专题03 平方差和完全平方公式（七大题型）（题型专练）-2024-2025学年七年级数学下册《知识解读•题型专练》（北师大版2024）

专题03 平方差和完全平方公式（七大题型） 【题型1 平方差公式运算】 【题型2 巧用平方差公式简便计算】 【题型3 平方差公式的几何背景】 【题型4 完全平方公式】 【题型5 完全平方公式下得几何背景】 【题型6 完全平方公式的逆运算】 【题型7 求完全平方公式中字母的系数】 【题型1 平方差公式运算】 1．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏南通·期中）在运用乘法公式计算时，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）的计算结果是(   ) A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·广东东莞·期中）计算： ． 5．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如果，那么 ． 6．（24-25七年级上·全国·假期作业）运用平方差公式计算． (1) (2) (3) (4) (5) 7．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【题型2 巧用平方差公式简便计算】 8．（24-25七年级上·上海崇明·期中）计算： ． 9．（24-25八年级上·山东东营·期中）计算： ． 10．（24-25七年级上·上海长宁·期中）计算： （结果用幂的形式表示）． 11．（2024八年级上·全国·专题练习）利用平方差公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（2024八年级上·全国·专题练习）计算：． 13．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）运用平方差公式计算： (1)； (2)． 14．（23-24七年级下·陕西榆林·期中）用乘法公式计算：． 【题型3 平方差公式的几何背景】 15．（24-25八年级上·吉林·期末）如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程写出正确的等式是（   ） A． B． C． D． 16．（24-25八年级上·四川内江·期中）观察下图，用等式表示图中图形面积的运算正确的是（   ）    A． B． C． D． 17．（24-25八年级上·湖南·阶段练习）探究活动： （）如图①，可以求出阴影部分的面积是______（写成两数平方差的形式）； （）如图②，若将图①中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是______＿（写成多项式乘法的形式）； 比较图①、图②阴影部分的面积，可以得到公式______． 知识应用：运用你得到的公式解决以下问题： ①计算：； ②若，，求的值． 18．（22-23八年级上·甘肃庆阳·阶段练习）乘法公式的探究及应用． 探究问题： 图（1）是一张长方形纸条，将其剪成长短两条后刚好能拼成图（2）． （1）图（1）中长方形纸条的面积可表示为 _____________（写成多项式乘法的形式）． （2）拼成的图（2）阴影部分的面积可表示为 _____________（写成两数平方差的形式）． （3）比较两图阴影部分的面积，可以得到乘法公式：_____________． 结论运用： （4）运用所得的公式计算： _____________； _____________． 拓展运用： （5）计算：． 19．（23-24七年级下·江西萍乡·阶段练习）探究】如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成如图2的长方形． (1)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用字母a、b表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： (2)已知，，求的值； (3)计算的值． 20．（23-24七年级下·山东济南·阶段练习）实践与探究，如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小证方形，把图1中的阴影部分折成一个长方形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的公式是 ． (2)请应用上面的公式完成下列各题： ①已知，则 ． ② ③计算： 【题型4 完全平方公式】 21．（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算： ． 22．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）计算： ． 23．（22-23七年级下·河南郑州·阶段练习）若，则 . 24．（23-24六年级下·山东青岛·期末）计算： ． 25．（23-24七年级下·湖南永州·期中）用完全平方公式计算 26．（2024·湖北荆州·一模）将二次三项式化为的形式是 ． 27．（2024·广西河池·一模） ． 28．（23-24七年级下·甘肃张掖·阶段练习）计算： ． 【题型5 完全平方公式下得几何背景】 29．（23-24七年级下·广东汕头·期末）用四个长为，宽为的小长方形构成如图的大正方形．根据图形面积的关系，写出一个含，的等式 ． 30．（24-25八年级上·河南安阳·阶段练习）已知：如图，将边长分别为和的两个正方形拼在一起，、、三点在同一直线上，连接和． (1)记图中的阴影部分的面积为，求（用含，的代数式表示）； (2)若两正方形的边长满足，，求（1）中的值． 31．（24-25八年级上·江苏南通·期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你直接写出下列三个代数式：，，之间的等量关系； (2)若要拼出一个面积为的矩形，则需要A号卡片 张，B号卡片 张，C号卡片 张． (3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 32．（24-25七年级上·湖北孝感·期中）如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． (1)你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于________； (2)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积．方法①________，方法②________； (3)观察图②，你能写出，，这三个代数式之间的等量关系吗？ (4)根据（3）中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值． 33．（24-25八年级上·吉林白城·阶段练习）如图①是一个长为2m，宽为2n的长方形（其中m，n均为正数，且），沿图中虚线用剪刀均匀分成四块相同的小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形． 图①                  图② (1)图②中大正方形的边长为__________，小正方形（阴影部分）的边长为__________；（用含m，n的代数式表示） (2)仔细观察图②，请你直接写出下列三个整式，，之间的一个等量关系； (3)根据（2）中的等量关系，解决问题：若求的值； (4)当，时，直接写出的值． 34．（24-25八年级上·北京海淀·期中）在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为，宽为的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． (1)观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式； (2)利用（1）中的等式解决下列问题． ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 35．（24-25八年级上·河南南阳·期中）如图1，阴影部分是一个边长为的大正方形剪去一个边长为b的小正方形和两个宽为b的长方形之后所剩余的部分． (1)①图1中剪去的长方形的长为 ，  面积为 ； ②用两种方式表示图1中阴影部分的面积为 或 ， 由此可以验证的乘法公式为 ． (2)请设计一个新的图形验证乘法公式： (3)如图2，，分别表示边长为，b的正方形的面积，且A，B，C三点在一条直线上，若，，求图中阴影部分的面积． 36．（24-25八年级上·福建泉州·期中）把完全平方公式适当的变形，如：等，这些变形可解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴， 即，，所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题． (1)已知，，且，求的值； (2)已知，求的值； (3)如图3，点C是线段上一点，以，为边向两边作正方形和正方形，若，的面积为b，求正方形和正方形的面积之和（用a，b表示）． 37．（2023·四川达州·模拟预测）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 38．（23-24八年级上·福建泉州·期中）老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． ，． 当时，的值最小，最小值是1，的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)直接写出：的最小值为___________； (2)求出代数式的最小值； (3)若，求的最小值． 39．（23-24七年级下·河南郑州·阶段练习）阅读材料题： 我们知道a2≥0，所以代数式a2的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用a2±2ab+b2＝（a+b）2来求一些多项式的最小值． 例如，求x2+6x+3的最小值问题． 解：∵x2+6x+3＝x2+6x+9﹣6＝（x+3）2﹣6， 又∵（x+3）2≥0， ∴（x+3）2﹣6≥﹣6， ∴x2+6x+3的最小值为﹣6． 请应用上述思想方法，解决下列问题： （1）探究：x2﹣4x+5＝（x　　）2+　　； （2）代数式﹣x2﹣2x有最 　　（填“大”或“小”）值为 　　； （3）应用：比较代数式：x2﹣1与2x﹣3的大小： （4）如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围成的提栏的总长是40m，楼栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？ 40．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①， ； ； 代数式有最小值； ②， ； ； 代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为______；代数式的最大值为______； (2)求代数式的最小值； (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，若，求四边形面积的最大值． 【题型6 完全平方公式的逆运算】 41．（24-25八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）实数，满足，，且，则的值是（   ） A． B． C． D．或 42．（24-25八年级上·天津·期末）若，则的值为 ． 43．（24-25八年级上·吉林·期末）若，，则 ． 44．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，则 ． 45．（24-25八年级上·重庆万州·期中）已知，则 ． 46．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）已知，，则 ． 【题型7 求完全平方公式中字母的系数】 47．（24-25八年级上·福建漳州·期中）若是一个完全平方式，则常数k的值为（   ） A．4 B． C． D．无法确定 48．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）若是一个完全平方式，则k的值是（    ） A．12 B． C．9 D．36 49．（24-25八年级上·江苏南通·期中）若，则a的值为（    ） A．3 B． C．6 D． 50．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）若是关于的完全平方式，则的值是（　　） A．7或 B． C．7 D．6 51．（24-25八年级上·北京·期中）若是完全平方式，则常数的值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平方差和完全平方公式（七大题型） 【题型1 平方差公式运算】 【题型2 巧用平方差公式简便计算】 【题型3 平方差公式的几何背景】 【题型4 完全平方公式】 【题型5 完全平方公式下得几何背景】 【题型6 完全平方公式的逆运算】 【题型7 求完全平方公式中字母的系数】 【题型1 平方差公式运算】 1．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式为两数和与两数差的乘积，进行判断即可． 【详解】解：A、，不能用平方差公式进行计算，不符合题意； B、，可以用平方差公式进行计算，符合题意； C、，不能用平方差公式进行计算，不符合题意； D、，不能用平方差公式进行计算，不符合题意； 故选B． 2．（24-25八年级上·江苏南通·期中）在运用乘法公式计算时，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查乘法公式-平方差公式的结构特征，熟记平方差公式，灵活运用是解决问题的关键． 【详解】解：根据的结构特征，可选择乘法公式-平方差公式， ， 故选：D． 3．（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）的计算结果是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘多项式，平方差公式，熟练掌握平方差公式的运算法则是解题的关键； 通过变形将其转化为平方差公式直接解答即可． 【详解】解： ； 故选；D． 4．（24-25八年级上·广东东莞·期中）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式：计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，根据条件，利用平方差公式，代值求解即可得到答案，熟记平方差公式是解决问题的关键． 【详解】解： ， ， 故答案为：． 6．（24-25七年级上·全国·假期作业）运用平方差公式计算． (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4)3599.96 (5) 【分析】本题考查了利用平方差公式进行计算． （1）利用平方差公式进行计算即可得解； （2）利用平方差公式进行计算即可得解； （3）把原式进行变形，然后利用平方差公式进行计算即可得解； （4）把原式进行变形，然后利用平方差公式进行计算即可得解； （5）利用平方差公式进行计算即可得解，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 7．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键； （1）直接运用平方差公式展开； （2）先根据平方差公式展开得到原式，然后根据幂的乘方法则运算； （3）先提负号得到原式，然后根据平方差公式计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【题型2 巧用平方差公式简便计算】 8．（24-25七年级上·上海崇明·期中）计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是关键．把原式变形为，再利用平方差公式计算即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：1． 9．（24-25八年级上·山东东营·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用平方差公式简化计算， 利用平方差公式对每一个括号分解因式，然后约分即可得出结果． 【详解】解： 10．（24-25七年级上·上海长宁·期中）计算： （结果用幂的形式表示）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了平方差公式，把原式前面乘以，然后利用平方差公式求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 11．（2024八年级上·全国·专题练习）利用平方差公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)899 (2)99.99 (3)9996 (4)999991 【分析】本题考查了平方差公式的运用，两个二项式相乘，把这两个二项式转化为有一项完全相同，另一项互为相反数．相乘的结果应该是：右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）． （1）先将原式进行变形，再根据平方差公式求解即可； （2）先将原式进行变形，再根据平方差公式求解即可； （3）先将原式进行变形，再根据平方差公式求解即可； （4）先将原式进行变形，再根据平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 12．（2024八年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了平方差公式，首先根据平方差公式计算，然后计算乘法即可． 【详解】解： ． 13．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）运用平方差公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1)99.99 (2)999991 【分析】本题考查平方差公式的应用，熟记平方差公式并灵活运用是解答的关键． （1）利用平方差公式计算即可； （2）利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（23-24七年级下·陕西榆林·期中）用乘法公式计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是利用平方差公式进行简便计算，把原式化为，再计算即可． 【详解】解： ． 【题型3 平方差公式的几何背景】 15．（24-25八年级上·吉林·期末）如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程写出正确的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示阴影部分的面积是关键. 利用正方形的面积公式和矩形的面积公式分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可； 【详解】解：∵从边长为的正方形内去掉一个边长为的小正方形， ∴剩余部分的面积是：， 又拼成的长方形的面积是：， ∴根据剩余部分的面积相等得：； 故选：A 16．（24-25八年级上·四川内江·期中）观察下图，用等式表示图中图形面积的运算正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，分别表示出两幅图的面积，再根据两幅图的面积相等即可得到答案． 【详解】解：左边一幅图的面积为，右边一幅图的面积为， ∵两幅图的面积相等， ∴， 故选：B． 17．（24-25八年级上·湖南·阶段练习）探究活动： （）如图①，可以求出阴影部分的面积是______（写成两数平方差的形式）； （）如图②，若将图①中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是______＿（写成多项式乘法的形式）； 比较图①、图②阴影部分的面积，可以得到公式______． 知识应用：运用你得到的公式解决以下问题： ①计算：； ②若，，求的值． 【答案】探究活动：（）；（），；知识应用：①；②． 【分析】探究活动： （）用大正方形的面积减小正方形的面积即可求解； （）利用矩形的面积公式即可表示阴影部分的面积，再根据图①、图②阴影部分的面积相等即可得到公式； 知识应用： ①利用（）所得公式的逆运算解答即可求解； ②由得到，由所得公式得到，进而即可求解； 本题考查了平方差公式的几何背景及应用，掌握平方差公式的运算是解题的关键． 【详解】解：探究活动： （）阴影部分的面积是， 故答案是：； （）长方形的面积是； ∵图①、图②阴影部分的面积相等， ∴可以得到公式是， 故答案为：，； 知识应用： ①原式； ②∵， ∴， 又∵， ∴． 18．（22-23八年级上·甘肃庆阳·阶段练习）乘法公式的探究及应用． 探究问题： 图（1）是一张长方形纸条，将其剪成长短两条后刚好能拼成图（2）． （1）图（1）中长方形纸条的面积可表示为 _____________（写成多项式乘法的形式）． （2）拼成的图（2）阴影部分的面积可表示为 _____________（写成两数平方差的形式）． （3）比较两图阴影部分的面积，可以得到乘法公式：_____________． 结论运用： （4）运用所得的公式计算： _____________； _____________． 拓展运用： （5）计算：． 【答案】（1） （2） （3） （4）， （5）． 【分析】本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的前提． （1）用代数式表示长方形的长、宽，再根据面积公式表示出长方形的面积即可； （2）图2中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，表示两个正方形的面积差即可； （3）由两个图形的阴影部分的面积相等得出答案； （4）利用平方差公式进行计算即可； （5）利用平方差公式将原式化成，进而得到，再进行计算即可． 【详解】解：（1）图1中的长方形的长为，宽为，因此面积为； 故答案为：； （2）图2中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 故答案为：； （3）由两个图形阴影部分的面积相等可得， ， 故答案为：； （4）， ， 故答案为：，； （5）原式 ． 19．（23-24七年级下·江西萍乡·阶段练习）探究】如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成如图2的长方形． (1)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用字母a、b表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： (2)已知，，求的值； (3)计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的运算，掌握题意根据面积相等得出平方差公式，利用平方差公式解决问题时关键． （1）利用两个面积相等列式即可； （2）利用（1）中的公式计算即可； （3）利用（1）中的公式计算即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为， 因此可以得到乘法公式； 故答案为：． （2），， ， ； （3） ． 20．（23-24七年级下·山东济南·阶段练习）实践与探究，如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小证方形，把图1中的阴影部分折成一个长方形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的公式是 ． (2)请应用上面的公式完成下列各题： ①已知，则 ． ② ③计算： 【答案】(1)； (2)①9；②；③1275； 【分析】本题考查平方差公式、完全平方公式，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确应用的前提． （1）分别表示图1和图2中阴影部分的面积即可得出答案； （2）①利用平方差公式将，再代入计算即可； ②在算式前面添加，再运用平方差公式进行计算即可； ③利用平方差公式将原式转化为即可． 【详解】（1）图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即， 图2中的阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故答案为：； （2）①， ， 又， ， 即， 故答案为：9； ② ③． 【题型4 完全平方公式】 21．（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算： ． 【答案】． 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式计算即可． 【详解】解：， 故答案为． 22．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的运算，根据进行展开原式，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 23．（22-23七年级下·河南郑州·阶段练习）若，则 . 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式：，根据完全平方公式得出，，所以，即，求出，熟记公式是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：． 24．（23-24六年级下·山东青岛·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式．根据完全平方公式进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 25．（23-24七年级下·湖南永州·期中）用完全平方公式计算 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟记完全平方公式．利用完全平方公式直接求解即可． 【详解】解：， 故答案为： 26．（2024·湖北荆州·一模）将二次三项式化为的形式是 ． 【答案】 【分析】此题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．根据配方法的步骤求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 27．（2024·广西河池·一模） ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式求出的结果即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴． 故答案为：． 28．（23-24七年级下·甘肃张掖·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方公式，运用完全平方公式将括号展开即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【题型5 完全平方公式下得几何背景】 29．（23-24七年级下·广东汕头·期末）用四个长为，宽为的小长方形构成如图的大正方形．根据图形面积的关系，写出一个含，的等式 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，根据阴影部分面积两种计算方法即可求解，熟练掌握长方形、正方形的面积公式和完全平方公式是解题的关键． 【详解】求阴影部分面积： 方法一：， 方法二：， ∴， 故答案为：． 30．（24-25八年级上·河南安阳·阶段练习）已知：如图，将边长分别为和的两个正方形拼在一起，、、三点在同一直线上，连接和． (1)记图中的阴影部分的面积为，求（用含，的代数式表示）； (2)若两正方形的边长满足，，求（1）中的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，整式的混合运算，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据，即可求解； （2）将，，代入中计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2） ， 而，， ． 31．（24-25八年级上·江苏南通·期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你直接写出下列三个代数式：，，之间的等量关系； (2)若要拼出一个面积为的矩形，则需要A号卡片 张，B号卡片 张，C号卡片 张． (3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1) (2)1，2，3 (3)①7；② 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式的运算，换元法． （1）用不同方式求大正方形的面积求解即可； （2）利用多项式乘多项式的运算法则计算，然后再根据三种纸片的面积，进而得出答案； （3）①根据已知条件，利用完全平方公式，先求出，然后求出即可； ②设，则，，根据已知得出，利用完全平方公式展开，进而得出答案． 【详解】（1）解：由图2可知，大正方形的面积为，也可以为， ∴，，之间的等量关系为：； （2）解： ， ∵一张A种纸片的面积为，一张B种纸片的面积为，一张C种纸片的面积为， ∴要拼出一个面积为的矩形，需要A种纸片1张，B种纸片2张，C种纸片3张． 故答案为：1，2，3； （3）解：①∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴的值是． 32．（24-25七年级上·湖北孝感·期中）如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． (1)你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于________； (2)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积．方法①________，方法②________； (3)观察图②，你能写出，，这三个代数式之间的等量关系吗？ (4)根据（3）中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值． 【答案】(1) (2)； (3) (4)4 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，读懂题意，找到所求的量的等量关系是解题关键． （1）由题意可知，剪裁后的小长方形的长为，宽为，即可得到答案； （2）用两种不同方法表示出阴影面积即可； （3）结合（2）所得式子，即可得到答案； （4）根据（3）中的等量关系计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知，剪裁后的小长方形的长为，宽为， 则图②中的阴影部分的正方形的边长等于， 故答案为： （2）解：方法①阴影的面积为边长的正方形面积，即； 方法②阴影的面积为大正方形的面积减去四个小长方形的面积，则， 故答案为：；； （3）解：根据图②里图形的面积关系，可得； （4）解：由（3）中的等量关系可知， ． 33．（24-25八年级上·吉林白城·阶段练习）如图①是一个长为2m，宽为2n的长方形（其中m，n均为正数，且），沿图中虚线用剪刀均匀分成四块相同的小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形． 图①                  图② (1)图②中大正方形的边长为__________，小正方形（阴影部分）的边长为__________；（用含m，n的代数式表示） (2)仔细观察图②，请你直接写出下列三个整式，，之间的一个等量关系； (3)根据（2）中的等量关系，解决问题：若求的值； (4)当，时，直接写出的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)； (4)2． 【分析】（1）直接观察图形得出， （2）根据大正方形的面积=4个长方形的面积+小正方形的面积即可得出答案， （3）将，代入（2）中关系式中求解得到符合题意的答案即可， （4）将，代入（2）中关系式中求解得到符合题意的答案即可， 本题主要考查多项式乘多项式的图形应用，完全平方公式的应用，解此题的关键在于准确理解题中图形的各个选项边与面积关系． 【详解】（1）解：由题图可知，大正方形的边长为， 小正方形（阴影部分）的边长为； 故答案为：，； （2）解：∵大正方形的面积个长方形的面积小正方形的面积， ∴， （3）解：∵，， ∴， ∴，则， 又∵m，n均为正数， ∴， （4）解：∵，， ∴， ∴，则， 又∵， ∴． 34．（24-25八年级上·北京海淀·期中）在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为，宽为的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． (1)观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式； (2)利用（1）中的等式解决下列问题． ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1) (2)①② 【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，熟悉掌握完全平方公式是解题的关键． （1）利用面积法进行计算，即可解答； （2）①利用（1）的结论可得：，然后进行计算即可解答； ②设，，则，，然后利用（1）的结论进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：阴影部分的面积， 即； （2）①由（1）可得：， ∵，， ∴，解得：； ②设，， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 35．（24-25八年级上·河南南阳·期中）如图1，阴影部分是一个边长为的大正方形剪去一个边长为b的小正方形和两个宽为b的长方形之后所剩余的部分． (1)①图1中剪去的长方形的长为 ，  面积为 ； ②用两种方式表示图1中阴影部分的面积为 或 ， 由此可以验证的乘法公式为 ． (2)请设计一个新的图形验证乘法公式： (3)如图2，，分别表示边长为，b的正方形的面积，且A，B，C三点在一条直线上，若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)①；；②；； (2)见解析 (3)12 【分析】此题主要考查了几何背景下的完全平方公式及其应用，解答此题的关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征；准确识图，正确的找出正方形的边长和图形之间的面积关系． （1）根据“阴影部分是边长为的正方形”可表示出阴影部分的面积；另一方面阴影部分的面积可表示为，进而可得出答案； （2）设计一个边长为的正方形即可验证； （3）先根据正方形的面积公式得，再根据得，然后根据乘法公式可求出，然后再根据三角形的面积公式可得阴影部分的面积． 【详解】（1）解：①由图可得：剪去的长方形的长为，面积为， 故答案为：，； ②∵阴影部分是边长为的正方形， ∴阴影部分的面积为：， 另一方面，阴影部分的面积为：， ， 故答案为：，，． （2）解：如图，即可验证公式：． 验证如下：∵大正方形的边长为， 大正方形的面积为， 又∵大正方形的面积=两个小正方形的面积+两个长方形的面积， 大正方形的面积为：，． （3）解：设，，四边形和四边形为正方形 ，，， 又， ， ， ， 由（2）得：， ， ， ． 36．（24-25八年级上·福建泉州·期中）把完全平方公式适当的变形，如：等，这些变形可解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴， 即，，所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题． (1)已知，，且，求的值； (2)已知，求的值； (3)如图3，点C是线段上一点，以，为边向两边作正方形和正方形，若，的面积为b，求正方形和正方形的面积之和（用a，b表示）． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式应用，熟练掌握完全平方公式的变形和计算是解题的关键． （1）由完全平方公式的变形可得：，代入即可得到答案； （2）设，，从而得到，，再根据，代入即可得到答案； （3）设，，根据题意可得，由于的面积为b，可得，进而得到，再根据，代入即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∵ ∴； （2）解：设，， 可得：， ∴ ； （3）解：设，， ∵ ∴， ∵的面积为b ∴ ∴ ∴ ∴正方形和正方形的面积之和： 37．（2023·四川达州·模拟预测）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)23 (2)21 【分析】本题主要考查完全平方公式． （1）根据完全平方公式得，将代入即可得解； （2）根据完全平方公式得，将代入即可得解． 【详解】（1）解：，， ∴ ； （2）解： ． 38．（23-24八年级上·福建泉州·期中）老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． ，． 当时，的值最小，最小值是1，的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)直接写出：的最小值为___________； (2)求出代数式的最小值； (3)若，求的最小值． 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】（1）根据题意可直接得出答案； （2）依题意，将所求代数式变形，得出，从而可得出答案； （3）首先将y用含x的代数式表示出来，再按照题中的方法求最小值即可． 本题主要考查完全平方公式的应用，理解题中的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，当时，则，， 即当时，有最小值，是， 故答案为：； （2）解： 则当时，则，， 则代数式的最小值是8； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴的最小值是． 39．（23-24七年级下·河南郑州·阶段练习）阅读材料题： 我们知道a2≥0，所以代数式a2的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用a2±2ab+b2＝（a+b）2来求一些多项式的最小值． 例如，求x2+6x+3的最小值问题． 解：∵x2+6x+3＝x2+6x+9﹣6＝（x+3）2﹣6， 又∵（x+3）2≥0， ∴（x+3）2﹣6≥﹣6， ∴x2+6x+3的最小值为﹣6． 请应用上述思想方法，解决下列问题： （1）探究：x2﹣4x+5＝（x　　）2+　　； （2）代数式﹣x2﹣2x有最 　　（填“大”或“小”）值为 　　； （3）应用：比较代数式：x2﹣1与2x﹣3的大小： （4）如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围成的提栏的总长是40m，楼栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）﹣2，1；（2）大，1；（3）x2﹣1＞2x﹣3；（4）当花圃的宽为10m，长为20m时花圃面积最大，最大面积为200m2 【分析】（1）将原式配方即可； （2）将原式配方即可判断； （3）先做差，然后配方，判断配方后的式子大于0即可； （4）设矩形花圃的宽为x m，则长为（40-2x）m，根据矩形的面积公式列出函数关系式，再配方，根据函数的性质求最值． 【详解】解：（1）x2-4x+5=x2-4x+4+1=（x-2）2+1， 故答案为：-2，1； （2）∵-x2-2x=-（x2+2x）=-（x2+2x+1-1）=-（x+1）2+1， 又∵（x+1）2≥0， ∴-（x+1）2≤0， ∴-（x+1）2+1≤1， ∴-x2-2x的最大值为1， 故答案为：大，1； （3）x2-1-（2x-3）=x2-1-2x+3=x2-2x+2=（x-1）2+1， ∵（x-1）2≥0， ∴（x-1）2+1≥1＞0， ∴x2-1＞2x-3； （4）设矩形花圃的宽为x m，则长为（40-2x）m， ∴矩形的面积S=（40-2x）x=-2x2+40x=-2（x2-20x）=-2（x-10）2+200， ∵（x-10）2≥0， ∴-（x-10）2≤0， ∴-（x-10）2+200≤200， ∴当x=10时，S有最大值200（m2），此时，40-2x=20（m）， ∴当花圃的宽为10m，长为20m时花圃面积最大，最大面积为200m2． 【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键． 40．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①， ； ； 代数式有最小值； ②， ； ； 代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为______；代数式的最大值为______； (2)求代数式的最小值； (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，若，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)2；13 (2) (3)18 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，偶次方的非负性，灵活运用完全平方公式进行变形是解题的关键． （1）利用材料中的方法进行求解即可； （2）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据偶次方的非负性求出式子的最小值即可； （3），由面积公式，将其转化为，设，则，代入化简计算，转化为上述求解方法计算即可． 【详解】（1）解：， ； ； 代数式有最小值2； ， ； ； 代数式有最大值13； 故答案为：2；13． （2）解： ， ∵，， ∴， ∴代数式的最小值为； （3）解：根据题意得 ， ∵， ∴， ， ， ∵，设，则， ， ∵， ， ∴四边形面积的最大值为18． 【题型6 完全平方公式的逆运算】 41．（24-25八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）实数，满足，，且，则的值是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式的运用，利用完全平方公式得出，进而根据，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， 又∵， ∴ 故选：A． 42．（24-25八年级上·天津·期末）若，则的值为 ． 【答案】13 【分析】本题考查利用完全平方公式变形计算，根据，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：13． 43．（24-25八年级上·吉林·期末）若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式及求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 44．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，根据完全平方公式得到求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴， 故答案为：． 45．（24-25八年级上·重庆万州·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，解题的关键是掌握完全平方公式．根据得出，即可求出，得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， 则， ∴， ∴， 故答案为：． 46．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方公式，将所求代数式化成用与表示的形式，然后把已知代入即可求解，熟练掌握公式及公式的变形是解题的关键． 【详解】解：由， ∵，， ∴， 故答案为：． 【题型7 求完全平方公式中字母的系数】 47．（24-25八年级上·福建漳州·期中）若是一个完全平方式，则常数k的值为（   ） A．4 B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的应用．根据完全平方公式的结构即可求得． 【详解】解：因为是一个完全平方式， 所以， 故选：C． 48．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）若是一个完全平方式，则k的值是（    ） A．12 B． C．9 D．36 【答案】B 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点进行求解即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴； 故选B． 49．（24-25八年级上·江苏南通·期中）若，则a的值为（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式，将展开，再比较系数即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 50．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）若是关于的完全平方式，则的值是（　　） A．7或 B． C．7 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式是解此题的关键，注意：完全平方式有和两个．根据完全平方式得出，再求出即可． 【详解】解：∵是关于的完全平方式， ∴， ∴， ∴ 解得或， 故选：A． 51．（24-25八年级上·北京·期中）若是完全平方式，则常数的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方式，解题的关键是掌握完全平方式的特征：如果一个多项式是是完全平方式，则有如下特征：①该多项式有三项；②两项同号且能写成某数（或式）的平方‌；③第三项是这两数（或式）的积的倍．据此解答即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴， ∴常数的值为． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$