第09讲 两角和与差的三角函数（思维导图+3知识点+10考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（苏教版2019）

第09讲 两角和与差的三角函数 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握两角和与差的余弦、正弦、正切公式； 2．会用两角和与差的余弦、正弦、正切公式进行简单的三角函数的化简、求值、计算． 知识点1 两角和与差的余弦公式 1、两角和的余弦公式：． 2、两角差的余弦公式：． 3、使用注意事项 （1）公式中，都是任意的，既可以是一个角，也可以是几个角的组合； （2）一般不成立，但在特殊情况下也可能成立。例如：当，时，； （3）要掌握公式的逆用，如． 知识点2 两角和与差的正弦公式 1、两角和的正弦公式：． 2、两角差的正弦公式：． 3、使用注意事项 （1）公式中的，都是任意角； （2）一般情况下，两角和与差的正弦公式不能按分配律展开，即； （3）注意公式的逆向运用：如． 知识点3 两角和与差的正切公式 1、两角和的正切公式：． 2、两角差的正切公式：． 3、使用注意事项 （1）公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围； （2）公式的变形：． 考点一：两角和与差的余弦公式正用 例1．（22-23高一下·江苏镇江·期中）已知且都是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高一下·福建宁德·开学考试）已知，为锐角，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（22-23高一下·江苏常州·月考）在中，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高一下·四川成都·月考）若为锐角，且，则 ． 考点二：两角和与差的余弦公式逆用 例2.（23-24高一下·江苏盐城·月考）（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高一下·江苏·月考）（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（22-23高一下·江苏连云港·月考）=（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高一下·江西南昌·月考）（    ） A． B． C． D． 考点三：两角和与差的正弦公式正用 例3.（22-23高一上·福建福州·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高一下·福建莆田·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（22-23高一上·浙江丽水·期末）若，且，，则 . 【变式3-3】在中，若，，则 . 考点四：两角和与差的正弦公式逆用 例4.（23-24高一下·江苏盐城·期中）（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高一下·江苏泰州·月考）（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一上·福建·期末）计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高一上·吉林长春·期末）（    ） A． B． C． D． 考点五：两角和与差的正切公式正用 例5.（23-24高一上·陕西西安·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知，则（    ） A．－3 B．2 C．3 D．不存在 【变式5-2】（23-24高一下·江苏镇江·月考）已知，且，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（22-23高一下·江苏盐城·月考）如图，三个相同的正方形相接，则的值是（    ） A． B． C． D． 考点六：两角和与差的正切公式逆用 例6.（23-24高一上·河南·期末）的值是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24高一下·江苏南通·月考）（    ） A． B． C．1 D． 【变式6-2】（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）（    ） A． B．1 C． D． 【变式6-3】（24-25高三上·云南昆明·月考）在中，，则（    ） A． B． C． D． 考点七：求特殊角的三角函数值 例7.（22-230高一下·山东枣庄·月考）的值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24高一下·江苏扬州·月考）等于（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（22-23高一下·江西赣州·月考）计算（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（23-24高一下·四川内江·月考）（    ）． A． B． C． D． 考点八：三角函数式给值求值问题 例8.（23-24高三上·湖北·月考）已知为钝角，，则（    ） A． B． C．7 D． 【变式8-1】（23-24高一下·湖北·月考）已知满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24高二上·山东日照·开学考试）已知，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24高三下·江苏·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 考点九：三角函数式给值求角问题 例9.（23-24高一下·江西赣州·月考）已知，，且满足，，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【变式9-1】（23-24高一下·江苏盐城·期中）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）已知角，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】若，，且，，则的值是 ． 考点十：三角函数式的化简与证明 例10.（23-24高一下·河南南阳·月考）（    ） A． B．1 C． D． 【变式10-1】（24-25高三上·湖南长沙·月考）的值是（    ） A． B． C．1 D． 【变式10-2】（22-23高一下·山东聊城·期中）的值为 . 【变式10-3】（1）若，求的值； （2）证明：． 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏苏州·月考）（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江苏南京·期中）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合.若角的终边绕着原点按顺时针方向旋转后经过点，则（    ） A． B． C． D．3 3．（23-24高一下·辽宁沈阳·月考）等于（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·江苏徐州·月考）的值为（    ） A． B． C．3 D． 5．（23-24高一下·江苏南通·月考）已知，，，，则（    ） A． B． C． D．或 6．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高一下·广东梅州·月考）下列说法中，正确的是（    ） A．存在，的值，使 B．不存在无穷多个，的值，使 C．对于任意的，，都有 D．不存在，的值，使 8．（24-25高一上·山东济南·月考）已知，且，是方程的两不等实根.则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（23-24高三上·江苏淮安·开学考试）的值为 ． 10．（23-24高一下·江西·月考）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形的两锐角分别为，其中小正方形的面积为9，大正方形的面积为25，则 ． 四、解答题 11．（23-24高一下·重庆·期中）已知向量，，． (1)求的值； (2)若，，求的值． 12．（23-24高一下·山东青岛·月考）已知 (1)求的值； (2)求的值. 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