培优专题 第一章 整式乘除——幂的运算（知识盘点+8题型+2易错+好题必刷）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（北师大版2024）

培优专题 第一章 整式乘除——幂的运算 同底数幂的乘法 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==． 语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【公式拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． （m，n，…，p都是正整数）． （2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）． （23-24七年级下·陕西宝鸡·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 已知，，则 ． 特殊说明：同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式 幂的乘方 ·幂的乘方的意义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a5）3是三个a5相乘，读作a的五次幂的三次方，（am）n是n个am相乘，读作a的m次幂的n次方． ·幂的乘方法则：一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 简述为：底数不变，指数相乘． 【公式拓展】 ①幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）． ②幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）． 已知：，，则的值是（   ） A．12 B．6 C．7 D．5 已知，，则 ． 积的乘方 ·积的乘方的意义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等． （积的乘方的意义） =（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交换律、结合律） =a3b3． ·积的乘方法则：一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n，． 因此，我们有． 简述为：积的乘方等于乘方的积． （   ） A． B． C．0 D． 特殊说明：底数互为倒数时，应用积的乘方运算法则可以使计算更简便.如： 幂的除法 同底数幂的除法法则：一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 简述为：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【公式拓展】 ①同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质， 例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）． ②同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 特殊说明：同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式 计算： ． 零指数幂和负指数幂 ·零指数幂：（a≠0） ·负指数幂：（a≠0，p是正整数） （24-25七年级上·陕西西安·阶段练习） ． 计算正确的结果是（　　） A． B． C． D． 科学计数法 我们可以利用10 的负整数指数幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10-n的形式，其中n是正整数，. （23-24七年级下·陕西榆林·期末）生物具有遗传多样性，遗传信息大多储存在分子上，一个分子的直径约为．将数据用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 技巧方法 用科学计数法表示较小的数，可以数第一个非0数字前“0”的个数，有几个0，n就是几。 （23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）太阳光谱是一种不同波长的吸收光谱．分为可见光与不可见光两部分．可见光的波长为，散射后分为红、橙、黄、绿、青、蓝、紫7色，集中起来则为白光．这个数据用科学记数法表示为 米． 根据幂的运算法则的逆运用求值（重点） 例1．已知，，则的值为 ． 【变式1-1】已知，，求的值． 【变式1-2】已知，则的值为 ． 【变式1-3】若，，求的值． 【变式1-4】分别求出下列式子的值 (1)已知：，求： ①； ②． (2)如果，求x的值． 利用积的乘方简便运算 例2．（24-25七年级上·陕西西安·期中）计算的结果为（   ） A． B． C． D．2 【解题关键】①构造同底数；②积的乘方逆向运用. 【变式2-1】计算的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】用简便方法计算：(1)； (2)． 利用幂的运算法则表示字母或式子 例3．若，试用的代数式表示． 【变式3-1】若，，用含的代数式表示． 【变式3-2】已知，试用含m，n的代数式表示； 【变式3-3】已知，试将用a，b，c来表示． 比较大小(幂的乘方逆运用）（重难点） 例4．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）阅读下面的解题过程：试比较与的大小． 解：因为，， 而，所以． 根据上述解答过程比较，，的大小，其中，，． 【变式4-1】在比较幂的大小时，小宇同学发现：对于正整数，，，若，，则；若，则．请运用此规律解决下列问题： (1)比较大小：_______（填“>”“<”或“=”） (2)已知，，，试比较，，的大小． 【变式4-2】阅读理解：我们在学习了幂的有关知识后，对两个幂与（都是正数，都是正整数）的大小进行比较，并归纳总结了如下两个结论： ①若，则．（底数相同，指数大的幂大） ②若，则．（指数相同，底数大的幂大） 尝试应用：试比较与的大小． 解：因为， ，……（第1步） 又， 所以……（第2步） 问题解决： (1)在尝试应用的解题过程中，第1步的思路是将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为_______；第2步的依据是_______． (2)请比较下面各组中两个幂的大小： ①与； ②与． 【解题技巧】 (1)利用幂的运算法则（逆向运用）化同底数或同指数准确确定方向和边界点; (2)①若，则．（底数相同，指数大的幂大） ②若，则．（指数相同，底数大的幂大） 幂的运算与整除问题 例5．试说明：（m为正整数）能被17整除． 审题关键:整除的含义. 破题思路:将原式通过幂的运算法则化简为一个因数为17的式子即可. 【变式5-1】已知能被13整除，求证：能被13整除． 【变式5-2】能被整除吗？为什么？ 幂的运算与规律探究（难点） 例6．阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，……，观察规律： ， 的末尾数字是1， 的末尾数字是1， 的末尾数字是3， 同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7． 解答下列问题： (1)的末尾数字是_______，的末尾数字是_______； (2)求的末尾数字； (3)求证：能被5整除． 审题关键:①观察“指数”的变化规律；②末尾数字按照3、9、7、1的顺序循环. 【变式6-1】南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”． …… (1)展开式中所有项的系数和是___________ (2)求展开后的结果 【变式6-2】观察下列各式： ， ， ， …… (1)仔细观察： ______； (2)探究规律： 根据以上的观察、计算，你能发现什么规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立； (3)实践应用： 计算：； (4)深度思考： 计算：． 【解题技巧总结】幂的运算与规律探究 ①观察“系数”、“底数”或“指数”的变化规律； ②根据规律用含n（一般n表示序数：第n个式子）的式子表示规律. 定义新运算（难点） 例7．（22-23七年级下·陕西渭南·期末）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题． (1)求的值； (2)，求的值； (3)若运算的结果为，则t的值是多少？ 审题关键:运用公式“”，找准式子中的a、b，再代数求值. 【变式7】规定新运算：（其中m、n为正整数）．例如， 若，则． (1)若， ①求的值； ②当，求n的值； (2)若，求的值． 例8.规定a，b两数之间的一种运算：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空：__________，________，__________； (2)小明在研究这种运算时发现一个性质：对任意的正整数n，．证明如下：设，则，即，所以，即，所以．请根据上述内容计算：； (3)求证：． 【变式8-1】【概念学习】我们规定两数、之间的一种运算，记作：如果，那么；例如，记作． 【初步探究】（1）根据以上规定求出： ； ； 【深入思考】对于相同底数的幂的乘法运算，我们有， 例如． （2）小明发现也成立，并证明如下 设：，则 因为，所以，所以， 根据以上证明，请计算，请写清楚计算过程． （3）猜想，并说明理由． 【变式8-2】如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令． ①求的值； ②求的值． 例9．阅读材料． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若（，），那么x叫做a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质为（，，，）．理由如下： 设，，则，， ∴， 由对数的定义，得， 又∵， ∴． 请你仔细阅读上面的材料之后，解答下列问题． (1)将指数式转化为对数式为 ． (2)计算： ． (3)求证：（，，，）． (4)直接写出的值． 与幂的运算相关的跨学科问题 例10.我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），是逢2进1的计数制，它们两者之间可以互相换算，如将换算成十进制数应为，．按此方式，则（   ） A． B． C． D． 例11.在物理学中，表示电流大小的单位有千安、安培、毫安、微安等，其中，，．若某新能源电动汽车的充电电流为，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式11】在物理学中，电阻表示导体对电流阻碍作用的大小，电阻的单位是欧姆（）．比欧姆大的单位还有千欧，兆欧，吉欧．它们之间的换算关系是：，，．教室内的白炽灯正常工作时的电阻约为．数据“”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 幂的运算过程中因底数不明造成的符号问题 案例：． 【错误解答】原式 ． 【错误原因】第①步中，a-b和b-a不是同底数，； 【纠错解答】 原式． 幂的运算过程中对于幂的乘方法则逆运用不熟练 已知：， ，则下列结论：①；②；③，其中正确的是 . 【易错分析】①∵，，∴，∴，∴；②由幂的关系判断指数关系，需要构造；③构造。 【正确解答】 解：∵，，∴，∴，即，∴，故①错误； ∵，，，∴，，∴，即，∴，故②正确； ∵，，∴，∴，即，∴，故③正确； 故答案为：②③． 【防错警示】 此类问题，给出若干个幂，判断指数（未知字母）之间的关系：需要根据指数关系，利用幂的乘方构造出所需要的幂，再由幂的乘法或除法法则得到结论。 1.计算的结果为（    ） A． B． C． D． 2.计算式子的结果用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3.已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4.（23-24九年级上·陕西西安·期末）计算：（   ） A． B． C． D． 5.已知2x+4=m，用含m的代数式表示2x正确的是（　　） A． B． C．m﹣4 D．4m 6.已知，，，那么、、之间满足的关系是（    ） A． B． C． D． 7.若，则 的值等于（        ） A．4 B．6 C． D．8 8.芯片是信息世界的基础核心，传统晶体管因接近物理极限而制约了芯片的进一步发展．近期，北京大学研究员团队构筑了10纳米超短沟道弹道二维硒化铟晶体管，其中硅基晶体管的极限栅长为12纳米，成功克服了二维领域金属和半导体接触的国际难题．其中12纳米（1纳米米）用科学记数法可表示为（　　） A． B． C． D． 9.（23-24七年级下·陕西西安·期末）若实数，满足，则的值为 ． 10.计算的值是 ． 11.已知，则的值为 ． 12.已知，则 ． 13.（2024·陕西西安·模拟预测）若实数m，n满足，则 ． 14．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）比较大小： ．（填“”或“”） 15．科学研究发现，一个水分子的质量大约是，水中大约有________个水分子，已知一个水分子是由两个氢原子和一个氧原子所构成的，一个氧原子的质量约为，一个氢原子的质量约为________千克. 16．规定新运算“”：，如：． (1)求的值； (2)若，求x的值． 17．若，则的大小关系是什么？ 18．已知，试用含m，n的代数式表示； 19．（1）已知，，m，n为正整数，求的值； （2）已知，求的值． 20．（1）已知，求的值； （2）已知，求x的值． 21.阅读下列各式：，……． 请回答下列问题： (1)计算：________，________． (2)通过上述规律，归纳得出：________；________． (3)请应用上述性质计算：． 22.规定两数a，b之间的一种运算，记作【a，b】：如果，那么【a，b】． 例如因为，所以【2，8】． (1)根据上述规定，填空：【4，64】= ，【5，1】= ，【 ，16】= 4． (2)小明在研究这种运算时发现一个现象【】=【3，4】，小明给出了如下的证明：设【】，则，即，所以． 即【3，4】所以【】=【3，4】请你尝试运用这种方法解决下列问题： ①证明：【7，5】+【7，6】=【7，30】． ②请根据前面的经验猜想：【】+【】=【 ， 】． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题 第一章 整式乘除——幂的运算 同底数幂的乘法 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==． 语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【公式拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． （m，n，…，p都是正整数）． （2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）． （23-24七年级下·陕西宝鸡·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则．根据同底数幂的乘法计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，代数式求值．熟练掌握幂的乘方的逆运算，代数式求值是解题的关键． 根据，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 特殊说明：同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式 幂的乘方 ·幂的乘方的意义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a5）3是三个a5相乘，读作a的五次幂的三次方，（am）n是n个am相乘，读作a的m次幂的n次方． ·幂的乘方法则：一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 简述为：底数不变，指数相乘． 【公式拓展】 ①幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）． ②幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）． 已知：，，则的值是（   ） A．12 B．6 C．7 D．5 【答案】A 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】此题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方．根据同底数幂的乘法和幂的乘方的逆运算把原式变形为，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵：，， ∴ 故选：A 已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，代数式求值．熟练掌握幂的乘方的逆运算，代数式求值是解题的关键． 根据，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 积的乘方 ·积的乘方的意义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等． （积的乘方的意义） =（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交换律、结合律） =a3b3． ·积的乘方法则：一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n，． 因此，我们有． 简述为：积的乘方等于乘方的积． （   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【知识点】积的乘方的逆用 【分析】此题考查了积的乘方．用把原式变形为，进行计算即可． 【详解】解：， 故选：B 特殊说明：底数互为倒数时，应用积的乘方运算法则可以使计算更简便.如： 幂的除法 同底数幂的除法法则：一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 简述为：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【公式拓展】 ①同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质， 例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）． ②同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 特殊说明：同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式 计算： ． 【答案】 【知识点】同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了同底数幂的除法运算，直接运算，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 零指数幂和负指数幂 ·零指数幂：（a≠0） ·负指数幂：（a≠0，p是正整数） （24-25七年级上·陕西西安·阶段练习） ． 【答案】1 【知识点】零指数幂 【分析】本题考查了零指数幂，根据零指数幂的运算法则：计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：1． 计算正确的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】先计算负指数幂，再计算积的乘方，幂的乘方即可． 【详解】      故选：B． 【点睛】本题主要考查了整式的运算：负指数幂、积的乘方、幂的乘方．，，，熟练掌握以上知识是解题的关键． 科学计数法 我们可以利用10 的负整数指数幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10-n的形式，其中n是正整数，. （23-24七年级下·陕西榆林·期末）生物具有遗传多样性，遗传信息大多储存在分子上，一个分子的直径约为．将数据用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】根据科学记数法的要求，将变为，分别确定a和n的值即可． 本题考查了科学记数法，其表示形式为，正确确定a和n的值是解答本题的关键．n是整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数的绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】． 故选：B 技巧方法 用科学计数法表示较小的数，可以数第一个非0数字前“0”的个数，有几个0，n就是几。 （23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）太阳光谱是一种不同波长的吸收光谱．分为可见光与不可见光两部分．可见光的波长为，散射后分为红、橙、黄、绿、青、蓝、紫7色，集中起来则为白光．这个数据用科学记数法表示为 米． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查了科学记数法，其形式为，为整数，当原数的绝对值时，把原数变为时，小数点向右移动几位，的值为移动位数的相反数，熟悉掌握科学记数法是解题的关键． 转化后，利用科学记数法进行表示即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 根据幂的运算法则的逆运用求值（重点） 例1．已知，，则的值为 ． 【答案】72 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】根据，结合，，计算即可． 本题考查了同底数幂的乘法的逆应用，幂的乘方的逆运算，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：， ∵，， ∴， 故答案为：． 【变式1-1】已知，，求的值． 【答案】 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的除法逆用，幂的乘方逆用，熟练掌握同底数幂的除法和幂的乘方是解题的关键． 利用同底数幂的除法，以及幂的乘方运算法则变形，将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ∵，， ∴原式． 【变式1-2】已知，则的值为 ． 【答案】 【知识点】幂的乘方的逆用、积的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，根据题意得出，进而将已知代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 【变式1-3】若，，求的值． 【答案】 【知识点】幂的乘方的逆用、积的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方，熟练掌握积的乘方和幂的乘方逆用是解题的关键； 根据积的乘方和幂的乘方的逆用变形得，然后代入即可解答． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式 ． 【变式1-4】分别求出下列式子的值 (1)已知：，求： ①； ②． (2)如果，求x的值． 【答案】(1)①50；② (2) 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了幂的运算，解决本题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法及幂的乘方运算法则． （1）①先将变形为，再代入求值即可；②先将变形为，再代入求值即可； （2）由变形为，再求解即可． 【详解】（1）解：① ② （2） 利用积的乘方简便运算 例2．（24-25七年级上·陕西西安·期中）计算的结果为（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【知识点】积的乘方的逆用 【分析】本题考查积的乘方的逆用，将原式变形为，再利用积的乘方的逆运算求解． 【详解】解：， 故选D． 【解题关键】①构造同底数；②积的乘方逆向运用. 【变式2-1】计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数的乘方运算、同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用 【分析】本题考查积的乘方及同底数幂的乘法，解答的关键是根据积的乘方及同底数幂的乘法将转化为，再利用有理数的乘方和乘法进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：B． 【变式2-2】用简便方法计算：(1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【知识点】有理数的乘方运算、同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用 【分析】本题考查了积的乘方和同底数幂的乘法逆运算，有理数的乘方运算，掌握计算公式和运算法则是解题的关键． （1）直接利用积的乘方逆运算计算； （2）先将化为，再利用积的乘方逆运算计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 利用幂的运算法则表示字母或式子 例3．若，试用的代数式表示． 【答案】 【知识点】幂的乘方的逆用、积的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握幂的乘方和积的乘方法则． 把所求的底数12写成的形式，然后利用积的乘方法则进行计算，再根据幂的乘方法则，写成含有的形式，然后把已知条件中的换成即可． 【详解】解： ． 【变式3-1】若，，用含的代数式表示． 【答案】． 【知识点】幂的乘方运算 【分析】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方的运算法则是解此题的关键．由题意可得，代入计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 【变式3-2】已知，试用含m，n的代数式表示； 【答案】；（3） 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂除法的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方法则是解答本题的关键． 【详解】∵， ∴． 【变式3-3】已知，试将用a，b，c来表示． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂除法的逆用 【分析】先根据同底数幂的乘除法法则变形，再根据幂的乘方法则变形即可求解． 【详解】∵， ∴． 比较大小(幂的乘方逆运用）（重难点） 例4．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）阅读下面的解题过程：试比较与的大小． 解：因为，， 而，所以． 根据上述解答过程比较，，的大小，其中，，． 【答案】 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】本题考查幂的乘方，把各数化为指数相同、底数不同的形式，再根据指数底数大于，指数相同时，底数越大幂越大，即可得出答案，熟练掌握幂的乘方的运算是解此题的关键． 【详解】解：，，． ， ． 【变式4-1】在比较幂的大小时，小宇同学发现：对于正整数，，，若，，则；若，则．请运用此规律解决下列问题： (1)比较大小：_______（填“>”“<”或“=”） (2)已知，，，试比较，，的大小． 【答案】(1)< (2) 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了幂的乘方，比较幂的大小，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据题意并将利用幂的乘法法则变形为，比较即可得解； （2）根据幂的乘方法则将，，进行变形，再结合若，则比较即可得解． 【详解】（1）解：∵若，，则，， ∴； （2）解：∵，，，且， ∴， ∴，即． 【变式4-2】阅读理解：我们在学习了幂的有关知识后，对两个幂与（都是正数，都是正整数）的大小进行比较，并归纳总结了如下两个结论： ①若，则．（底数相同，指数大的幂大） ②若，则．（指数相同，底数大的幂大） 尝试应用：试比较与的大小． 解：因为， ，……（第1步） 又， 所以……（第2步） 问题解决： (1)在尝试应用的解题过程中，第1步的思路是将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为_______；第2步的依据是_______． (2)请比较下面各组中两个幂的大小： ①与； ②与． 【答案】(1)指数相同的两个幂；指数相同，底数大的幂大 (2)① ；② 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了幂的大小比较，熟练掌握比较大小的基本方法是解题的关键． （1）根据题意，先将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为指数相同的两个幂；根据指数相同，底数大的幂大解答即可． （2）①化成，，根据底数相同，指数大的幂大解答即可； ②，根据指数相同，底数大的幂大解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，先将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为指数相同的两个幂；根据指数相同，底数大的幂大， 故答案为：指数相同的两个幂；指数相同，底数大的幂大． （2）解：①∵，， 根据底数相同，指数大的幂大 ∴， ∴． ②解：∵， 根据指数相同，底数大的幂大， ∴， ∴． 【解题技巧】 (1)利用幂的运算法则（逆向运用）化同底数或同指数准确确定方向和边界点; (2)①若，则．（底数相同，指数大的幂大） ②若，则．（指数相同，底数大的幂大） 幂的运算与整除问题 例5．试说明：（m为正整数）能被17整除． 【答案】见解析 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方，和同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键 根据幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法及乘法分配律的运算法则，把已知式子化为，从而得出结论． 【详解】解：原式 ， 所以（m为正整数）能被17整除． 审题关键:整除的含义. 破题思路:将原式通过幂的运算法则化简为一个因数为17的式子即可. 【变式5-1】已知能被13整除，求证：能被13整除． 【答案】见解析 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了逆用积的乘方、逆用幂的乘方等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 先逆用积的乘方、逆用幂的乘方对变形可得，然后结合能被13整除，能被13整除即可证明结论． 【详解】证明：． ∵能被13整除，能被13整除， ∴能被13整除,即能被13整除． 【变式5-2】能被整除吗？为什么？ 【答案】能被整除，原因见解析 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】根据幂的乘方可得，，，进而利用幂的乘方运算化简可得，即可求解． 【详解】，，， 所以 所以能被45整除. 【点睛】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方的运算法则是解题的关键． 幂的运算与规律探究（难点） 例6．阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，……，观察规律： ， 的末尾数字是1， 的末尾数字是1， 的末尾数字是3， 同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7． 解答下列问题： (1)的末尾数字是_______，的末尾数字是_______； (2)求的末尾数字； (3)求证：能被5整除． 【答案】(1)3，6； (2)6； (3)见解析． 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用、数字类规律探索 【分析】（1）根据阅读材料中的结论可知的末尾数字；根据阅读材料中提供的方法，可得的末尾数字是4，的末尾数字是6，于是得解； （2）先将化成，再利用的末尾数字是6，从而得出结论； （3）分别证明的末尾数字为6和的末尾数字9推出的末尾数字是5，则命题即可得证． 【详解】（1）解：， 的末尾数字为3； 的末尾数字是4，的末尾数字是6，的末尾数字是4，… 的末尾数字是4，的末尾数字是6， 的末尾数字是6； 故答案为：3，6； （2）解：， 的末尾数字是6， 的末尾数字是6； （3）证明：的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字是2，… 的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6， 的末尾数字为6； 同理可得： 的末尾数字7，的末尾数字9，的末尾数字3，的末尾数字1； 的末尾数字9， 的末尾数字是5， 能被5整除． 【点睛】此题是一道阅读理解题，主要考查了幂的运算、数的整除，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则是解答此题的关键． 审题关键:①观察“指数”的变化规律；②末尾数字按照3、9、7、1的顺序循环. 【变式6-1】南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”． …… (1)展开式中所有项的系数和是___________ (2)求展开后的结果 【答案】(1)1024 (2) 【知识点】数字类规律探索、幂的混合运算 【分析】本题主要考查了规律型：数字的变化类， （1）根据“杨辉三角”展开式中所有项的系数和规律确定出（n为非负整数）展开式的项系数和为，求出系数之和即可； （2）先求出，再把上式中的所有的b替换成即可． 【详解】（1）解：当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为 … 由此可知展开式的各项系数之和为， 则展开式中所有项的系数和是， 故答案为：1024． （2）由已知得 把上式中的所有的b替换成得， 故答案为：． 【变式6-2】观察下列各式： ， ， ， …… (1)仔细观察： ______； (2)探究规律： 根据以上的观察、计算，你能发现什么规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立； (3)实践应用： 计算：； (4)深度思考： 计算：． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) (4) 【知识点】数字类规律探索、同底数幂相乘、同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查了整式的规律探究，同底数幂的乘法．理解题意，推导一般性规律解题的关键． （1）由题意知，； （2）由题意知，第个等式为，然后利用同底数幂的乘法的逆运算求解证明即可； （3）由题意知，，则； （4）令，则，根据，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：由题意知，第个等式为， 由题意知，； ∴第个等式成立； （3）解：由题意知，， ∴， ∴； （4）解：令， 则， ∴， 解得，， ∴． 【解题技巧总结】幂的运算与规律探究 ①观察“系数”、“底数”或“指数”的变化规律； ②根据规律用含n（一般n表示序数：第n个式子）的式子表示规律. 定义新运算（难点） 例7．（22-23七年级下·陕西渭南·期末）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题． (1)求的值； (2)，求的值； (3)若运算的结果为，则t的值是多少？ 【答案】(1)96 (2)96 (3)2 【知识点】有理数的乘方运算、同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】（1）根据新定义进行计算即可求解； （2）根据同底数幂的乘法以及幂的乘方进行计算即可求解； （3）根据新定义得出，即可求解． 【详解】（1）解：依题意， （2）∵， ∴ ． （3）因为， 即， 即， 所以． 【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 审题关键:运用公式“”，找准式子中的a、b，再代数求值. 【变式7】规定新运算：（其中m、n为正整数）．例如， 若，则． (1)若， ①求的值； ②当，求n的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)①25；②3 (2)243 【知识点】同底数幂相乘、积的乘方运算 【分析】本题考查了乘方及同底数幂的乘法，新定义，理解新定义的规则是解题的关键． （1）①按照新定义的运算规则有，再代入值进行计算即可； ②根据新的运算，再将相应的值代入运算即可； （2）结合新的运算，利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可． 【详解】（1）解：， ． ② ， 又， ， ， ． （2）解：依题意得，，， . 例8.规定a，b两数之间的一种运算：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空：__________，________，__________； (2)小明在研究这种运算时发现一个性质：对任意的正整数n，．证明如下：设，则，即，所以，即，所以．请根据上述内容计算：； (3)求证：． 【答案】(1)3，2，3； (2)0； (3)见解析． 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法等知识，熟练掌握幂的乘方是解题的关键． （1）根据题目中的规定，进行运算即可得出结果； （2）设，则，得到，同理得到，则，从而可求解； （3）设，则，从而可得，得到，从而得证． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 故答案为：3，2，3； （2）设，则， ∴， 则， ∴， 设，则， ∴， 则， ∴， ∴， ∴； （3）设，则， ∴， ∴， 即． 【变式8-1】【概念学习】我们规定两数、之间的一种运算，记作：如果，那么；例如，记作． 【初步探究】（1）根据以上规定求出： ； ； 【深入思考】对于相同底数的幂的乘法运算，我们有， 例如． （2）小明发现也成立，并证明如下 设：，则 因为，所以，所以， 根据以上证明，请计算，请写清楚计算过程． （3）猜想，并说明理由． 【答案】（1）3，0；（2）42；（3）2，理由见解析 【知识点】有理数的乘方运算、同底数幂乘法的逆用、同底数幂除法的逆用 【分析】本题考查有理数的乘方、同底数幂的乘除法的逆用，理解题中运算方法是解答的关键． （1）根据题中运算方法，结合有理数的乘方求解即可； （2）类比题中例题解法步骤结合同底数幂的乘法运算求解即可； （3）类比题中例题解法步骤结合同底数幂的除法运算求解即可． 【详解】解：（1），， ，， 故答案为：3，0； （2）设：，则， ， ， ， 故答案为：42； （3）猜想，理由如下： 设：，则， ， ， ． 故答案为：2． 【变式8-2】如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)4，64 (2) (3)①；② 【知识点】有理数的乘方运算、同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】（1）由，可直接得出；由，可得出； （2）由题意可得出，，．根据，得出，即，进而即可求出； （3）①由题意可得出，，再根据，，即可求出；②根据，即得出，结合题意可得出．由①知，即得出，进而得出，即说明，代入中求值即可． 【详解】（1）解：， ； ，且， ． 故答案为：，； （2）解：，，，若， ，，． ， ，即， ； （3）解：①，， ，， ，， ； ②， ， ． 由①知：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查有理数的乘方，积的乘方与其逆用，幂的乘方与其逆用．熟练掌握各运算法则是解题关键． 例9．阅读材料． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若（，），那么x叫做a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质为（，，，）．理由如下： 设，，则，， ∴， 由对数的定义，得， 又∵， ∴． 请你仔细阅读上面的材料之后，解答下列问题． (1)将指数式转化为对数式为 ． (2)计算： ． (3)求证：（，，，）． (4)直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【知识点】有理数的乘方运算、同底数幂相乘、同底数幂的除法运算 【分析】本题是新定义试题，主要考查幂的运算性质、新定义对数与指数之间的关系； （1）根据对数式的定义转化即可； （2）根据对数式的定义进行计算，即可求解； （3）先设，，根据对数的定义可表示为指数式为：，，计算的结果，类比所给材料的证明过程可得结论； （4）根据公式：和的逆用，计算可得结论． 【详解】（1）解：将指数式转化为对数式为， 故答案为：． （2）解：∵， ∴ （3）证明：设，，则，， ∴，由对数的定义得， 又∵， ∴； （4） 与幂的运算相关的跨学科问题 例10.我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），是逢2进1的计数制，它们两者之间可以互相换算，如将换算成十进制数应为，．按此方式，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】含乘方的有理数混合运算、零指数幂 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解题意，是解题的关键．先求出，，然后求出结果即可． 【详解】解：， ， ． 故选：D． 例11.在物理学中，表示电流大小的单位有千安、安培、毫安、微安等，其中，，．若某新能源电动汽车的充电电流为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题主要考查利用同底数幂的乘法法则进行单位换算，正确进行同底数幂的乘法运算即可得到结果 【详解】解：，． 故选：D 【变式11】在物理学中，电阻表示导体对电流阻碍作用的大小，电阻的单位是欧姆（）．比欧姆大的单位还有千欧，兆欧，吉欧．它们之间的换算关系是：，，．教室内的白炽灯正常工作时的电阻约为．数据“”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 幂的运算过程中因底数不明造成的符号问题 案例：． 【错误解答】原式 ． 【错误原因】第①步中，a-b和b-a不是同底数，； 【纠错解答】 原式 ． 幂的运算过程中对于幂的乘方法则逆运用不熟练 已知：， ，则下列结论：①；②；③，其中正确的是 . 【易错分析】①∵，，∴，∴，∴；②由幂的关系判断指数关系，需要构造；③构造。 【正确解答】 解：∵，，∴，∴，即，∴，故①错误； ∵，，，∴，，∴，即，∴，故②正确； ∵，，∴，∴，即，∴，故③正确； 故答案为：②③． 【防错警示】 此类问题，给出若干个幂，判断指数（未知字母）之间的关系：需要根据指数关系，利用幂的乘方构造出所需要的幂，再由幂的乘法或除法法则得到结论。 1.计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】根据幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 2.计算式子的结果用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多个有理数的乘法运算、用科学记数法表示绝对值大于1的数、同底数幂相乘 【分析】本题考查了有理数的乘法，科学记数法，掌握相关运算法则是解题关键．先计算有理数的乘方，再用科学记数法表示出来即可． 【详解】解：， 故选：C． 3.已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了幂的乘方，将三个数全部化成底数为的幂，再进行比较即可得解． 【详解】解：，，， ∴， 故选：A． 4.（23-24九年级上·陕西西安·期末）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题主要考查了积的乘方、幂的乘方等运算法则，掌握相关运算法则是解题的关键． 直接运用积的乘方、幂的乘方的运算法则化简即可解答． 【详解】解：． 故选：A． 5.已知2x+4=m，用含m的代数式表示2x正确的是（　　） A． B． C．m﹣4 D．4m 【答案】A 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】∵2x+4=m， ∴2x×24=m， ∴用含m的代数式表示2x，则2x， 故选A． 6.已知，，，那么、、之间满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据可得，再根据得到，最后根据同底数幂的乘法可得出结论．熟练掌握它们的运算法则及性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7.若，则 的值等于（        ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】A 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则计算即可，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴ ， 故选： A． 8.芯片是信息世界的基础核心，传统晶体管因接近物理极限而制约了芯片的进一步发展．近期，北京大学研究员团队构筑了10纳米超短沟道弹道二维硒化铟晶体管，其中硅基晶体管的极限栅长为12纳米，成功克服了二维领域金属和半导体接触的国际难题．其中12纳米（1纳米米）用科学记数法可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n由原数左边第一个不为零的数字前面的0的个数决定，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键；根据绝对值小于1的科学记数法的表示方法判断即可． 【详解】解：12纳米 故选：D． 9.（23-24七年级下·陕西西安·期末）若实数，满足，则的值为 ． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了同底数幂的除法和有理数的乘方，直接根据同底数幂的除法运算即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 10.计算的值是 ． 【答案】 【知识点】积的乘方的逆用 【分析】先把相乘的两项变形成指数相同，再逆用积的乘方公式即可得到解答． 【详解】解：原式= = =． 故答案为 ． 11.已知，则的值为 ． 【答案】16 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，根据得，将变形为即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：16． 12.已知，则 ． 【答案】8 【知识点】有理数的乘方运算、已知式子的值，求代数式的值、幂的乘方的逆用、同底数幂的除法运算 【分析】先求出，然后逆用幂的乘方法则对所求式子变形，再根据同底数幂的除法法则计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：8． 13.（2024·陕西西安·模拟预测）若实数m，n满足，则 ． 【答案】 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】此题考查同底数幂除法和幂的乘方，利用法则把原式变形为，再整体代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为： 14．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）比较大小： ．（填“”或“”） 【答案】 【知识点】有理数大小比较、幂的乘方的逆用 【分析】本题主要考查幂的乘方，有理数大小比较，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用． 利用幂的乘方的法则把指数转为相等，再比较底数即可． 【详解】解：∵，， ∵， ∴， 故答案为：． 15．科学研究发现，一个水分子的质量大约是，水中大约有________个水分子，已知一个水分子是由两个氢原子和一个氧原子所构成的，一个氧原子的质量约为，一个氢原子的质量约为________千克. 【答案】， 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、用科学记数法表示绝对值大于1的数、用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】此题考查了本题考查了有理数的混合运算与科学记数法表示数，根据题意列出算式，再把结果用科学记数法表示即可，正确列出算式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴水中大约有个水分子， ∵一个水分子是由两个氢原子和一个氧原子所构成的，一个氧原子的质量约为， ∴一个氢原子的质量约为． 16．规定新运算“”：，如：． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1)8； (2)． 【知识点】同底数幂相乘、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，解一元一次方程，理解定义的新运算是解题的关键． （1）根据定义的新运算可得，然后进行计算即可解答； （2）根据定义的新运算可得，从而可得，然后进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由可得 ． （2）解：由可得．                 因为， 所以,                 解得． 17．若，则的大小关系是什么？ 【答案】 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算．解题的关键是利用幂的乘方的逆运算对各式变形，变成指数相同的形式，即可比较大小． 【详解】解：因为， ， ， 因为， 所以． 18．已知，试用含m，n的代数式表示； 【答案】；； 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂除法的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方法则是解答本题的关键．据幂的乘方和积的乘方法则变形即可； 【详解】∵， ∴； ． 19．（1）已知，，m，n为正整数，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）1 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方运算、同底数幂的除法运算、零指数幂 【分析】本题考查同底数幂乘法及除法，幂的乘方，零指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用同底数幂乘法法则即可求得答案； （2）将原式利用幂的乘方法则及同底数幂乘法，除法法则变形后代入数值计算即可． 【详解】解：（1）， （2）， 20．（1）已知，求的值； （2）已知，求x的值． 【答案】（1）144；（2） 【知识点】幂的乘方的逆用、积的乘方运算 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，幂的乘方的逆运算： （1）先根据积的乘方计算法则把所求式子变形为，再根据幂的乘方的逆运算法则把所求式子变形为，据此代值计算即可； （2）根据积的乘方计算法则把已知条件式变形为，则可得到关于x的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴ ． （2）∵， ∴， ∴ ∴， 解得． 21.阅读下列各式：，……． 请回答下列问题： (1)计算：________，________． (2)通过上述规律，归纳得出：________；________． (3)请应用上述性质计算：． 【答案】(1)1；1 (2)， (3) 【知识点】积的乘方运算、积的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，积的乘方的逆运算： （1）根据题目所给公式，计算求解即可； （2）根据题意进行求解即可； （3）把原式变形为，据此求解即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：1；1； （2）解：由题意得，，， 故答案为：，； （3）解： ． 22.规定两数a，b之间的一种运算，记作【a，b】：如果，那么【a，b】． 例如因为，所以【2，8】． (1)根据上述规定，填空：【4，64】= ，【5，1】= ，【 ，16】= 4． (2)小明在研究这种运算时发现一个现象【】=【3，4】，小明给出了如下的证明：设【】，则，即，所以． 即【3，4】所以【】=【3，4】请你尝试运用这种方法解决下列问题： ①证明：【7，5】+【7，6】=【7，30】． ②请根据前面的经验猜想：【】+【】=【 ， 】． 【答案】(1)3，0， (2)①证明见详解；②【，】 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方运算、零指数幂 【分析】本题通过新定义考查了乘方的灵活运用、观察和猜想能力，回归定义是解决新定义题型的关键． （1）根据乘方的意义即可得到答案； （2）①模仿材料中的证明方法设【7，5】，【7，6】，再根据乘方的意义即可得到答案； ②根据【，】【3，4】和【7，5】【7，6】【7，30】的证明过程和结论即可猜想答案． 【详解】（1）解：， 【4，64】， ， 【5，1】， ， 【，16】． 故答案为：3，0，． （2）①证明：设【7，5】，【7，6】， 则，， ， 【7，30】， 【7，5】【7，6】【7，30】． ②由【，】【3，4】的证明过程和结论可以猜想： 【，】【，】， 【，】【，】， 【，】【，】 【，】【，】， 由【7，5】【7，6】【7，30】的证明过程和结论可以猜想： 【，】【，】【，】， 故答案为：【，】． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$