精品解析：山东省临清市2024-2025学年上学期期末检测题（一）八年级数学

2024~2025学年度第一学期期末检测题（一） 八年级数学试题 （时间：130分钟 满分：150分） 一、选择题（本题12个小题，每小题4分，共48分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列等式成立的是（ ） A. B. C D. 3. 小亮和小莹进行飞镖比赛，两人各投了10次，成绩如图所示，则小亮和小莹成绩的中位数分别是（ ） A. 7和7 B. 7和8 C. 7和7.5 D. 6和7 4. 已知关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. 0 B. 0或－8 C. －8 D. 0或－8或－4 5. 如图，是等边三角形，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列四个命题：①同位角相等，两直线平行；②等边三角形的三个内角都相等；③全等三角形的对应角相等；④如果，那么． 它们的逆命题是真命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 某单位要招聘1名英语翻译，张明参加招聘考试的成绩如表所示： 项目 听 说 读 写 得分 90 80 83 82 若把听、说、读、写的成绩按3：3：2：2计算平均成绩，则张明的平均成绩为（ ） A. 82 B. 83 C. 84 D. 85 8. 为贯彻落实习近平总书记关于黄河流域生态保护和高质量发展重要讲话精神，某学校组织初一、初二两个年级学生到黄河岸边开展植树造林活动．已知初一植树棵与初二植树棵所用的时间相同，两个年级平均每小时共植树棵．求初一年级平均每小时植树多少棵？设初一年级平均每小时植树棵，则下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，的三边、、长分别是10、15、20．其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形，等于（　　） A. B. C. D. 10. 如图所示，△ABC与△ADE顶点A重合，点D，E分别在边BC，AC上，且AB＝AC，AD＝DE，∠B＝∠ADE＝40°，则∠EDC的度数为（　　） A. 20° B. 30° C. 40° D. 50 11. 如图，中，，，，与的平分线交于点O，过点O作，分别交AB，AC于点D，E，则的周长为（ ） A. 13cm B. 14cm C. 15cm D. 16cm 12. 如图，为等腰直角三角形，，将按如图方式进行折叠，使点A与边上的点F重合，折痕分别与、交于点D、点E．下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题6个小题，每小题4分，共24分．只要求写出最后结果） 13. 已知，且，则值为______． 14. 如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB＝11 cm，CF＝5 cm，则BD＝________cm. 15. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的底角的度数为______． 16. 如图，等边的边长为8，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，则当取得最小值时，的度数为________． 17. 某校八年级共有名学生，他们在参加电脑培训前后各参加了一次水平相同的考试，为了了解培训的效果，随机抽取了其中名学生的成绩绘制成如图所示的统计图.试估计该校整个八年级中，培训后考试等级为“合格”及以上的学生比培训前多________人. 18. 如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是______ 三、解答题（本题8个小题，共78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 化简： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，然后从1，2，3，中选择一个合适的数代入求值． 21. 解分式方程： （1） ； （2） ． 22. 如图，，， 求证： （1）； （2）． 23. 如图，中，平分，垂足为． （1）求的度数； （2）若，求的长． 24. 甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图： 根据以上信息，整理分析数据如下： 平均成绩/环 中位数/环 众数/环 方差 甲 a 7 7 1.2 乙 7 b 8 c （1）写出表格中a，b，c的值； （2）分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩．若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员． 25. “绿色环保，健康出行”，新能源汽车在汽车市场占比越来越大．通过对某品牌的插电混动新能源汽车的调研，了解到该车在单纯耗电和单纯耗油费用均为元的情况下续航里程之比为，经计算单纯耗电相比单纯耗油每公里节约0.6元． （1）分别求出单纯耗电和单纯耗油每公里费用； （2）随着更多新能源车进入千家万户，有条件的用户可享受低谷时段优惠电价，每度约为0.4元．该品牌新能源车充电30度可续航200公里，试计算低谷时段充电时每公里所需电费．若每年行驶里程为12000公里且一直在低谷时段充电，请计算单纯耗电比单纯耗油一年节省的费用． 26. 已知，△ABC为等边三角形，点D在边BC上． （1）[问题解决]如图1，以AD为一边作等边三角形ADE，连接BE．求证：BE＋BD＝AB． （2）[迁移运用]如图2，点F是AB边上一点，以DF为一边作等边三角形DEF．求证：BE＋BD＝BF． （3）[类比探究]如图3，点F是AB边延长线上一点，以DF为一边作等边三角形DEF．试探究线段BE，BD，BF三条线段之间存在怎样的数量关系？请写出你的结论并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第一学期期末检测题（一） 八年级数学试题 （时间：130分钟 满分：150分） 一、选择题（本题12个小题，每小题4分，共48分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 下列等式成立的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，运用性质逐一计算判断即可． 【详解】A. 当，且不等于0，则，所以不一定成立，错误，不符合题意； B. ，所以原式不成立，错误，不符合题意； C. ，成立，符合题意； D. ，所以原式不成立，不符合题意； 故选C． 3. 小亮和小莹进行飞镖比赛，两人各投了10次，成绩如图所示，则小亮和小莹成绩的中位数分别是（ ） A. 7和7 B. 7和8 C. 7和7.5 D. 6和7 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用折线统计图将数据按大小排列，进而利用中位数的定义分析得出答案．共10次，那么中位数是排序后数值中间两个数的平均数. 【详解】解：小亮的成绩从小到大排列为：5，6，6，7，7，7，7，8，8，9； 故中位数为：（7+7）÷2=7； 小莹的成绩从小到大排列为：2，4，6，7，7，8，8，9，9，10， 故中位数为：（7+8）÷2=7.5； 故选C． 【点睛】此题主要考查了中位数，正确获取各数据是解题关键． 4. 已知关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. 0 B. 0或－8 C. －8 D. 0或－8或－4 【答案】D 【解析】 【分析】把分式方程转化为整式方程，分分母为零无解，分母为零时，对应的字母值求解． 【详解】∵ ∴， ∴， ∴， ∴当m+4=0时，方程无解， 故m= -4； ∴当m+4≠0，x=2时，方程无解， ∴ 故m=0； ∴当m+4≠0，x= -2时，方程无解， ∴ 故m=-8； ∴m的值为0或－8或－4， 故选D． 【点睛】本题考查了分式方程的无解，正确理解无解的条件和意义是解题的关键． 5. 如图，是等边三角形，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，证明是等腰直角三角形，解答即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴； ∵， ∴，， ∴； ∴； ∴； ∴， ∴， 故选D． 6. 下列四个命题：①同位角相等，两直线平行；②等边三角形的三个内角都相等；③全等三角形的对应角相等；④如果，那么． 它们的逆命题是真命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】先写出各命题的逆命题，再根据平行线的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定和实数的性质进行判断即可． 【详解】解：①逆命题为：两直线平行，同位角相等，是真命题； ②逆命题为：三个内角都相等的三角形是等边三角形，是真命题； ③逆命题为：对应角相等的两个三角形是全等三角形，是假命题； ④逆命题为：如果，则，是假命题； 真命题有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是掌握平行线的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定和实数的性质，属于基础知识，比较简单． 7. 某单位要招聘1名英语翻译，张明参加招聘考试的成绩如表所示： 项目 听 说 读 写 得分 90 80 83 82 若把听、说、读、写的成绩按3：3：2：2计算平均成绩，则张明的平均成绩为（ ） A 82 B. 83 C. 84 D. 85 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的计算公式进行计算即可． 【详解】解：张明的平均成绩为：； 故选：C． 8. 为贯彻落实习近平总书记关于黄河流域生态保护和高质量发展的重要讲话精神，某学校组织初一、初二两个年级学生到黄河岸边开展植树造林活动．已知初一植树棵与初二植树棵所用的时间相同，两个年级平均每小时共植树棵．求初一年级平均每小时植树多少棵？设初一年级平均每小时植树棵，则下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据初一植树棵与初二植树棵所用的时间相同列式求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：D； 【点睛】本题考查分式方程解决应用问题，解题的关键是找到等量关系式． 9. 如图，的三边、、长分别是10、15、20．其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形，等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过O点作，，，垂足分别为，，，根据角平分线的性质可知 ，再利用三角形的面积公式计算可求解． 【详解】解：过O点作，，，垂足分别为，，， 的三条角平分线交于点O， ， ，，， ． 故选C． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质，三角形的面积，利用角平分线的性质求得是解题的关键． 10. 如图所示，△ABC与△ADE顶点A重合，点D，E分别在边BC，AC上，且AB＝AC，AD＝DE，∠B＝∠ADE＝40°，则∠EDC的度数为（　　） A. 20° B. 30° C. 40° D. 50 【答案】B 【解析】 【分析】由AD＝DE，以及∠ADE＝40°求得∠DEA＝70°，由AB＝AC，∠B＝40°求得∠C＝∠B＝40°，进而根据三角形的外角性质即可求得∠EDC＝30° 【详解】解：∵AD＝DE， ∴∠DAE＝∠DEA， ∵∠DAE+∠DEA+∠ADE＝180°，∠ADE＝40° ∴∠DEA＝70°， ∵AB＝AC，∠B＝40°， ∴∠C＝∠B＝40°， ∵∠DEA=∠C+∠EDC， ∴∠EDC＝∠DEA-∠C＝30°． 故选：B． 【点睛】本题考查了等边对等角，三角形的内角和定理与三角形的外角性质，求得∠DEA＝70°是解题的关键． 11. 如图，中，，，，与的平分线交于点O，过点O作，分别交AB，AC于点D，E，则的周长为（ ） A. 13cm B. 14cm C. 15cm D. 16cm 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据角平分线的定义及平行线的性质证明△BDO和△CEO是等腰三角形，再由等腰三角形的性质得BD=DO，CE=EO，则△ADE的周长=AB+AC，代入数据进行计算即可． 【详解】解：∵BO平分∠ABC， ∴∠DBO=∠CBO， ∵DE∥BC， ∴∠CBO=∠DOB， ∴∠DBO=∠DOB， ∴BD=DO， 同理OE=EC， ∴△ADE的周长=AD+AE+ED=AB+AC=13cm． 故选：A． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的性质．掌握相关知识进行有效转化是解题的关键． 12. 如图，为等腰直角三角形，，将按如图方式进行折叠，使点A与边上的点F重合，折痕分别与、交于点D、点E．下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定，三角形内角和定理等知识，正确的识别图形是解题的关键． 由折叠性质可得，，，再由等腰直角三角形性质得，即可得到；设，，可得，，，即可推导出；∠1与∠2不一定相等，与不一定平行，即可确定答案． 【详解】解：由折叠的性质，，，， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴，故选项①正确； 设，， ∴，，， ∴①+②，得， ∴， 故选项②正确； ∵， ∴与不一定相等， ∴选项③不一定正确； ∵点在边上，不固定，与不一定平行， ∴选项④不一定正确； 故选：B． 二、填空题（本题6个小题，每小题4分，共24分．只要求写出最后结果） 13. 已知，且，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，设，，，代入原式后以达到约分的目的即可． 【详解】设，，，且， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，此类题目的常用解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，达到约分的目的． 14. 如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB＝11 cm，CF＝5 cm，则BD＝________cm. 【答案】6 【解析】 【详解】试题解析：∵AB∥CF， ∴∠A=∠ACF，∠AED=∠CEF， 在△AED和△CEF中 ， ∴△AED≌△CEF（AAS）， ∴FC=AD=5cm， ∴BD=AB-AD=11-5=6（cm）． 15. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的底角的度数为______． 【答案】69°或21° 【解析】 【分析】分两种情况①若∠A<90°，利用直角三角形两锐角互余，求∠A，若∠A>90°，利用直角三角形两锐角互余求出∠A的补角即可． 【详解】分两种情况讨论： ①若∠A<90°，如图1所示： ∵BD⊥AC， ∴∠A+∠ABD=90°， ∵∠ABD=48°， ∴∠A=90°−48°=42°， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C= (180°−42°)=69°； ②若∠A>90°，如图2所示： 同①可得：∠DAB=90°−48°=42°， ∴∠BAC=180°−42°=138°， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C= (180°−138°)=21°； 综上所述：等腰三角形底角的度数为69°或21°． 故答案为69°或21°． 【点睛】本题考查直角三角形的两锐角互余性质，等腰三角形性质，三角形内角和，掌握直角三角形的两锐角互余性质，等腰三角形性质，三角形内角和是解题关键． 16. 如图，等边的边长为8，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，则当取得最小值时，的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边三角形中，通过轴对称，把两线段和化为两点之间的一条线段的长，是解题的关键． 由等边三角形三线合一，可知点B和点C关于轴对称，连接交于点F，此时，取得最小值，进而，求出的度数，即可． 【详解】解：∵是等边三角形，是边上的中线， ∴， ∴点B和点C关于轴对称，， 连接交于点F，连接，则， ∴，即：此时取得最小值， ∵等边的边长为8，， ∴E是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴． 故答案是：． 17. 某校八年级共有名学生，他们在参加电脑培训前后各参加了一次水平相同的考试，为了了解培训的效果，随机抽取了其中名学生的成绩绘制成如图所示的统计图.试估计该校整个八年级中，培训后考试等级为“合格”及以上的学生比培训前多________人. 【答案】90 【解析】 【分析】先确定培训后合格学生所占比例，然再乘以学生总数即可. 【详解】解：培训前考试等级为“合格”的学生数是：320×=70（人） 培训后考试等级为“合格”的学生数是：320×=160（人）， 培训后考试等级为“合格”及以上的学生比培训前多160-70=90（人） 故答案为90. 【点睛】本题考查了用样本去估计总体，解题的关键在于确定合格学生所占的比例以及正确使用用样本去估计总体的方法. 18. 如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是______ 【答案】12° 【解析】 【详解】设∠A=x， ∵AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A， ∴∠A=∠AP2P1=∠AP13P14=x． ∴∠P2P1P3=∠P13P14P12=2x，∠P3P2P4=∠P11P13P12=3x， ……， ∠P7P6P8=∠P8P9P7=7x． ∴∠AP7P8=7x，∠AP8P7=7x． 在△AP7P8中，∠A+∠AP7P8+∠AP8P7=180°，即x+7x+7x=180°． 解得x=12°，即∠A=12°． 故答案为：12° 三、解答题（本题8个小题，共78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 化简： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）把除法转化为乘法，然后约分化简即可； （2）先通分，再按同分母分式的加减法法则计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 20. 先化简，再求值：，然后从1，2，3，中选择一个合适的数代入求值． 【答案】；时，原式 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值，涉及因式分解、分式加减乘除混合运算、通分、约分及分式有意义的条件，根据分式的混合运算化简是解决问题的关键． 【详解】解： ， 由分式分母不为0可知，则从1，2，3中只能取， 原式． 21. 解分式方程： （1） ； （2） ． 【答案】（1） （2）原分式方程无解． 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验． （1）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． （2）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【小问1详解】 解：方程两边同乘，得 解方程，得 检验：当时， 所以是原分式方程的解． 【小问2详解】 解：方程两边同乘得 解方程，得 检验：当时，， 所以是增根，原分式方程无解． 22. 如图，，， 求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用进行证明即可； （2）全等的性质得到，再利用外角的性质即可得证． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，即：， 又，， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵是三角形的一个外角， ∴， 又，， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的外角．熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等，是解题的关键． 23. 如图，中，平分，垂足为． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质， （1）根据题意可得，在中，，即，根据直角三角形两锐角互余可得，再根据，即可求解； （2）如图所示，延长交于点，可证，可得，再证，得，则，由此即可求解． 【小问1详解】 解：在中，， ∴， ∵平分， ∴， 在中，，即， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∵，且，， ∴， ∴，则， ∴． 24. 甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图： 根据以上信息，整理分析数据如下： 平均成绩/环 中位数/环 众数/环 方差 甲 a 7 7 1.2 乙 7 b 8 c （1）写出表格中a，b，c的值； （2）分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩．若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员． 【答案】（1）a=7，b=7.5，c=4.2；（2）派甲队员参赛，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据加权平均数的计算公式，中位数的确定方法及方差的计算公式即可得到a、b、c的值； （2）根据平均数、中位数、众数、方差依次进行分析即可得到答案. 【详解】（1）， 将乙射击的环数重新排列为：3、4、6、7、7、8、8、8、9、10， ∴乙射击的中位数， ∵乙射击的次数是10次， ∴=4.2； （2）从平均成绩看，甲、乙的成绩相等，都是7环；从中位数看，甲射中7环以上的次数小于乙；从众数看，甲射中7环的次数最多，而乙射中8环的次数最多；从方差看，甲的成绩比乙稳定，综合以上各因素，若派一名同学参加比赛的话，可选择甲参赛，因为甲获得高分的可能性更大. 【点睛】此题考查数据的统计计算，根据方程作出决策，掌握加权平均数的计算公式，中位数的计算公式，方差的计算公式是解题的关键. 25. “绿色环保，健康出行”，新能源汽车在汽车市场占比越来越大．通过对某品牌的插电混动新能源汽车的调研，了解到该车在单纯耗电和单纯耗油费用均为元的情况下续航里程之比为，经计算单纯耗电相比单纯耗油每公里节约0.6元． （1）分别求出单纯耗电和单纯耗油每公里的费用； （2）随着更多新能源车进入千家万户，有条件的用户可享受低谷时段优惠电价，每度约为0.4元．该品牌新能源车充电30度可续航200公里，试计算低谷时段充电时每公里所需电费．若每年行驶里程为12000公里且一直在低谷时段充电，请计算单纯耗电比单纯耗油一年节省的费用． 【答案】（1）单纯耗电单价为元/公里，单纯耗油续航单价为元/公里 （2）新能源汽车每公里所需电费为元；单纯耗电比单纯耗油一年费用节省元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程实际应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设新能源汽车单纯耗电单价为x元/公里，则单纯耗油单价为元/公里，根据等量关系式：新能源汽车单纯耗电里程单纯耗油里程，列出方程，解之即可； （2）根据总价单价数量可得新能源汽车单纯耗电公里所需费用，再用此费用总公里数即可得新能源汽车每公里所需电电费；然后计算两种车的费用差即可得答案. 【小问1详解】 解：设新能源汽车单纯耗电单价为x元/公里，则单纯耗油单价为元/公里，依题可得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴单纯耗油单价为：（元/公里）， 答：新能源汽车单纯耗电单价为元/公里，单纯耗油单价为元/公里． 【小问2详解】 依题可得新能源汽车单独耗电公里所需费用为： （元）， ∴新能源汽车每公里所需电费为： （元/公里）， ∴单纯耗电比单纯耗油一年费用节省 （元）； 答：新能源汽车单纯耗电每公里所需电费为元；单纯耗电比单纯耗油一年费用节省元． 26. 已知，△ABC为等边三角形，点D在边BC上． （1）[问题解决]如图1，以AD一边作等边三角形ADE，连接BE．求证：BE＋BD＝AB． （2）[迁移运用]如图2，点F是AB边上一点，以DF为一边作等边三角形DEF．求证：BE＋BD＝BF． （3）[类比探究]如图3，点F是AB边的延长线上一点，以DF为一边作等边三角形DEF．试探究线段BE，BD，BF三条线段之间存在怎样的数量关系？请写出你的结论并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）BD＋BF＝BE，理由见解析 【解析】 【分析】（1）只需要证明△CAD≌△BAE得到BE＝CD，即可证明； （2）过点D作DG//AC，交AB于点G，然后证明△BDE≌△GDF得到BE＝GF，即可推出BE＋BD＝GF＋BG＝BF； （3）过点D作DG∥AC，交AB于点G，然后证明△BDE≌△GDF，得到BE＝GF，再由GF＝BF＋BG＝BF＋BD，即可得到BD＋BF＝BE． 【小问1详解】 证明：∵△ABC与△ADE都是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°，AD＝AE，∠DAE＝60°， ∴∠BAE＝∠DAE－∠BAD＝60°－∠BAD，∠CAD＝∠BAC－∠BAD＝60°－∠BAD， ∴∠BAE＝∠CAD， 在△CAD与△BAE中， ， ∴△CAD≌△BAE（SAS）， ∴BE＝CD， ∴BE＋BD＝CD＋BD＝BC， ∵AB＝BC， ∴BE＋BD＝AB； 【小问2详解】 证明：过点D作DG//AC，交AB于点G， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠A＝∠C＝60°， ∵DG∥AC， ∴∠BGD＝∠A＝60°，∠BDG＝∠C＝60°， 又∵∠ABC＝60°， ∴△BDG为等边三角形， ∴BD＝DG＝BG， ∵△DEF为等边三角形， ∴DE＝DF，∠EDF＝60°， ∵∠BDE＝∠BDG－∠EDG＝60°－∠EDG，∠FDG＝∠EDF－∠EDG＝60°－∠EDG， ∴∠BDE＝∠FDG， 在△BDE与△GDF中 ， ∴△BDE≌△GDF（SAS）， ∴BE＝GF， ∴BE＋BD＝GF＋BG＝BF； 【小问3详解】 BD＋BF＝BE，理由如下： 过点D作DG∥AC，交AB于点G， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠A＝∠C＝60°， ∵DG∥AC， ∴∠BGD＝∠A＝60°，∠BDG＝∠C＝60°， 又∵∠ABC＝60°， ∴△BDG为等边三角形， ∴BD＝DG＝BG， ∵△DEF为等边三角形， ∴DE＝DF，∠FDE＝60°， ∵∠GDF＝∠GDB＋∠BDF＝60°＋∠BDF，∠BDE＝∠EDF＋∠BDF＝60°＋∠BDF， ∴∠GDF＝∠BDE， 在△BDE与△GDF中 ， ∴△BDE≌△GDF（SAS）， ∴BE＝GF， ∵GF＝BF＋BG＝BF＋BD， ∴BD＋BF＝BE． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$