第10讲 二倍角的三角函数（思维导图+3知识点+6考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（苏教版2019）

第10讲 二倍角的三角函数 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．会用两角和（差）的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式； 2．能熟练运用二倍角公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用． 知识点1 二倍角公式 1、倍角公式 （1）二倍角的正弦（）：． （2）二倍角的余弦（）：． （3）二倍角的正切（）：． 2、倍角公式的变形应用 （1）倍角公式的逆用 ：，，． ：． ：，． （2）配方变形：． （3）因式分解变形：． （4）升幂公式：；． （5）降幂公式：；；；． 知识点2 利用二倍角公式化简求值 1、给角求值的解题策略 （1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角． （2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式． 2、三角函数化简“三看”原则 知识点3 辅助角公式及其应用 1、辅助角公式推导：对于形如的式子，可变形如下： = 由于上式中和的平方和为1，故令， 则== 其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定， 或由和共同确定． 2、辅助角公式应用的解题思路 （1）将化为的形式； （2）构造 （3）和角公式逆用，得 (其中φ为辅助角)； （4）利用研究三角函数的性质； （5）反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范． 考点一：二倍角的正弦公式应用 例1．（23-24高一下·山东日照·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】.故选：C 【变式1-1】（23-24高一下·湖北·期中）已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为角的终边过点， 所以， 所以.故选：C. 【变式1-2】（23-24高一下·山东临沂·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将两边平方可得， 即，可得.故选：C 【变式1-3】（23-24高一下·内蒙古兴安盟·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，，得，所以.故选：D 考点二：二倍角的余弦公式应用 例2.（23-24高一下·四川绵阳·月考）已知，则 . 【答案】 【解析】因为，所以. 【变式2-1】已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 即， 所以．故选：C． 【变式2-2】（24-25高一上·江苏无锡·月考）已知为锐角，，则=（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】，解得． 因为为锐角，所以，则， 所以， 所以．故选：C. 【变式2-3】（24-25高一上·河北唐山·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，则， 则，故选：D. 考点三：二倍角的正切公式应用 例3.（23-24高一下·江苏连云港·月考）已知，则的值为 . 【答案】 【解析】因为，等式左边分子、分母同时除以得， ，解得， 所以. 故答案为：. 【变式3-1】（23-24高一下·江苏淮安·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知可得，， 所以，所以.故选：A. 【变式3-2】（23-24高一下·广东广州·月考）在中，，则的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，， ， ，故选：D． 【变式3-3】（23-24高一下·山西大同·月考）若，，则（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】D 【解析】因为， 所以 即， 因为，所以， 所以，则， 所以， 所以.故选：D 考点四：二倍角给值求值问题 例4.（2024·河南·一模）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，则， 所以．故选：A. 【变式4-1】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以， 两式相加得：，即，化简得， 所以，故选：A 【变式4-2】（23-24高一下·江苏·月考）已知，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，，则， 有，， ，得， .故选：A. 【变式4-3】（23-24高一下·江苏·月考）已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以； 即可得，故选：A. 考点五：利用二倍角化简证明 例5.（23-24高一下·江苏扬州·期中）的值为（    ） A．8 B． C．4 D． 【答案】C 【解析】.故选：C. 【变式5-1】（23-24高一下·湖北·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ．故选：A． 【变式5-2】计算： ． 【答案】/ 【解析】原式 ． 故答案为：. 【变式5-3】（1）化简； （2）证明：. 【答案】（1）1；（2）证明见解析. 【解析】（1）原式 . （2）左边 右边. 所以原等式成立. 考点六：辅助角公式及其应用 例6.（23-24高一上·河北唐山·期末）若函数，则可以化简为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，C正确； 其他选项不满足要求.故选：C 【变式6-1】（23-24高一下·北京东城·期中）函数的最小值（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以当，，即，时，函数有最小值故选：B. 【变式6-2】化为形式，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 令， 则，其中，故选：A. 【变式6-3】（23-24高一下·江苏扬州·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以，所以， 又，所以，故选：C. 一、单选题 1．（23-24高一下·内蒙古赤峰·月考）已知，则（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题得.故选：B. 2．（23-24高一下·广东佛山·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得， 又因， 所以，整理得， 因为，所以，所以，即，解得．故选:B． 3．（23-24高一下·江苏·月考） 下列各式中，值为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，有，故A错误； 对于B，有，故B错误； 对于C，有，故C错误； 对于D，有，故D正确.故选：D. 4．（23-24高一下·江苏镇江·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 .故选：D 5．（2024·全国·模拟预测）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由 .故选：A． 6．（23-24高一下·江苏淮安·月考）若为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 则 ， 又因为为锐角，所以．故选：B． 二、多选题 7．（23-24高一下·湖北孝感·月考）下列二倍角公式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】根据正弦与余弦的二倍角公式，显然AB正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误.故选：AB. 8．（24-25高一·江苏·假期作业）已知为锐角，则下列式子中与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】因为为锐角，； 对于A，，不符题意； 对于B，由题意可知，满足题意； 对于C，，满足题意； 对于D，，满足题意．故选：BCD． 三、填空题 9．（23-24高一下·广东汕头·月考）若，则 . 【答案】 【解析】因为，所以. 故答案为：. 10．（23-24高一下·甘肃兰州·期末）已知，则 . 【答案】 【解析】由，得， 则， 故答案为： 四、解答题 11．（24-25高一上·天津南开·期末）已知，，求下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，，所以，， ； （2）由(1)可知， 故. 12．（24-25高一上·河北唐山·月考）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)若，，求的值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1） 所以，即的最小正周期为 （2）由（1）知， 若，则，所以， 由，得，则， 所以，即， 所以. ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 二倍角的三角函数 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．会用两角和（差）的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式； 2．能熟练运用二倍角公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用． 知识点1 二倍角公式 1、倍角公式 （1）二倍角的正弦（）：． （2）二倍角的余弦（）：． （3）二倍角的正切（）：． 2、倍角公式的变形应用 （1）倍角公式的逆用 ：，，． ：． ：，． （2）配方变形：． （3）因式分解变形：． （4）升幂公式：；． （5）降幂公式：；；；． 知识点2 利用二倍角公式化简求值 1、给角求值的解题策略 （1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角． （2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式． 2、三角函数化简“三看”原则 知识点3 辅助角公式及其应用 1、辅助角公式推导：对于形如的式子，可变形如下： = 由于上式中和的平方和为1，故令， 则== 其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定， 或由和共同确定． 2、辅助角公式应用的解题思路 （1）将化为的形式； （2）构造 （3）和角公式逆用，得 (其中φ为辅助角)； （4）利用研究三角函数的性质； （5）反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范． 考点一：二倍角的正弦公式应用 例1．（23-24高一下·山东日照·期末）（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高一下·湖北·期中）已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一下·山东临沂·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高一下·内蒙古兴安盟·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 考点二：二倍角的余弦公式应用 例2.（23-24高一下·四川绵阳·月考）已知，则 . 【变式2-1】已知，则（    ）． A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一上·江苏无锡·月考）已知为锐角，，则=（    ） A． B． C． D．或 【变式2-3】（24-25高一上·河北唐山·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 考点三：二倍角的正切公式应用 例3.（23-24高一下·江苏连云港·月考）已知，则的值为 . 【变式3-1】（23-24高一下·江苏淮安·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一下·广东广州·月考）在中，，则的值为(    ) A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高一下·山西大同·月考）若，，则（    ） A．4 B． C．5 D． 考点四：二倍角给值求值问题 例4.（2024·河南·一模）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高一下·江苏·月考）已知，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高一下·江苏·月考）已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 考点五：利用二倍角化简证明 例5.（23-24高一下·江苏扬州·期中）的值为（    ） A．8 B． C．4 D． 【变式5-1】（23-24高一下·湖北·期末）（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】计算： ． 【变式5-3】（1）化简； （2）证明：. 考点六：辅助角公式及其应用 例6.（23-24高一上·河北唐山·期末）若函数，则可以化简为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24高一下·北京东城·期中）函数的最小值（    ） A．2 B． C． D． 【变式6-2】化为形式，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24高一下·江苏扬州·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（23-24高一下·内蒙古赤峰·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·广东佛山·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江苏·月考） 下列各式中，值为的是（ ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·江苏镇江·期中）（    ） A． B． C． D． 5．（2024·全国·模拟预测）（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·江苏淮安·月考）若为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高一下·湖北孝感·月考）下列二倍角公式正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一·江苏·假期作业）已知为锐角，则下列式子中与相等的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（23-24高一下·广东汕头·月考）若，则 . 10．（23-24高一下·甘肃兰州·期末）已知，则 . 四、解答题 11．（24-25高一上·天津南开·期末）已知，，求下列各式的值： (1)； (2). 12．（24-25高一上·河北唐山·月考）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)若，，求的值． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$