2025年河北中考数学一轮复习学案——考点训练二、整式与分式

整式与分式 1、 整式 1. 整式的相关概念 (1)单项式:由数与字母的乘积组成的代数式,如 , ;单独一个数或一个字母也叫单项式,如: , . ①系数:单项式中的数字因数,如: 的系数为1, 的系数为2; ②次数:所有字母的指数和,如: 的次数为1, 的次数为3. (2)多项式:几个单项式的和,如: , . ①项:多项式中每一个单项式(连同前面的符号)叫作这个多项式的项,不含字母的项叫作常数项,如:多项式 的项为 和 ,其中 是常数项; ②次数:多项式里最高次项的次数叫作多项式的次数,如: 的最高次项为 ,是二次二项式. (3)整式:单项式和多项式统称为整式. 2. 整式的运算 (1)加减运算 ①同类项:多项式中所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项,如 与 是同类项; ②合并同类项: ③去括号法则: ,,简记为“-”变“+”不变; ④加减运算可归纳为:先去括号,再合并同类项. (2)幂的运算 ①同底数幂相乘:底数不变,指数相加,(、为整数); ②同底数幂相除:底数不变,指数相减,( ,、为整数); ③幂的乘方:底数不变,指数相乘, (、为整数); ④积的乘方:(为整数). (3)乘法运算 ①单项式乘单项式:把系数和同底数幂分别相乘,结果作为积的因式,只在一个单项式出现的字母连同其指数作为积的因式,如; ②单项式乘多项式:; ③多项式乘多项式:. 3. 乘法公式 (1)平方差公式: (2)完全平方公式: , 【考点训练】 1. (2024 河北 模拟预测)下列运算中,与运算结果相同的是( ) A. B. C. D. 2. (2024 河北 模拟预测)若,则n的值为( ) A. B. C.0 D.1 3. (2024 河北 模拟预测)已知是方程的两根,求代数式的值,嘉嘉和淇淇分别给了不同的解题思路,下列说法正确的是( ) 淇淇: ①韦达定理求出,的值; ②化简; ③将步骤①中的,的值代入到步骤②化简后的结果中,解得代数式的值为 嘉嘉: ①解方程; ②化简; ③将步骤①中的解,代入到步骤②化简后的结果中,解得代数式的值为 A.嘉嘉,淇淇都对 B.嘉嘉对,淇淇不对 C.嘉嘉不对,淇淇对 D.嘉嘉,淇淇都不对 4. (2024 河北唐山 二模)现有如图所示的甲、乙、丙三种长方形或正方形纸片各12张,小明要用这些纸片中的若干张拼接(不重叠、无缝隙)一个长、宽分别为和的长方形.下列判断正确的是( ) A.甲种纸片剩余5张 B.丙种纸片剩余7张 C.乙种纸片缺少5张 D.甲种和乙种纸片都不够用 5. (2024 河北邯郸 三模)在三个盘子中,分别装有n个苹果(),先从左边的盘子中拿出两个苹果放入中间的盘子中,之后又从右边的盘子中拿出一个苹果放入中间的盘子中,最后从中间盘子中拿出一些苹果放入右边的盘子中,使中间盘子的苹果个数恰好是右边盘子的苹果个数,这时中间盘子中苹果的个数为( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6. (2024 河北沧州 模拟预测)已知多项式 (1)在化简多项式A时,小明同学的解题过程如下所示. (1)在标出①②③④的几项中出现错误的是_;请你写出正确的解答过程; (2)淇淇说:“若给出a与b互为相反数,即可求出多项式A的值.”嘉嘉说:“若给出a与b互为倒数,即可求出多项式A的值.”请你判断哪个同学说得对,并按此同学赋予的条件求A的值. 7. (2024 河北石家庄 三模)已知整式,整式.如图,有一电脑Ai程序,能处理整式的相关运算,若输入整式A,B后,屏幕上自动呈现整式C,但由于屏幕大小有限,只显示了整式C的一部分:. (1)求程序自动呈现的整式C缺失的部分“”; (2)嘉淇发现:若k取某个正整数时,整式的值大于5,求满足条件的k的最小值. 8. (2024 河北张家口 三模)如图1,2,约定:上方相邻两代数式之和等于这两代数式下方箭头共同指向的代数式. (1)求代数式; (2)嘉嘉说,无论取什么值,的值一定大于的值,嘉嘉的说法是否正确?请通过计算说明. 二、因式分解 1. 定义:把一个多项式化成几个整式的积的形式. 2. 因式分解的方法 (1)提公因式法:; (2)公式法(常用公式来分解): ①; ②; ③; ④; ⑤ ; ⑥ . (3)因式分解的一般步骤: 一提:有公因式,先提公因式; 二套:没有公因式,两项考虑平方差公式法,三项考虑完全平方公式法,四项及以上考虑分组分解法; 三检查:检查因式分解是否彻底. 【考点训练】 9. (2024 河北秦皇岛 一模)对于①,②,从左到右的变形,表述正确的是( ) A.都是因式分解 B.都是乘法运算 C.①是因式分解,②是乘法运算 D.①是乘法运算,②是因式分解 10. 与相等的是( ) A. B. C. D. 11. (2024 河北沧州 二模)若n为任意整数,如果的值总能被4整除,则整数k不能取( ) A. B.1 C.2 D.5 12. (2024 河北秦皇岛 模拟预测)如果一个数等于两个连续奇数的平方差,那么我们称这个数为“幸福数”.下列数中为“幸福数”的是( ) A.268 B.330 C.512 D.588 13. (2024 河北秦皇岛 一模)若,,则关于P与Q的大小关系正确的是( ) A. B. C. D.以上都不对 14. 若的结果为整数,则整数n的值不可能是( ) A.44 B.55 C.66 D.77 15. (2024 河北石家庄 一模)整式,,下列结论: 结论一:. 结论二:A,B的公因式为. 下列判断正确的是( ) A.结论一正确,结论二不正确 B.结论一不正确,结论二正确 C.结论一、结论二都正确 D.结论一、结论二都不正确 16. (2022 河北 二模)已知,那么的值为( ) A.2020 B.2021 C.2022 D.2023 17. (2024 河北石家庄 一模)【发现】两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数. 【验证】_; 【证明】设两个正整数为,,请验证“发现”中的结论正确; 【拓展】已知,,求的值. 18. (2023 河北唐山 二模)已知整式,整式. (1)化简整式A,并将化简后的结果写成指数是3的幂的形式; (2)若,将整式C分解因式: (3)若m为整数,直接写出整式C能否被3整除. 三、分式及其运算 1. 分式 (1)定义:形如的代数式,其中A、B都是整式且B中含有字母. (2)与分式有关的“三个条件” ①分式有意义的条件是:; ②分式的值为0的条件是: 且; ③使分式有意义的条件是:、、. (3)最简分式:分子与分母没有公因式的分式. 2. 分式的基本性质 分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变. (1),该性质应用于分式的通分; (2) ,该性质应用于分式的约分; (3)符号变化法则:分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变,即 3. 分式的乘除运算 (1)乘法法则:; (2)除法法则:; (3)分式乘除运算的关键是约分,即寻找分子、分母的公因式. ①的公因式是 ; ②的公因式是 ; ③的公因式是 ; ④的公因式是 . 4. 分式的加减运算 (1)同分母分式加减法法则:; (2)异分母分式加减法法则:; (3)分式加减运算的关键是通分,即寻找最简公分母: ①和的最简公分母是 ; ②和的最简公分母是 ; ③和的最简公分母是 ; ④和的最简公分母是 . 注意:若分子、分母是多项式,应先把分子、分母分解因式,然后确定最简公分母. 【考点训练】 19. (2024 河北秦皇岛 一模)若,则下列各式的值与P的值一定相等的是( ) A. B. C. D. 20. (2024 河北邢台 模拟预测)下列化简正确的是( ) A. B. C. D. 21. (2024 河北邯郸 模拟预测)对于分式,有下列结论: 结论一:当时,; 结论二:当时,; 结论三:若,则. 其中正确的结论是( ) A.结论一 B.结论二 C.结论二、结论三 D.结论一、结论二 22. (2024 河北邯郸 三模)甲、乙、丙、丁四位同学在进行分式接力计算过程中,开始出现错误的同学是( ) 化简: 甲同学:原式;乙同学:;丙同学:; 丁同学. A.甲同学 B.乙同学 C.丙同学 D.丁同学 23. (2024 河北邯郸 模拟预测)已知点在数轴上且点A在点B的右侧,它们所对应的数分别是和,若的长为整数,则的值为( ) A.1 B.9 C.3或9 D.1或7 24. (2024 河北唐山 三模)已知,则常数,的值分别是( ) A., B., C., D., 25. (2024 河北邯郸 二模)如图,若x是数轴上第①段中(不含端点)的数,则代数式的值在( ) A.第①段 B.第②段 C.第③段 D.第④段 26. (2024 河北唐山 二模)下列有关分式的运算,结果正确的是( ) A. B. C. D. 27. (2024 河北石家庄 二模)李老师在黑板上出了一道题目,计算:.下面是三位同学的解答过程: 小明:原式; 小亮:原式; 小华:原式. 则关于以上三位学生的解答,下列说法正确的是( ) A.只有小明的解答正确 B.只有小亮的解答正确 C.小明和小亮的解答都不正确 D.小明和小华的解答都正确 28. (2024 河北邯郸 二模)若运算的结果不是分式,则“( )”内的式子可能是( ) A. B. C. D. 29. (2024 江苏泰州 一模)对于分式 的值,下列说法一定正确的是( ) A.不可能为 B.比大 C.可能为 D.比大 30. (2024 河北石家庄 一模)如图所示,某同学不小心将分式运算的作业纸撕坏了一角,若已知该运算正确的情况下,则撕坏的部分中“ ”代表的是( ) A. B. C. D. 31. 当a为正整数时,对于整式, .下列两种说法: 甲:整式P、Q的公因式为a; 乙. 的值随着a的增大逐渐趋近于1. 其中正确的是 ( ) A.甲、乙都对 B.甲不对、乙对 C.甲对、乙不对 D.甲、乙都不对 32. (2024 河北邯郸 二模)有一电脑程序:每按一次按键,屏幕的区就会自动减去,同时区就会自动加上,且均显示化简后的结果.已知,两区初始显示的分别是4和,如图. 例如:第一次按键后,,两区分别显示: (1)从初始状态按2次后,若区、区的代数式的值相等,求的值; (2)已知,从初始状态按4次后,若把区的代数式作分子,区的代数式作分母得到一个分式,请将这个分式化简. 衔接中考(河北省近五年中考真题) 一、单选题 1. (2024 河北 中考真题)下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 2. (2023 河北 中考真题)代数式的意义可以是( ) A.与x的和 B.与x的差 C.与x的积 D.与x的商 3. (2022 河北 中考真题)计算得,则“?”是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 4. (2020 河北 中考真题)若,则下列分式化简正确的是( ) A. B. C. D. 5. (2021 河北 中考真题)不一定相等的一组是( ) A.与 B.与 C.与 D.与 6. (2020 河北 中考真题)若,则( ) A.12 B.10 C.8 D.6 7. (2020 河北 中考真题)墨迹覆盖了等式“()”中的运算符号,则覆盖的是( ) A.+ B.- C. D. 8. (2023 河北 中考真题)若k为任意整数,则的值总能( ) A.被2整除 B.被3整除 C.被5整除 D.被7整除 9. (2020 河北 中考真题)对于①,②,从左到右的变形,表述正确的是( ) A.都是因式分解 B.都是乘法运算 C.①是因式分解,②是乘法运算 D.①是乘法运算,②是因式分解 10. (2020 河北 中考真题)若为正整数,则( ) A. B. C. D. 11. (2024 河北 中考真题)若a,b是正整数,且满足,则a与b的关系正确的是( ) A. B. C. D. 12. (2024 河北 中考真题)已知A为整式,若计算的结果为,则( ) A.x B.y C. D. 13. (2023 河北 中考真题)化简的结果是( ) A. B. C. D. 14. (2022 河北 中考真题)若x和y互为倒数,则的值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 15. (2021 河北 中考真题)由值的正负可以比较与的大小,下列正确的是( ) A.当时, B.当时, C.当时, D.当时, 16. (2024 河北 中考真题)“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法,可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算.淇淇受其启发,设计了如图1所示的“表格算法”,图1表示,运算结果为3036.图2表示一个三位数与一个两位数相乘,表格中部分数据被墨迹覆盖,根据图2中现有数据进行推断,正确的是( ) A.“20”左边的数是16 B.“20”右边的“ ”表示5 C.运算结果小于6000 D.运算结果可以表示为 二、填空题 17. (2021 河北 中考真题)现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片(边长如图). (1)取甲、乙纸片各1块,其面积和为 ; (2)嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形,先取甲纸片1块,再取乙纸片4块,还需取丙纸片 块. 18. (2023 河北 中考真题)根据下表中的数据,写出a的值为 .b的值为 . x结果代数式 2 n 7 b a 1 19. (2022 河北 中考真题)如图,棋盘旁有甲、乙两个围棋盒. (1)甲盒中都是黑子,共10个,乙盒中都是白子,共8个,嘉嘉从甲盒拿出a个黑子放入乙盒,使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍,则a= ; (2)设甲盒中都是黑子,共个,乙盒中都是白子,共2m个,嘉嘉从甲盒拿出个黑子放入乙盒中,此时乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多 个;接下来,嘉嘉又从乙盒拿回a个棋子放到甲盒,其中含有个白子,此时乙盒中有y个黑子,则的值为 . 三、解答题 20. (2022 河北 中考真题)发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和. 验证:如,为偶数,请把10的一半表示为两个正整数的平方和. 探究:设“发现”中的两个已知正整数为m,n,请论证“发现”中的结论正确. 21. (2022 河北 中考真题)整式的值为P. (1)当m=2时,求P的值; (2)若P的取值范围如图所示,求m的负整数值. 22. (2020 河北 中考真题)有一电脑程序:每按一次按键,屏幕的区就会自动加上,同时区就会自动减去,且均显示化简后的结果.已知,两区初始显示的分别是25和-16,如图. 如,第一次按键后,,两区分别显示: (1)从初始状态按2次后,分别求,两区显示的结果; (2)从初始状态按4次后,计算,两区代数式的和,请判断这个和能为负数吗?说明理由. 23. (2023 河北 中考真题)现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张,卡片的边长如图1所示.某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙),如图2和图3,其面积分别为. (1)请用含a的式子分别表示;当时,求的值; (2)比较与的大小,并说明理由. 学科网(北京)股份有限公司 $$ 整式与分式 1、 整式 1. 整式的相关概念 （1）单项式：由数与字母的乘积组成的代数式，如 ， ；单独一个数或一个字母也叫单项式，如： ， . ①系数：单项式中的数字因数，如： 的系数为1， 的系数为2； ②次数：所有字母的指数和，如： 的次数为1， 的次数为3. （2）多项式：几个单项式的和，如： ， . ①项：多项式中每一个单项式（连同前面的符号）叫作这个多项式的项，不含字母的项叫作常数项，如：多项式 的项为 和 ，其中 是常数项； ②次数：多项式里最高次项的次数叫作多项式的次数，如： 的最高次项为 ，是二次二项式. （3）整式：单项式和多项式统称为整式. 2. 整式的运算 （1）加减运算 ①同类项：多项式中所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，如 与 是同类项； ②合并同类项： ③去括号法则： ，，简记为“-”变“+”不变； ④加减运算可归纳为：先去括号，再合并同类项. （2）幂的运算 ①同底数幂相乘：底数不变，指数相加，（、为整数）； ②同底数幂相除：底数不变，指数相减，（ ，、为整数）； ③幂的乘方：底数不变，指数相乘， （、为整数）； ④积的乘方：（为整数）. （3）乘法运算 ①单项式乘单项式：把系数和同底数幂分别相乘，结果作为积的因式，只在一个单项式出现的字母连同其指数作为积的因式，如； ②单项式乘多项式：； ③多项式乘多项式：. 3. 乘法公式 （1）平方差公式： （2）完全平方公式： ， 【考点训练】 1. （2024·河北·模拟预测）下列运算中，与运算结果相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，A、，故A符合题意；B、和不是同类项，故不能直接相加，故B不符合题意；C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意；故选：A． 2. （2024·河北·模拟预测）若，则n的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【详解】解：，，故选：A． 3. （2024·河北·模拟预测）已知是方程的两根，求代数式的值，嘉嘉和淇淇分别给了不同的解题思路，下列说法正确的是（   ） 淇淇： ①韦达定理求出，的值； ②化简； ③将步骤①中的，的值代入到步骤②化简后的结果中，解得代数式的值为 嘉嘉： ①解方程； ②化简； ③将步骤①中的解，代入到步骤②化简后的结果中，解得代数式的值为 A．嘉嘉，淇淇都对 B．嘉嘉对，淇淇不对 C．嘉嘉不对，淇淇对 D．嘉嘉，淇淇都不对 【答案】A 【点睛】淇淇的解法：根据韦达定理：，，； 嘉嘉的解法：，，解得：，， ，，原式，嘉嘉，淇淇都对，故选：A． 4. （2024·河北唐山·二模）现有如图所示的甲、乙、丙三种长方形或正方形纸片各12张，小明要用这些纸片中的若干张拼接（不重叠、无缝隙）一个长、宽分别为和的长方形．下列判断正确的是（     ） A．甲种纸片剩余5张 B．丙种纸片剩余7张 C．乙种纸片缺少5张 D．甲种和乙种纸片都不够用 【答案】C 【详解】解：，∴拼接（不重叠、无缝隙）一个长、宽分别为和的长方形，所需甲种纸片12张，乙种纸片17张，丙种纸片6张，∵现有甲、乙、丙三种长方形或正方形纸片各12张，∴甲种纸片正好用完，丙种纸片剩余6张，乙种纸片缺少5张．故选：C． 5. （2024·河北邯郸·三模）在三个盘子中，分别装有n个苹果（），先从左边的盘子中拿出两个苹果放入中间的盘子中，之后又从右边的盘子中拿出一个苹果放入中间的盘子中，最后从中间盘子中拿出一些苹果放入右边的盘子中，使中间盘子的苹果个数恰好是右边盘子的苹果个数，这时中间盘子中苹果的个数为（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】本题主要考查了整式的计算，设最后从中间盘子中拿出个苹果放入右边的盘子中， 第一次：左边盘子苹果个，中边盘子苹果个，右边盘子苹果个，第二次：左边盘子苹果个，中边盘子苹果个，右边盘子苹果个，第三次：左边盘子苹果个，中边盘子苹果个，右边盘子苹果．个，根据题意有：，解得：，则最后中间盘子苹果的个数为：，∵，∴，故选：D． 6. （2024·河北沧州·模拟预测）已知多项式 (1)在化简多项式A时，小明同学的解题过程如下所示． （1）在标出①②③④的几项中出现错误的是______；请你写出正确的解答过程； （2）淇淇说：“若给出a与b互为相反数，即可求出多项式A的值．”嘉嘉说：“若给出a与b互为倒数，即可求出多项式A的值．”请你判断哪个同学说得对，并按此同学赋予的条件求A的值． 【答案】(1)①；过程见解析；(2)淇淇说得对， 【详解】（1）出现错误的是①，∵∴出现错误的是①， 故答案为：①； （2）淇淇说得对，∵当a与b互为相反数时，多项式；当a与b互为倒数时，多项式∴淇淇说得对． 7. （2024·河北石家庄·三模）已知整式，整式．如图，有一电脑Ai程序，能处理整式的相关运算，若输入整式A，B后，屏幕上自动呈现整式C，但由于屏幕大小有限，只显示了整式C的一部分：． (1)求程序自动呈现的整式C缺失的部分“”； (2)嘉淇发现：若k取某个正整数时，整式的值大于5，求满足条件的k的最小值． 【答案】(1)；(2)1 【详解】（1）解：依题意， 即程序自动呈现的整式C缺失的部分“”为； （2）解：∵，∵整式的值大于5， ∴，解得，∵k为正整数，∴k的最小值为1． 8. （2024·河北张家口·三模）如图1，2，约定：上方相邻两代数式之和等于这两代数式下方箭头共同指向的代数式． (1)求代数式； (2)嘉嘉说，无论取什么值，的值一定大于的值，嘉嘉的说法是否正确？请通过计算说明． 【答案】(1)；(2)嘉嘉的说法正确，理由见解析； 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）嘉嘉的说法正确；理由如下：由题意可得：， ∵，∴． 二、因式分解 1. 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式. 2. 因式分解的方法 （1）提公因式法：； （2）公式法（常用公式来分解）： ①； ②； ③； ④； ⑤ ; ⑥ . （3）因式分解的一般步骤： 一提：有公因式，先提公因式； 二套：没有公因式，两项考虑平方差公式法，三项考虑完全平方公式法，四项及以上考虑分组分解法； 三检查：检查因式分解是否彻底. 【考点训练】 9. （2024·河北秦皇岛·一模）对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（ ） A．都是因式分解 B．都是乘法运算 C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解 【答案】C 【详解】解：①，从左向右的变形，将和的形式转化为乘积的形式，为因式分解； ②，从左向右的变形，由乘积的形式转化为和的形式，为乘法运算；故选：C． 10. 与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，故选：C． 11. （2024·河北沧州·二模）若n为任意整数，如果的值总能被4整除，则整数k不能取（    ） A． B．1 C．2 D．5 【答案】C 【详解】解：．∵的值总能被4整除，n为任意整数， ∴总能被整除．整数k为、1、5均满足条件，故选项A、B、D不符合题意，整数k为，，不能满足n为任意整数时的值总能被4整除，故选：C． 12. （2024·河北秦皇岛·模拟预测）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是（    ） A．268 B．330 C．512 D．588 【答案】C 【详解】解：∵一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”，∴设“幸福数”为（n为整数），，∴“幸福数”是8的倍数，观察各选项，是8的倍数的只有512，故选：C． 13. （2024·河北秦皇岛·一模）若，，则关于P与Q的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【详解】 ∴故选：A． 14. 若的结果为整数，则整数n的值不可能是（    ） A．44 B．55 C．66 D．77 【答案】D 【详解】解：， A、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， B、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， C、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， D、，不是的因子，不可使结果为整数，符合题意，故选：D． 15. （2024·河北石家庄·一模）整式，，下列结论： 结论一：． 结论二：A，B的公因式为． 下列判断正确的是（   ） A．结论一正确，结论二不正确 B．结论一不正确，结论二正确 C．结论一、结论二都正确 D．结论一、结论二都不正确 【答案】A 【详解】解：∵，，∴，故结论一正确；∵， ∴A，B的公因式为，故结论二不正确；故选：A． 16. （2022·河北·二模）已知，那么的值为（  ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】A 【详解】解：； 又，∴的值为2020；故选A． 17. （2024·河北石家庄·一模）【发现】两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数． 【验证】______； 【证明】设两个正整数为，，请验证“发现”中的结论正确； 【拓展】已知，，求的值． 【答案】【验证】8；【证明】见解析；【拓展】4． 【详解】解：【验证】∶；故答案为：8； 【证明】∶设两个正整数为，，根据题意得：； ，为正整数，一定是4的倍数，结论正确； 【拓展】∶，，且，． 18. （2023·河北唐山·二模）已知整式，整式． （1）化简整式A，并将化简后的结果写成指数是3的幂的形式； （2）若，将整式C分解因式： （3）若m为整数，直接写出整式C能否被3整除． 【答案】(1)；(2)；(3)能 【详解】（1）解：，，，； （2）解：由题得， （3）解：能，理由如下：若m为整数，则为三个连续的整数，故其中必有一个是3的倍数，所以整式C能否被3整除． 三、分式及其运算 1. 分式 （1）定义：形如的代数式，其中A、B都是整式且B中含有字母. （2）与分式有关的“三个条件” ①分式有意义的条件是：； ②分式的值为0的条件是： 且； ③使分式有意义的条件是：、、. （3）最简分式：分子与分母没有公因式的分式. 2. 分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. （1），该性质应用于分式的通分; （2） ，该性质应用于分式的约分; （3）符号变化法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即 3. 分式的乘除运算 （1）乘法法则：； （2）除法法则：; （3）分式乘除运算的关键是约分，即寻找分子、分母的公因式. ①的公因式是 ； ②的公因式是 ； ③的公因式是 ； ④的公因式是 . 4. 分式的加减运算 （1）同分母分式加减法法则：； （2）异分母分式加减法法则：； （3）分式加减运算的关键是通分，即寻找最简公分母： ①和的最简公分母是 ； ②和的最简公分母是 ； ③和的最简公分母是 ； ④和的最简公分母是 . 注意：若分子、分母是多项式，应先把分子、分母分解因式，然后确定最简公分母. 【考点训练】 19. （2024·河北秦皇岛·一模）若，则下列各式的值与P的值一定相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质针对四个选项进行分析即可． 【详解】A、不能再化简，故本选项不符合题意；B、不能再化简，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意；D、，故本选项不符合题意；故选：C． 20. （2024·河北邢台·模拟预测）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A. ，原计算错误；B. ，，原计算错误；C. 不能化简，，原计算错误；D. ，计算正确；故选：D． 21. （2024·河北邯郸·模拟预测）对于分式，有下列结论： 结论一：当时，； 结论二：当时，； 结论三：若，则． 其中正确的结论是（    ） A．结论一 B．结论二 C．结论二、结论三 D．结论一、结论二 【答案】B 【详解】解：当时，，则分式无意义，故结论一不符合题意；当时，即，解得：，检验，当时，则是分式方程得解，故结论二符合题意； ，若，则，即，∴，故结论三不符合题意； 综上，正确的结论是结论二，故选：B． 22. （2024·河北邯郸·三模）甲、乙、丙、丁四位同学在进行分式接力计算过程中，开始出现错误的同学是（  ） 化简： 甲同学：原式；乙同学：；丙同学：； 丁同学． A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学 【答案】B 【详解】解： ，∴开始出现错误的同学是乙同学，故选B． 23. （2024·河北邯郸·模拟预测）已知点在数轴上且点A在点B的右侧，它们所对应的数分别是和，若的长为整数，则的值为（    ） A．1 B．9 C．3或9 D．1或7 【答案】C 【详解】解：∵点在数轴上且点A在点B的右侧，它们所对应的数分别是和， ∴,， ∵的长为整数，∴或9．故选C． 24. （2024·河北唐山·三模）已知，则常数，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：，∴，解得：； 故选A． 25. （2024·河北邯郸·二模）如图，若x是数轴上第①段中（不含端点）的数，则代数式的值在（    ） A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段 【答案】B 【详解】解： ∵x是数轴上第①段中（不含端点）的数，∴，∴，∴， 代数式的值在第②段，故选：B 26. （2024·河北唐山·二模）下列有关分式的运算，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意；B．，故选项错误，不符合题意；C．，故选项正确，符合题意；D．，故选项错误，不符合题意．故选：C． 27. （2024·河北石家庄·二模）李老师在黑板上出了一道题目，计算：．下面是三位同学的解答过程： 小明：原式； 小亮：原式； 小华：原式． 则关于以上三位学生的解答，下列说法正确的是（    ） A．只有小明的解答正确 B．只有小亮的解答正确 C．小明和小亮的解答都不正确 D．小明和小华的解答都正确 【答案】D 【详解】解法一：； 解法二：．故选． 28. （2024·河北邯郸·二模）若运算的结果不是分式，则“（    ）”内的式子可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵运算的结果为不是分式，∴“（    ）”内的式子一定有a的单项式，∴只有A项符合，故选：A． 29. （2024·江苏泰州·一模）对于分式 的值，下列说法一定正确的是（     ） A．不可能为 B．比大 C．可能为 D．比大 【答案】D 【详解】、当，当时，分式的值为，原选项说法错误，不符合题意； 、，可能比小，原选项说法错误，不符合题意； 、当时，，此时分母为零，原选项说法错误，不符合题意； 、，比大，原选项说法正确，符合题意；故选：． 30. （2024·河北石家庄·一模）如图所示，某同学不小心将分式运算的作业纸撕坏了一角，若已知该运算正确的情况下，则撕坏的部分中“■”代表的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意，得：“■”代表的是；故选：A． 31. 当a为正整数时，对于整式， .下列两种说法： 甲：整式P、Q的公因式为a；          乙． 的值随着a的增大逐渐趋近于1． 其中正确的是 （        ） A．甲、乙都对 B．甲不对、乙对 C．甲对、乙不对 D．甲、乙都不对 【答案】B 【分析】本题考查因式分解，分式的性质，掌握因式分解是解题的关键. 【详解】解：由题意可知,∴整式的公因式为，故甲不对 ∵∴当a的逐渐增大，趋近于1，故乙正确故选:B 32. （2024·河北邯郸·二模）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的区就会自动减去，同时区就会自动加上，且均显示化简后的结果．已知，两区初始显示的分别是4和，如图． 例如：第一次按键后，，两区分别显示： (1)从初始状态按2次后，若区、区的代数式的值相等，求的值； (2)已知，从初始状态按4次后，若把区的代数式作分子，区的代数式作分母得到一个分式，请将这个分式化简． 【答案】(1)或者；(2) 【详解】（1）A区显示的结果为：；B区显示的结果为：， 根据区、区的代数式的值相等可得：，整理得：，解得：，， 即的值为或者； （2）设从初始状态按4次后，A区显示的结果为：；B区显示的结果为：，根据题意有分式：， 化简结果为：． 衔接中考（河北省近五年中考真题） 一、单选题 1. （2024·河北·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．，不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项符合题意；D．，故此选项不符合题意．故选：C． 2. （2023·河北·中考真题）代数式的意义可以是（    ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 【答案】C 【详解】解：的意义可以是与x的积．故选C． 3. （2022·河北·中考真题）计算得，则“？”是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】，则“？”是2，故选：C． 4. （2020·河北·中考真题）若，则下列分式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵a≠b，∴，选项A错误；，选项B错误；，选项C错误；，选项D正确；故选：D． 5. （2021·河北·中考真题）不一定相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】解：A. =，故选项A不符合题意；B. ，故选项B不符合题意；C. ，故选项C不符合题意；D. ，故选项D符合题意，故选：D． 6. （2020·河北·中考真题）若，则（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【分析】利用平方差公式变形即可求解． 【详解】原等式变形得：．故选：B． 7. （2020·河北·中考真题）墨迹覆盖了等式“（）”中的运算符号，则覆盖的是（    ）   A．＋ B．－ C．× D．÷ 【答案】D 【详解】∵（），，∴覆盖的是：÷．故选：D． 8. （2023·河北·中考真题）若k为任意整数，则的值总能（    ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 【答案】B 【详解】解：，能被3整除，∴的值总能被3整除，故选：B． 9. （2020·河北·中考真题）对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（    ） A．都是因式分解 B．都是乘法运算 C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解 【答案】C 【详解】①左边多项式，右边整式乘积形式，属于因式分解；②左边整式乘积，右边多项式，属于整式乘法；故答案选C． 10. （2020·河北·中考真题）若为正整数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】=，故选A． 11. （2024·河北·中考真题）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得：，∴，∴，故选：A． 12. （2024·河北·中考真题）已知A为整式，若计算的结果为，则（    ） A．x B．y C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的通分，平方差公式，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 由题意得，对进行通分化简即可． 【详解】解：∵的结果为，∴， ∴，∴，故选：A． 13. （2023·河北·中考真题）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，故选：A． 14. （2022·河北·中考真题）若x和y互为倒数，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】∵x和y互为倒数∴； ∴原式=2-1+1=2 故选：B 15. （2021·河北·中考真题）由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【详解】解：，当时，，无意义，故A选项错误，不符合题意； 当时，，，故B选项错误，不符合题意；当时，，，故C选项正确，符合题意；当时，，；当时，，，故D选项错误，不符合题意；故选：C． 16. （2024·河北·中考真题）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（    ） A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“□”表示5 C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为 【答案】D 【详解】解：设一个三位数与一个两位数分别为和，如图： 则由题意得：，∴，即，∴当时，不是正整数，不符合题意，故舍；当时，则，如图： ， ∴A、“20”左边的数是，故本选项不符合题意；B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意；∴上面的数应为，如图： ∴运算结果可以表示为：，∴D选项符合题意，当时，计算的结果大于6000，故C选项不符合题意，故选：D． 二、填空题 17. （2021·河北·中考真题）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）． （1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为 ； （2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片 块． 【答案】 4 【详解】解：（1）∵甲、乙都是正方形纸片，其边长分别为∴取甲、乙纸片各1块，其面积和为； 故答案为：． （2）要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，则它们的面积和为，若再加上（刚好是4个丙），则，则刚好能组成边长为的正方形，图形如下所示，所以应取丙纸片4块．故答案为：4． 18. （2023·河北·中考真题）根据下表中的数据，写出a的值为 ．b的值为 ． x结果代数式 2 n 7 b a 1 【答案】 【详解】解：当时，，即，当时，，即， 当时，，即，解得，经检验，是分式方程的解，∴， 故答案为：； 19. （2022·河北·中考真题）如图，棋盘旁有甲、乙两个围棋盒． （1）甲盒中都是黑子，共10个，乙盒中都是白子，共8个，嘉嘉从甲盒拿出a个黑子放入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍，则a＝ ； （2）设甲盒中都是黑子，共个，乙盒中都是白子，共2m个，嘉嘉从甲盒拿出个黑子放入乙盒中，此时乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多 个；接下来，嘉嘉又从乙盒拿回a个棋子放到甲盒，其中含有个白子，此时乙盒中有y个黑子，则的值为 ． 【答案】 4 1 【详解】答题空1： 原甲：10 原乙：8 现甲：10-a 现乙：8+a 依题意：解得：故答案为：4 答题空2： 原甲：m 原乙：2m 现甲1：m-a 现乙1：2m+a 第一次变化后，乙比甲多：故答案为： 答题空3： 原甲：m黑 原乙：2m白 现甲1：m黑-a黑 现乙1：2m白+a黑 现甲2：m黑-a黑+a混合 现乙2：2m白+a黑-a混合 第二次变化，变化的a个棋子中有x个白子，个黑子，则：，；故答案为：1 三、解答题 20. （2022·河北·中考真题）发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和． 验证：如，为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和． 探究：设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确． 【答案】验证：；论证见解析 【详解】证明：验证：10的一半为5，； 探究：设“发现”中的两个已知正整数为m，n，∴，其中为偶数， 且其一半正好是两个正整数m和n的平方和，∴“发现”中的结论正确． 21. （2022·河北·中考真题）整式的值为P． (1)当m＝2时，求P的值； (2)若P的取值范围如图所示，求m的负整数值． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：∵，当时，； （2），由数轴可知，即，，解得，的负整数值为． 22. （2020·河北·中考真题）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的区就会自动加上，同时区就会自动减去，且均显示化简后的结果．已知，两区初始显示的分别是25和－16，如图． 如，第一次按键后，，两区分别显示： （1）从初始状态按2次后，分别求，两区显示的结果； （2）从初始状态按4次后，计算，两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由． 【答案】（1）；；（2）；和不能为负数，理由见解析． 【分析】（1）根据题意，每按一次按键，屏幕的区就会自动加上，区就会自动减去，可直接求出初始状态按2次后A，B两区显示的结果． （2）依据题意，分别求出初始状态下按4次后A，B两区显示的代数式，再求A，B两区显示的代数式的和，判断能否为负数即可． 【详解】解：（1）A区显示结果为： ，B区显示结果为：； （2）初始状态按4次后A显示为： B显示为：∴A+B== = ∵恒成立，∴和不能为负数． 23. （2023·河北·中考真题）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为． (1)请用含a的式子分别表示；当时，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)，，当时，；(2)，理由见解析 【详解】（1）解：依题意得，三种矩形卡片的面积分别为：， ∴，，∴， ∴当时，； （2），理由如下：∵，∴ ∵，∴，∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$