山西省太原某校2024-2025学年高二上学期11月月考数学试题

试卷第 1页，共 3页 高二年级半月考试题（ 数学 ） 一、单项选择题（本题共 6小题，每小题 5分，共 30 分.在每个小题给岀的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.） 1．直线 l过点(－3,0)，且与直线 y＝2x－3垂直，则直线 l的方程为( ) A．y＝－1 2 (x－3) B．y＝－1 2 (x＋3) C．y＝1 2 (x－3) D．y＝1 2 (x＋3) 2 ．若 P(2，－1)为圆 C：(x－1)2＋y2＝25的弦 AB的中点，则直线 AB的方程是( ) A．2x－y－5＝0 B．2x＋y－3＝0 C．x＋y－1＝0 D．x－y－3＝0 3. 已知数列 na 满足 1 1 11 , 2n n a a a    ，则 2024a （ ） A．2 B． 1 2 C． 1 D．2024 4. 双曲线x 2 m － y2 n ＝1(mn≠0)的离心率为 2，有一个焦点与抛物线 y2＝4x的焦点重合，则 mn的值为 ( ) A． 3 16 B．3 8 C．16 3 D．8 3 5. 若一个等差数列的首项为 1 25 ，从第 10 项起开始比 1大，则这个等差数列的公差 d的取值范围是 ( ) A．d> 8 75 B．d< 3 25 C. 8 75 <d< 3 25 D. 8 75 <d≤ 3 25 6．椭圆的中心在坐标原点，A1，A2，B1，B2分别为椭圆的左、右、上、下顶点，F2为其右焦点，直 线 B1F2与直线 A2B2交于点 P，若∠B1PA2为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围为( ) A. 5－1 2 ，1 B. 1 2 ，1 C. 1 2 ， 5－1 2 D. 0， 5－1 2 试卷第 2页，共 3页 二、多项选择题（本题共 2小题，每小题 6分，共 12 分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分） 7.记 Sn为等差数列{an}的前 n项和，已知 S4＝0，a5＝5，则下列选项正确的是( ) A．a2＋a3＝0 B．an＝2n－5 C．Sn＝n(n－4) D．d＝－2 8. 已知直线 l： y x m  过抛物线 C： 2 4y x 的焦点 F，且与抛物线交于 A，B两点，则（ ） A． 1m   B． 8AB  C． 2AF BF D．抛物线 C上的动点到直线 2y x  距离的最小值为 2 2 三、填空题(本题共 2小题，每小题 5分，共 10 分.) 9．已知直线 l的一个方向向量为 m＝(x,2，－5)，平面α的一个法向量为 n＝(3，－1,2)，若 l∥α，则 x等于 ． 10. 设正项等差数列{��}的前�项和为��，若�21 = 63，则 1 �5 + 4 �17 的最小值为 ． 四、解答题(本题共 3小题，共 48 分.) 11．（本小题满分 15分） 已知等差数列 na 中， 3 7 4 616, 0a a a a    (1)求数列的通项公式 na (2)若 na 单调递增， 2 6n nb a  ，求数列 nb 前 n项和 nS 的最小值 试卷第 3页，共 3页 12．（本小题满分 15分） 如图，已知在长方体 ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点 E在棱 AB上移动． (1)求证：D1E⊥A1D； (2)在棱 AB上是否存在点 E使得 AD1与平面 D1EC所成的角为 π 6 ？若存在，求出 AE的长；若不存在， 说明理由． 13．（本小题满分 18分） 已知椭圆 C：x 2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a>b>0)的离心率为1 2 ，且经过点(－1，－32)， (1)求椭圆 C的标准方程； (2)过点(1,0)作直线 l与椭圆相交于 A，B两点，试问在 x轴上是否存在定点 Q，使得两条不同直线 QA，QB恰好关于 x轴对称，若存在，求出点 Q的坐标，若不存在，请说明理由． 试卷第 1页，共 6页 高二年级半月考试题（ 数学 ） 一、单项选择题（本题共 6小题，每小题 5分，共 30 分.在每个小题给岀的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.） 1．直线 l过点(－3,0)，且与直线 y＝2x－3垂直，则直线 l的方程为( ) A．y＝－1 2 (x－3) B．y＝－1 2 (x＋3) C．y＝1 2 (x－3) D．y＝1 2 (x＋3) 答案 B 解析 因为直线 y＝2x－3的斜率为 2，所以直线 l的斜率为－1 2 . 又直线 l过点(－3,0)，故所求直线的方程为 y＝－1 2 (x＋3)． 2 ．若 P(2，－1)为圆 C：(x－1)2＋y2＝25的弦 AB的中点，则直线 AB的方程是( ) A．2x－y－5＝0 B．2x＋y－3＝0 C．x＋y－1＝0 D．x－y－3＝0 D [圆心 C(1，0)，kPC＝ 0－－1 1－2 ＝－1，则 kAB＝1，AB的方程为 y＋1＝x－2，即 x－y－3＝0，故 选 D．] 3. 已知数列 na 满足 1 1 11 , 2n n a a a    ，则 2024a （ ） A．2 B． 1 2 C． 1 D．2024 【答案】B 【详解】由 1 1 11 , 2n n a a a    ，可得 2 1 1 1 11 1 2 2 a a      ， 同理可得 3 41, 2,a a   ，所以数列 na 是周期为 3的数列， 则 2024 3 674 2 2 1 2 a a a    . 故选：B. 4. 双曲线x 2 m － y2 n ＝1(mn≠0)的离心率为 2，有一个焦点与抛物线 y2＝4x的焦点重合，则 mn的值为 ( ) A． 3 16 B．3 8 C．16 3 D．8 3 A [抛物线 y2＝4x的焦点为(1，0)，故双曲线的一个焦点是(1，0)，所以 m＋n＝1，且 1 m ＝2，解得 试卷第 2页，共 6页 m＝1 4 ，n＝3 4 ，故 mn＝ 3 16 ．] 5. 若一个等差数列的首项为 1 25 ，从第 10 项起开始比 1大，则这个等差数列的公差 d的取值范围是 ( ) A．d> 8 75 B．d< 3 25 C. 8 75 <d< 3 25 D. 8 75 <d≤ 3 25 答案 D解析 由题意可得 a10>1， a9≤1， 即 1 25 ＋9d>1， 1 25 ＋8d≤1， 所以 8 75 <d≤ 3 25 . 6．椭圆的中心在坐标原点，A1，A2，B1，B2分别为椭圆的左、右、上、下顶点，F2为其右焦点，直 线 B1F2与直线 A2B2交于点 P，若∠B1PA2为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围为( ) A. 5－1 2 ，1 B. 1 2 ，1 C. 1 2 ， 5－1 2 D. 0， 5－1 2 答案 A 解析 如图，设椭圆的标准方程为 x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a>b>0)， 由题意得 A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，－b)，F2(c,0)，则B2A2—→＝(a，b)，F2B1—→＝(－c，b)． 因为∠B1PA2为向量B2A2—→与F2B1—→的夹角，且∠B1PA2为钝角， 所以B2A2—→·F2B1—→<0，所以 b2－ac<0.又 b2＝a2－c2，所以 a2－ac－c2<0， 两边同时除以 a2得 1－e－e2<0，解得 e<－1－ 5 2 或 e>－1＋ 5 2 ， 因为 e∈(0,1)，所以－1＋ 5 2 <e<1. 二、多项选择题（本题共 2小题，每小题 6分，共 12 分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分） 7.记 Sn为等差数列{an}的前 n项和，已知 S4＝0，a5＝5，则下列选项正确的是( ) A．a2＋a3＝0 B．an＝2n－5 C．Sn＝n(n－4) D．d＝－2 答案 ABC 解析 S4＝ 4a1＋a4 2 ＝0，所以 a1＋a4＝a2＋a3＝0，故 A正确；a5＝a1＋4d＝5，① 试卷第 3页，共 6页 a1＋a4＝a1＋a1＋3d＝0，②联立①②得 d＝2， a1＝－3， 所以 an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5，故 B正确，D错误； Sn＝－3n＋ nn－1 2 ×2＝n2－4n，故 C正确． 8. 已知直线 l： y x m  过抛物线 C： 2 4y x 的焦点 F，且与抛物线交于 A，B两点，则（ ） A． 1m   B． 8AB  C． 2AF BF D．抛物线 C上的动点到直线 2y x  距离的最小值为 2 2 【答案】ABD 【详解】A选项，由抛物线 2: 4C y x ，可得焦点为 (1,0)F ， 因为 :l y x m  过抛物线C的焦点 F ，可得 1 0m  ，解得 1m   ，所以 A正确； B选项，联立方程组 2 1 4 y x y x     ，整理得 2 6 1 0x x   ， 设 1 1 2 2( )A x y B x y, , ( , )，则 36 4 32 0     ， 1 2 1 26, 1x x x x   ， 由抛物线的焦点弦的性质，可得 1 2 6 2 8AB x x p      ，所以 B正确； C选项，由 2 6 1 0x x   ，解得 1 23 2 2, 3 2 2x x    ， 根据抛物线的定义，可得 1 24 2 2,2 2( ) 8 4 22 2 p pAF x BF x        ， 所以 2AF BF ，所以 C错误； D选项，设 1 1( , )M x y 是抛物线C上的任意一点，可得 21 14y x ， 则点M 到直线 2y x  的距离为 2 21 1 11 1 1 2 ( 2) 42 4 2 2 4 2 y y yx y d         ， 当 1 2y  时， min 2 2 d  ，以 D正确. 故选：ABD. 三、填空题(本题共 2小题，每小题 5分，共 10 分.) 9．已知直线 l的一个方向向量为 m＝(x,2，－5)，平面α的一个法向量为 n＝(3，－1,2)，若 l∥α，则 x等于 ． 试卷第 4页，共 6页 答案 4 解析 若 l∥α，则 m⊥n，从而 m·n＝0， 即 3x－2－10＝0，解得 x＝4. 10. 设正项等差数列{��}的前�项和为��，若�21 = 63，则 1 �5 + 4 �17 的最小值为 ． 【答案】 3 2 【解析】∵正项等差数列{��}中，�21 = 21�11 = 63，∴ �11 = 3，∴ �5 + �17 = 6， ∴ 1 �5 + 4 �17 = 1 6 ( 1 �5 + 4 �17 )(�5 + �17) = 1 6 (1 + 4 + �17 �5 + 4�5 �17 ) ≥ 1 6 (1 + 4 + 2 �17 �5 ⋅ 4�5 �17 ) = 3 2 ， 四、解答题(本题共 3小题，共 48 分.) 11．（本小题满分 15分） 已知等差数列 na 中， 3 7 4 616, 0a a a a    (1)求数列的通项公式 na (2)若 na 单调递增， 2 6n nb a  ，求数列 nb 前 n项和 nS 的最小值 【答案】(1) 2 10na n  或 2 10na n   (2) 72 【详解】（1）设 na 的公差为 d， 因为 3 7 4 6 3 716, 0a a a a a a     ， 则 3 7,a a 为方程 2 16 0x   的两根， 所以 3 74, 4a a   或 3 74, 4a a   ， 当 3 74, 4a a   时， 7 3 27 3 a ad    ，则  4 2 3 2 10na n n      ， 当 3 74, 4a a   时， 7 3 27 3 a ad     ，则  4 2 3 2 10na n n      ， 综上所述， 2 10na n  或 2 10na n   ； （2）若 na 单调递增，则 2 10na n  ，故 2 6 4 26n nb a n    ， 所以   222 4 26 2 24 2n n n S n n       ， 所以当 6n  时， nS 取得最小值 72 . 12（本小题满分 15分） 如图，已知在长方体 ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点 E在棱 AB上移动． 试卷第 5页，共 6页 (1)求证：D1E⊥A1D； (2)在棱 AB上是否存在点 E使得 AD1与平面 D1EC所成的角为π 6 ？若存在，求出 AE的长；若不存在， 说明理由． (1)证明 ∵AE⊥平面 AA1D1D，A1D⊂平面 AA1D1D，∴AE⊥A1D. ∵在长方体 ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1， ∴A1D⊥AD1. ∵AE∩AD1＝A，AE，AD1⊂平面 AED1，∴A1D⊥平面 AED1. ∵D1E⊂平面 AED1， ∴D1E⊥A1D. (2)解 以 D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图 所示． 设棱 AB上存在点 E(1，t,0)(0≤t≤2)，使得 AD1与平面 D1EC所成的角为π 6 ， A(1,0,0)，D1(0,0,1)，C(0,2,0)， AD1—→＝(－1,0,1)，CD1—→＝(0，－2,1)，CE→＝(1，t－2,0)， 设平面 D1EC的法向量为 n＝(x，y，z)， 则 n·CD1—→＝－2y＋z＝0， n·CE→＝x＋t－2y＝0， 取 y＝1，得 n＝(2－t,1,2)， ∴sin π 6 ＝ |AD1—→·n| |AD1—→||n| ＝ |t－2＋2| 2× t－22＋5 ，整理得 t2＋4t－9＝0， 解得 t＝ 13－2或 t＝－2－ 13(舍去)， ∴在棱 AB上存在点 E使得 AD1与平面 D1EC所成的角为 π 6 ，此时 AE＝ 13－2. 13．（本小题满分 18分） 已知椭圆 C：x 2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a>b>0)的离心率为1 2 ，且经过点(－1，－32)， (1)求椭圆 C的标准方程； (2)过点(1,0)作直线 l与椭圆相交于 A，B两点，试问在 x轴上是否存在定点 Q，使得两条不同直线 QA，QB恰好关于 x轴对称，若存在，求出点 Q的坐标，若不存在，请说明理由． 试卷第 6页，共 6页 解 (1)由题意可得 1 a2 ＋ 9 4b2 ＝1， c a ＝ 1 2 ， a2＝b2＋c2， 解得 a＝2，b＝ 3，c＝1，所以椭圆 C的方程为x 2 4 ＋ y2 3 ＝1. (2)存在定点 Q(4,0)，满足直线 QA，QB恰好关于 x轴对称， 设直线 l的方程为 x＝my＋1， 由 x＝my＋1， x2 4 ＋ y2 3 ＝1， 联立得(4＋3m2)y2＋6my－9＝0，Δ＝(6m)2－4×(4＋3m2)×(－9)>0， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，定点 Q(t，0)， 由题意得 t≠x1，t≠x2，所以 y1＋y2＝－ 6m 4＋3m2 ，y1y2＝－ 9 4＋3m2 ， 因为直线 QA，QB恰好关于 x轴对称， 所以直线 QA，QB的斜率互为相反数，所以 y1 x1－t ＋ y2 x2－t ＝0，即 y1(x2－t)＋y2(x1－t)＝0， 所以 y1(my2＋1－t)＋y2(my1＋1－t)＝0， 即 2my1y2＋(1－t)(y1＋y2)＝0， 所以 2m· － 9 4＋3m2 ＋(1－t) － 6m 4＋3m2 ＝0， 即－6m(4－t)＝0， 所以当 t＝4时，直线 QA，QB恰好关于 x轴对称， 即 Q(4,0)． 综上，在 x轴上存在定点 Q(4,0)，使直线 QA，QB恰好关于 x轴对称．