专题10.3 两角和与差的正切（高效培优讲义）数学苏教版高一必修第二册

专题10.3 两角和与差的正切 教学目标 1.能以两角和与差的正弦、余弦公式为基础推导出两角和与差的正切公式． 2.能运用两角和与差的正切公式进行简单的三角函数式的化简、求值． 3.通过让学生自主探索、发现并推导两角和差的正切公式，培养学生用联系的观点分析问题并解决问题的能力、化归能力． 4.通过两角和与差的正切公式的应用，用联系的观点分析问题，认识事物之间的转化，培养学生观察、判断、推理的能力，发展学生正向、逆向思维能力，提升学生的逻辑推理素养和数学运算素养． 教学重难点 1.重点 两角和与差的正切公式的应用． 2.难点 两角和差正切公式的逆用及角的变换. 知识点01 两角和的正切公式 两角和的正切公式：. 注：(1)两角和与差的正切公式的结构特征 (2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. 【即学即练】 1．已知，，则等于（  ） A．1 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】利用两角和的正切公式可求得的值. 【解析】因为，， 所以. 故选：C. 2．若，，且，是方程的两个根，则（  ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据根与系数之间的关系，结合两角和差的正切公式进行化简求解即可． 【解析】解：、是方程的两个根， ，， ，，即、,， 则， 则， 故选：B． 知识点02 两角差的正切公式 两角差的正切公式：. 注：(1)两角和与差的正切公式的结构特征 (2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. 【即学即练】 1．（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】逆用两角差的正切公式，即可求得答案. 【解析】． 故选：A. 2．已知；求的值. 【答案】 【分析】根据，解得，再对进行化简计算即可. 【解析】由， 解得. 所以 . 题型01 两角和与差的正切公式 【典例1】已知，则（  ） A．2 B．-2 C． D． 【答案】B 【分析】由两角差的正切公式求解即可. 【解析】已知，解得. 故选：B. 两角和与差的正切公式的结构特征： 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. 【变式1】下列说法中正确的是（  ） A．存在，使成立 B．对任意都成立 C．能根据公式直接展开 D．在中，若为钝角，则的值大于1 【答案】A 【分析】对于A，举例判断；对于B，由正切函数的定义域判断；对于C，由正切函数的定义域判断对于D，根据为钝角，由两角和的正切公式判断. 【解析】对于A，当时，成立； 对于B，两角和的正切公式的适用范围是； 对于C，因为没有意义，所以不能直接展开； 对于D，因为为钝角，所以为锐角，从而均为锐角， 所以，且． 故． 故选：A 【变式2】已知在中，，，则的值为（  ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由同角三角函数的平方关系及商数关系得出，再根据诱导公式及两角和的正切公式即可求解． 【解析】由已知得，则， 所以， 故选：D． 【变式3】已知角，且，则（  ） A．－2 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据已知条件，分别求得和，再由正切的差角公式即可求得结果. 【解析】因为，故可得，则； ，故可得，即； ，即， 也即，等式两边同时除以， 则； 故； 故选：C. 题型02 用和、差角的正切公式化简，求值 【典例1】已知，则（  ） A． B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】弦化切，求出，再利用两角和的正切公式化简求值即可. 【解析】因为，所以， 即，解得， 所以， 故选：D. 【变式1】若，则（  ） A．3 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据正切函数的两角差公式化简求解即可. 【解析】因为， 所以，所以． 故选：C． 【变式2】已知，，则（  ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】根据和差的正切函数进行化简求解即可. 【解析】因为， 所以，化简得. ①+②得，①-②得. 所以. 故选：C. 【变式3】若α＋β＝，则(1－tan α)·(1－tan β)等于（  ） A． B．2 C．1＋ D．2(tan A＋tan B) 【答案】B 【分析】由已知，应用和角正切公式可得tan α＋tan β＝－1＋tan αtan β，利用因式分解求目标式的值. 【解析】由题设得：tan(α＋β)＝＝－1， ∴tan α＋tan β＝－1＋tan αtan β，即2＝1－tan α－tan β＋tan αtan β＝(1－tan α)(1－tan β)． 故选：B 【变式4】已知 ． 【答案】 【分析】应用两角和的正切公式化简计算求解. 【解析】. 故答案为：. 题型03 给角求值 【典例1】（  ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两角和的正切公式，结合特殊角的正切值，可得结果. 【解析】. 故选：D. 利用公式、求值的常见类型及解法： (1)两特殊角之差的正切值，利用两角差的正切公式直接展开求解． (2)含有常数的式子，先将常数转化为特殊角的三角函数值，然后利用两角和（差）的正切公式求解． (3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角和（差）的正切公式求解． 【变式1】（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将15°变成，75°变成，然后利用和差倍角的正切值进行计算. 【解析】. ， 所以. 故选：D. 【变式2】（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式以及两角差的正切公式可求得的值. 【解析】 . 故选：A 题型04 给值求值 【典例1】已知，，则等于（  ） A．1 B． C． D．2或6 【答案】C 【分析】由已知可得，再由诱导公式及，结合差角正切公式即可求. 【解析】因为，则，解得，又， 所以. 故选：C. 给值求值问题的解题策略： (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系． (2)在运用两角差的余弦公式进行解题时，可以根据需要灵活地进行拆角或凑角．常见角的变换有①α＝(α＋β)－β；②α＝－；③2α＝(α＋β)－(β－α)；④2β＝(α＋β)－(α－β)． 【变式1】已知，，那么等于（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两角差的正切公式计算． 【解析】， ， 故选：C． 【变式2】已知，则（  ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据，结合两角和差的正余弦公式与同角三角函数的关系化简求解即可. 【解析】因为，所以， 所以． 故选：D． 题型05 给值求角 【典例1】已知角，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平方关系和商数关系求出，再根据求出，注意求得的范围，再根据结合两角和的正切公式即可得解. 【解析】角，由得， 则，又因为在上单调递增，则， 而， 同理有， 所以， 且，得. 故选：A. 给值求角问题的解题步骤： (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围． (2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角． 【变式1】已知sin α＝，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则角α＋β的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出tan α，再利用两角和的正切公式求出tan(α＋β)＝－1，判断出角α＋β的范围，即可求出α＋β的值. 【解析】sin α＝，且α为锐角，则cos α＝，tan α. 所以tan(α＋β)＝＝＝－1. 又α＋β∈，故α＋β＝. 故选：B 【变式2】已知，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角恒等变换的应用可得，结合两角和的正切公式计算即可求解. 【解析】由， 得，所以， 又，所以， 即， 整理得，即， 所以一个钝角一个锐角，所以， 所以， 所以. 故选：C. 【变式3】已知，，，，则的值为 . 【答案】 【分析】由条件可得，从而得到的值，再由的范围，即可得到结果. 【解析】因为，，则， 所以， 则， 且，，， 则. 故答案为：. 【变式4】已知且. (1)求的值； (2)求的大小. 【答案】(1); (2) 【分析】（1）将化为求解；（2）将化为求解. 【解析】（1）； （2）， 又，所以. 题型06 逆用、变用和、差角的正切公式化简，求值 【典例1】已知满足，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两角和的正切公式的逆用，可得出，结合题中等式化简得出的值，结合可得出角的值. 【解析】因为满足， 所以， 因为， 故， 故， 因此，. 故选：B. 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力. 【变式1】的值为（  ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先把代入原式，逆用两角和的正切公式即可求得答案． 【解析】 故选：B. 【变式2】（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，逆用和角的正切公式求解即得. 【解析】. 故选：B. 【变式3】已知，则的值是（  ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角和与差的正切公式即可得到答案. 【解析】 . 故选：B. 【变式4】若，则（  ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】利用正切的两角差公式的逆用，即可求值. 【解析】由，可得：， 又因为， 所以， 即， 故选：C. 题型07 两角和与差的正切公式的综合应用 【典例1】如图，正方形的边长为1，，分别为边，上的动点. (1)设，，请用含有的式子表示的周长； (2)若点，在运动的过程中，的大小保持不变，试探究的周长的变化情况． 【答案】(1);(2)的周长为定值2 【分析】（1）求出后即可得解； （2）由题意可得的大小保持不变，即为定值，结合三角形周长的表达式及两角和的正切公式，得出的表达式，即可求解． 【解析】（1）由题知，，，， 所以的周长. （2）因为点在运动的过程中，的大小保持不变， 所以的大小保持不变，则为定值. ， 令，， 则有，化简得， =， 要使得为定值，则有，解得， 此时， ，即. 所以若在运动的过程中，的大小保持不变， 则的周长为定值2. 【变式1】下列各式中值为的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角函数的诱导公式、正切函数的和差公式以及正弦函数的差角公式，可得答案. 【解析】对于A，，A错误； 对于B，， 由，则 故原式，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，故原式，D错误． 故选：B. 【变式2】在平面四边形中，，则的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意知，故可建立平面直角坐标系，设出相关线段长，表示出各点坐标，结合可得所设参数的关系，利用解直角三角形求出的值，利用两角和的正切公式，即可求得答案. 【解析】由题意知，则， 故以所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设，则， 故， 由于，故， 即，即， 则在中，， 同理可得， 故， 故选：C 【变式3】已知，，，则的值为（  ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据同角三角函数的基本关系式、两角和与差的余弦、正弦公式求得正确答案. 【解析】， ， ，分子分母同时除以得： ①， 由于，所以，所以， 所以， 所以， 即，代入①得： ，解得. 故选：B 【变式4】某校足球社团计划举办校内足球比赛．如图为五人制足球场地，其球门长3米，宽1.2米，假设一球员在沿平行于边线的上跑向底线，在距底线为3米的处获得进球机会，已知点到的距离为3m，则其有效射门角的正切值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交于点，设（为锐角），由题意可得，进而利用可求结论. 【解析】延长交于点，设（为锐角）， 由题意，所以， 因为，故， 所以． 故选：A. 【变式5】如图，某城市有一条公路从正西方沿通过市中心后转到北偏东的上，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在、上分别设置两个出口、．若要求市中心与的距离为千米，则线段最短为（  ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】D 【分析】过点作，垂足为点，设，，且，，计算得出，利用两角差的正切公式以及基本不等式可求得的最小值. 【解析】过点作，垂足为点，设，，且，， 由题意可得，， 所以， ， 因为， 令，则 ， 当且仅当时，等号成立， 故（千米）. 故选：D. 1．化简等于（  ） A． B． C．3 D．1 【答案】B 【分析】转化为两角差的正切公式，即可求解. 【解析】原式． 故选：B 2．已知角，其终边上有一点，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数定义利用两角和的正切公式再根据角的范围即可得. 【解析】由正切函数的定义可知： ； 又，所以. 故选：D 3．化简（  ） A．8 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】构造两角和的正切公式，利用特殊角的正切值得到等式即可. 【解析】因为， 所以， 即， 故选：B 4．某同学站立在雨中水平撑伞，始终保持伞面的下边缘距离地面，当雨与地面成斜降下来时，要使脚恰好不被雨淋湿，脚与伞边缘的水平距离（单位：m）为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意画出相应的直角三角形，利用三角函数和和差公式即可求解. 【解析】如图，脚的位置位于点处，伞的边缘位于点处，则脚与伞边缘的水平距离为. 由题意得，在中，，则，则， ， . 故选：A. 5．计算的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，进行构角，利用正切的差角公式，再适当的变形即可求出结果. 【解析】因为，所以，交叉相乘得： 所以. 故选：B. 6．（  ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据两角和的正切公式以及诱导公式求得正确答案. 【解析】， ， ， 所以， 所以 . 故选：A 7．（多选）下列化简结果正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用三角函数的和角公式判断AB，逆用三角函数的和角公式判断CD，从而得解. 【解析】对于A， ，故A正确. 对于B，，故B正确； 对于C， ，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：AB 8．（多选）已知，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用两角差的正切公式结合合适的代数变形可得正确的选项. 【解析】令，，， 因为，，， 所以，，， 以上三式相加，即有． 令，，，因为 ， ， ， 所以， ， ， 以上三式相加，即有． 故选：AB. 9.（多选）已知，为锐角，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】对于A，由两角和的余弦公式、商数关系即可验算；对于B，直接由两角差的余弦公式验算即可；对于C，首先得，，然后直接验算即可；对于D，由，即可得解. 【解析】对于A，因为，， 所以， 解得，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因为，为锐角，所以， 又因为，所以，所以， ，故C错误； 对于D，因为，为锐角，所以， 又因为，所以只能， 因为，解得，故D正确. 故选：BD. 10．若，，且，是方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】根据韦达定理，可得的值，根据两角和的正切公式，化简整理，结合的范围，即可得答案. 【解析】、是方程的两个根， 由韦达定理可得，，，，， ， 则，则， 则． 故答案为： 11．的值为_________ 【答案】 【分析】利用两角和的正切公式推得，从而得，依次类推，即可求得的值，即得答案. 【解析】因为，故， 即， 所以， 同理，，， 故， 故答案为： 12．已知的角A，B，C满足，其中符号表示不大于x的最大整数，若，则 ． 【答案】1 【分析】先证得，结合条件得必为整数，分为钝角三角形与锐角三角形讨论求得的值 【解析】由， 得. 记，由条件得， 因为，所以必为整数. 如果为钝角三角形，则，则、均为锐角， 从而、为正整数()， 于是， 这时有，矛盾. 于是只能是锐角三角形，则. 又. 若，则，从而不能成立; 若，则，由，得; 若，则，由，得，与矛盾. 所以，即， 所以. 故答案为：1 13．求值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】利用正切的两角和差公式化简求值即可. 【解析】（1）． （2）由的变形得: ， 所以． （3） ． 14．如图所示是某斜拉式大桥图片，为了了解桥的一些结构情况，学校数学兴趣小组将大桥的结构进行了简化，取其部分可抽象成图（1）所示的模型，其中桥塔、与桥面垂直，通过测量得知，，当为中点时，. （1）求的长； （2）试问在线段的何处时，达到最大. 【答案】(1)；（2）时，最大. 【分析】（1）根据题意得到，，求得，列出方程，即可求得； （2）分别求得，，根据得出关系式，结合换元法和基本不等式，即可求解． 【解析】（1）设，，，则，， 由，解得. （2）设，则，， 所以， 因为，所以，即为锐角， 令，则， 所以， 所以， 当且仅当时，即， 所以时，最大. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.3 两角和与差的正切 教学目标 1.能以两角和与差的正弦、余弦公式为基础推导出两角和与差的正切公式． 2.能运用两角和与差的正切公式进行简单的三角函数式的化简、求值． 3.通过让学生自主探索、发现并推导两角和差的正切公式，培养学生用联系的观点分析问题并解决问题的能力、化归能力． 4.通过两角和与差的正切公式的应用，用联系的观点分析问题，认识事物之间的转化，培养学生观察、判断、推理的能力，发展学生正向、逆向思维能力，提升学生的逻辑推理素养和数学运算素养． 教学重难点 1.重点 两角和与差的正切公式的应用． 2.难点 两角和差正切公式的逆用及角的变换. 知识点01 两角和的正切公式 两角和的正切公式：. 注：(1)两角和与差的正切公式的结构特征 (2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. 【即学即练】 1．已知，，则等于（  ） A．1 B．5 C． D． 2．若，，且，是方程的两个根，则（  ） A． B． C．或 D．或 知识点02 两角差的正切公式 两角差的正切公式：. 注：(1)两角和与差的正切公式的结构特征 (2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. 【即学即练】 1．（  ） A． B． C． D． 2．已知；求的值. 题型01 两角和与差的正切公式 【典例1】已知，则（  ） A．2 B．-2 C． D． 两角和与差的正切公式的结构特征： 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. 【变式1】下列说法中正确的是（  ） A．存在，使成立 B．对任意都成立 C．能根据公式直接展开 D．在中，若为钝角，则的值大于1 【变式2】已知在中，，，则的值为（  ） A． B． C．2 D． 【变式3】已知角，且，则（  ） A．－2 B． C． D．2 题型02 用和、差角的正切公式化简，求值 【典例1】已知，则（  ） A． B．2 C．3 D．5 【变式1】若，则（  ） A．3 B．1 C． D． 【变式2】已知，，则（  ） A．13 B．14 C．15 D．16 【变式3】若α＋β＝，则(1－tan α)·(1－tan β)等于（  ） A． B．2 C．1＋ D．2(tan A＋tan B) 【变式4】已知 ． 题型03 给角求值 【典例1】（  ） A．1 B． C． D． 利用公式、求值的常见类型及解法： (1)两特殊角之差的正切值，利用两角差的正切公式直接展开求解． (2)含有常数的式子，先将常数转化为特殊角的三角函数值，然后利用两角和（差）的正切公式求解． (3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角和（差）的正切公式求解． 【变式1】（  ） A． B． C． D． 【变式2】（  ） A． B． C． D． 题型04 给值求值 【典例1】已知，，则等于（  ） A．1 B． C． D．2或6 给值求值问题的解题策略： (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系． (2)在运用两角差的余弦公式进行解题时，可以根据需要灵活地进行拆角或凑角．常见角的变换有①α＝(α＋β)－β；②α＝－；③2α＝(α＋β)－(β－α)；④2β＝(α＋β)－(α－β)． 【变式1】已知，，那么等于（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知，则（  ） A． B． C．2 D． 题型05 给值求角 【典例1】已知角，，，则（  ） A． B． C． D． 给值求角问题的解题步骤： (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围． (2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角． 【变式1】已知sin α＝，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则角α＋β的值为（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知，则（  ） A． B． C． D． 【变式3】已知，，，，则的值为 . 【变式4】已知且. (1)求的值； (2)求的大小. 题型06 逆用、变用和、差角的正切公式化简，求值 【典例1】已知满足，则的值为（  ） A． B． C． D． 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力. 【变式1】的值为（  ） A． B． C．1 D． 【变式2】（  ） A． B． C． D． 【变式3】已知，则的值是（  ） A．2 B． C． D． 【变式4】若，则（  ） A．0 B．1 C． D．2 题型07 两角和与差的正切公式的综合应用 【典例1】如图，正方形的边长为1，，分别为边，上的动点. (1)设，，请用含有的式子表示的周长； (2)若点，在运动的过程中，的大小保持不变，试探究的周长的变化情况． 【变式1】下列各式中值为的是（  ） A． B． C． D． 【变式2】在平面四边形中，，则的值是（  ） A． B． C． D． 【变式3】已知，，，则的值为（  ） A． B． C． D．2 【变式4】某校足球社团计划举办校内足球比赛．如图为五人制足球场地，其球门长3米，宽1.2米，假设一球员在沿平行于边线的上跑向底线，在距底线为3米的处获得进球机会，已知点到的距离为3m，则其有效射门角的正切值为（  ） A． B． C． D． 【变式5】如图，某城市有一条公路从正西方沿通过市中心后转到北偏东的上，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在、上分别设置两个出口、．若要求市中心与的距离为千米，则线段最短为（  ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 1．化简等于（  ） A． B． C．3 D．1 2．已知角，其终边上有一点，则（  ） A． B． C． D． 3．化简（  ） A．8 B．1 C．2 D．4 4．某同学站立在雨中水平撑伞，始终保持伞面的下边缘距离地面，当雨与地面成斜降下来时，要使脚恰好不被雨淋湿，脚与伞边缘的水平距离（单位：m）为（  ） A． B． C． D． 5．计算的值为（  ） A． B． C． D． 6．（  ） A． B． C．1 D． 7．（多选）下列化简结果正确的是（  ） A． B． C． D． 8．（多选）已知，，，则（  ） A． B． C． D． 9.（多选）已知，为锐角，，，则（  ） A． B． C． D． 10．若，，且，是方程的两个根，则 ． 11．的值为_________ 12．已知的角A，B，C满足，其中符号表示不大于x的最大整数，若，则 ． 13．求值： (1)； (2)； (3)． 14．如图所示是某斜拉式大桥图片，为了了解桥的一些结构情况，学校数学兴趣小组将大桥的结构进行了简化，取其部分可抽象成图（1）所示的模型，其中桥塔、与桥面垂直，通过测量得知，，当为中点时，. （1）求的长； （2）试问在线段的何处时，达到最大. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $