专题7.1 幂的运算（5大知识点6大考点14类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题7.1 幂的运算（5大知识点6大考点14类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】同底数幂的乘法 （1）同底数幂相乘运算：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.即（其中都是正整数）； （2）同底数幂相乘逆运算：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数，即（都是正整数）. 【知识点2】幂的乘方 （1）幂的乘方运算：幂的乘方，底数不变，指数相乘. 即（其中都是正整数）. （2）幂的乘方逆运算公式：根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 【知识点3】积的乘方 （1） 积的乘方运算： （其中是正整数）.即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. （2） 积的乘方逆运算：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便. 【知识点4】同底数幂除法 （1）同底数幂相除运算：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且） （2）同底数幂相除逆运算： （3）零指数幂：任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0） 【知识点5】注意事项 （1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式. （2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏. （3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加. （4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式（特别是系数）都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 考点与题型目录 【考点一】同底数幂的乘法 【题型1】同底数幂相乘运算....................................................2 【题型2】同底数幂相乘逆运算..................................................4 【题型3】同底数幂相乘运算与逆运算综合........................................5 【考点二】幂的乘方 【题型4】幂的乘方运算........................................................7 【题型5】幂的乘方逆运算......................................................8 【题型6】幂的乘方运算和逆运算综合............................................9 【考点三】积的乘方 【题型7】积的乘方运算.......................................................10 【题型8】积的乘方逆运算.....................................................12 【题型9】积的乘方运算与逆运算综合...........................................13 【考点四】同底数幂的除法 【题型7】同底数幂除法运算...................................................15 【题型8】同底数幂除法逆运算.................................................16 【题型9】同底数幂除法运算和逆运算综合.......................................17 【题型10】零指数幂..........................................................20 【考点五】幂的混合运算 【题型11】幂的混合运算......................................................21 【题型12】幂的混合运算逆运算................................................23 【考点六】中考链接与拓展延伸 【题型13】中考链接..........................................................25 【题型14】拓展延伸..........................................................26 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】同底数幂的乘法 【题型1】同底数幂相乘运算 【例1】（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）. 【分析】（1）-（4）由同底数幂的乘法法则计算即可； 解：（1）； （2）； （3）； （4）． 【点拨】本题考查了同底数幂的乘法法则，熟练掌握法则是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级上·青海西宁·期中）已知，则的值为 ． 【答案】27 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，由得，然后根据同底数幂的乘法把变形后代入计算即可． 解：∵， ∴， ∴． 故答案为：27． 【变式2】（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）规定． （1）填空：_______； （2）如果，求x的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，零指数幂，有理数的混合运算； （1）根据所规定的运算进行作答即可； （2）根据所规定的运算进行作答即可． 解：（1）解：∵ ∴， 故答案为：． （2）解：∵ ∴ ∴ ∴ 解得： 【题型2】同底数幂相乘逆运算 【例2】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）已知，求． 【答案】 【分析】根据，代入计算即可． 本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，熟练掌握公式是解题的关键． 解：根据题意，得， 又， 原式． 【变式1】（24-25八年级上·全国·单元测试）若，则 ． 【答案】72 【分析】此题考查了同底数幂的乘法的逆运算，绝对值的非负性，解题的关键是掌握以上运算法则．首先得到，，然后根据同底数幂的乘法的逆运算求解即可． 解：∵， ∴，， ∴． 故答案为：72． 【变式2】（23-24八年级上·全国·课堂例题）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，解一元一次方程，逆用同底数幂的乘法法则，将与分别转化为与，再进一步求解即可． 解：原方程可化为， 即， ∴，即， ∴， ∴． 【变式3】（2024七年级下·全国·专题练习） （1）已知，求的值； （2）若，求a的值． 【答案】（1）24；（2） 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法运算的逆运算，熟记运算法则是解本题的关键； （1）由，再代入数据计算即可； （2）由，再建立方程求解即可． 解：（1）∵， ∴； （2）∵， ∴， ∴， 解得． 【题型3】同底数幂相乘运算与逆运算综合 【例3】（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）回答下列问题： （1）已知，求的值； （2）已知，求x的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据同底数幂乘法的逆运算解答； （2）根据同底数幂乘法法则计算即可． 解：（1）解：因为， 所以， 所以． （2）解：因为， 所以， 所以． 【点拨】此题考查了同底数幂乘法的计算法则及逆运算，正确掌握同底数幂乘法的计算法则是解题的关键． 【变式1】（22-23七年级下·浙江金华·期末）规定：若实数x，y，z满足，则记作． （1）根据题意，，则 ． （2）若记，，则a，b，c三者之间的关系式是 ． 【答案】 3 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法公式的应用， （1）根据定义可得，由即可得出． （2）由得，再用同底数幂的乘法公式可求得三者之间满足的关系式． 解：（1）由定义可知即， ∵， ∴， （2）由定义可知：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为3；． 【变式2】（22-23七年级下·江苏宿迁·阶段练习）下面是小明完成的一道作业题．小明的作业： 计算： 解：原式． 知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： ①； ②． 知识拓展：若，求的值． 【答案】①1 ②，知识拓展： 【分析】（1）根据同底数幂的乘法的逆运算进行计算即可． （2）根据同底数幂的乘法的逆运算，再按照分数乘法计算即可． （3）根据同底数幂的乘法的逆运算进行计算即可． 解：①， ②， 知识拓展：， ． 【点拨】此题考查了同底数幂乘法的逆运算，解题的关键是熟悉同底数幂的乘法． 【考点二】幂的乘方 【题型4】幂的乘方运算 【例4】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查幂的乘方及同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方及同底数幂的乘法是解题的关键； （1）根据幂的乘方及同底数幂的乘法可进行求解； （2）根据幂的乘方及合并同类项可进行求解 解：（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式1】（24-25八年级上·福建厦门·期中）若，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了幂的运算，熟练的掌握幂的运算法则对题干进行适当变形是解决本题关键． 根据幂的运算即可解答出． 解：∵， ∴ ∴， 故答案为：6． 【变式2】（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）已知，求． 【答案】 【分析】本题主要考查幂的乘方和同底数幂的乘法，利用幂的乘方、同底数幂的乘法法则将原式变形为是解题的关键． 解：∵ ∴ ． 【题型5】幂的乘方逆运算 【例5】（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）计算 （1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）逆用幂的乘方法则变形求解.     （2）利用同底数乘法的逆运算解答． 此题考查了逆用幂的乘方，同底数乘法的逆运算，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则． 解：（1）解：， （2）解：∵， ∴． ∴． 【变式1】（24-25八年级上·四川眉山·期中）已知，，，，则 a、b、c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数乘方的应用，解决本题的关键是熟记有理数的乘方法则．应先将化为指数都为11的乘方形式，再比较底数的大小，即可确定出的大小． 解：， ， 故选：A 【变式2】（24-25八年级上·重庆万州·期中）当，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则和幂的乘方，能灵活运用法则进行变形是解此题的关键． 先用幂的乘方变形，再根据同底数幂的乘法进行计算，最后代入求值即可． 解：∵， ∴ 故答案为： 【题型6】幂的乘方运算和逆运算综合 【例6】（24-25八年级上·福建泉州·期中） （1）已知，求的值； （2）已知，求n的值． 【答案】（1）  ；（2）1 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的灵活运用． （1）利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可； （2）根据同底数幂的乘法的法则进行整理，从而可求解． 解：（1）∵， ∴ ； （2）∵， ∴， 则， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·福建漳州·期中）若，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，同底数幂乘法计算，先求出的值，再把所求式子变形为，进一步变形得到，据此代值计算即可． 解：∵， ∴， ∴ ． 【变式2】（2024八年级上·全国·专题练习）阅读下列解题过程： 试比较与的大小． 解：，而． 请根据上述解题方法，比较的大小． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方，把各数化为指数相同、底数不同的形式，再根据指数底数大于，指数相同时，底数越大幂越大，即可得出答案，熟练掌握幂的乘方的运算是解此题的关键． 解：，，， 而， ， ． 【考点三】积的乘方 【题型7】积的乘方运算 【例7】（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）用两种不同方法计算． 【答案】见分析 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．方法一：先计算同底数幂的乘法，再计算幂的乘方即可得；方法二：先计算积的乘方与幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可得． 解：方法一： ． 方法二： ． 【变式1】（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查幂的乘方与积的乘方运算，科学记数法的表示方法，先进行幂的乘方与积的乘方运算，再化为科学记数法的形式即可，掌握相关知识是解题的关键． 解： ， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了积的乘方运算，根据积的乘方运算和幂的乘方运算法则计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 解：， 故答案为：． 【题型8】积的乘方逆运算 【例8】（23-24七年级上·上海·阶段练习）确定的末位数是几，简单说明理由 【答案】7 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用与积的乘方的逆用，掌握法则是关键；把三个幂化为指数为99的幂，再逆用积的乘方，即可求解． 解： ； 由于的个位数字为1，其任何次方后个位数字仍为1，与847的积的个位数字为7； 故的末位数是7． 【变式1】（24-25八年级上·河南洛阳·期中）下列关于的计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算．直接利用积的乘方运算法则将原式变形，再逆用乘法分配律计算得出答案． 解：． 故选：A． 【变式2】（23-24七年级上·福建三明·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了幂的乘方和积的乘方的计算及应用能力，运用幂的乘方和积的乘方知识进行变形、求解． 解：∵ ， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 【题型9】积的乘方运算与逆运算综合 【例9】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）阅读下列各式：，，…… （1）发现规律：______，______． （2）应用规律： ①填空：______，______； ②计算：． 【答案】（1），；（2）①1，1；② 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，积的乘方的逆运算： （1）根据题意计算求解即可； （2）①利用积的乘方的逆运算求解即可； ②把原式变形为，进而求解即可． 解：（1）根据题意得，，； （2）①， ； ② ． 【变式1】（22-23七年级下·四川达州·阶段练习）已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法以及幂的乘方的逆运算进行计算即可求解． 解： 当为奇数时，原式，当为偶数时，原式 ∴原式， 故答案为：． 【点拨】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方的逆运算，熟练掌握同底数幂的乘法以及幂的乘方的逆运算是解题的关键． 【变式2】（2024七年级上·上海·专题练习）用简便方法计算： 【答案】 【分析】本题主要考查积的乘方，解答的关键是对积的乘方的法则的掌握与灵活运用．先将式子拆分成同次数的形式，再利用进行求解即可． 解：原式 ． 【考点四】同底数幂的除法 【题型7】同底数幂除法运算 【例7】（2023九年级·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据同底数幂除法运算法则进行计算即可； （2）根据同底数幂除法运算法则进行计算即可； （3）将和看作一个整体，根据同底数幂除法运算法则进行计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【点拨】本题主要考查了同底数幂除法运算，解题的关键是熟练掌握同底数幂除法运算法则，准确计算． 【变式1】（23-24七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法和除法，解答本题的关键是掌握幂的乘方运算法则． （1）原式利用积的乘方以及同底数幂的除法法则进行计算，即可得到结果； （2）原式利用积的乘方以及同底数幂的乘法和除法法则进行计算，即可得到结果． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（23-24八年级上·全国·课后作业）解方程：． 【答案】 【分析】先把方程变形为，然后整理得，从而求出的值． 解：原方程可变形为， 整理得：，即， ， ． 【点拨】本题考查了同底数幂的除法，解题的关键是把方程变为同底数的形式再求解． 【题型8】同底数幂除法逆运算 【例8】（24-25八年级上·四川巴中·期中）已知：，，． （1）求的值； （2）证明：． 【答案】（1）125；（2）见分析 【分析】（1）逆用同底数幂乘法和同底数幂除法运算的性质进行求解即可； （2）利用，即可求解． 本题考查了同底数幂除法与同底数幂乘法性质的逆向运用，逆向思维是解题的关键． 解：（1）解：∵，，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）已知，，则的值为（   ） A．72 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的除法以及幂的乘方法则，根据幂的乘方，底数不变指数相乘，先把和的值求出，然后根据同底数幂的除法，底数不变指数相减求解即可． 解：，， ， ， ． 故选：B． 【变式2】（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）已知，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了同底数幂除法的逆用，熟知相关计算法则是解题的关键． 根据同底数幂除法的逆用求解即可． 解：∵， ∴． 故答案为：2 【题型9】同底数幂除法运算和逆运算综合 【例9】（22-23七年级下·江苏淮安·期末）计算 （1）已知，，求：的值． （2），求：的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用同底数幂的除法的法则进行运算即可； （2）利用同底数幂的乘除法的法则，幂的乘方的法则进行运算即可． 解：（1）解：，， ； （2） ， 原式． 【点拨】本题主要考查同底数幂的乘除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【变式1】（19-20七年级下·浙江杭州·期中）根据已知求值． （1）已知，求m的值． （2）已知，求的值． （3）已知，求的值． 【答案】（1）3；（2）；（3）8 【分析】（1）根据幂的乘方和同底数幂相乘，可得，从而得到，即可求解； （2）根据同底数幂相除的逆运用，以及幂的乘方的逆运算，即可求解； （3）根据题意可得，再由据幂的乘方和同底数幂相乘法则，即可求解． 解：（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ （3）解：∵， ∴， 则． 【点拨】此题考查同底数幂的乘法及其逆运用、幂的乘方及其逆运用、同底数幂相除及其逆运用，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【变式2】（21-22七年级下·山东青岛·期中）阅读材料： 定义：如果，那么称a为n的劳格数，记为， 例如：，那么称2是100的劳格数，记为． 填空：根据劳格数的定义，在算式中，______相当于定义中的n，所以______； 直接写出______； 探究：某数学研究小组探究劳格数有哪些运算性质，以下是他们的探究过程 若a、b、m、n均为正数，且，， 根据劳格数的定义：，______， ∵ ∴，这个算式中，______相当于定义中的a，______相当于定义中的n， ∴______，即， 请你把数学研究小组探究过程补全 拓展：根据上面的推理，你认为：______． 【答案】1000，3；﹣8；b，a＋b，，a＋b；－． 【分析】根据新定义法则进行运算即可． 解：∵如果，那么称a为n的劳格数，记为， ∴，那么称3是1000的劳格数，记为． ∴在算式中，1000相当于定义中的n，所以3；﹣8； ∵， ∴， ∵，， ∴＝pq， ∴这个算式中，pq相当于定义中的a， 相当于定义中的n， ∴＝＋， 即， 设，， ∴，， ∵， ∴＝a－b＝－， 即－． 故答案为：1000，3；﹣8；b，a＋b，，a＋b；－． 【点拨】此题考查了新定义问题，用到了幂的相关运算，解题的关键是理解新定义及其运算法则． 【题型10】零指数幂 【例10】（23-24八年级下·云南曲靖·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，涉及绝对值运算、、零指数幂运算及负整数指数幂运算等知识，先由绝对值运算、、零指数幂运算及负整数指数幂运算将各部分化简，再由有理数加减运算法则求解即可得到答案，熟练掌握有理数各种运算法则及公式是解决问题的关键． 解： ． 【变式1】（23-24八年级上·全国·课后作业）在0，，，四个数中，最小的数是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算零指数幂的运算，再根据有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小据此判断即可． 解：， 根据有理数比较大小的方法，可得 ， 在0，，，四个数中，最小的数是． 故选：B． 【点拨】此题主要考查了零指数幂的运算及有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 【变式2】（23-24八年级上·全国·课后作业）若无意义，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程，幂的运算，零指数幂的知识，解题的关键是掌握无意义，则，再根据，求出，即可． 解：∵无意义， ∴， ∵， ∴得到方程组， 解得：， 故答案为：． 【考点五】幂的混合运算 【题型11】幂的混合运算 【例11】（2024七年级下·全国·专题练习）计算： （1） （2）； （3）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）；（3），． 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，整式的化简求值： （1）先算幂的乘方和积的乘方，再计算同底数幂除法，最后合并同类项即可求解； （2）把 作为一个整体，根据同底数幂乘除法计算法则求解即可； （3）先算括号内的同底数幂乘除法，幂的乘方和积的乘方，再计算除法，最后再代入求值，即可求解． 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， 当时，原式 【变式1】（23-24七年级下·安徽亳州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【分析】本题考查了幂的混合运算，先根据幂的乘方、同底数幂相乘，零次幂法则进行化简，再合并同类项，得出，然后把代入，进行计算，即可作答． 解： 把代入， 得 【变式2】（24-25七年级上·上海·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的混合和运算及合并同类项．根据幂的运算法则，合并同类项法则逐一计算，即可得出答案． 解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 【题型12】幂的混合运算逆运算 【例12】（2025七年级下·全国·专题练习）（1）已知，试用含m，n的代数式表示； （2）已知，试用含m，n的代数式表示； （3）已知，试将用a，b，c来表示． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方法则是解答本题的关键． （1）根据幂的乘方和积的乘方法则变形即可； （2）先根据幂的乘方法则变形，再根据同底数幂的乘法法则变形即可求解； （3）先根据同底数幂的乘除法法则变形，再根据幂的乘方法则变形即可求解． 解：（1）∵， ∴； ． （2）∵， ∴． （3）∵， ∴． 【变式1】（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）已知 则 的值为（     ） A．250 B．160 C．150 D．133 【答案】A 【分析】根据幂的乘方的性质，同底数幂相乘、底数不变指数相加，同底数幂相除、底数不变指数相减，把所求算式转化为已知条件的形式，然后代入计算即可． 解： ，，， ， 故选：A． 【点拨】本题考查幂的乘方的性质以及同底数幂的乘除法的性质的运用．熟记性质，把所求算式转化为已知条件的形式是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级上·江苏南通·期中）如果，那么称为的“拉格数”，记为，由定义可知：．例如，因为，所以，．若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查同底数幂的乘除法的实际应用，掌握同底数幂的乘除法法则是解题的关键． 结合定义，利用同底数幂的乘除法的逆运算得出，，进行计算即可． 解：由题意，设， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ， ， ∵． ， ， 故答案为：4． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【考点六】中考链接与拓展延伸 【题型13】中考链接 【例1】（2024·山西·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法与除法，幂的乘方与积的乘方，根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法法则，幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一计算即可． 解：A、和不是同类项，不能合并，故此选项不合题意； B、，故此选项不合题意； C、，故此选项不合题意； D、，故此选项符合题意． 故选：D． 【例2】（2023·四川资阳·中考真题）计算机的二进制数据是用0和1两个数码来表示的数，进位规则是“逢二进一”二进制数和十进制数可以互换例如，二进制数“01011011”换成十进制数表示的数为．依此算法，二进制数“01001001”换成十进制数表示的数为 ． 【答案】73 【分析】本题考查了用数字表示数及有理数的混合运算，理解二进制和十进制的互换规则是解题关键．根据二进制和十进制的互换规则即可解答． 解：由二进制和十进制的互换规则得： ． 故答案为：73． 【题型14】拓展延伸 【例1】9．（24-25六年级上·上海·阶段练习）请阅读材料，并解决问题，如果，那么b为n的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示b、n两个量之间的同一关系． （1）根据“劳格数”的定义，填空：______，_______； “劳格数”有如下运算性质： 若m、n为正数，则，； （2）根据运算性质，填空：______．（a为正数） （3）若，分别计算，． 【答案】（1） 1 ；（2）3；；（3）， 【分析】本题考查新定义，有理数的运算，理解题意，将新定义转化为同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方运算是解题的关键： （1）根据新定义将，转换成幂的运算求解即可得到答案； （2）根据性质将用表示出来，代入求解即可得到答案； （3）根据，代入求解即可得到答案 解：（1）解：∵如果，那么b为n的“劳格数”，记为， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ， 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：3； （3）解：∵，， ∴， ∵，， ∴． 【例2】（23-24七年级下·河南郑州·阶段练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作【a，b】：如果，那么【a，b】． 例如因为，所以【2，8】． （1）根据上述规定，填空：【4，64】= ，【5，1】= ，【 ，16】= 4． （2）小明在研究这种运算时发现一个现象【】=【3，4】，小明给出了如下的证明：设【】，则，即，所以． 即【3，4】所以【】=【3，4】请你尝试运用这种方法解决下列问题： ①证明：【7，5】+【7，6】=【7，30】． ②请根据前面的经验猜想：【】+【】=【 ， 】． 【答案】（1）3，0，；（2）①证明见详解；②【，】 【分析】本题通过新定义考查了乘方的灵活运用、观察和猜想能力，回归定义是解决新定义题型的关键． （1）根据乘方的意义即可得到答案； （2）①模仿材料中的证明方法设【7，5】，【7，6】，再根据乘方的意义即可得到答案； ②根据【，】【3，4】和【7，5】【7，6】【7，30】的证明过程和结论即可猜想答案． 解：（1）解：， 【4，64】， ， 【5，1】， ， 【，16】． 故答案为：3，0，． （2）①证明：设【7，5】，【7，6】， 则，， ， 【7，30】， 【7，5】【7，6】【7，30】． ②由【，】【3，4】的证明过程和结论可以猜想： 【，】【，】， 【，】【，】， 【，】【，】 【，】【，】， 由【7，5】【7，6】【7，30】的证明过程和结论可以猜想： 【，】【，】【，】， 故答案为：【，】． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.1 幂的运算（5大知识点6大考点14类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】同底数幂的乘法 （1）同底数幂相乘运算：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.即（其中都是正整数）； （2）同底数幂相乘逆运算：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数，即（都是正整数）. 【知识点2】幂的乘方 （1）幂的乘方运算：幂的乘方，底数不变，指数相乘. 即（其中都是正整数）. （2）幂的乘方逆运算公式：根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 【知识点3】积的乘方 （1） 积的乘方运算： （其中是正整数）.即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. （2） 积的乘方逆运算：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便. 【知识点4】同底数幂除法 （1）同底数幂相除运算：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且） （2）同底数幂相除逆运算： （3）零指数幂：任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0） 【知识点5】注意事项 （1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式. （2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏. （3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加. （4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式（特别是系数）都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 考点与题型目录 【考点一】同底数幂的乘法 【题型1】同底数幂相乘运算...................................................2 【题型2】同底数幂相乘逆运算.................................................3 【题型3】同底数幂相乘运算与逆运算综合.......................................3 【考点二】幂的乘方 【题型4】幂的乘方运算.......................................................4 【题型5】幂的乘方逆运算.....................................................4 【题型6】幂的乘方运算和逆运算综合...........................................4 【考点三】积的乘方 【题型7】积的乘方运算.......................................................4 【题型8】积的乘方逆运算.....................................................5 【题型9】积的乘方运算与逆运算综合...........................................5 【考点四】同底数幂的除法 【题型7】同底数幂除法运算...................................................5 【题型8】同底数幂除法逆运算.................................................5 【题型9】同底数幂除法运算和逆运算综合.......................................6 【题型10】零指数幂..........................................................7 【考点五】幂的混合运算 【题型11】幂的混合运算......................................................7 【题型12】幂的混合运算逆运算................................................7 【考点六】中考链接与拓展延伸 【题型13】中考链接..........................................................8 【题型14】拓展延伸..........................................................8 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】同底数幂的乘法 【题型1】同底数幂相乘运算 【例1】（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（24-25八年级上·青海西宁·期中）已知，则的值为 ． 【变式2】（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）规定． （1）填空：_______； （2）如果，求x的值． 【题型2】同底数幂相乘逆运算 【例2】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）已知，求． 【变式1】（24-25八年级上·全国·单元测试）若，则 ． 【变式2】（23-24八年级上·全国·课堂例题）解方程：． 【变式3】（2024七年级下·全国·专题练习） （1）已知，求的值； （2）若，求a的值． 【题型3】同底数幂相乘运算与逆运算综合 【例3】（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）回答下列问题： （1）已知，求的值； （2）已知，求x的值． 【变式1】（22-23七年级下·浙江金华·期末）规定：若实数x，y，z满足，则记作． （1）根据题意，，则 ． （2）若记，，则a，b，c三者之间的关系式是 ． 【变式2】（22-23七年级下·江苏宿迁·阶段练习）下面是小明完成的一道作业题．小明的作业： 计算： 解：原式． 知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： ①； ②． 知识拓展：若，求的值． 【考点二】幂的乘方 【题型4】幂的乘方运算 【例4】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）． 【变式1】（24-25八年级上·福建厦门·期中）若，则 ． 【变式2】（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）已知，求． 【题型5】幂的乘方逆运算 【例5】（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）计算 （1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【变式1】（24-25八年级上·四川眉山·期中）已知，，，，则 a、b、c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·重庆万州·期中）当，则的值为 ． 【题型6】幂的乘方运算和逆运算综合 【例6】（24-25八年级上·福建泉州·期中） （1）已知，求的值； （2）已知，求n的值． 【变式1】（24-25八年级上·福建漳州·期中）若，求的值． 【变式2】（2024八年级上·全国·专题练习）阅读下列解题过程： 试比较与的大小． 解：，而． 请根据上述解题方法，比较的大小． 【考点三】积的乘方 【题型7】积的乘方运算 【例7】（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）用两种不同方法计算． 【变式1】（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【题型8】积的乘方逆运算 【例8】（23-24七年级上·上海·阶段练习）确定的末位数是几，简单说明理由 【变式1】（24-25八年级上·河南洛阳·期中）下列关于的计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·福建三明·期中）已知，则 ． 【题型9】积的乘方运算与逆运算综合 【例9】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）阅读下列各式：，，…… （1）发现规律：______，______． （2）应用规律： ①填空：______，______； ②计算：． 【变式1】（22-23七年级下·四川达州·阶段练习）已知，则的值是 ． 【变式2】（2024七年级上·上海·专题练习）用简便方法计算： 【考点四】同底数幂的除法 【题型7】同底数幂除法运算 【例7】（2023九年级·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）． 【变式1】（23-24七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【变式2】（23-24八年级上·全国·课后作业）解方程：． 【题型8】同底数幂除法逆运算 【例8】（24-25八年级上·四川巴中·期中）已知：，，． （1）求的值； （2）证明：． 【变式1】（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）已知，，则的值为（   ） A．72 B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）已知，则 ． 【题型9】同底数幂除法运算和逆运算综合 【例9】（22-23七年级下·江苏淮安·期末）计算 （1）已知，，求：的值． （2），求：的值． 【变式1】（19-20七年级下·浙江杭州·期中）根据已知求值． （1）已知，求m的值． （2）已知，求的值． （3）已知，求的值． 【变式2】（21-22七年级下·山东青岛·期中）阅读材料： 定义：如果，那么称a为n的劳格数，记为， 例如：，那么称2是100的劳格数，记为． 填空：根据劳格数的定义，在算式中，______相当于定义中的n，所以______； 直接写出______； 探究：某数学研究小组探究劳格数有哪些运算性质，以下是他们的探究过程 若a、b、m、n均为正数，且，， 根据劳格数的定义：，______， ∵ ∴，这个算式中，______相当于定义中的a，______相当于定义中的n， ∴______，即， 请你把数学研究小组探究过程补全 拓展：根据上面的推理，你认为：______． 【题型10】零指数幂 【例10】（23-24八年级下·云南曲靖·期末）计算：． 【变式1】（23-24八年级上·全国·课后作业）在0，，，四个数中，最小的数是（    ） A．0 B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·全国·课后作业）若无意义，且，则 ． 【考点五】幂的混合运算 【题型11】幂的混合运算 【例11】（2024七年级下·全国·专题练习）计算： （1） （2）； （3）先化简，再求值：，其中． 【变式1】（23-24七年级下·安徽亳州·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式2】（24-25七年级上·上海·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型12】幂的混合运算逆运算 【例12】（2025七年级下·全国·专题练习）（1）已知，试用含m，n的代数式表示； （2）已知，试用含m，n的代数式表示； （3）已知，试将用a，b，c来表示． 【变式1】（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）已知 则 的值为（     ） A．250 B．160 C．150 D．133 【变式2】（24-25八年级上·江苏南通·期中）如果，那么称为的“拉格数”，记为，由定义可知：．例如，因为，所以，．若，则 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【考点六】中考链接与拓展延伸 【题型13】中考链接 【例1】（2024·山西·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（2023·四川资阳·中考真题）计算机的二进制数据是用0和1两个数码来表示的数，进位规则是“逢二进一”二进制数和十进制数可以互换例如，二进制数“01011011”换成十进制数表示的数为．依此算法，二进制数“01001001”换成十进制数表示的数为 ． 【题型14】拓展延伸 【例1】9．（24-25六年级上·上海·阶段练习）请阅读材料，并解决问题，如果，那么b为n的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示b、n两个量之间的同一关系． （1）根据“劳格数”的定义，填空：______，_______； “劳格数”有如下运算性质： 若m、n为正数，则，； （2）根据运算性质，填空：______．（a为正数） （3）若，分别计算，． 【例2】（23-24七年级下·河南郑州·阶段练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作【a，b】：如果，那么【a，b】． 例如因为，所以【2，8】． （1）根据上述规定，填空：【4，64】= ，【5，1】= ，【 ，16】= 4． （2）小明在研究这种运算时发现一个现象【】=【3，4】，小明给出了如下的证明：设【】，则，即，所以． 即【3，4】所以【】=【3，4】请你尝试运用这种方法解决下列问题： ①证明：【7，5】+【7，6】=【7，30】． ②请根据前面的经验猜想：【】+【】=【 ， 】． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$