第03讲 平方差和完全平方公式（知识解读+达标检测）-2024-2025学年七年级数学下册《知识解读•题型专练》（北师大版2024）

第03讲 平方差和完全平方公式 【题型1 平方差公式运算】 【题型2 巧用平方差公式简便计算】 【题型3 平方差公式的几何背景】 【题型4 完全平方公式】 【题型5 完全平方公式下得几何背景】 【题型6 完全平方公式的逆运算】 【题型7 求完全平方公式中字母的系数】 考点1：平方差公式 平方差公式： 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 考点2：平方差公式的特征 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： ① 位置变化，xyyxx2y2 ② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2 ③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4 ④ 系数变化，2ab2ab4a2b2 ⑤ 换式变化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2 x2y2z22zmm2 ⑥ 增项变化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2 【题型1 平方差公式运算】 【典例1】（24-25八年级上·甘肃定西·期末）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式：，根据公式计算即可． 【详解】解：． 故选B． 【变式1-1】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式的有关运算，由得，据此即可求解，掌握平方差公式的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【变式1-2】（24-25八年级上·天津·期末）计算的结果等于 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平方差公式，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差．，直接利用平方差公式求解即可． 【详解】 故答案为： 【变式1-3】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平方差公式，熟练运用平方差公式是解题关键．根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【题型2 巧用平方差公式简便计算】 【典例2】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）用简便方法计算： (1)； (2)． (3) 【答案】(1)9999 (2)1 (3) 【分析】本题考查了平方差公式，同底数幂的乘法，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）根据平方差公式运算即可； （2）先根据平方差公式计算，再算加减； （3）利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【变式2-1】（24-25八年级上·吉林长春·期末）运用乘法公式计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数混合运算，平方差公式的应用．根据平方差公式得出，然后进行计算即可． 【详解】解：原式 【变式2-2】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）简便方法计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了两个有理数的乘法运算，含乘方的有理数混合运算，平方差公式等知识点，运用平方差公式简化运算是解题的关键． （1）将写成，然后利用平方差公式进行计算即可； （2）先提取公因数，将原式写成，然后对括号内的部分使用平方差公式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2-3】（24-25七年级上·上海普陀·期中）用乘法公式计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数乘法，平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式的运算法则．利用平方差公式进行计算，即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 【题型3平方差公式的几何背景】 【典例3】（22-23六年级下·山东淄博·期中）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．    (1)上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的一个） A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：； ③计算：． 【答案】(1)B (2)①；②；③ 【分析】本题主要考查平方差公式的运用，熟练运用平方差公式进行拆分是解题关键． （1）根据图形左右两边阴影面积相等解题即可． （2）①利用平方差公式计算即可； ②利用平方差公式拆分每一项，再相消即可； ③利用平方差公式拆分每一项，再相消即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故答案为：B； （2）①，即，而， ； ②原式 ； ③原式 ． 【变式3-1】（23-24七年级下·广东茂名·期中）如图，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． (1)实验与操作：上述操作能验证的等式是：________（请选择正确的选项）． A．      B． C．      D． (2)请利用你从（1）选出的等式计算：． 【答案】(1)D (2) 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何背景及其应用与拓展，熟练掌握公式并灵活运用是解题的关键． （1）根据图1和图2阴影部分面积相等可得到答案； （2）根据平方差公式，，，，，由此即可得到答案． 【详解】（1）图1阴影部分的面积为：，图2阴影部分的面积为， 图1和图2阴影部分面积相等， ； 故选A． （2） ． 【变式3-2】（23-24七年级下·福建三明·阶段练习）[探究]（1）如图（1），边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图（1）中的阴影部分拼成一个长方形（如图（2）所示），通过观察比较图（2）与图（1）中的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ．（用含a，b的等式表示）    [应用]（2）计算：． [拓展]（3）计算：． 【答案】（1）；（2）4；（3）5050 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形，根据平方差公式进行计算，掌握平方差公式是解题的关键． （1）根据阴影部分的面积相等，得到； （2）根据平方差公式进行计算即可求解； （3）根据平方差公式进行计算，然后根据有理数的混合运算进行计算即可求解． 【详解】解：（1）由题意可知，图（1）中的阴影部分面积为， 图（2）中的阴影部分面积为，， 通过观察比较图（2）与图（1）中的阴影部分面积相等， ∴可以得到乘法公式， 故答案为：； （2） ； （3） ． 【变式3-3】（23-24八年级上·河南洛阳·期中）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．    (1)上述操作能验证的等式是______（请选择正确的一个） A．　B．　C． (2)若，，求的值； (3)计算： 【答案】(1)B (2)3 (3) 【分析】本题考查平方差公式的几何背景： （1）用代数式分别表示图1、图2中阴影部分的面积即可； （2）利用平方差公式将，写成，再将代入计算即可； （3）将原式的每项利用平方差公式写成，即，然后进行化简计算即可； 掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 图1可以拼成长，宽为的长方形， 如图2，因此面积为， 因此有， 上述操作能验证的等式是， 故选：B （2）解：依题意， 因为，且 所以 即， 即的值为3； （3）解：依题意， ． 考点3：完全平方公式 完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 考点4：拓展、补充公式 ；； ；. 【题型4 完全平方公式】 【典例4】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）运用完全平方公式进行计算即可； （2）运用完全平方公式进行计算即可； （3）运用完全平方公式进行计算即可； （4）运用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式4-1】（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了多项式乘以多项式，完全平方公式，单项式乘以多项式，平方差公式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据多项式乘以多项式的运算法则求解即可； （2）首先计算完全平方公式和单项式乘以多项式，然后合并同类项； （3）首先根据平方差公式计算，然后根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式4-2】（2024八年级上·全国·专题练习）计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先利用完全平方公式计算，然后合并即可求解； （2）先分组，再按照完全平方公式计算． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式4-3】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式及整式的加减，熟记公式是解答本题的关键．先利用完全平方公式展开，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 【题型5 完全平方公式下得几何背景】 【典例5】（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，将一个边长为的正方形分成四部分，观察图形，解答下列问题： (1)请根据图中阴影部分面积写出一个关于a、b的代数恒等式：______． (2)应用代数恒等式解决下列问题： ①若图中的a、满足，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1) (2)①5；② 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景；理解题意，结合图形面积的关系得到公式，并能灵活运用公式是解题的关键． （1）用两种方法表示出图形的面积，进而求解即可； （2）①由，再将已知条件代入得到，解得；②设，则，，根据，得出，即可求解． 【详解】（1）解：根据图中条件得， 该图形中阴影部分的总面积， 该图形中阴影部分的总面积还可以表示为， ∴图中阴影部分面积的代数恒等式为：； （2）解：①． ， ． ②设， ． ， ． ． 即． 【变式5-1】（24-25八年级上·吉林长春·期末）图①是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开．把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②拼成一个正方形． (1)图②中间空白部分的面积是________（填、或）． (2)观察图②，请写出代数式、、之间的等量关系式． (3)根据图②得到的关系式解答下列问题：若，，求的值． 【答案】(1) (2)； (3)． 【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，解题的关键是理解题意，结合图形求解． （1）结合图形可知空白部分的面积为：大正方形的面积-4个小长方形面积，计算即可； （2）由图②可知：大正方形面积=空白部分的面积+4个长方形面积，即可解答； （3）由（2）可得：，计算即可． 【详解】（1）解：由图形可知：空白部分的面积． 故答案为：； （2）解：由图②可知：大正方形面积=空白部分的面积+4个长方形面积， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式5-2】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）数形结合是我们解决数学问题常用到的思想方法．如图2，我们通过两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到一个数学公式． 【操作】图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． 【计算】（1）请用两种不同的方法求出图2中阴影部分的面积． 方法1：________； 方法2：________． 【总结】（2）观察图2并结合前面的计算，我们可以得出，，三个代数式之间的等量关系为________； 【应用】（3）根据（2）中的等量关系，解决下列问题：若，，求的值． 【答案】（1）①方法1：；②方法2：；（2）；（3）65 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景以及应用，根据阴影部分的两个面积代数式相等得出是解此题的关键． （1）①方法1：求出阴影部分正方形的边长即可得出答案；②方法2：用大正方形的面积减去个小正方形的面积即可得出答案； （2）根据阴影部分的两个面积代数式相等可得出答案； （3）将，代入（2）中的等量关系即可得出答案． 【详解】解：（1）根据图形可得： ①方法1：； ②方法2：； （2）根据阴影部分的两个面积代数式相等可得：； （3）∵，，， ∴． 【变式5-3】（2025七年级下·全国·专题练习）【阅读理解】若满足，求的值． 解：设，则，，． 【解决问题】 (1)若满足，求的值． (2)如图，在长方形中，，分别是上的点，且．分别以为边在长方形的外侧作正方形和正方形．若长方形的面积为128，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)17 (2)320 【分析】本题考查完全平方公式与图形的面积．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）设，利用题干中给出的方法，结合完全平方公式，求解即可； （2）利用阴影部分的面积等于两个正方形的面积和，列出代数式，再利用完全平方公式，进行求解即可． 【详解】（1）解：设， 则， 所以． （2）解：根据题意，得． 因为长方形的面积为128， 所以， 所以． 根据题意，可知阴影部分的面积为． 设， 则， 所以． 所以阴影部分的面积为320． 【题型6 完全平方公式的逆运算】 【典例6】（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）已知，，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)26 (2)36 【分析】（1）把变形为，再把，代入计算； （2）把变形为，再把，代入计算． 本题考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，， ． 【变式6-1】（24-25七年级上·上海浦东新·期中）已知，求 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，用公式法解因式，解决本题的关键是熟记完全平方公式． （1）根据，即可解答； （2）根据，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式6-2】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）（1）已知，，求的值． （2）已知，，求的值． 【答案】（1） （2） 【分析】本题主要考查了代数式求值，通过对完全平方公式变形求值，整式的加减运算等知识点，熟练掌握通过对完全平方公式变形求值是解题的关键． （1）利用完全平方公式将原式变形为，然后将，代入计算即可； （2）利用完全平方公式将，展开，两式相减即可求得． 【详解】解：（1），， ； （2），， ∴， 两式相减得：， ． 【变式6-3】（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）已知，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、代数式求值等知识，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）根据可得，再将代入，即可求得答案； （2）根据，然后将，代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴． 【题型7 求完全平方公式中字母的系数】 【典例7】（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）若是完全平方式，则的值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．12 【答案】B 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 故选：B． 【变式7-1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若是一个完全平方式，则m的值应为（   ） A． B．8 C． D．16 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式“”，熟记完全平方公式是解题关键．根据完全平方公式可得，由此即可得． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式7-2】（24-25八年级上·青海果洛·期末）若能写成一个多项式的平方形式，则 ． 【答案】或5 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构形式是解题的关键． 利用完全平方公式即可解答． 【详解】解： 是完全平方式， ， ∴或5． 故答案为：或5． 【变式7-3】（24-25七年级上·上海·假期作业）若是一个完全平方式，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方公式．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定a的值． 【详解】解：∵， ∴， 解得． 故答案为：． 一、单选题 1．（24-25八年级上·海南·期中）下列整式的乘法计算中能运用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据公式判断解答即可． 本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：A. 不符合公式，本选项错误；     B. 不符合公式，本选项错误；     C. 符合公式，本选项正确；         D. 不符合公式，本选项错误；     故选：C． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）已知，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴原式， 故选：C． 3．（24-25八年级上·山东威海·期中）在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个因式分解的等式，则这个等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形．解题的关键在于正确表示两个图形中阴影部分的面积．根据阴影部分面积相等列等式即可． 【详解】解：由面积相等可知， 故选：C． 4．（24-25八年级上·广东汕尾·阶段练习）下列多项式是完全平方式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项逐项判断即可． 【详解】解：A．，是完全平方式，故本选项符合题意； B．只有两项，不是完全平方式，故本选项不符合题意； C．只有两项，不是完全平方式，故本选项不符合题意； D．是完全平方式，而不是完全平方式，故本选项不符合题意； 故选：A． 5.（2024八年级上·黑龙江·专题练习）的计算结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式，熟记完全平方公式是解答的关键．根据完全平方公式展开求解即可． 【详解】解： ， 故选：B． 6．（23-24八年级上·四川绵阳·周测）如果是一个完全平方式，那么k的值是（　　） A． B．35 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，式中首尾两项分别是和的平方，所以中间项应为加上或减去和的乘积的2倍，即可得到结果，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 【详解】解∶∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题 7．（24-25八年级上·吉林松原·期末）若是一个完全平方式，则常数k的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方式，利用完全平方公式的结构特征确定出的值即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴ 故答案为：． 8．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式及积的乘方，根据平方差公式及积的乘方运算法则计算即可得答案．熟练掌握平方差公式为是解题关键． 【详解】解： ． 故答案为： 9．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式．利用完全平方公式计算，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知，，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查完全平方公式．熟练掌握完全平方公式及它变形后的形式是解题关键． 根据完全平方公式即可得出，从而可得出的值． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故答案为：5． 11．（24-25八年级上·广东广州·期末）学习新知时，我们利用图形的拼接得到完全平方公式，小红也想探究一下图形的奥秘，她利用四块长为，宽为的长方形纸片，拼成如图形状．观察图片，写出代数式，，之间的等量关系 ； 【答案】 【分析】本题考查乘法公式与图形面积关系，根据图形面积及面积和找到关系式， 【详解】解：由图形面积得： ， 故答案为：． 三、解答题 12．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了乘法公式、单项式乘以多项式，熟练掌握整式的运算法则和乘法公式是解题关键． （1）先计算平方差公式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减法即可得； （2）先计算完全平方公式，再计算整式的加减法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 13.【观察】如图①是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图②所示，请直接写出，，之间的等量关系____________________________； 【应用】若，，则_______________； 【拓展】如图③，正方形的边长为x，，，长方形的面积是200，四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积． 【答案】观察：；应用：；拓展：900 【分析】观察：根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长宽分别为a，b的长方形面积，可得答案； 应用：将，代入（1）中公式即可求解； 拓展：由正方形的边长为x，则，，得，设，，，得，则，代入即可． 【详解】解：观察：由图形知，大正方形的面积为，中间小正方形的面积为， 大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长宽分别为a，b的长方形面积， ∴， 故答案为：； 应用：∵， ∴， 将，代入得：， ∴， ∴， 故答案为：； 拓展：∵正方形的边长为x， ∴，， ∴， 设，，， ∴， ∴ ， ∴图中阴影部分的面积为900． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，图形的面积，解题的关键是能从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义，并能进行公式的变形应用． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 平方差和完全平方公式 【题型1 平方差公式运算】 【题型2 巧用平方差公式简便计算】 【题型3 平方差公式的几何背景】 【题型4 完全平方公式】 【题型5 完全平方公式下得几何背景】 【题型6 完全平方公式的逆运算】 【题型7 求完全平方公式中字母的系数】 考点1：平方差公式 平方差公式： 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 考点2：平方差公式的特征 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： ① 位置变化，xyyxx2y2 ② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2 ③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4 ④ 系数变化，2ab2ab4a2b2 ⑤ 换式变化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2 x2y2z22zmm2 ⑥ 增项变化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2 【题型1 平方差公式运算】 【典例1】（24-25八年级上·甘肃定西·期末）计算：（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级上·天津·期末）计算的结果等于 ． 【变式1-3】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）计算： ． 【题型2 巧用平方差公式简便计算】 【典例2】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）用简便方法计算： (1)； (2)． (3) 【变式2-1】（24-25八年级上·吉林长春·期末）运用乘法公式计算：． 【变式2-2】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）简便方法计算： (1) (2)． 【变式2-3】（24-25七年级上·上海普陀·期中）用乘法公式计算：． 【题型3平方差公式的几何背景】 【典例3】（22-23六年级下·山东淄博·期中）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．    (1)上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的一个） A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：； ③计算：． 【变式3-1】（23-24七年级下·广东茂名·期中）如图，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． (1)实验与操作：上述操作能验证的等式是：________（请选择正确的选项）． A．      B． C．      D． (2)请利用你从（1）选出的等式计算：． 【变式3-2】（23-24七年级下·福建三明·阶段练习）[探究]（1）如图（1），边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图（1）中的阴影部分拼成一个长方形（如图（2）所示），通过观察比较图（2）与图（1）中的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ．（用含a，b的等式表示）    [应用]（2）计算：． [拓展]（3）计算：． 【变式3-3】（23-24八年级上·河南洛阳·期中）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．    (1)上述操作能验证的等式是______（请选择正确的一个） A．　B．　C． (2)若，，求的值； (3)计算： 考点3：完全平方公式 完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 考点4：拓展、补充公式 ；； ；. 【题型4 完全平方公式】 【典例4】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式4-1】（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）计算： (1) (2) (3) 【变式4-2】（2024八年级上·全国·专题练习）计算下列各式： (1)； (2)． 【变式4-3】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算：． 【题型5 完全平方公式下得几何背景】 【典例5】（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，将一个边长为的正方形分成四部分，观察图形，解答下列问题： (1)请根据图中阴影部分面积写出一个关于a、b的代数恒等式：______． (2)应用代数恒等式解决下列问题： ①若图中的a、满足，求的值； ②已知，求的值． 【变式5-1】（24-25八年级上·吉林长春·期末）图①是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开．把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②拼成一个正方形． (1)图②中间空白部分的面积是________（填、或）． (2)观察图②，请写出代数式、、之间的等量关系式． (3)根据图②得到的关系式解答下列问题：若，，求的值． 【变式5-2】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）数形结合是我们解决数学问题常用到的思想方法．如图2，我们通过两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到一个数学公式． 【操作】图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． 【计算】（1）请用两种不同的方法求出图2中阴影部分的面积． 方法1：________； 方法2：________． 【总结】（2）观察图2并结合前面的计算，我们可以得出，，三个代数式之间的等量关系为________； 【应用】（3）根据（2）中的等量关系，解决下列问题：若，，求的值． 【变式5-3】（2025七年级下·全国·专题练习）【阅读理解】若满足，求的值． 解：设，则，，． 【解决问题】 (1)若满足，求的值． (2)如图，在长方形中，，分别是上的点，且．分别以为边在长方形的外侧作正方形和正方形．若长方形的面积为128，求图中阴影部分的面积． 【题型6 完全平方公式的逆运算】 【典例6】（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）已知，，求： (1)的值； (2)的值． 【变式6-1】（24-25七年级上·上海浦东新·期中）已知，求 (1)； (2) 【变式6-2】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）（1）已知，，求的值． （2）已知，，求的值． 【变式6-3】（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）已知，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【题型7 求完全平方公式中字母的系数】 【典例7】（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）若是完全平方式，则的值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．12 【变式7-1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若是一个完全平方式，则m的值应为（   ） A． B．8 C． D．16 【变式7-2】（24-25八年级上·青海果洛·期末）若能写成一个多项式的平方形式，则 ． 【变式7-3】（24-25七年级上·上海·假期作业）若是一个完全平方式，则 ． 一、单选题 1．（24-25八年级上·海南·期中）下列整式的乘法计算中能运用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）已知，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25八年级上·山东威海·期中）在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个因式分解的等式，则这个等式是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·广东汕尾·阶段练习）下列多项式是完全平方式的是（   ） A． B． C． D． 5.（2024八年级上·黑龙江·专题练习）的计算结果为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·四川绵阳·周测）如果是一个完全平方式，那么k的值是（　　） A． B．35 C． D． 二、填空题 7．（24-25八年级上·吉林松原·期末）若是一个完全平方式，则常数k的值为 ． 8．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）计算： ． 9．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）计算： ． 10．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知，，则 ． 11．（24-25八年级上·广东广州·期末）学习新知时，我们利用图形的拼接得到完全平方公式，小红也想探究一下图形的奥秘，她利用四块长为，宽为的长方形纸片，拼成如图形状．观察图片，写出代数式，，之间的等量关系 ； 三、解答题 12．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算： (1)； (2)． 13.【观察】如图①是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图②所示，请直接写出，，之间的等量关系____________________________； 【应用】若，，则_______________； 【拓展】如图③，正方形的边长为x，，，长方形的面积是200，四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$