第1章 整式的乘除能力提升测试卷-2024-2025学年七年级数学下册《知识解读•题型专练》（北师大版2024）

第1章 整式的乘除能力提升测试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一﹑单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的运算．熟练掌握同底数幂的乘法、除法法则，积的乘方、幂的乘方法则，是解题的关键．由同底数幂除法判断A，由积的乘方判断B，由同底数幂乘法判断C，由幂的乘方判断D． 【详解】A．∵，A不正确，不符合题意； B．∵，B不正确，不符合题意； C．∵，C不正确，不符合题意； D．∵，D正确，符合题意． 故选：D． 2．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查积的乘方，单项式乘以单项式，根据积的乘方，单项式乘以单项式的法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故选A． 3．计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘多项式，合并同类项，先根据单项式乘多项式的运算方法进行计算，然后合并同类项即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故选：． 4．已知，求的值是（   ） A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的除法，根据幂的乘方法则和同底数幂的除法法则，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选A． 5．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂乘法和幂的乘方的逆应用，由同底数幂乘法和幂的乘方的逆运算可得，再代入已知条件计算即可求解，掌握同底数幂乘法和幂的乘方的逆运算是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 6．将完全相同的四张长方形纸片按如图所示的位置摆放，利用外围正方形、中间正方形和四个长方形面积之间的关系可以得到的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，用代数式表示图形中各个部分的面积，根据面积之间的和差关系得出答案，熟练掌握掌握完全平方公式的结构特征并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：∵外围大正方形的边长为， ∴面积为， ∵中间小正方形的边长为， ∴面积为， ∵4个长方形的面积和为， ∴有， 故选：D． 7．若是一个完全平方式，则m的值应为（   ） A． B．8 C． D．16 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式“”，熟记完全平方公式是解题关键．根据完全平方公式可得，由此即可得． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8．的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较和幂的乘方，先根据幂的乘方进行变形，再比较即可，能正确根据幂的乘方进行变形是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 9．沙棘果富含多种维生素、氨基酸等营养成分，被誉为“神奇之果”．朔州市当地沙棘种植不仅改善了生态环境，还带动了当地经济发展．某果农租了两块地种植沙棘，第一块地是边长为的正方形，第二块地是长为，宽为的长方形，则第二块地比第一块地的面积（单位：）多（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，完全平方公式，先根据面积公式求出第二块的面积和第一块的面积，再计算即可． 【详解】解：由题意得： ， 故选：D． 10．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式乘法的规律，根据杨辉三角图形规律第三项系数为1到指数前一位的整数和求解即可得到答案； 【详解】解：由杨辉三角得， 的第三项系数为， 的第三项系数为， 的第三项系数为， 由此可知的第三项系数为， ∴的展开式中第三项的系数为：， 故选：C． 二﹑填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．已知，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查幂的混合运算，根据幂的运算法则得到，进而得到，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：4． 12．若，求 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法以及幂的乘方的逆运算是解答本题的关键．根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：4． 13．已知，则的值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，根据得，将变形为即可求解． 【详解】解： ， ， ， 故答案为：16． 14．如图，把数字填入构成三角形形状的个圆圈中，使得各边上的四个数字的和都等于，将每边四个数字的平方和分别记作，，已知．如果将位于这个三角形顶点处的三个圆圈填入的数字分别表示为，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据题意求出以及的值是解答本题的关键． 先求数字的和，根据各边上的四个数字的和都等于求出，再求出，根据每边四个数字的平方和满足求出，最后根据得出结果． 【详解】解：数字的和为， 各边上的四个数字的和都等于， ， ，即， 又因为每边四个数字的平方和满足，且， ， ，即， ， ， 故答案为：． 15．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，设，根据已知得出，进而根据完全平方公式变形，即可求解． 【详解】设， 则． 所以原式． 故答案为：． 16．长方形内，未被小长方形覆盖的部分用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为，当的长度变化时，按照同样的方式放置，始终不变，则，应满足 ． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的运算，得到图形中的关系是解题的关键． 对图形进行点标注，则左上角阴影部分的长为，宽为，右下角阴影部分的长为，宽为，再结合图形信息表示出；然后根据面积公式求出面积差，根据始终保持不变，即可得到、满足的关系式． 【详解】解：对图形进行点标注，如图所示： 左上角阴影部分的长为，宽为，右下角阴影部分的长为，宽为， ，即，， ，即， 阴影部分面积之差， 因为当的长度变化时，按照同样的方式放置，始终不变，故， 即； 故答案为： 三、解答题（本题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的乘除法混合运算，掌握运算法则和运算顺序是是解答本题的关键． （1）先运算积的乘方，然后运算乘除解题即可； （2）先运算完全平方公式和多项式乘以多项式，然后去括号合并解题即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 18．（6分）先化简，再求值：，，． 【答案】，32 【分析】本题主要考查整式的化简求值，掌握整式的混合运算，乘法公式，代入求值是解题的关键． 运用乘法公式展开，再根据整式的混合运算计算，最后代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式 ． 19．（10分）如图，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的等式是：___________； (2)请利用你根据（1）中的等式，完成下列各题： ①已知，，则_________； ②计算：． 【答案】(1) (2)①4；② 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，熟练掌握平方差公式的结构特点是解答此题的关键． （1）分别计算两个阴影部分的面积即可得到答案； （2）①根据平方差公式得到，然后再将已知整体代入即可求解； ②先利用平方差公式将每一项化成两个分数积的形式，然后再利用互为倒数的两个分数的积为1即可计算结果． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积为，图2中的阴影部分的面积为， ∵图1和图2中两阴影部分的面积相等， ∴上述操作能验证的等式是， 故答案为：； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4； ② ． 20．（10分）阅读材料： 对于多项式，虽然不能写成完全平方形式，但是可以写成，更一般的，对于二次项系数不为的二次三项式，它总是可以化为的形式，例如：．将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这就是一个配方的过程．这种配方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 根据以上内容回答下列问题： (1)代数式经配方可化为___________； (2)已知的三边长分别为，，且满足，求边的取值范围； (3)已知，，试比较与的大小． 【答案】(1)； (2)边的取值范围为； (3)，理由见解析． 【分析】（）仿照例子配方求解即可； （）给、分别配方后，利用非负性求出的值，然后由三角形三边关系即可求出边的取值范围； （）先进行，然后根据代数式结构进行配方，再利用非负性即可求解； 本题考查了配方法的应用，灵活运用完全平方公式，会利用平方式的非负性求解是解题的关键． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴由三角形三边关系得，边的取值范围为； （3）解： ， ∵，， ∴， ∴， ∴． 21．（10分）如图（1），大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即．同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式：． 把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”． (1)用上述“面积法”，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个等式：___________． (2)如图（3），中，，，，，是斜边边上的高．用上述“面积法”求的长； (3)如图（4），等腰中，，点为底边上任意一点，，，，垂足分别为点，，，连接，用上述“面积法”求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了因式分解的几何背景、图形的拆拼前后的面积相等、类比法等，解答的关键是根据已知条件和图形特点，利用拆拼前后的面积相等分析、推理和计算． （1）大正方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面积之和，即，同时大长方形的面积也可以为，列出等量关系即可； （2）根据，代入数值解之即可； （3）由和三角形面积公式即可得证． 【详解】（1）如图（2），大正方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面积之和， 即， 同时大长方形的面积也可以为， 所以； 故答案为：； （2）如图（3），中，，，，， ， ； 答：的长为； （3）证明：如图（4）， ，，，垂足分别为点，，， ， ， ， ． 即． 22．（10分）我们在学习整式的乘法时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图①）． 把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法． (1)观察图②，请你写出、、之间的等量关系是______； (2)根据（1）中的结论，若，，且，则=______； (3)应用：若，求的值； (4)拓展：如图③，在中，，，点是边上的点，在边上取一点，使，设，分别以、为边在外部作正方形和正方形，连接，若，的面积等于，直接写出正方形和正方形的面积和． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了完全平方式的几何背景，整式的混合运算，多项式的乘法； （1）利用等面积法求得结论即可； （2）由完全平方公式变形为，代入数值求出结果即可； （3）应用：利用，整体思想求出结果； （4）根据题意得，再结合，得出，整体思想求出结果即可． 【详解】（1）解：∵, 故答案为：． （2）由 （1）可得, ，， （3） （4）设， 则, ， , ∵, , 令, ， 正方形和正方形的面积和: 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 整式的乘除能力提升测试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一﹑单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．计算：（    ） A． B． C． D． 3．计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，求的值是（   ） A．9 B．8 C．6 D．5 5．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．将完全相同的四张长方形纸片按如图所示的位置摆放，利用外围正方形、中间正方形和四个长方形面积之间的关系可以得到的等式是（   ） A． B． C． D． 7．若是一个完全平方式，则m的值应为（   ） A． B．8 C． D．16 8．的大小关系为（    ） A． B． C． D． 9．沙棘果富含多种维生素、氨基酸等营养成分，被誉为“神奇之果”．朔州市当地沙棘种植不仅改善了生态环境，还带动了当地经济发展．某果农租了两块地种植沙棘，第一块地是边长为的正方形，第二块地是长为，宽为的长方形，则第二块地比第一块地的面积（单位：）多（   ） A． B． C． D． 10．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为（　　） A． B． C． D． 二﹑填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．已知，则的值为 ． 12．若，求 ． 13．已知，则的值为 ． 14．如图，把数字填入构成三角形形状的个圆圈中，使得各边上的四个数字的和都等于，将每边四个数字的平方和分别记作，，已知．如果将位于这个三角形顶点处的三个圆圈填入的数字分别表示为，那么的值为 ． 15．若，则的值为 ． 16．长方形内，未被小长方形覆盖的部分用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为，当的长度变化时，按照同样的方式放置，始终不变，则，应满足 ． 三、解答题（本题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分）计算： (1) (2) 18．（6分）先化简，再求值：，，． 19．（10分）如图，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的等式是：___________； (2)请利用你根据（1）中的等式，完成下列各题： ①已知，，则_________； ②计算：． 20．（10分）阅读材料： 对于多项式，虽然不能写成完全平方形式，但是可以写成，更一般的，对于二次项系数不为的二次三项式，它总是可以化为的形式，例如：．将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这就是一个配方的过程．这种配方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 根据以上内容回答下列问题： (1)代数式经配方可化为___________； (2)已知的三边长分别为，，且满足，求边的取值范围； (3)已知，，试比较与的大小． 21．（10分）如图（1），大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即．同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式：． 把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”． (1)用上述“面积法”，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个等式：___________． (2)如图（3），中，，，，，是斜边边上的高．用上述“面积法”求的长； (3)如图（4），等腰中，，点为底边上任意一点，，，，垂足分别为点，，，连接，用上述“面积法”求证：． 22．（10分）我们在学习整式的乘法时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图①）． 把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法． (1)观察图②，请你写出、、之间的等量关系是______； (2)根据（1）中的结论，若，，且，则=______； (3)应用：若，求的值； (4)拓展：如图③，在中，，，点是边上的点，在边上取一点，使，设，分别以、为边在外部作正方形和正方形，连接，若，的面积等于，直接写出正方形和正方形的面积和． 学科网（北京）股份有限公司 $$