预习专题07 平行公理与同位角、内错角和同旁内角（4知识点+4考点+1易错+过关检测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（沪教版2024）

专题07 平行公理与同位角、内错角和同旁内角 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1. 学生能够理解平行线的概念，掌握平行线的定义和表示方法，并能够通过工具（如直尺和三角板）画出已知直线的平行线. 2.掌握平行公理及其推论，能用数学语言表达这些概念和推论. 3.学生能够理解同位角、内错角和同旁内角的概念，并能够结合图形识别这些角. 平行线公理 1.定义:在同一平面上不相交的两条直线叫作平行线. 平行用符号“//”表示.如果直线和直线是平行线,那么也称它们互相平行,记作“//”,读作“平行于”. 注意：(1)平行线的概念有三个要素:一是在同一平面内，二是两条直线，三是不相交,三者缺一不可. (2)在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系:相交和平行.应特别注意“在同一平面内”这一条件. (3)有些图形即使没画出交点,也不能说它们平行.如图,直线AB和CD并没有画出交点，但它们有交点，不平行. 【特别提醒】 （1）关于平行线的定义,应特别注意“在同一平面内”这个条件,因为在空间里,还存在两条直线既不相交,也不平行的情况（异面），想象立交桥,而在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:相交和平行. （2）平行线概念中的“不相交”是指直线，而不是线段或射线. （3）线段(或射线)平行，是指线段(或射线)所在的直线平行. （4）判断同一平面内两条直线的位置关系时，可根据它们的公共点的个数来确定. 下列说法中正确的是（    ） A．不相交的两条直线叫做平行线 B．相等的角是对顶角 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．在平面中过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的定义及公理，对顶角相等以及和垂直的概念，解题的关键在于熟练掌握相关定义．利用平行线的定义及公理，对顶角的概念和垂直的概念逐项分析判断，即可解题． 【详解】解：A 、在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，故选项说法错误，不符合题意； B、对顶角相等，但是相等的不一定是对顶角，故选项说法错误，不符合题意； C、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， 故选项说法错误，不符合题意； D、在平面中过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，选项说法正确，符合题意． 故选：D． 平行线的画法 画法:(1)将三角板的一边紧靠直线,将直尺紧靠三角板的另一边,如图1所示; (2) 沿直尺推动三角板,使三角板紧靠直线的一边(边)经过点,如图2所示; (3)沿三角板的这条经过点的边,画直线,如图3所示.直线就是所要画的直线,如图4所示. 【注意】(1)过直线上一点，不能画该直线的平行线:(2)借助直尺和三角尺画平行线时，必须保持“紧靠”，否则画出的直线不平行;(3)画线段或射线的平行线指的是画它们所在直线的平行线. 经过直线外的一点,有且只有一条直线与该直线平行. 【特别提醒】 (1)在叙述时，一定要强调“直线外一点”，否则不存在平行线. (2)“有且只有”中的“有’表示存在性,“只有”表示唯一性. (3)基本事实是过直线外一点画这条直线的平行线的依据. (4)平行线基本事实的推论表述了平行线的传递性，推论中不用强调“在同一平面内” 3.平行公理的推论:在同一个平面上,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行. 下列说法：①在同一平面内，若直线，，则；②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交；③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是 ．（填序号） 【答案】①②/②① 【分析】本题考查平行线的性质和判定、相交线．利用同一个平面内，两条直线的位置关系依次对各选项进行判断即可．掌握平行线的性质和判定是解题的关键． 【详解】解：①在同一平面内，若直线，，则；故此说法正确； ②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交，故此说法正确； ③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线也有可能平行，故此说法错误； ④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故此说法错误． ∴说法正确的是①②． 故答案为：①②． 4.（补充）反证法 证明步骤：(1)先假设求证的结论是错误的;(2)由此推导出与已知定义、公理、定理或条件等相矛盾的结果;(3)从而否定开始的假设,肯定先前求证的结论的正确性. 三线八角 如图,直线与相交(也可以说两条直线被第三条直线所截),构成了个角，简称“三线八角”. 同位角、内错角、同旁内角 1. 同位角、内错角、同旁内角的概念 名称 定义 图形的结构特征 图示 同 位 角 ∠1与∠5都在第三条直线的同旁，并且分别位于直线的同一侧，这样的一对角叫做同位角. (1)在截线同侧； (2)在两条被截直线同侧； (3)形如字母“F” (或倒置、反置、旋转) 直线被直线所截 内 错 角 ∠3与∠5分别位于第三条直线异侧，且都在直线之间，这样的一对角叫做内错角. (1)在被截两直线之间； (2)在截线的异侧； (3)形如字母“Z” (或倒置、反置、旋转) 同 旁 内 角 ∠3与∠6在直线同旁且在直线之间，这样的一对角叫做同旁内角. (1)在被截两直线之间； (2)在截线同旁； (3)形如字母“U” (或倒置、反置、旋转) 注意： (1)同位角、内错角、同旁内角指的都是位置关系，而不是大小关系. (2)这三类角都是两条直线被第三条直线所截形成的，要分清截线和被截线 (3)两条直线被第三条直线所截形成的8个角中共有4对同位角、2对内错角、2对同旁内角. 2. 手势表示 同位角、内错角、同旁内角也可以用手势表示出来(两大拇指代表两条被截直线，食指代表截线),如图所示，采用不同的手势，分别得到同位角、内错角、同旁内角. ①根据手势识别同位角(两大拇指所在直线代表被截直线，食指所在直线代表截线) ②根据手势识别内错角(两大拇指所在直线代表被截直线，食指所在直线代表截线) ③根据手势识别同旁内角(两大拇指所在直线代表被截直线，食指所在直线代表截线) 如图，直线上有一点和是直线被直线 所截形成的 角；和是直线和被直线 所截形成的 角；和是直线 和 被直线 所截形成的 角． 【答案】 同位 内错 同旁内 【分析】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．根据同位角、内错角、同旁内角的定义解答即可． 【详解】解：直线上有一点和是直线被直线所截形成的同位角；和是直线和被直线所截形成的内错角；和是直线和被直线所截形成的同旁内角． 故答案为：，同位；，内错；，，，同旁内． 用直尺、三角板画平行线 例1 下列各图中的直线，用推三角尺的方法验证，其中的有 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查的是用三角板和直尺判定判定平行线，将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板即可判定． 【详解】解：将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板，可判定三个图形中的有①②③， 故答案为：①②③． 【变式1-1】如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是： ．（填序号）    【答案】④②①③ 【分析】本题考查的是画平行线，根据“用直尺和三角板过直线外一点画已知直线的平行线的操作步骤”即可作答； 【详解】解：正确的步骤是： ④用三角尺的一边贴住直线a； ②用直尺紧靠三角尺的另一边； ①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P； ③沿三角尺的边作出直线b； 故答案为：④②①③； 【变式1-2】如图是利用直尺移动三角板过直线外一点作直线的平行线的方法，小明经过多次实践后发现只能作一条平行线，这反映了 ．    【答案】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】根据平行公理可得答案． 【详解】解：由图可得，过直线外一点，能且只能画出一条平行线， 这反映了：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【点睛】本题考查平行公里，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键． 【变式1-3】如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线AB∥CD，下面是某位同学弄乱了顺序的操作步骤： ①沿三角尺的边作出直线CD； ②用直尺紧靠三角尺的另一条边； ③作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB； ④沿直尺下移三角尺；正确的操作顺序应是： ． 【答案】③②④① 【分析】根据同位角相等两直线平行判断即可． 【详解】解：根据同位角相等两直线平行则正确的操作步骤是③②④①， 故答案我③②④①． 【点睛】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握同位角相等，两直线平行． 平行公理的应用 例2 生活情境·风车 如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，叶子所在的直线与地面 ，理由是 ． 【答案】 相交 同一平面，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查了平行与相交，熟知平行于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键．根据与相交，来判定与的关系． 【详解】解：∵与相交，， ∴不平行于，即与相交（同一平面，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）． 故答案为：相交；同一平面，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 【变式2-1】如图，，则点P，C，Q在同一条直B线上．理由是 ． 【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查的是平行公理，根据平行公理可得． 【详解】解：∵，且、经过点C， ∴过外一点C的直线和都平行于直线， ∵经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行， ∴点P，C，Q在一条直线上， 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 【变式2-2】有下列说法：①两条不相交的直线是平行线；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③在同一平面内，和第三条直线都不相交的两条直线平行；④在同一平面内，不相交的两条射线必平行．其中，正确的有 个． 【答案】1 【分析】本题考查了平行线的定义和平行公理，根据平行线的定义、平行公理进行判断，即可得出结论，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①在同一平面内，两条不相交的直线是平行线，故原说法错误； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原说法错误； ③在同一平面内，和第三条直线都不相交的两条直线平行，故原说法正确； ④在同一平面内，不相交的两条射线不一定平行，故原说法错误； 综上所述，正确的为③，共个， 故答案为：． 【变式2-3】如图：，，则点A、B、C在一条直线上．理由是： ．    【答案】经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行 【分析】本题考查的是平行公理，根据平行公理可得． 【详解】解：∵，，且、经过点A， ∴过外一点B的直线和都平行于直线， ∵经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行， ∴点A、B、C在一条直线上， 故答案为：经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行． 【变式2-4】如图，，，则点B、P、A在同一条直线的理由： ． 【答案】经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查了平行公理，根据平行公理判断即可． 【详解】解：理由为：经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行， 故答案为：经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 平行公理推论的应用 例3 如果，那么a c． 【答案】 【分析】本题考查平行公理的推论，掌握如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行是解题关键．根据平行公理的推论解答即可． 【详解】解：因为， 所以． 故答案为：． 【变式3-1】如图，在直线 的同侧有 ，， 三点，若，，那么 ，， 三点 （填“是”或“不是”）在同一条直线上，理由是 ． 【答案】 是 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】依据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，即可得到P，Q，R三点在同一条直线上． 【详解】解：∵，， ∴P，Q，R三点在同一条直线上，（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行） 故答案为：是；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【点睛】本题主要考查了平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思． 【变式3-2】已知直线及其外一点B，过B点作，过B点作，点A，C分别为直线，上任意一点，那么A，B，C三点一定在同一条直线上，依据是 ． 【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】本题考查了平行公理及推论，牢记“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”是解题的关键．由“为直线外的一点，且，”，利用“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”，即可得出，，三点一定在同一条直线上． 【详解】解：点为直线外的一点，且，，（已知） ，，三点一定在同一条直线上．（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行） 故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【变式3-3】下列说法中错误的是 （填序号） ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行 ②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段 ③两条直线没有交点，则这两条直线平行 ④在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交 ⑤过点A作直线l的垂线，垂足为B，则线段AB是点A到直线l的距离 【答案】①②③⑤ 【分析】根据平行线、线段、垂线的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①错误； 在同一平面内，两条不相交的线段可能是平行线段，也可能不是平行线段，故②错误； 在同一平面内，两条直线没有交点，则这两条直线平行，故③错误； 在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交，故④正确； 过点A作直线l的垂线，垂足为B，则线段AB的长是点A到直线l的距离，故⑤错误； 故答案为：①②③⑤． 【点睛】本题考查了平行线、直线、线段、垂线的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、直线、线段的性质，从而完成求解． 同位角、内错角、同旁内角 例4 下列图形中，和不是同位角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是同位角的定义，掌握同位角的定义是解题的关键．利用同位角定义，即同位角是指两条直线与第三条直线相交，在第三条直线的同旁，两条直线同一侧的角．进行解答即可． 【详解】解：A、和是同位角，故此选项不合题意； B、和是同位角，故此选项不合题意； C、和不是同位角，故此选项符合题意； D、和是同位角，故此选项不合题意； 故选：C． 【变式4-1】下列图形中，与是内错角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了内错角，关键是掌握内错角的边构成“”形． 根据内错角定义∶两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线(截线)的两旁，则这样一对角叫做内错角进行解答即可． 【详解】解∶A、与不是内错角，故此选项不符合题意； B、与不是内错角，故此选项不符合题意； C、与不是内错角，故此选项不符合题意； D、与是内错角，此选项符合题意； 故选∶D． 【变式4-2】如图，与互为同旁内角的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了同旁内角的定义，注意在截线的同旁找同旁内角，要结合图形，熟记同旁内角的位置特点． 根据两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同旁内角进行解答即可． 【详解】解∶由图形可知：的同旁内角有，，，共3个． 故选C． 【变式4-3】如图，下列结论正确的是（   ） A．与互为内错角 B．与互为内错角 C．与互为同旁内角 D．与互为同位角 【答案】D 【分析】本题考查了同位角，内错角，同旁内角和邻补角，根据同位角，内错角，同旁内角和邻补角的概念判断即可． 【详解】解：A、和是同位角，故A不符合题意； B、与不是内错角，故B不符合题意； C、与不是同旁内角，故C不符合题意； D、与互为同位角，故D符合题意； 故选：D． 【变式4-4】如图，下列结论正确的是（　　） A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是同旁内角 D．与是同旁内角 【答案】D 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，相交线及其所成的角等知识点，熟练掌握相关定义是解题的关键：对顶角：有一个公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角就叫做对顶角；同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角；内错角：两个角在截线的异侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角； 同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角． 根据对顶角、同位角、同旁内角的定义进行判断即可． 【详解】解：根据对顶角、同位角、同旁内角的定义进行判断， A. 与是对顶角，该结论错误，故选项不符合题意； B. 与是同位角，该结论错误，故选项不符合题意； C. 与没有处在两条被截线之间，该结论错误，故选项不符合题意； D. 与是同旁内角，该结论正确，故选项符合题意； 故选：． 【变式4-5】根据图形填空： （1）若直线，被直线所截，则和 是同位角； （2）若直线，被直线所截，则和 是内错角； （3）和是直线，被直线 所截构成的 角； 【答案】 内错 【分析】本题考查了同位角和内错角的定义，解题的关键是掌握同位角和内错角的定义． （1）根据同位角的定义求解即可； （2）根据内错角的定义求解即可； （3）根据内错角的定义求解即可． 【详解】解：（1）直线，被直线所截，则和是同位角； （2）直线，被直线所截，则和是内错角； （3）和是直线，被直线所截构成的内错角； 故答案为：，，，内错． 【例1】如图，下列说法不正确的是（    ） A．∠1和∠B是同位角 B．∠1和∠4是内错角 C．∠3和∠B是同旁内角 D．∠C和∠A不是同旁内角 【答案】D 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线(截线)的两旁，则这样一对角叫做内错角. 【详解】A. ∠1和∠B是DE与BC被AB所截得到的同位角，正确；     B. ∠1和∠4是AB与AC被DE所截得到的内错角，正确； C. ∠3和∠B是DE与BC被AB所截得到的同旁内角，正确；     D. ∠C和∠A是AB与BC被AC所截得到的同旁内角，故不正确； 故选D. 【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，熟练掌握三种角的特征是解答本题的关键. 【防错警示】 本题易错误地认为∠C和∠A是同位角.在同位角的概念中，前提条件是“两条直线被第三条直线所截”. 1．已知三角形ABC，过AC的中点D作AB的平行线，根据语句作图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中点的定义，平行线的定义判断即可． 【详解】解：过AC的中点D作AB的平行线， 正确的图形是选项B， 故选：B． 【点睛】本题考查作图——复杂作图，平行线的定义，中点的定义等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 2．如图，若，，则与的位置关系是 ．（填“平行”或“相交”）． 【答案】平行 【分析】本题主要考查了平行公理，根据平行于同一直线的两直线平行即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：平行． 3．下列四个选项中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了内错角“两条直线被第三条直线所截，若两个角都在这两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样的一对角叫做内错角”，熟记内错角的定义是解题关键．根据内错角的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、与不是内错角，则此项不符合题意； B、与是内错角，则此项符合题意； C、与不是内错角，则此项不符合题意； D、与不是内错角，则此项不符合题意； 故选：B． 4．2024年香洲区举办了第六届风筝节．如图所示的风筝骨架中，与构成同旁内角的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是同旁内角的定义，关键是知道哪两条直线被第三条直线所截．根据同旁内角的定义解答即可，即两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角． 【详解】解：与构成同旁内角的是． 故选：A． 5．如图当中的内错角一共有（   ）对 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了内错角的定义，正确记忆内错角的定义是解决本题的关键． 根据内错角是在截线两旁，被截线之内的两角，内错角的边构成“Z ”形作答． 【详解】解：和是内错角，和是内错角，和是内错角，和是内错角， ∴内错角一共有4对． 故选：C． 6．下列说法不正确的是（　　） A．和是同旁内角 B．和是内错角 C．和是同位角 D．和是同旁内角 【答案】D 【分析】本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角的定义，熟练掌握同位角，内错角，同旁内角的定义是解题的关键．根据同位角，内错角，同旁内角的定义逐一判断即可． 【详解】解：A. 和是同旁内角，说法正确，选项不符合题意； B. 和是内错角，说法正确，选项不符合题意； C. 和是同位角，说法正确，选项不符合题意； D. 和互为补角，说法错误，选项符合题意； 故选：D． 7.如图，从已经标出的五个角中， （1）直线，被直线所截，与 是同位角； （2）直线，被直线所截，与 是内错角； （3）直线，被直线所截，与 是同旁内角． 【答案】 【分析】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成F形，内错角的边构成Z形，同旁内角的边构成U形．根据两条直线被第三条直线所截，所形成的角中，两角在两条直线的中间，第三条直线的两旁，可得内错角，两角在两直线的中间，第三条直线的同侧，可得同旁内角，两角在两条直线的同侧，第三条直线的同侧，可得同位角． 【详解】解：（1）直线，被直线所截，与是同位角； （2）直线，被直线所截，与是内错角； （3）直线，被直线所截，与是同旁内角． 故答案为：，， 8.如图，的同位角是 ，的内错角 ，的同旁内角是 ． 【答案】 和 【分析】本题主要考查了三线八角，涉及同位角、内错角、同旁内角的定义有关知识，数形结合，根据同位角、内错角、同旁内角的定义判断即可得到答案，熟记同位角、内错角、同旁内角的定义，识别图形是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 的同位角是，的内错角是，的同旁内角是和， 故答案为：；；和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 平行公理与同位角、内错角和同旁内角 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1. 学生能够理解平行线的概念，掌握平行线的定义和表示方法，并能够通过工具（如直尺和三角板）画出已知直线的平行线. 2.掌握平行公理及其推论，能用数学语言表达这些概念和推论. 3.学生能够理解同位角、内错角和同旁内角的概念，并能够结合图形识别这些角. 平行线公理 1.定义:在同一平面上不相交的两条直线叫作平行线. 平行用符号“//”表示.如果直线和直线是平行线,那么也称它们互相平行,记作“//”,读作“平行于”. 注意：(1)平行线的概念有三个要素:一是在同一平面内，二是两条直线，三是不相交,三者缺一不可. (2)在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系:相交和平行.应特别注意“在同一平面内”这一条件. (3)有些图形即使没画出交点,也不能说它们平行.如图,直线AB和CD并没有画出交点，但它们有交点，不平行. 【特别提醒】 （1）关于平行线的定义,应特别注意“在同一平面内”这个条件,因为在空间里,还存在两条直线既不相交,也不平行的情况（异面），想象立交桥,而在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:相交和平行. （2）平行线概念中的“不相交”是指直线，而不是线段或射线. （3）线段(或射线)平行，是指线段(或射线)所在的直线平行. （4）判断同一平面内两条直线的位置关系时，可根据它们的公共点的个数来确定. 下列说法中正确的是（    ） A．不相交的两条直线叫做平行线 B．相等的角是对顶角 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．在平面中过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 平行线的画法 画法:(1)将三角板的一边紧靠直线,将直尺紧靠三角板的另一边,如图1所示; (2) 沿直尺推动三角板,使三角板紧靠直线的一边(边)经过点,如图2所示; (3)沿三角板的这条经过点的边,画直线,如图3所示.直线就是所要画的直线,如图4所示. 【注意】(1)过直线上一点，不能画该直线的平行线:(2)借助直尺和三角尺画平行线时，必须保持“紧靠”，否则画出的直线不平行;(3)画线段或射线的平行线指的是画它们所在直线的平行线. 经过直线外的一点,有且只有一条直线与该直线平行. 【特别提醒】 (1)在叙述时，一定要强调“直线外一点”，否则不存在平行线. (2)“有且只有”中的“有’表示存在性,“只有”表示唯一性. (3)基本事实是过直线外一点画这条直线的平行线的依据. (4)平行线基本事实的推论表述了平行线的传递性，推论中不用强调“在同一平面内” 3.平行公理的推论:在同一个平面上,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行. 下列说法：①在同一平面内，若直线，，则；②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交；③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是 ．（填序号） 4.（补充）反证法 证明步骤：(1)先假设求证的结论是错误的;(2)由此推导出与已知定义、公理、定理或条件等相矛盾的结果;(3)从而否定开始的假设,肯定先前求证的结论的正确性. 三线八角 如图,直线与相交(也可以说两条直线被第三条直线所截),构成了个角，简称“三线八角”. 同位角、内错角、同旁内角 1. 同位角、内错角、同旁内角的概念 名称 定义 图形的结构特征 图示 同 位 角 ∠1与∠5都在第三条直线的同旁，并且分别位于直线的同一侧，这样的一对角叫做同位角. (1)在截线同侧； (2)在两条被截直线同侧； (3)形如字母“F” (或倒置、反置、旋转) 直线被直线所截 内 错 角 ∠3与∠5分别位于第三条直线异侧，且都在直线之间，这样的一对角叫做内错角. (1)在被截两直线之间； (2)在截线的异侧； (3)形如字母“Z” (或倒置、反置、旋转) 同 旁 内 角 ∠3与∠6在直线同旁且在直线之间，这样的一对角叫做同旁内角. (1)在被截两直线之间； (2)在截线同旁； (3)形如字母“U” (或倒置、反置、旋转) 注意： (1)同位角、内错角、同旁内角指的都是位置关系，而不是大小关系. (2)这三类角都是两条直线被第三条直线所截形成的，要分清截线和被截线 (3)两条直线被第三条直线所截形成的8个角中共有4对同位角、2对内错角、2对同旁内角. 2. 手势表示 同位角、内错角、同旁内角也可以用手势表示出来(两大拇指代表两条被截直线，食指代表截线),如图所示，采用不同的手势，分别得到同位角、内错角、同旁内角. ①根据手势识别同位角(两大拇指所在直线代表被截直线，食指所在直线代表截线) ②根据手势识别内错角(两大拇指所在直线代表被截直线，食指所在直线代表截线) ③根据手势识别同旁内角(两大拇指所在直线代表被截直线，食指所在直线代表截线) 如图，直线上有一点和是直线被直线 所截形成的 角；和是直线和被直线 所截形成的 角；和是直线 和 被直线 所截形成的 角． 用直尺、三角板画平行线 例1 下列各图中的直线，用推三角尺的方法验证，其中的有 （填序号）． 【变式1-1】如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是： ．（填序号）    【变式1-2】如图是利用直尺移动三角板过直线外一点作直线的平行线的方法，小明经过多次实践后发现只能作一条平行线，这反映了 ．    【变式1-3】如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线AB∥CD，下面是某位同学弄乱了顺序的操作步骤： ①沿三角尺的边作出直线CD； ②用直尺紧靠三角尺的另一条边； ③作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB； ④沿直尺下移三角尺；正确的操作顺序应是： ． 平行公理的应用 例2 生活情境·风车 如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，叶子所在的直线与地面 ，理由是 ． 【变式2-1】如图，，则点P，C，Q在同一条直B线上．理由是 ． 【变式2-2】有下列说法：①两条不相交的直线是平行线；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③在同一平面内，和第三条直线都不相交的两条直线平行；④在同一平面内，不相交的两条射线必平行．其中，正确的有 个． 【变式2-3】如图：，，则点A、B、C在一条直线上．理由是： ．    【变式2-4】如图，，，则点B、P、A在同一条直线的理由： ． 平行公理推论的应用 例3 如果，那么a c． 【变式3-1】如图，在直线 的同侧有 ，， 三点，若，，那么 ，， 三点 （填“是”或“不是”）在同一条直线上，理由是 ． 【变式3-2】已知直线及其外一点B，过B点作，过B点作，点A，C分别为直线，上任意一点，那么A，B，C三点一定在同一条直线上，依据是 ． 【变式3-3】下列说法中错误的是 （填序号） ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行 ②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段 ③两条直线没有交点，则这两条直线平行 ④在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交 ⑤过点A作直线l的垂线，垂足为B，则线段AB是点A到直线l的距离 同位角、内错角、同旁内角 例4 下列图形中，和不是同位角的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】下列图形中，与是内错角的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，与互为同旁内角的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-3】如图，下列结论正确的是（   ） A．与互为内错角 B．与互为内错角 C．与互为同旁内角 D．与互为同位角 【变式4-4】如图，下列结论正确的是（　　） A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是同旁内角 D．与是同旁内角 【变式4-5】根据图形填空： （1）若直线，被直线所截，则和 是同位角； （2）若直线，被直线所截，则和 是内错角； （3）和是直线，被直线 所截构成的 角； 【例1】如图，下列说法不正确的是（    ） A．∠1和∠B是同位角 B．∠1和∠4是内错角 C．∠3和∠B是同旁内角 D．∠C和∠A不是同旁内角 【防错警示】 本题易错误地认为∠C和∠A是同位角.在同位角的概念中，前提条件是“两条直线被第三条直线所截”. 1．已知三角形ABC，过AC的中点D作AB的平行线，根据语句作图正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，若，，则与的位置关系是 ．（填“平行”或“相交”）． 3．下列四个选项中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 4．2024年香洲区举办了第六届风筝节．如图所示的风筝骨架中，与构成同旁内角的是（  ） A． B． C． D． 5．如图当中的内错角一共有（   ）对 A．2 B．3 C．4 D．5 6．下列说法不正确的是（　　） A．和是同旁内角 B．和是内错角 C．和是同位角 D．和是同旁内角 7.如图，从已经标出的五个角中， （1）直线，被直线所截，与 是同位角； （2）直线，被直线所截，与 是内错角； （3）直线，被直线所截，与 是同旁内角． 8.如图，的同位角是 ，的内错角 ，的同旁内角是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$