第04讲 整式的除法（知识解读+达标检测）-2024-2025学年七年级数学下册《知识解读•题型专练》（北师大版2024）

第04讲 整式的除法 【题型1 单项式除法运算】 【题型2 多项式除法运算】 【题型3 整式的混合运算】 【题型4 整式化简求值】 考点1：单项式的除法法则： 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 【题型1 单项式除法运算】 【典例1】（2024八年级上·全国·专题练习）计算下列各题： (1) (2) 【变式1-1】（23-24七年级下·陕西榆林·期末）计算：． 【变式1-2】（23-24七年级下·安徽宿州·阶段练习）化简： 【变式1-3】（24-25七年级上·上海嘉定·期中） ． 考点5：多项式除以单项式的法则： 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 【题型2 多项式除法运算】 【典例2】（24-25七年级上·上海虹口·期中）计算：． 【变式2-1】（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 【变式2-2】（23-24八年级上·全国·课后作业）计算：． 【变式2-3】（2024七年级下·安徽·专题练习）计算： 【题型3 整式的混合运算】 【典例3】（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) 【变式3-1】（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）化简与计算： (1)； (2)． 【变式3-2】（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）计算： (1) ； (2)． (3)； (4)． 【变式3-3】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【题型4 整式化简求值】 【典例4】（24-25八年级上·广东肇庆·期中）先化简，再求值：，其中，． 【变式4-1】（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式4-2】（24-25八年级上·福建厦门·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式4-3】（24-25八年级上·广西南宁·期中）先化简，再求值：，其中，． 一、单选题 1．（24-25八年级上·重庆·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北唐山·期中）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·福建漳州·期中）已知长方形的面积为，一边长为，则另一边长为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24六年级下·山东烟台·期末）调皮的弟弟把小明的作业本撕掉了一角，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮她推测出被除式为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25八年级上·北京·期中）计算： ． 6．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）已知一个多项式乘，所得的结果是，那么这个多项式是 ． 7．（23-24七年级下·浙江金华·期末）在求多项式除以多项式时，可类似于正整数除法的“列竖式”得到商式和余式，例如：通过“列竖式”可求得的商式为，余式为22，如图所示．运用此方法，那么的商式为 ，余式为 ． 三、解答题 8．（24-25八年级上·全国·期末）计算． (1)； (2)； (3)． 9．（24-25八年级上·福建泉州·期中）计算： (1)； (2)． 10．（24-25八年级上·福建泉州·期中）先化简，再求值：，其中，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 整式的除法 【题型1 单项式除法运算】 【题型2 多项式除法运算】 【题型3 整式的混合运算】 【题型4 整式化简求值】 考点1：单项式的除法法则： 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 【题型1 单项式除法运算】 【典例1】（2024八年级上·全国·专题练习）计算下列各题： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式： （1）直接根据单项式除以单项式的计算法则求解即可； （2）直接根据单项式除以单项式的计算法则求解即可． 【详解】（1）解： （2）解：． 【变式1-1】（23-24七年级下·陕西榆林·期末）计算：． 【答案】 【分析】先根据幂的运算法则计算出，再根据单项式乘以单项式的运算法则计算，最后利用单项式除以单项式的运算法则即可解答．本题考查了幂的运算法则，单项式乘以单项式的运算法则，单项式除以单项式的运算法则，牢记相关运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式1-2】（23-24七年级下·安徽宿州·阶段练习）化简： 【答案】 【分析】本题考查了单项式除以单项式．熟练掌握单项式除以单项式是解题的关键． 根据单项式除以单项式法则计算求解即可． 【详解】解：． 【变式1-3】（24-25七年级上·上海嘉定·期中） ． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先计算积的乘方，再利用单项式除以单项式法则计算即可得到答案． 【详解】解：原式， 故答案为： ． 考点5：多项式除以单项式的法则： 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 【题型2 多项式除法运算】 【典例2】（24-25七年级上·上海虹口·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查整式的除法，运用多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式2-1】（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，直接根据多项式除以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解： ． 【变式2-2】（23-24八年级上·全国·课后作业）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据多项式除以单项式法则即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式2-3】（2024七年级下·安徽·专题练习）计算： 【答案】 【分析】此题主要考查了多项式除以单项式，关键是掌握计算法则，注意符号的确定．利用多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加进行计算即可． 【详解】解：原式， ． 【题型3 整式的混合运算】 【典例3】（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了整式的混合运算． （1）利用幂的运算法则计算后合并同类项即可； （2）利用多项式乘以多项式的法则计算即可； （3）利用多项式除以单项式的法则计算即可； （4）利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 【变式3-1】（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）化简与计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算和乘法公式，积的乘方，单项式乘以单项式，单项式除以单项式，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键． （1）根据乘法公式展开后，进行合并即可求解； （2）根据积的乘方，单项式乘以单项式，单项式除以单项式进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式3-2】（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握乘法公式，整式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项，完全平方和公式展开，再运用整式的加减运算法则计算即可； （2）根据多项式乘以多项，多项式除以单项式的计算方法展开，再运用整式的加减运算法则计算即可； （3）根据完全平方和公式，平方差公式展开，再运用整式的加减运算法则计算即可； （4）根据平方差公式，去括号展开，再运用整式的加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3-3】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的乘法运算，解题的关键是掌握多项式乘以多项式的运算，，，进行计算，即可． （1）根据多项式乘以多项式的运算，进行计算，即可； （2）根据，，进行计算，即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【题型4 整式化简求值】 【典例4】（24-25八年级上·广东肇庆·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是掌握整式的混合运算法则．根据整式的混合运算法则将所求式子化简，再代入值计算即可． 【详解】解： 当，时，原式． 【变式4-1】（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】；3 【分析】本题考查整式的混合运算，先算单项式乘多项式和完全平方公式，再合并同类项即可完成化简，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式4-2】（24-25八年级上·福建厦门·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，7 【分析】本题考查整式的化简求值，掌握整式的混合运算是解题关键．根据整式的混合运算法则即可化简，再将代入化简后的式子求值即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 【变式4-3】（24-25八年级上·广西南宁·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 根据整式的混合运算先进行化简，再将，代入求解即可； 【详解】解： ， 当，时， ； 一、单选题 1．（24-25八年级上·重庆·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查积的乘方与幂的乘方，合并同类项以及单项式除以单项式，根据相关运算法则进行计算后再判断即可得到答案． 【详解】解：A. ，故选项A计算错误，不符合题意； B. ，故选项B计算错误，不符合题意； C. ，故选项C计算错误，不符合题意； D. ，选项D计算正确，符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级上·河北唐山·期中）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查多项式除以单项式，熟练掌握多项式除以单项式是解题的关键． 根据多项式除以单项式可直接进行求解． 【详解】解：原式． 故选：B． 3．（24-25八年级上·福建漳州·期中）已知长方形的面积为，一边长为，则另一边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式除以单项式的应用，计算．即可求解． 【详解】解：长方形的另一边， 故选：B． 4．（23-24六年级下·山东烟台·期末）调皮的弟弟把小明的作业本撕掉了一角，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮她推测出被除式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键；根据整式的运算法则计算即可； 【详解】解：根据题意可得： 故选：D 二、填空题 5．（24-25八年级上·北京·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据多项式除以单项式运算法则计算即可求解，掌握多项式除以单项式运算法则是解题的关键． 根据多项式除以单项式，用多项式的每一项除以单项式，把所得的商相加，可得答案． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）已知一个多项式乘，所得的结果是，那么这个多项式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘单项式，多项式除以单项式等知识点，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 根据“一个多项式乘所得的结果是”，得出这个多项式是，再根据多项式除以单项式法则进行计算，即可作答． 【详解】解：∵一个多项式乘所得的结果是， ， ∴这个多项式是， 故答案为：． 7．（23-24七年级下·浙江金华·期末）在求多项式除以多项式时，可类似于正整数除法的“列竖式”得到商式和余式，例如：通过“列竖式”可求得的商式为，余式为22，如图所示．运用此方法，那么的商式为 ，余式为 ． 【答案】 3 【分析】本题主要考查了整式的除法运算，仿照条件中的方法，列出竖式，进行计算即可． 【详解】解：如图所示： 的商式为，余式为3， 故答案为：，3． 三、解答题 8．（24-25八年级上·全国·期末）计算． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）利用完全平方公式和多项式乘以多项式的运算法则展开，再合并同类项即可； （）利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项即可； （）利用平方差公式展开即可； 本题考查了整式的混合运算，掌握整式的运算法则和乘法公式是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 9．（24-25八年级上·福建泉州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了积的乘方，整式的混合运算，理解整式混合运算法则和积的乘方的运算法则是解答关键． （1）先根据积的乘方的运算法则计算，再利用整式加减法运算法则求解； （2）先利用积的乘方的计算法则计算，再利用整式除法运算法则求解． 【详解】（1）解： ； （2） 10．（24-25八年级上·福建泉州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则． 先根据完全平方公式和单项式乘单项式法则计算中括号内的乘方和乘法，再合并同类项，然后根据多项式除以单项式法则计算除法，最后把m，n的值代入化简后的式子进行计算即可． 【详解】解：原式 当，时， 原式 1 学科网（北京）股份有限公司 $$