高一数学开学摸底考（新高考地区通用）01-2024-2025学年高中下学期开学摸底考试卷

2024-2025学年高一下学期开学摸底考试卷（新高考通用）01 数学·参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C C C B B D A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC ACD BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．1.172 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【答案】（1）4；(2) 【知识点】指数式与对数式的互化、运用换底公式化简计算、对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】（1）利用对数的运算性质及换底公式即可化简求值. （2）先由指数与对数的互化得，再由换底公式即可计算求解. 【详解】（1）原式 ； （2）因为，所以， 所以 . 16．（15分） 【答案】(1)答案见解析，理由见解析 (2) 【知识点】根据函数的单调性求参数值、函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）分、两种情况讨论，分别判断函数的奇偶性； （2）将函数写成分段函数，再分、、三种情况讨论，分别得到函数的单调区间，即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）因为定义域为， 当时，，所以， 所以为奇函数； 当时，，，则且， 所以既不是奇函数又不是偶函数； 综上可得：当时为奇函数，当时既不是奇函数又不是偶函数. （2）因为， 当时，在，上单调递增，在上单调递减， 因为在上单调递增，所以； 当时，在上单调递增，符合题意； 当时，在，上单调递增，在上单调递减， 显然满足在上单调递增，所以符合题意； 综上可得的取值范围为. 17．（15分） 【答案】(1)是R上的增函数，证明见解析 (2)或 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由指数函数的单调性解不等式 【分析】（1）利用赋值法求出，设且，取，判断出可得答案； （2）转化为在上恒成立，令，则恒成立，令，分、、讨论，利用的单调性可得答案. 【详解】（1）是R上的增函数，证明如下， 因为函数对任意的实数，都有， 令，则，所以； 设且，取， 则，即， 由于当时，，因为，所以， 即，得， 所以是R上的增函数； （2）不等式等价于， 由（2）可知是上的增函数，故在上恒成立， 令，则恒成立， 令， ①当即时，在上单调递增， 所以即， ②当即时，在上单调递减， 所以即； ③当即时，在上单调递减， 在上单调递增，所以 与恒成立矛盾，舍去. 综上：或. 18．（17分） 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求图象变化前（后）的解析式、函数不等式能成立（有解）问题、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）结合正弦函数最值先求出，结合周期求出，代入特殊点求出，进而可得函数解析式； （2）结合三角函数图像变换求出，然后结合已知函数的最值与单调性关系即可求解； （3）结合已知先求出得范围，结合二次函数的性质及正弦函数的性质即可求解. 【详解】（1），， ， 又， ， ， ，又， ， . （2）由题意知：， 的图象向左平移个单位得， 即， 函数与均为其定义域上的单调增函数，且，， 当且仅当取得最大值时，同时取得最小值时， 才能取得函数的最小值， 由，得， 又，即， ，又， 的最小值为. （3）满足，解得， ， ，同理， ，， ，， 又函数在上单调递增， 若有， 则， 即只需，即成立即可，又， ，即存在，使成立. 【点睛】方法点睛：本题主要考查函数解析式的求解，还考查了三角函数图象的变换及利用单调性解不等式. （1）求函数解析式的方法： ①利用最大（小）值确定； ②观察图象或由题意得周期，利用可求得； ③将特殊点代入解析式，结合得范围可求得. （2）利用单调性解不等式的方法： 如不等式，可利用函数的单调性来求解. ①把自变量的位置看成一个整体，要确保这个整体属于同一区间 ， 如，， 得， . ②判断函数在这个区间内的单调性，如函数在上单调递增. ③利用单调性得结论.如，即. ④解出不等式即可求解. 19．（17分） 【答案】(1)集合不具有，集合具有，理由见解析； (2)（答案不唯一） (3)证明见解析 【知识点】集合新定义 【分析】（1）根据的含义直接验证即可； （2）写出集合并根据的含义验证即可； （3）转化为证明从上面每个集合中选出的元素不能超过2个，举例，证明从每个集合中选出的元素不超过2个即可. 【详解】（1）对于集合， 因为，所以集合不具有性质. 对于集合， 因为， 所以集合具有性质. （2）以下集合符合条件(答出其中任意3个即可)： ， ， 取其中3个， 证明：满足题意，因为，，， ，，， 则具有性质，同理可证明满足题意. （3）将集合分成如下的5个集合： . 要证明中的元素个数不大于10，只需证明从上面每个集合中选出的元素不能超过2个. 以为例，该集合超过2个元素的子集有：， 因为，则这些子集均不具有性质. 其余4个集合同理. 因为具有性质，所以从每个集合中选出的元素不超过2个. 综上，集合中的元素个数不大于10. 【点睛】关键点点睛：本题（1）（2）问的关键是充分理解的含义，再代入证明即可. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高一下学期开学摸底考试卷01 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一下学期开学摸底考试卷（新高考通用）01 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．若角的终边和单位圆的交点坐标为，则（    ） A． B． C． D． 3．若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（   ） A．或 B． C．或 D． 4．已知函数，则其图象大致是（   ） A． B． C． D． 5．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 7．函数，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条结论： 甲：函数的图象关于对称； 乙：函数在上单调递增； 丙：函数在区间上有3个零点； 丁：函数的图象向左平移个单位之后与的图象关于轴对称. 若这四位同学中恰有一人的结论错误，则该同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 10．对于任意的表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．对于任意的，不等式恒成立 11．已知函数，且，则下列选项正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C． D．在上有两个不同的零点 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知集合，，若，则实数的取值集合为 ． 13．某地要建造一个市民休闲公园长方形，如图，边，边，其中区域开挖成一个人工湖，其他区域为绿化风景区．经测算，人工湖在公园内的边界是一段圆弧，且、位于圆心的正北方向，位于圆心的北偏东60°方向．拟定在圆弧处修建一座渔人码头，供游客湖中泛舟，并在公园的边、开设两个门、，修建步行道、通往渔人码头，且、，则步行道、长度之和的最小值是 ．（精确到0.001） 14．定义：若函数在区间上的值域为，则称区间是函数的“完美区间”已知函数，若函数存在“完美区间”，则实数b的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） （1）； （2）已知，用表示． 16．（15分） 已知，函数. (1)判断的奇偶性，请说明理由； (2)若在上单调递增，求的取值范围. 17．（15分） 函数对任意的实数，都有，当时，， (1)判断在上的单调性并证明 (2)，不等式恒成立，求实数的取值范围 18．（17分） 已知函数的定义域为R，若函数在区间上佮好取到一个最大值和一个最小值，且当时函数取得最大值为2；当时函数取得最小值为． (1)求函数的解析式； (2)若将函数的图象保持横坐标不变纵坐标变为原来的得到函数，再将函数的图象向左平移个单位得到函数，已知函数的最小值为，求满足条件的的最小值； (3)是否存在实数，满足不等式？若存在，求出实数的范围（或值），若不存在，请说明理由． 19．（17分） 设集合是的非空子集，若对任意，，都有，则称集合具有性质. (1)试判断集合和是否具有性质，并说明理由； (2)已知集合，若具有性质且恰有4个元素，直接写出符合条件的集合；（写出3个即可） (3)已知集合，若具有性质，证明：中的元素个数不大于10. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一下学期开学摸底考试卷（新高考通用）01 数学•全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交并补混合运算 【分析】利用补集和交集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，，则， 因此，. 故选：C. 2．若角的终边和单位圆的交点坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用定义求某角的三角函数值 【分析】利用三角函数定义计算可得结果. 【详解】根据三角函数定义结合交点坐标为可得. 故选：C. 3．若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【知识点】分式不等式、解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据题意得到，故原不等式等价于，求解即可. 【详解】因为不等式的解集为，所以， 所以不等式等价于， 即，解得或. 所以关于x的不等式的解集为或. 故选：C. 4．已知函数，则其图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数图像的识别 【分析】根据函数函数的定义域以及当和时函数值的正负，即可排除求解. 【详解】由于函数的定义域为，故可排除C， 当时，，此时可排除A, 当时，，此时可排除D, 故选：B 5．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由对数（型）的单调性求参数 【分析】由对数型复合函数的单调性，二次函数的对称轴，以及真数大于0求解． 【详解】由题意，解得， 故选：B． 6．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、诱导公式五、六、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】利用同角三角平方关系和商的关系求得，再利用诱导公式求得，，即可求解. 【详解】因为，故， 则，则， 又， 又， 故原式． 故选：D. 7．函数，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】令，则，可知为奇函数且在定义域上单调递增，所以可转化为，根据奇偶性和单调性可解出的范围. 【详解】解：令，定义域为，则， 又，， ，所以为奇函数； 在上为增函数，在上也为增函数，所以在上为增函数； 等价于，即，则 解得：. 故选：A 8．已知函数，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条结论： 甲：函数的图象关于对称； 乙：函数在上单调递增； 丙：函数在区间上有3个零点； 丁：函数的图象向左平移个单位之后与的图象关于轴对称. 若这四位同学中恰有一人的结论错误，则该同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【知识点】正弦函数图象的应用、利用正弦函数的对称性求参数、求图象变化前（后）的解析式、利用正弦型函数的单调性求函数值或值域 【分析】对每位同学的结论进行推敲，求出对应的的取值范围或值，再对比四个结论，可得出结果. 【详解】设函数的最小正周期为. 对于甲：因为函数的图象关于对称，则； 对于乙：因为函数在上单调递增， 则，可得，又 所以，，又因为，则； 对于丙：因为函数在区间上有个零点，则，可得， 所以，，由于，则； 对于丁：因为函数的图象向左平移个单位之后与的图象关于轴对称. 则，即， 因为，所以，满足条件， 故丙的结论错误，此时，，则， 因为，故，所以，， 且当时，，即函数在上单调递增， 乙同学的结论正确. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于对每位同学的结论进行推敲，求出符合条件的的范围或值，进而判断. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】对于选项A：利用基本不等式即可判断； 对于选项B：利用“1”的妙用，即可判断； 对于选项C：利用基本不等式即可判断； 对于选项D：利用配凑思想，根据基本不等式即可判断； 【详解】对于选项A：因为，则，当且仅当， 即时取等号，故选项A正确； 对于选项B：， 当且仅当，即时取等号，故选项B错误； 对于选项C：由选项A可知，所以， 当且仅当，即时取等号，故选项C正确； 对于选项D：因为，当且仅当，即时取等号，这与x，y均为正数矛盾，故，故选项D错误. 故选：AC. 10．对于任意的表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．对于任意的，不等式恒成立 【答案】ACD 【知识点】求对数函数在区间上的值域、函数新定义、求指数型复合函数的值域 【分析】首先求的范围，再结合“取整函数”的定义，即可求解，即可判断A，解一元二次不等式，再结合定义，即可判断B，根据对数函数的取值特征，确定的值，即可判断C，根据不等式，，结合取值函数的定义，即可判断D. 【详解】A.，由，有，则， 得，所以，故A正确； B.不等我，解得：，即，得，故B错误； C.时，当，，， 当，，， 当，，， ，故C正确； D.对于任意的，，， 不等式，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解新定义，从而转化为函数或不等式的问题. 11．已知函数，且，则下列选项正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C． D．在上有两个不同的零点 【答案】BC 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】计算可得，可判断A；计算可得，可判断B；分，，，四种情况讨论可判断C；结合C选项可知时，在上有一个不同的零点，可判断D. 【详解】对于A，， ， 所以的最小正周期不为，故A错误； 对于B，， ， 所以，所以的图象关于直线对称，故B正确； 对于C，当时，若，，所以， 若，，所以， ，所以， 同理可得时，， 当时，若，， 所以， 若，，则， 若，，则 所以， 同理可得时，，故C正确； 对于D，当时，又，所以， 此时，，只有一个解， 所以在上有一个不同的零点，故D错误； 故选：BC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知集合，，若，则实数的取值集合为 ． 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据一元二次方程化简集合，即可根据子集关系求解. 【详解】因为集合，， 所以：当时，，满足，因此为所求； 当时，，由得或，解得或． 综上所述，实数的取值集合为． 故答案为：． 13．某地要建造一个市民休闲公园长方形，如图，边，边，其中区域开挖成一个人工湖，其他区域为绿化风景区．经测算，人工湖在公园内的边界是一段圆弧，且、位于圆心的正北方向，位于圆心的北偏东60°方向．拟定在圆弧处修建一座渔人码头，供游客湖中泛舟，并在公园的边、开设两个门、，修建步行道、通往渔人码头，且、，则步行道、长度之和的最小值是 ．（精确到0.001） 【答案】1.172 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式 【分析】以为原点建立坐标系，求出圆半径，并设出点的坐标，借助辅助角公式及正弦函数的性质求出最小值. 【详解】以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，连接， 令圆的半径为，则，解得，设， 因此， 当且仅当时取等号， 所以步行道、长度之和的最小值是. 故答案为： 14．定义：若函数在区间上的值域为，则称区间是函数的“完美区间”已知函数，若函数存在“完美区间”，则实数b的取值范围是 . 【答案】 【知识点】对数型复合函数的单调性、根据函数零点的个数求参数范围、基本不等式求和的最小值、函数新定义 【分析】先求函数的定义域，再证明在上单调递增． 根据新定义，题意可知方程在上至少存在两个不同的实数解， 即在上至少存在两个不同的实数解，所以与在上至少存在两个不同的交点．再利用基本不等式求出函数的值域即可. 【详解】由，解得，所以函数的定义域是． 因为， 又在上为增函数，所以在上为减函数， 所以在上为增函数，在上为增函数， 故在上单调递增． 可知在上单调递增， 设区间是函数的“完美区间”．则，． 可知方程在上至少存在两个不同的实数解， 即在上至少存在两个不同的实数解， 所以与在上至少存在两个不同的交点． 令，则， 所以， 当且仅当时，取等号． 又在上单调递减，在上单调递增， 且当时，；当时，． 所以时满足题意．故实数b的取值范围为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） （1）； （2）已知，用表示． 【答案】（1）4；(2) 【知识点】指数式与对数式的互化、运用换底公式化简计算、对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】（1）利用对数的运算性质及换底公式即可化简求值. （2）先由指数与对数的互化得，再由换底公式即可计算求解. 【详解】（1）原式 ； （2）因为，所以， 所以 . 16．（15分） 已知，函数. (1)判断的奇偶性，请说明理由； (2)若在上单调递增，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析，理由见解析 (2) 【知识点】根据函数的单调性求参数值、函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）分、两种情况讨论，分别判断函数的奇偶性； （2）将函数写成分段函数，再分、、三种情况讨论，分别得到函数的单调区间，即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）因为定义域为， 当时，，所以， 所以为奇函数； 当时，，，则且， 所以既不是奇函数又不是偶函数； 综上可得：当时为奇函数，当时既不是奇函数又不是偶函数. （2）因为， 当时，在，上单调递增，在上单调递减， 因为在上单调递增，所以； 当时，在上单调递增，符合题意； 当时，在，上单调递增，在上单调递减， 显然满足在上单调递增，所以符合题意； 综上可得的取值范围为. 17．（15分） 函数对任意的实数，都有，当时，， (1)判断在上的单调性并证明 (2)，不等式恒成立，求实数的取值范围 【答案】(1)是R上的增函数，证明见解析 (2)或 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由指数函数的单调性解不等式 【分析】（1）利用赋值法求出，设且，取，判断出可得答案； （2）转化为在上恒成立，令，则恒成立，令，分、、讨论，利用的单调性可得答案. 【详解】（1）是R上的增函数，证明如下， 因为函数对任意的实数，都有， 令，则，所以； 设且，取， 则，即， 由于当时，，因为，所以， 即，得， 所以是R上的增函数； （2）不等式等价于， 由（2）可知是上的增函数，故在上恒成立， 令，则恒成立， 令， ①当即时，在上单调递增， 所以即， ②当即时，在上单调递减， 所以即； ③当即时，在上单调递减， 在上单调递增，所以 与恒成立矛盾，舍去. 综上：或. 18．（17分） 已知函数的定义域为R，若函数在区间上佮好取到一个最大值和一个最小值，且当时函数取得最大值为2；当时函数取得最小值为． (1)求函数的解析式； (2)若将函数的图象保持横坐标不变纵坐标变为原来的得到函数，再将函数的图象向左平移个单位得到函数，已知函数的最小值为，求满足条件的的最小值； (3)是否存在实数，满足不等式？若存在，求出实数的范围（或值），若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求图象变化前（后）的解析式、函数不等式能成立（有解）问题、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）结合正弦函数最值先求出，结合周期求出，代入特殊点求出，进而可得函数解析式； （2）结合三角函数图像变换求出，然后结合已知函数的最值与单调性关系即可求解； （3）结合已知先求出得范围，结合二次函数的性质及正弦函数的性质即可求解. 【详解】（1），， ， 又， ， ， ，又， ， . （2）由题意知：， 的图象向左平移个单位得， 即， 函数与均为其定义域上的单调增函数，且，， 当且仅当取得最大值时，同时取得最小值时， 才能取得函数的最小值， 由，得， 又，即， ，又， 的最小值为. （3）满足，解得， ， ，同理， ，， ，， 又函数在上单调递增， 若有， 则， 即只需，即成立即可，又， ，即存在，使成立. 【点睛】方法点睛：本题主要考查函数解析式的求解，还考查了三角函数图象的变换及利用单调性解不等式. （1）求函数解析式的方法： ①利用最大（小）值确定； ②观察图象或由题意得周期，利用可求得； ③将特殊点代入解析式，结合得范围可求得. （2）利用单调性解不等式的方法： 如不等式，可利用函数的单调性来求解. ①把自变量的位置看成一个整体，要确保这个整体属于同一区间 ， 如，， 得， . ②判断函数在这个区间内的单调性，如函数在上单调递增. ③利用单调性得结论.如，即. ④解出不等式即可求解. 19．（17分） 设集合是的非空子集，若对任意，，都有，则称集合具有性质. (1)试判断集合和是否具有性质，并说明理由； (2)已知集合，若具有性质且恰有4个元素，直接写出符合条件的集合；（写出3个即可） (3)已知集合，若具有性质，证明：中的元素个数不大于10. 【答案】(1)集合不具有，集合具有，理由见解析； (2)（答案不唯一） (3)证明见解析 【知识点】集合新定义 【分析】（1）根据的含义直接验证即可； （2）写出集合并根据的含义验证即可； （3）转化为证明从上面每个集合中选出的元素不能超过2个，举例，证明从每个集合中选出的元素不超过2个即可. 【详解】（1）对于集合， 因为，所以集合不具有性质. 对于集合， 因为， 所以集合具有性质. （2）以下集合符合条件(答出其中任意3个即可)： ， ， 取其中3个， 证明：满足题意，因为，，， ，，， 则具有性质，同理可证明满足题意. （3）将集合分成如下的5个集合： . 要证明中的元素个数不大于10，只需证明从上面每个集合中选出的元素不能超过2个. 以为例，该集合超过2个元素的子集有：， 因为，则这些子集均不具有性质. 其余4个集合同理. 因为具有性质，所以从每个集合中选出的元素不超过2个. 综上，集合中的元素个数不大于10. 【点睛】关键点点睛：本题（1）（2）问的关键是充分理解的含义，再代入证明即可. 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$