第1章 三角形的证明（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（深圳专用，北师大版）

第1章 三角形的证明（A卷·提升卷） 考试时间：60分钟，满分：100分 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（　　） A．3、4、6 B．7、8、10 C．5、12、14 D．0.6、0.8、1 2．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝AC，若BD＝4，则DC的长是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（3分）如图，△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE＝3，△ABC的周长为18，则△ADC的周长是（　　） A．12 B．15 C．16 D．10 4．（3分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝78°，则∠CDE的度数是（　　） A．60° B．76° C．78° D．84° 5．（3分）如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝8，若点Q是射线OB上一点，OQ＝6，则△ODQ的面积是（　　） A．6 B．12 C．24 D．48 6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（　　） A．4 B．4π C．8π D．8 7．（3分）如图，数轴上点A表示的数为﹣1，Rt△ABC的直角边AB落在数轴上，且AB长为3个单位长度，BC长为1个单位长度，若以点A为圆心，以斜边AC长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（　　） A． B． C． D． 8．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D在以A为圆心，以4为半径的圆上运动，点M是CD的中点，则BM的最大值是（　　） A．6 B．7 C． D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．（3分）等腰三角形ABC的周长为14，底边BC长为y，腰AB长为x，则y关于x的函数表达为 　 　，自变量x的取值范围是 　 　． 10．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AD∥BC，CD⊥AD于D，△ABC的周长为12cm，则AD＝　 　cm． 11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝20，BC＝24，若点P在边AC上移动，则BP的最小值是 　 　． 12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，若以BC为一边画等腰三角形，且使它的第三个顶点在边AB或AC上，则画出的等腰三角形的顶角的度数为　 　． 13．（3分）一个等腰三角形的两条边分别为m和n，且满足|m﹣4|0，则等腰三角形的周长等于 　 　． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14．（5分）如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，D是AC边上的点，BD⊥BC，点D在AB的垂直平分线上，DB＝2，求AC的长． 15．（7分）如图，在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，点E为AD的中点，连接BE并延长交AC于点F．若∠AFB＝90°，EF＝2，求BF长． 16．（8分）如图，等边△ABC中，BD是中线，延长BC至E使得，作DF⊥BE于F． （1）求证：BF＝EF； （2）若AB＝10，求BF． 17．（8分）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D． （1）求证：∠ACD＝∠B； （2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，试判断△CEF的形状，并说明理由． 18．（9分）如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC＝6千米，BD＝18千米，且CD＝10千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ 19．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，且AE＝BE． （1）求∠CAE的度数； （2）若点D为线段EC的中点，求证：△ADE是等边三角形． 20．（12分）勾股定理具有丰富的文化内涵，它揭示了直角三角形的三边关系，搭建起几何与代数之间的桥梁，为解决几何问题拓宽了思路．请完成下面问题： （1）如图1，“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为b，较短直角边长为a，若（a+b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积是多少？ （2）同学们在探索过程中发现，当把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图的图形，设直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c，利用这个图形也可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？ / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 三角形的证明（A卷·提升卷） 考试时间：60分钟，满分：100分 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（　　） A．3、4、6 B．7、8、10 C．5、12、14 D．0.6、0.8、1 【分析】直角三角形三边的数量关系：斜边的平方等于两直角边的平方和，据此性质逐项依次判断即可解题． 【详解】解：A、32+42≠62，不是直角三角形，不符合题意； B、72+82≠102，不是直角三角形，不符合题意； C、52+122≠142，不是直角三角形，不符合题意． D、0．62+0.82＝12，是直角三角形，符合题意； 故选：D． 2．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝AC，若BD＝4，则DC的长是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】根据三线合一性质直接能得到点D是线段BC的中点，即可求解． 【详解】解：根据等腰三角形三线合一可知：CD＝BD＝4， 故选：B． 3．（3分）如图，△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE＝3，△ABC的周长为18，则△ADC的周长是（　　） A．12 B．15 C．16 D．10 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得DB＝DA，AB＝2AE＝6，再根据△ABC的周长为18，可得AC+CB＝12，从而可求出△ADC的周长． 【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，AE＝3， ∴DB＝DA，AB＝2AE＝6， ∵△ABC的周长为18， ∴AC+CB+AB＝18， ∴AC+CB＝12， ∴AC+CD+BD＝AC+CD+AD＝12， ∴△ADC的周长＝12， 故选：A． 4．（3分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝78°，则∠CDE的度数是（　　） A．60° B．76° C．78° D．84° 【分析】由等腰三角形的性质可得∠DOE＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，由外角性质可得∠DOE＝26°，即可求解． 【详解】解：∵OC＝CD＝DE， ∴∠DOE＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC， ∵∠DCE＝∠DOE+∠CDO＝2∠DOE， ∴∠DEC＝2∠DOE， ∴∠BDE＝∠DOE+2∠DEC＝3∠DOE＝78°， ∴∠DOE＝26°， ∴∠DCE＝∠DEC＝52°， ∴∠CDE＝76°． 故选：B． 5．（3分）如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝8，若点Q是射线OB上一点，OQ＝6，则△ODQ的面积是（　　） A．6 B．12 C．24 D．48 【分析】过点D作DH⊥OB于点H，如图，根据角平分线的性质可得DH＝DP＝8，再根据三角形的面积即可求出结果． 【详解】解：过点D作DH⊥OB于点H， ∵OC平分∠AOB，DP⊥OA，DH⊥OB，DP＝8， ∴DH＝DP＝8， ∵OQ＝6， ∴△ODQ的面积． 故选：C． 6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（　　） A．4 B．4π C．8π D．8 【分析】根据勾股定理得到AB2＝AC2+BC2，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝20， 则阴影部分的面积AC×BCπ×（）2π×（）2π×（）2 2×4π（AC2+BC2﹣AB2） ＝4， 故选：A． 7．（3分）如图，数轴上点A表示的数为﹣1，Rt△ABC的直角边AB落在数轴上，且AB长为3个单位长度，BC长为1个单位长度，若以点A为圆心，以斜边AC长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用勾股定理求得AC的长度，即AD的长度即可得出结果． 【详解】解：由勾股定理知：AC， 所以AD＝AC． 所以点D表示的数为1． 故选：D． 8．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D在以A为圆心，以4为半径的圆上运动，点M是CD的中点，则BM的最大值是（　　） A．6 B．7 C． D． 【分析】如图，取AC的中点N，连接MN，BN．利用直角三角形斜边中线的性质，三角形的中位线定理求出BN，MN，再利用三角形的三边关系即可解决问题． 【详解】解：如图，取AC的中点N，连接MN，BN． ∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6， ∴AC＝10， ∵点N是AC的中点， ∴， ∵点N是AC的中点，点M是CD的中点， ∴， ∴BM≤BN+NM， ∴BM≤5+2＝7， 即BM的最大值是7． 故选：B． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．（3分）等腰三角形ABC的周长为14，底边BC长为y，腰AB长为x，则y关于x的函数表达为 　y＝14﹣2x　，自变量x的取值范围是 　3.5＜x＜7　． 【分析】根据三角形周长的定义，构建关系式即可． 【详解】解：∵等腰三角形ABC的周长为14，底边BC长为y，腰AB长为x， ∴2x+y＝14， ∴y＝14﹣2x， 由，解得3.5＜x＜7． 故答案为：y＝14﹣2x，3.5＜x＜7． 10．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AD∥BC，CD⊥AD于D，△ABC的周长为12cm，则AD＝　2　cm． 【分析】根据等边三角形的性质，可得出AC的长，在直角△ADC中，根据特殊角的边角关系，即可解答出． 【详解】解：∵等边△ABC的周长为12cm， ∴AC＝4cm，∠ACB＝60°， ∵AD∥BC，CD⊥AD于D， ∴CD⊥BC， ∴∠ADC＝∠BCD＝90°， ∴在直角△ADC中，∠ACD＝30°， ∴ADAC＝2cm． 故答案为：2． 11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝20，BC＝24，若点P在边AC上移动，则BP的最小值是 　19.2　． 【分析】作AD⊥BC于点D，如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求出AD，根据垂线段最短可知：当BP⊥AC时，BP最小，再利用三角形的面积求解即可． 【详解】解：作AD⊥BC于点D，如图， ∵AB＝AC＝20，BC＝24， ∴BD＝CD＝12，AD， 根据垂线段最短可知：当BP⊥AC时，BP最小， 则由S△ABC，可得24×16＝20×BP， 解得BP＝19.2； 即线段BP的最小值是19.2． 故答案为：19.2． 12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，若以BC为一边画等腰三角形，且使它的第三个顶点在边AB或AC上，则画出的等腰三角形的顶角的度数为　50°或80°或90°　． 【分析】分四种情况讨论：当BC＝BD时，△BCD就是等腰三角形；当DB＝DC时，△BCD为等腰三角形；当D在AB上，当CB＝CD时，△BCD为等腰三角形，当D在AC上，当CD＝CB时，△BCD为等腰三角形，再分别求解等腰三角形的顶角即可． 【详解】解：分四种情况讨论： ①如图，当BC＝BD时，△BCD就是等腰三角形； ∴顶角∠B＝50°； ②如图，当DB＝DC时，△BCD为等腰三角形； ∵∠B＝50°， ∴∠B＝∠BCD＝50°， ∴顶角∠CDB＝180°﹣2×50°＝80°； ③如图，D在AC上，当CD＝CB时，△BCD为等腰三角形， ∵∠BCD＝90°， ∴顶角∠BCD＝90°； ④如图，当CB＝CD时，△BCD为等腰三角形， ∵∠B＝50°， ∴∠B＝∠CDB＝50°， ∴顶角∠BCD＝180°﹣2×50°＝80°； 故答案为：50°或80°或90°． 13．（3分）一个等腰三角形的两条边分别为m和n，且满足|m﹣4|0，则等腰三角形的周长等于 　14或16　． 【分析】由非负数的性质得到m＝4，n＝6，由三角形三边关系定理判定当等腰三角形的腰长是4或6，即可得到答案． 【详解】解：∵|m﹣4|0， ∴m﹣4＝0，n﹣6＝0， ∴m＝4，n＝6， 当等腰三角形的腰长是4时， ∵4+4＞6，满足三角形三边关系定理， ∴此时等腰三角形的周长＝4+4+6＝14； 当等腰三角形的腰长是6时， ∵4+6＞6，满足三角形三边关系定理， ∴此时等腰三角形的周长＝4+6+6＝16， ∴等腰三角形的周长为14或16． 故答案为：14或16． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14．（5分）如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，D是AC边上的点，BD⊥BC，点D在AB的垂直平分线上，DB＝2，求AC的长． 【分析】先求出∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝30°，由点D在AB的垂直平分线上，可得AD＝BD＝2，继而得出∠A＝∠ABD＝30°，∠C＝30°，根据含30度角直角三角形的特征得出CS＝2DB＝4，即可得出AC＝AD+DC＝6． 【详解】解：∵∠ABC＝120°，BD⊥BC， ∴∠DBC＝90°， ∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝120°﹣90°＝30°， ∵点D在AB的垂直平分线上，DB＝2， ∴AD＝BD＝2， ∴∠A＝∠ABD＝30°， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝30°+30°＝60°， ∴∠C＝90°﹣∠BDC＝90°﹣60°＝30°， ∴CD＝2BD＝4， ∴AC＝AD+CD＝2+4＝6． 15．（7分）如图，在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，点E为AD的中点，连接BE并延长交AC于点F．若∠AFB＝90°，EF＝2，求BF长． 【分析】根据三角形内角和定理求出∠DAC＝30°和∠EBD＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质得出AE＝2EF，BE＝2DE，代入求出即可． 【详解】解：∵在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高， ∴∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣60°＝30°， ∵∠AFB＝90°，EF＝2， ∴AE＝2EF＝4， ∵点E为AD的中点， ∴DE＝AE＝4， ∵∠C＝60°，∠BFC＝180°﹣90°＝90°， ∴∠EBD＝30°， ∴BE＝2DE＝8， ∴BF＝BE+EF＝8+2＝10． 16．（8分）如图，等边△ABC中，BD是中线，延长BC至E使得，作DF⊥BE于F． （1）求证：BF＝EF； （2）若AB＝10，求BF． 【分析】（1）首先根据三线合一性质得到，然后推出DC＝CE，然后利用三角形外角的性质和等边对等角得到∠E＝30°，得到DB＝DE，然后利用三线合一证明即可； （2）首先根据等边三角形的性质得到AC＝AB＝BC＝10，∠DCF＝60°，然后利用含30°角直角三角形的性质求出∴，进而求解即可． 【详解】（1）证明：∵等边△ABC中，BD是中线， ∴DCAC， 又∵， ∴DC＝CE， ∴∠E＝∠CDE，而∠DCB＝∠E+∠CDE＝60°， ∴∠E＝30°， ∵DA＝DC， ∴， ∴DB＝DE， ∵DF⊥BC， ∴BF＝EF． （2）解：∵△ABC为等边三角形， ∴AC＝AB＝BC＝10，∠DCF＝60°， ∴∠FDC＝30°， ∴， ∴BF＝BC﹣CF＝7.5． 17．（8分）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D． （1）求证：∠ACD＝∠B； （2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，试判断△CEF的形状，并说明理由． 【分析】（1）由于∠ACD与∠B都是∠BCD的余角，根据同角的余角相等即可得证； （2）根据直角三角形两锐角互余得出∠CFA＝90°﹣∠CAF，∠AED＝90°﹣∠DAE，再根据角平分线的定义得出∠CAF＝∠DAE，然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明∠CEF＝∠CFE，从而确定△CEF的形状． 【详解】（1）证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠B+∠BCD＝90°， ∴∠ACD＝∠B； （2）解：△CEF是等腰三角形． 理由：∵∠ACB＝90°， ∴∠CFA＝90°﹣∠CAF， 在Rt△AED中，∠AED＝90°﹣∠DAE， 又∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF＝∠DAE， ∴∠AED＝∠CFE， 又∵∠CEF＝∠AED， ∴∠CEF＝∠CFE， ∴CE＝CF， ∴△CEF是等腰三角形． 18．（9分）如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC＝6千米，BD＝18千米，且CD＝10千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ 【分析】作点A关于CD的对称点A′，连接A′B与CD交于点M，过点A′作A′K⊥BD交BD延长线于点K，则AM+BM的最小值为A′B的长，此时铺设水管的费用最节省，再由平行线的性质，可得A′K＝CD＝10千米，BK＝BD+DK＝24千米，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：AC＝6千米，BD＝18千米，且CD＝10千米，如图，作点A关于CD的对称点A′，连接A′B与CD交于点M，过点A′作A′K⊥BD交BD延长线于点K， ∴A′C＝AC＝6千米，AM＝A′M， ∴AM+BM＝A′M+BM≥A′B， 即AM+BM的最小值为A′B的长，此时铺设水管的费用最节省， ∵BD⊥CD，AA′⊥CD，A′C⊥A′K， ∴∠A′CD＝∠CDK＝∠CA′K＝90°， 由平行线间距离处处相等可得： DK＝A′C＝6千米，A′K＝CD＝10千米， ∴BK＝BD+DK＝24千米， 在直角三角形A′BK中，由勾股定理得：（千米）， ∴此时总费用为26×3＝78万元． 19．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，且AE＝BE． （1）求∠CAE的度数； （2）若点D为线段EC的中点，求证：△ADE是等边三角形． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和是180°，可以求得∠CAE的度数； （2）根据直角三角形的性质和等边三角形的判定，可以得到结论成立． 【详解】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∵AE＝BE， ∴∠B＝∠EAB， ∴∠EAB＝30°， ∵∠BAC＝120°， ∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝120°﹣30°＝90°， 即∠CAE＝90°； （2）方法一：证明：由（1）知，∠CAE＝90°， ∵∠C＝30°， ∴∠AEC＝60°， ∴∠DEA＝60°， ∵点D为线段EC的中点， ∴AD＝DE， ∴∠DEA＝∠DAE， 又∵∠DEA＝60°， ∴∠DEA＝∠DAE＝60°， ∴∠ADE＝60°， ∴∠DEA＝∠DAE＝∠ADE， ∴△ADE是等边三角形． 方法二：证明：由（1）知，∠CAE＝90°， ∵∠C＝30°， ∴∠AEC＝60°，AECE， ∴∠DEA＝60°， ∵点D为EC的中点， ∴ADCE＝DE， ∴AD＝DE＝AE， ∴△ADE是等边三角形． 20．（12分）勾股定理具有丰富的文化内涵，它揭示了直角三角形的三边关系，搭建起几何与代数之间的桥梁，为解决几何问题拓宽了思路．请完成下面问题： （1）如图1，“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为b，较短直角边长为a，若（a+b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积是多少？ （2）同学们在探索过程中发现，当把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图的图形，设直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c，利用这个图形也可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？ 【分析】（1）设直角三角形的斜边为c，利用勾股定理和完全平方公式求出ab的值，利用大正方形的面积减去小正方形的面积进行计算即可； （2）根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证． 【详解】解：（1）设斜边的长为c，由题意得c2＝13，a2+b2＝c2＝13， ∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝21， ∴2ab＝21﹣13＝8， ∴小正方形的面积为c2﹣2ab＝5； （2）图形的总面积可以表示为c2+2ab或a2+b2+2ab， ∴c2+2ab＝a2+b2+2ab， 整理得c2+ab＝a2+b2+ab． ∴a2+b2＝c2． / 学科网（北京）股份有限公司 $$