专题1.1 幂的运算（5大知识点6大考点14类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.1 幂的运算（5大知识点6大考点14类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】同底数幂的乘法 （1）同底数幂相乘运算：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.即（其中都是正整数）； （2）同底数幂相乘逆运算：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数，即（都是正整数）. 【知识点2】幂的乘方 （1）幂的乘方运算：幂的乘方，底数不变，指数相乘. 即（其中都是正整数）. （2）幂的乘方逆运算公式：根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 【知识点3】积的乘方 （1） 积的乘方运算： （其中是正整数）.即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. （2） 积的乘方逆运算：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便. 【知识点4】同底数幂除法 （1）同底数幂相除运算：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且） （2）同底数幂相除逆运算： （3）零指数幂：任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0） 【知识点5】注意事项 （1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式. （2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏. （3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加. （4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式（特别是系数）都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 考点与题型目录 【考点一】同底数幂的乘法 【题型1】同底数幂相乘运算....................................................2 【题型2】同底数幂相乘逆运算..................................................3 【题型3】同底数幂相乘运算与逆运算综合........................................3 【考点二】幂的乘方 【题型4】幂的乘方运算........................................................4 【题型5】幂的乘方逆运算......................................................4 【题型6】幂的乘方运算和逆运算综合............................................4 【考点三】积的乘方 【题型7】积的乘方运算........................................................5 【题型8】积的乘方逆运算......................................................6 【题型9】积的乘方运算与逆运算综合............................................6 【考点四】同底数幂的除法 【题型7】同底数幂除法运算....................................................6 【题型8】同底数幂除法逆运算..................................................6 【题型9】同底数幂除法运算和逆运算综合........................................6 【题型10】零指数、负指数与科学记数法.........................................7 【考点五】幂的混合运算 【题型11】幂的混合运算.......................................................7 【题型12】幂的混合运算逆运算.................................................7 【考点六】中考链接与拓展延伸 【题型13】中考链接...........................................................8 【题型14】拓展延伸...........................................................8 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】同底数幂的乘法 【题型1】同底数幂相乘运算 【例1】（2024八年级上·全国·专题练习）计算 （1） （2） （3） （4） （5） 【变式1】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）下列计算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·海南·期中）若，，则（ ） A．32 B．16 C．4 D．64 【题型2】同底数幂相乘逆运算 【例1】（23-24八年级上·全国·课堂例题）解方程：． 【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知，，则 ． 【变式2】（24-25八年级上·青海西宁·期中）已知，则的值为 ． 【题型3】同底数幂相乘运算与逆运算综合 【例1】（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）回答下列问题： （1）已知，求的值； （2）已知，求x的值． 【变式1】（23-24八年级上·全国·课后作业）（1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 【变式2】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读探究，理解应用．根据乘方的意义填空，并思考： ① ； ② ； ③ （m，n是正整数）； ④一般地，对于任意底数 a 与任意正整数m，n，则有： ，根据你发现的规律，完成下列问题： 计算： （1） ； ； ； （2）已知，，求的值． 【考点二】幂的乘方 【题型4】幂的乘方运算 【例1】（2024八年级上·全国·专题练习）计算：． 【变式1】（2020·浙江杭州·模拟预测）已知，，为自然数，且满足，则的取值不可能是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】（24-25八年级上·北京海淀·期中）计算： ． 【题型5】幂的乘方逆运算 【例1】（24-25八年级上·吉林白城·阶段练习）阅读下列材料，回答问题． 下面是底数大于1的数比较大小的两种方法． ①比较和的大小． 当时，，即当底数相同时，指数越大值越大． ②比较和的大小． 解：，，，，． 即指数相同时，底数越大值越大． （1）比较和的大小； （2）已知，，则a___________b．（选填“>”“=”或“<”） 【变式1】（24-25八年级上·贵州黔南·阶段练习）已知，则的值是（   ） A．3 B．9 C．18 D．27 【变式2】（24-25八年级上·吉林长春·期末）若，，，则a、b、c的大小关系是 ．（用“”连接） 【题型6】幂的乘方运算和逆运算综合 【例1】（24-25八年级上·安徽芜湖·阶段练习）计算： （1）若，，求的值． （2）若，求x的值． 【变式1】（24-25八年级上·广东珠海·期中）幂的运算性质在一定的条件下具有可逆性，如，则（m，n为正整数）.请运用所学知识解答下列问题： （1）计算：______； （2）已知：，（m，n为正整数），则______； （3）已知m个相乘的结果为，n个相乘的结果为，若个相乘的结果为64，求的值． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）阅读下列两则材料，解决问题． 材料一：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数（底数大于1）的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 小结：底数相同（底数大于1）的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． （1）比较的大小； （2）比较的大小； （3）已知，比较的大小（均为大于1的数）． 【考点三】积的乘方 【题型7】积的乘方运算 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）． 【变式1】（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）已知为正整数，且，求的值为 ． 【变式2】（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）计算： （1） （2） 【题型8】积的乘方逆运算 【例1】（2025七年级下·全国·专题练习）已知，求的值． 【变式1】（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算： ． 【变式2】（23-24七年级上·上海·阶段练习）确定的末位数是几，简单说明理由 【题型9】积的乘方运算与逆运算综合 【例1】（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）用两种不同方法计算． 【变式】（2024七年级上·上海·专题练习）用简便方法计算： 【考点四】同底数幂的除法 【题型7】同底数幂除法运算 【例1】（23-24六年级下·山东东营·阶段练习）计算： （1）； （2）； （3）； 【变式1】（22-23八年级上·黑龙江绥化·期中）先化简，再求值： ，其中． 【变式2】（2024七年级下·江苏·专题练习）求等式中的值：． 【题型8】同底数幂除法逆运算 【例1】（24-25八年级上·四川巴中·期中）已知：，，． （1）求的值； （2）证明：． 【变式1】（22-23八年级上·福建泉州·期中）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·安徽合肥·期末）若，则的值为 ． 【题型9】同底数幂除法运算和逆运算综合 【例1】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）已知，； （1）当时，求a的值； （2）求的值． 【变式】（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）本学期我们学习了“同底数幂除法”的运算， 运算法则如下：． 根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题： （1）填空：___________，___________； （2）如果，求出的值； （3）如果，请直接写出的值． 【题型10】零指数、负指数与科学记数法 【例10】 【变式1】（2024·云南·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·黑龙江鸡西·模拟预测）在科幻小说《三体》中，制造太空电梯的材料是由科学家汪淼发明的一种只有头发丝粗细的超高强度纳米丝“飞刃”，已知正常的头发丝直径为，则“飞刃”的直径（）用科学记数法表示为 ． 【考点五】幂的混合运算 【题型11】幂的混合运算 【例11】（24-25八年级上·吉林长春·期中）计算： （1）； （2）． 【变式1】（19-20八年级上·江西·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024七年级下·全国·专题练习）计算： （1） （2）； （3）先化简，再求值：，其中． 【题型12】幂的混合运算逆运算 【例12】（21-22七年级下·江苏盐城·期中）已知，则的值是 ． 【变式1】（23-24八年级上·四川眉山·期末）已知，，则的值为（    ） A．12 B．9 C．33 D．4 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）（1）已知，试用含m，n的代数式表示； （2）已知，试用含m，n的代数式表示； （3）已知，试将用a，b，c来表示． 【考点六】中考链接与拓展延伸 【题型13】中考链接 【例1】（2024·江苏南京·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（2023·四川资阳·中考真题）计算机的二进制数据是用0和1两个数码来表示的数，进位规则是“逢二进一”二进制数和十进制数可以互换例如，二进制数“01011011”换成十进制数表示的数为．依此算法，二进制数“01001001”换成十进制数表示的数为 ． 【题型14】拓展延伸 【例1】（22-23七年级下·广西贵港·期中）阅读理解：我们在学习了幂的有关知识后，对两个幂与（都是正数，都是正整数）的大小进行比较，并归纳总结了如下两个结论： ①若，则．（底数相同，指数大的幂大） ②若，则．（指数相同，底数大的幂大） 尝试应用：试比较与的大小． 解：因为， ，……（第1步） 又， 所以……（第2步） 问题解决： （1）在尝试应用的解题过程中，第1步的思路是将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为_______；第2步的依据是_______． （2）请比较下面各组中两个幂的大小： ①与； ②与． 【例2】（23-24七年级下·河南郑州·阶段练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作【a，b】：如果，那么【a，b】． 例如因为，所以【2，8】． （1）根据上述规定，填空：【4，64】= ，【5，1】= ，【 ，16】= 4． （2）小明在研究这种运算时发现一个现象【】=【3，4】，小明给出了如下的证明：设【】，则，即，所以． 即【3，4】所以【】=【3，4】请你尝试运用这种方法解决下列问题： ①证明：【7，5】+【7，6】=【7，30】． ②请根据前面的经验猜想：【】+【】=【 ， 】． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 幂的运算（5大知识点6大考点14类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】同底数幂的乘法 （1）同底数幂相乘运算：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.即（其中都是正整数）； （2）同底数幂相乘逆运算：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数，即（都是正整数）. 【知识点2】幂的乘方 （1）幂的乘方运算：幂的乘方，底数不变，指数相乘. 即（其中都是正整数）. （2）幂的乘方逆运算公式：根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 【知识点3】积的乘方 （1） 积的乘方运算： （其中是正整数）.即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. （2） 积的乘方逆运算：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便. 【知识点4】同底数幂除法 （1）同底数幂相除运算：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且） （2）同底数幂相除逆运算： （3）零指数幂：任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0） 【知识点5】注意事项 （1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式. （2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏. （3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加. （4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式（特别是系数）都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 考点与题型目录 【考点一】同底数幂的乘法 【题型1】同底数幂相乘运算...................................................2 【题型2】同底数幂相乘逆运算.................................................4 【题型3】同底数幂相乘运算与逆运算综合.......................................4 【考点二】幂的乘方 【题型4】幂的乘方运算.......................................................6 【题型5】幂的乘方逆运算.....................................................8 【题型6】幂的乘方运算和逆运算综合...........................................9 【考点三】积的乘方 【题型7】积的乘方运算......................................................11 【题型8】积的乘方逆运算....................................................13 【题型9】积的乘方运算与逆运算综合..........................................14 【考点四】同底数幂的除法 【题型7】同底数幂除法运算..................................................15 【题型8】同底数幂除法逆运算................................................16 【题型9】同底数幂除法运算和逆运算综合......................................18 【题型10】零指数、负指数与科学记数法.......................................20 【考点五】幂的混合运算 【题型11】幂的混合运算.....................................................21 【题型12】幂的混合运算逆运算...............................................22 【考点六】中考链接与拓展延伸 【题型13】中考链接.........................................................24 【题型14】拓展延伸.........................................................25 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】同底数幂的乘法 【题型1】同底数幂相乘运算 【例1】（2024八年级上·全国·专题练习）计算 （1） （2） （3） （4） （5） 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即计算即可； （2）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （3）将，变形，再根据同底数幂的乘法法则计算即可； （4）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （5）根据同底数幂的乘法法则计算即可． 解：（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 【变式1】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）下列计算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．根据合并同类项、同底数幂的乘法进行逐项判断即可． 解：A、，故原说法正确，不符合题意； B、与不是同底数幂，计算错误，符合题意； C、，故原说法正确，不符合题意； D、，故原说法正确，不符合题意； 故选:B． 【变式2】（24-25八年级上·海南·期中）若，，则（ ） A．32 B．16 C．4 D．64 【答案】A 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆用．根据，然后代入计算即可． 解：∵，， ∴， 故选：A． 【题型2】同底数幂相乘逆运算 【例1】（23-24八年级上·全国·课堂例题）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，解一元一次方程，逆用同底数幂的乘法法则，将与分别转化为与，再进一步求解即可． 解：原方程可化为， 即， ∴，即， ∴， ∴． 【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆用，逆用同底数幂的乘法法则，进行计算即可． 解：∵，， ∴； 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·青海西宁·期中）已知，则的值为 ． 【答案】27 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，由得，然后根据同底数幂的乘法把变形后代入计算即可． 解：∵， ∴， ∴． 故答案为：27． 【题型3】同底数幂相乘运算与逆运算综合 【例1】（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）回答下列问题： （1）已知，求的值； （2）已知，求x的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据同底数幂乘法的逆运算解答； （2）根据同底数幂乘法法则计算即可． 解：（1）解：因为， 所以， 所以． （2）解：因为， 所以， 所以． 【点拨】此题考查了同底数幂乘法的计算法则及逆运算，正确掌握同底数幂乘法的计算法则是解题的关键． 【变式1】（23-24八年级上·全国·课后作业）（1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据同底数幂乘法的逆运算计算，即可求解； （2）根据同底数幂乘法运算计算，即可求解． 解：（1）． （2）． 【点拨】本题主要考查了同底数幂乘法及其逆运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【变式2】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读探究，理解应用．根据乘方的意义填空，并思考： ① ； ② ； ③ （m，n是正整数）； ④一般地，对于任意底数 a 与任意正整数m，n，则有： ，根据你发现的规律，完成下列问题： 计算： （1） ； ； ； （2）已知，，求的值． 【答案】①；②；③；④；（1）；；；（2）的值为625． 【分析】①利用乘方的意义，即可解答； ②利用乘方的意义，即可解答； ③利用乘方的意义，即可解答； ④从数字找规律，即可解答； （1）利用发现的规律，进行计算即可解答； （2）利用发现的规律，进行计算即可解答． 解：①； ②； ③（m，n是正整数）； ④一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，则有：； 故答案为：①；②；③；④； （1）；；； 故答案为：；；； （2），， ， ， 的值为625． 【点拨】本题考查了同底数幂的乘法法则，同底数幂的乘法法则逆用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【考点二】幂的乘方 【题型4】幂的乘方运算 【例1】（2024八年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】0 【分析】此题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项法则，解题关键在于掌握运算法则； 先根据幂的乘方法则，同底数幂的乘法法则化简，然后合并同类项即可． 解： ． 【变式1】（2020·浙江杭州·模拟预测）已知，，为自然数，且满足，则的取值不可能是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方，根据题意可得，从而得出，，再分情况讨论求解即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，，为自然数， ∴当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 综上所述，的取值不可能是8， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·北京海淀·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方和幂的乘方，解题的关键是掌握：①幂的乘方，底数不变，指数相乘；②积的乘方，等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 解：． 故答案为：． 【题型5】幂的乘方逆运算 【例1】（24-25八年级上·吉林白城·阶段练习）阅读下列材料，回答问题． 下面是底数大于1的数比较大小的两种方法． ①比较和的大小． 当时，，即当底数相同时，指数越大值越大． ②比较和的大小． 解：，，，，． 即指数相同时，底数越大值越大． （1）比较和的大小； （2）已知，，则a___________b．（选填“>”“=”或“<”） 【答案】（1）；（2）> 【分析】本题主要考查了实数的大小比较以及乘方的运用，解题关键是熟练掌握幂的乘方法则． （1）先把底数9写成底数是3的幂，然后比较指数的大小，从而比较这两个数的大小； （2）先逆用幂的乘方法则，把幂写成指数相同的幂，然后根据底数越大，幂就越大，进行比较即可． 解：（1）解：（1）∵， ∴， ∴； （2）解：∵， 又， ∴， 即 ∴， 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·贵州黔南·阶段练习）已知，则的值是（   ） A．3 B．9 C．18 D．27 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂相乘，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 先计算幂的乘方的逆运算，再进行同底数幂相乘，即可求解． 解：∵， ∴ ． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·吉林长春·期末）若，，，则a、b、c的大小关系是 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方逆用，根据幂的乘方的计算方法得到即可． 解：∵，，，而， ∴， 即， 故答案为：． 【题型6】幂的乘方运算和逆运算综合 【例1】（24-25八年级上·安徽芜湖·阶段练习）计算： （1）若，，求的值． （2）若，求x的值． 【答案】（1）18；（2） 【分析】（1）利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则进行变形，再利用整体代入计算即可； （2）把变形为，得到关于x的方程，解方程即可得到答案； 熟练掌握幂的乘方、同底数幂的乘法法则，并利用整体思想是解题的关键． 解：（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵． ∴， 解得 【变式1】（24-25八年级上·广东珠海·期中）幂的运算性质在一定的条件下具有可逆性，如，则（m，n为正整数）.请运用所学知识解答下列问题： （1）计算：______； （2）已知：，（m，n为正整数），则______； （3）已知m个相乘的结果为，n个相乘的结果为，若个相乘的结果为64，求的值． 【答案】（1）3；（2）20；（3）4． 【分析】本题考查同底次幂的乘法及幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）将变形为即可求解； （2）将变形为即可求解； （3）将通过变形以及整体代入可化简为，即可求解． 解：（1）解：， 故答案为：3． （2）解：， 故答案为：20． （3）解：由已知可知，， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）阅读下列两则材料，解决问题． 材料一：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数（底数大于1）的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 小结：底数相同（底数大于1）的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． （1）比较的大小； （2）比较的大小； （3）已知，比较的大小（均为大于1的数）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了幂的乘方、幂的乘方的逆用、有理数大小比较等知识点，掌握幂的乘方的运算法则成为解题的关键． （1）根据材料一的方法求解即可； （2）根据材料二的方法求解即可； （3）先根据材料一的方法可得，然后判断即可解答． 解：（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵，， ∴． （3）解：∵， ∴． ∵， ∴． 【考点三】积的乘方 【题型7】积的乘方运算 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】该题主要考查了幂的乘方和积的乘方以及合并同类项，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据幂的乘方和积的乘方运算法则计算即可； （2）根据幂的乘方和积的乘方先算乘方，然后合并即可； 解：（1）解：原式 ． （2）解：原式． 【变式1】（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）已知为正整数，且，求的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，积的乘方计算，先根据幂的乘方计算法则求出，，再由积的乘方计算法则和幂的乘方计算法则得到，据此代值计算即可． 解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ， ， 故答案为：． 【变式2】（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）先根据积的乘方和单项式乘以多项式运算法则将括号展开，再进行计算即可； （2）先根据积的乘方，同底数幂的乘方运算法则，将各项化简，再合并同类项即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【题型8】积的乘方逆运算 【例1】（2025七年级下·全国·专题练习）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查积的乘方的逆用．根据积的乘方法则构造出方程，求解即可． 解：由， 得， 即， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以． 【变式1】（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方的逆应用，根据积的乘方的逆运算计算即可求解，掌握积的乘方的逆应用是解题的关键． 解：， 故答案为：． 【变式2】（23-24七年级上·上海·阶段练习）确定的末位数是几，简单说明理由 【答案】7 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用与积的乘方的逆用，掌握法则是关键；把三个幂化为指数为99的幂，再逆用积的乘方，即可求解． 解： ； 由于的个位数字为1，其任何次方后个位数字仍为1，与847的积的个位数字为7； 故的末位数是7． 【题型9】积的乘方运算与逆运算综合 【例1】（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）用两种不同方法计算． 【答案】见分析 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．方法一：先计算同底数幂的乘法，再计算幂的乘方即可得；方法二：先计算积的乘方与幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可得． 解：方法一： ． 方法二： ． 【变式】（2024七年级上·上海·专题练习）用简便方法计算： 【答案】 【分析】本题主要考查积的乘方，解答的关键是对积的乘方的法则的掌握与灵活运用．先将式子拆分成同次数的形式，再利用进行求解即可． 解：原式 ． 【考点四】同底数幂的除法 【题型7】同底数幂除法运算 【例1】（23-24六年级下·山东东营·阶段练习）计算： （1）； （2）； （3）； 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了整式的混合计算，零指数幂，负整数指数幂 （1）先计算幂的乘方，再根据同底数幂乘除法计算法则求解即可； （2）先计算积的乘方，再计算同底数幂乘除法，最后合并同类项即可； （3）先计算同底数幂除法，然后去括号，最后合并同类项即可； 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； 【变式1】（22-23八年级上·黑龙江绥化·期中）先化简，再求值： ，其中． 【答案】，3 【分析】先进行乘方运算，再进行同底数幂的除法法则，再代入求值即可． 解：原式； 当时，原式． 【点拨】本题考查同底数幂的除法，幂的乘方运算．熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． 【变式2】（2024七年级下·江苏·专题练习）求等式中的值：． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方法则及同底数幂除法，掌握幂的乘方与积的乘方法则及同底数幂除法法则是解题的关键．根据幂的乘方与积的乘方法则及同底数幂除法法则将等式左右两边都化成底数为3的幂的形式，进而得出关于的方程，解方程即可得出答案． 解：， ， ， ， ， ， ． 【题型8】同底数幂除法逆运算 【例1】（24-25八年级上·四川巴中·期中）已知：，，． （1）求的值； （2）证明：． 【答案】（1）125；（2）见分析 【分析】（1）逆用同底数幂乘法和同底数幂除法运算的性质进行求解即可； （2）利用，即可求解． 本题考查了同底数幂除法与同底数幂乘法性质的逆向运用，逆向思维是解题的关键． 解：（1）解：∵，，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 【变式1】（22-23八年级上·福建泉州·期中）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键．根据同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用可得，代入计算即可得． 解：∵ ∴ ， 故选：B． 【变式2】（23-24七年级下·安徽合肥·期末）若，则的值为 ． 【答案】4 【分析】由得，然后倒用幂的乘方法则和同底数幂除法法则将转化成底数为，再将整体代入求值即可． 本题主要考查了倒用幂的乘方法则和同底数幂除法法则，以及整体代入法求值，熟练掌握幂的乘方法则和同底数幂除法法则是解题的关键． 解：， ， ， 故答案为：4． 【题型9】同底数幂除法运算和逆运算综合 【例1】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）已知，； （1）当时，求a的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了同底数幂的除法及其逆用、幂的乘方及其逆用，熟练掌握运算法则、正确计算是解题的关键． （1）逆用同底数幂相除法则计算即可； （2）根据同底数幂的除法及其逆用、幂的乘方及其逆用，推出，把转化为，计算即可． 解：（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴ ． 【变式】（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）本学期我们学习了“同底数幂除法”的运算， 运算法则如下：． 根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题： （1）填空：___________，___________； （2）如果，求出的值； （3）如果，请直接写出的值． 【答案】（1）；；（2）3；（3）或或 【分析】（1）直接利用例题的方法计算； （2）利用例题方法得出，解方程即可； （3）分类讨论，指数相等时，时，时，分别计算即可． 解：（1）解：； ； 故答案为；； （2）解：， ， ， ， 解得：， ； （3）解：， 当时，； 当时， ； 当时，． 或或． 【点拨】本题主要考查同底数幂除法,熟练掌握同底数幂除法的运算法则是解题的关键． 【题型10】零指数、负指数与科学记数法 【例10】 【变式1】（2024·云南·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项法则、零指数幂、负整数指数幂、同底数幂的除法法则进行求解即可． 解：A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故符合题意； D、，故不符合题意； 故选：C． 【点拨】本题考查合并同类项法则、零指数幂、负整数指数幂、同底数幂的除法法则，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【变式2】（2024·黑龙江鸡西·模拟预测）在科幻小说《三体》中，制造太空电梯的材料是由科学家汪淼发明的一种只有头发丝粗细的超高强度纳米丝“飞刃”，已知正常的头发丝直径为，则“飞刃”的直径（）用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 解：“飞刃”的直径, 故答案为：． 【考点五】幂的混合运算 【题型11】幂的混合运算 【例11】（24-25八年级上·吉林长春·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查实数的运算， （1）根据绝对值、零指数幂及负整数指数幂将原式化简，再进行加减运算即可； （2）根据有理数的乘方、绝对值、负整数指数幂及零指数幂将原式化简，再进行加减运算即可； 掌握相应的运算法则、运算顺序、性质及公式是解题的关键． 解：（1）解： ； （2） ． 【变式1】（19-20八年级上·江西·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别根据合并同类项的法则，积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可． 解：a4与a2不是同类项，所以不能合并，故选项A不合题意； （ab5）2=a2b10，故选项B不合题意； a4•a3=a7，正确，故选项C符合题意； a10÷a2=a8，故选项D不合题意． 故选C． 【点拨】本题考查了合并同类项，幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘除法，熟记相关运算法则是解答本题的关键． 【变式2】（2024七年级下·全国·专题练习）计算： （1） （2）； （3）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）；（3），． 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，整式的化简求值： （1）先算幂的乘方和积的乘方，再计算同底数幂除法，最后合并同类项即可求解； （2）把 作为一个整体，根据同底数幂乘除法计算法则求解即可； （3）先算括号内的同底数幂乘除法，幂的乘方和积的乘方，再计算除法，最后再代入求值，即可求解． 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， 当时，原式 【题型12】幂的混合运算逆运算 【例12】（21-22七年级下·江苏盐城·期中）已知，则的值是 ． 【答案】4 【分析】利用幂的运算将转化为：，再将整体代入计算即可． 解：， ∵， ∴原式=． 故答案为：． 【点拨】此题考查了幂的运算，掌握幂的混合运算法则是解题的关键． 【变式1】（23-24八年级上·四川眉山·期末）已知，，则的值为（    ） A．12 B．9 C．33 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 逆用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则进行求解即可． 解：当，时， ． 故选：A． 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）（1）已知，试用含m，n的代数式表示； （2）已知，试用含m，n的代数式表示； （3）已知，试将用a，b，c来表示． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方法则是解答本题的关键． （1）根据幂的乘方和积的乘方法则变形即可； （2）先根据幂的乘方法则变形，再根据同底数幂的乘法法则变形即可求解； （3）先根据同底数幂的乘除法法则变形，再根据幂的乘方法则变形即可求解． 解：（1）∵， ∴； ． （2）∵， ∴． （3）∵， ∴． 【考点六】中考链接与拓展延伸 【题型13】中考链接 【例1】（2024·江苏南京·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由合并同类项可判断A，由同底数幂的乘法可判断B，由积的乘方运算可判断C，由幂的乘方运算可判断D，从而可得答案． 解：A、，计算错误，故A选项不符合题意； B、，计算错误，故B选项不符合题意； C、，计算正确，故C选项符合题意； D、，计算错误，故D选项不符合题意； 故选：C． 【点拨】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方运算，幂的乘方运算，掌握以上基础运算是解答本题的关键． 【例2】（2023·四川资阳·中考真题）计算机的二进制数据是用0和1两个数码来表示的数，进位规则是“逢二进一”二进制数和十进制数可以互换例如，二进制数“01011011”换成十进制数表示的数为．依此算法，二进制数“01001001”换成十进制数表示的数为 ． 【答案】73 【分析】本题考查了用数字表示数及有理数的混合运算，理解二进制和十进制的互换规则是解题关键．根据二进制和十进制的互换规则即可解答． 解：由二进制和十进制的互换规则得： ． 故答案为：73． 【题型14】拓展延伸 【例1】（22-23七年级下·广西贵港·期中）阅读理解：我们在学习了幂的有关知识后，对两个幂与（都是正数，都是正整数）的大小进行比较，并归纳总结了如下两个结论： ①若，则．（底数相同，指数大的幂大） ②若，则．（指数相同，底数大的幂大） 尝试应用：试比较与的大小． 解：因为， ，……（第1步） 又， 所以……（第2步） 问题解决： （1）在尝试应用的解题过程中，第1步的思路是将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为_______；第2步的依据是_______． （2）请比较下面各组中两个幂的大小： ①与； ②与． 【答案】（1）指数相同的两个幂；指数相同，底数大的幂大；（2）① ；② 【分析】本题考查了幂的大小比较，熟练掌握比较大小的基本方法是解题的关键． （1）根据题意，先将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为指数相同的两个幂；根据指数相同，底数大的幂大解答即可． （2）①化成，，根据底数相同，指数大的幂大解答即可； ②，根据指数相同，底数大的幂大解答即可． 解：（1）解：根据题意，先将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为指数相同的两个幂；根据指数相同，底数大的幂大， 故答案为：指数相同的两个幂；指数相同，底数大的幂大． （2）解：①∵，， 根据底数相同，指数大的幂大 ∴， ∴． ②解：∵， 根据指数相同，底数大的幂大， ∴， ∴． 【例2】（23-24七年级下·河南郑州·阶段练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作【a，b】：如果，那么【a，b】． 例如因为，所以【2，8】． （1）根据上述规定，填空：【4，64】= ，【5，1】= ，【 ，16】= 4． （2）小明在研究这种运算时发现一个现象【】=【3，4】，小明给出了如下的证明：设【】，则，即，所以． 即【3，4】所以【】=【3，4】请你尝试运用这种方法解决下列问题： ①证明：【7，5】+【7，6】=【7，30】． ②请根据前面的经验猜想：【】+【】=【 ， 】． 【答案】（1）3，0，；（2）①证明见详解；②【，】 【分析】本题通过新定义考查了乘方的灵活运用、观察和猜想能力，回归定义是解决新定义题型的关键． （1）根据乘方的意义即可得到答案； （2）①模仿材料中的证明方法设【7，5】，【7，6】，再根据乘方的意义即可得到答案； ②根据【，】【3，4】和【7，5】【7，6】【7，30】的证明过程和结论即可猜想答案． 解：（1）解：， 【4，64】， ， 【5，1】， ， 【，16】． 故答案为：3，0，． （2）①证明：设【7，5】，【7，6】， 则，， ， 【7，30】， 【7，5】【7，6】【7，30】． ②由【，】【3，4】的证明过程和结论可以猜想： 【，】【，】， 【，】【，】， 【，】【，】 【，】【，】， 由【7，5】【7，6】【7，30】的证明过程和结论可以猜想： 【，】【，】【，】， 故答案为：【，】． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$