD⊥AC，垂足为点D． 求证：Rt△ABC≌Rt△FCD． 【分析】根据余角的性质和全等三角形的判定定理即可得到结论． 【解答】证明：∵FD⊥AC，CE⊥BA， ∴∠AEC＝∠CDF＝90°， ∴∠A+∠ACE＝∠F+∠DCF＝90°， ∴∠A＝∠F， 在△ABC与△FCD中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△FCD（AAS）． 【点评】本题考查了全等三角形的判断，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 19．（6分）（2023秋•汾阳市期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝126°，∠B＝42°，边AB的垂直平分线DE与AB交于点E，与BC交于点D，连接AD．求证：△ACD是等腰三角形． 【分析】由∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝126°﹣42°＝84°＝∠ADC，利用“等角对等边”即可得证． 【解答】证明：∵DE垂直平分AB， ∴DB＝DA， ∴∠B＝∠DAB， ∵∠B＝42°， ∴∠B＝∠DAB＝42°， ∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝84°， ∵∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝126°﹣42°＝84°＝∠ADC， ∴CA＝CD， ∴△ACD为等腰三角形． 【点评】本题主要考查等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质，关键是线段垂直平分线性质定理的应用． 20．（8分）（2024秋•朝阳区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数． 【分析】（1）由AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，BE＝CF，BD＝CE．利用边角边定理证明△DBE≌△ECF，然后即可求证△DEF是等腰三角形． （2）根据∠A＝40°可求出∠ABC＝∠ACB＝70°根据△DBE≌△ECF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数． 【解答】证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 在△DBE和△ECF中 ， ∴△DBE≌△ECF（SAS）， ∴DE＝EF， ∴△DEF是等腰三角形； （2）∵△DBE≌△ECF， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠B（180°﹣40°）＝70° ∴∠1+∠2＝110° ∴∠3+∠2＝110° ∴∠DEF＝70° 【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题主要应用了三角形内角和定理和平角是180°，因此有一定的难度，属于中档题． 21．（8分）（2024秋•交城县期中）如图，在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M． （1）求证：M是BE的中点； （2）若CM＝2，求BE的长度． 【分析】（1）先证明△BDE为等腰三角形，利用等腰三角形的高和中线向重合即可得证； （2）根据含30°的直角三角形的性质得到CE＝CD＝4，然后根据BE＝2EM即可得到结果． 【解答】（1）证明：连接BD， ∵在等边△ABC，且D是AC的中点， ∴，∠ACB＝60°， ∵CE＝CD， ∴∠CDE＝∠E， ∵∠ACB＝∠CDE+∠E， ∴∠E＝30°， ∴∠DBC＝∠E＝30°， ∴BD＝ED， 又∵DM⊥BC， ∴M是BE的中点； （2）解：由（1）可知：∠ACB＝60°，M是BE的中点， ∵DM⊥BE， ∴∠DME＝90°， ∴∠CDM＝30°， ∴CD＝2CM， ∵CM＝2， ∴CD＝4， ∵CD＝CE ∴CE＝4， ∴ME＝CM+CE＝6， ∵M是BE的中点 ∴BE＝2ME＝12． 【点评】本题考查了等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和高三线合一的性质以及等边三角形的性质． 22．（8分）（2024秋•普宁市期末）如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2﹣DA2＝AC2． （1）求证：∠A＝90°； （2）若BC2＝56，AD：BD＝3：4，求AC的长． 【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质可得CD＝BD，然后利用勾股定理逆定理可得结论； （2）首先确定BD的长，进而可得CD的长，再利用勾股定理进行计算即可． 【解答】（1）证明：连接CD， ∵BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E， ∴CD＝DB， ∵BD2﹣DA2＝AC2， ∴CD2﹣DA2＝AC2， ∴CD2＝AD2+AC2， ∴△ACD是直角三角形，且∠A＝90°； （2）解：∵BC2＝56，AD：BD＝3：4， 设AD＝3a，CD＝BD＝4a， ∴ACa， ∴AB＝7a， 由勾股定理得：BC2＝AB2+AC2， 即， ∴AC． 【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及勾股定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． 23．（10分）（2023秋•天山区校级期末）已知在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC． （1）如图1，求证：△CDE是等腰三角形； （2）如图2，若DE平分∠ADC交AC于E，∠ABC＝30°，在BC边上取点F使BF＝DF，若BC＝12，求DF的长． 【分析】（1）根据角平分线的定义，平行线的性质以及等腰三角形的判定进行推论即可； （2）利用角平分线的定义、平行线性质，以及直角三角形的边角关系进行计算即可． 【解答】（1）证明：∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD＝∠ACD， ∵DE∥BC，∴∠BCD＝∠EDC，∴∠EDC＝∠ACD，∴ED＝EC， 即△CDE是等腰三角形； （2）解：∵DE∥BC，∠ABC＝30° ，∴∠ADE＝∠ABC＝30°， 又∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE＝30°， 由（1）可知，∠ACD＝∠BCD＝∠CDE＝30°， ∵BF＝DF， ∴∠B＝∠BDF＝30°， ∴∠DFC＝30°+30°＝60°， 在Rt△DFC中，∠FDC＝90°，∠FCD＝30°， ∴， 又∵DF＝BF，BC＝12， ∴． 【点评】本题考查角平分线、平行线的性质以及直角三角形的边角关系，掌握角平分线的定义，平行线的性质是解决问题的关键． 24．（10分）（2024秋•海口期末）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助学生更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，海口市某学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地． （1）当班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为5m，12m，13m时，小明很快就给出这块试验基地的面积．请你写出完整的求解过程． （2）如图所示，八（2）班的劳动实验基地的三边长分别为AB＝15m，BC＝14m，AC＝13m，请帮助他们求出该实验基地的面积． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得到三角形是直角三角形，根据直角三角形的面积公式计算即可； （2）过点A作AD⊥BC于D，根据勾股定理列出方程，解方程求出BD，再根据勾股定理求出AD，根据三角形面积公式计算，得到答案． 【解答】解：（1）∵52+122＝25+144＝169，132＝169， ∴52+122＝132， ∴这个三角形是直角三角形， ∴三角形的面积为：5×12＝30（m2）； （2）如图，过点A作AD⊥BC于D， 设BD＝x m，则CD＝（14﹣x）m， 在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2， 在Rt△ACD中，AC2＝AD2+CD2， ∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即152﹣x2＝132﹣（14﹣x）2， 解得：x＝9， 由勾股定理得：AD12（m）， ∴S△ABC14×12＝84（m2）， ∴该实验基地的面积为84m2． 【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 25．（12分）（2023秋•宜州区期末）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD． （1）求证：△OCD是等边三角形； （2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形． 【分析】（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证； （2）根据全等易得∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，结合（1）中的结论可得∠ADO为90°，那么可得所求三角形的形状； （3）根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可． 【解答】证明：（1）∵△BOC≌△ADC， ∴OC＝DC， ∵∠OCD＝60°， ∴△OCD是等边三角形． 解： （2）△AOD是直角三角形． 理由如下： ∵△OCD是等边三角形， ∴∠ODC＝60°， ∵△BOC≌△ADC，α＝150°， ∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°， ∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°， ∴△AOD是直角三角形． （3）∵△OCD是等边三角形， ∴∠COD＝∠ODC＝60°． ∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α， ∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α， ∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°， ∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°． ①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°， ∴α＝125°． ②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°， ∴α＝140°． ③当∠ADO＝∠OAD时， α﹣60°＝50°， ∴α＝110°． 综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形． 【点评】综合考查了全等三角形的性质及等腰三角形的判定；注意应分类探讨三角形为等腰三角形的各种情况． 26．（12分）（2024秋•本溪期中）已知在△ABC中，AB＝AC，点D在线段BC上，点F在射线AD上，连接CF，作BE∥CF交射线AD于E，∠CFA＝∠BAC＝α． （1）如图1，当α＝70°时，∠ABE＝20°时，求∠BAE的大小； （2）当α＝90°，AB＝AC＝8时， ①如图2．连接BF，当BF＝BA，求CF的长； ②若，直接写出CF的长． 【分析】（1）由平行线的性质求解∠BED＝70°，再利用三角形的外角的性质可得答案； （2）①证明△BEF≌△AFC，可得，再利用勾股定理求解即可；②如图，过A作AM⊥BC于M，当D在M的右边时，利用勾股定理，可得，与等面积法可得，可得，，证明△BAE≌△ACF，从而可得答案；当D在M的左边时，如图，同理可得答案． 【解答】解：（1）由题意可得：∠BED＝70°， ∵∠BED＝∠ABE+∠BAE，∠ABE＝20°， ∴∠BAE＝70°﹣20°＝50°； （2）①∵BF＝BA，AB＝AC， ∴BF＝AC， BE⊥AF，AE＝EF，∠ABE＝∠FBE，∠BEF＝∠AFC＝90°， ∴∠ABE+∠BAE＝90°＝∠BAE+∠CAF， ∴∠ABE＝∠CAF， ∴∠CAF＝∠FBE， ∴△BEF≌△AFC（ASA）， ∴EF＝FC， ∴， ∵AB＝AC＝8， ∴CF2+（2CF）2＝64， 解得：（不符合题意的负根舍去）； ②如图，过A作AM⊥BC于M，当D在M的右边时， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝8， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）得：∠ABE＝∠CAF， 而∠AEB＝∠AFC＝90°，AB＝AC， ∴△BAE≌△ACF， ∴， 当D在M的左边时，如图， 同理可得：，，， ∴； 综上：或． 【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，熟练的证明需要的两个三角形全等是解本题的关键． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$