第十七章 勾股定理（培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记•巧练（安徽专用，人教版）

第十七章 勾股定理（培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．已知：在中，，，则边上的高为（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（    ） A．2 B．1 C． D．3 3．下列各组数是勾股数的是（   ） A．13，14，15 B．3，4，5 C．0.3，0.4，0.5 D．6，8，11 4．如图，两个大正方形的面积分别为和，则小正方形的面积为（    ） A． B． C． D． 5．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．如图，纸片的两直角边长分别为3和4，，折叠，使B、C两点重合，折痕为，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．下列条件中，不能判定是直角三角形的是（   ） A．， B． C．三边的长度之比是 D．三边的长度之比是 8．三角形的三边长a，b，c满足，则此三角形是（   ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 9．如图， 在中，，，，则数轴上点A所表示的数是（   ）      A． B． C． D． 10．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题：共4题，每题5分，共20分。 11．在中，斜边，则 ． 12．已知点的坐标为，点在轴上，且，那么点的坐标为 . 13．如图，在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东的方向以每小时海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时海里的速度前进，小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距海里，则乙船沿 方向航行． 14．如图，一架的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙角，若梯子的顶端下滑，则梯足将滑动 ． 三、解答题：共9题，共90分，其中第15~18题每小题8分，第19~20题每小题10分，第21~22题每小题12分，第23题14分。 15．在数轴上作出表示的点． 16．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，在如图所示的的网格中，每个小正方形的边长都为1． (1)写出格点各顶点的坐标； (2)求出的周长． 17．如图，直角三角形纸片的两直角边，，现将直角边沿折叠，使它落在斜边上，点C与点E重合，求的长． 18．在《九章算术》中有这样一道题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺．问折者高几何？译文：一根竹子原高一丈，从处折断，其竹稍恰好抵地，为尺，试问：折断处离地面有多高？（注：丈尺） 19．如图，在四边形中，，连结． (1)求证：是直角三角形； (2)若，求四边形的周长． 20．某宾馆装修，需在台阶上铺上地毯．已知台阶宽，其剖面图如图，需要购买多少平方米的地毯才能铺满所有台阶？ 21．如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方12米的C处，过了1.5秒，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为20米． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段的速度约是多少米/秒?（结果精确到0.1） 22．为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我市某中学校园里现有一块四边形的空地，如图所示，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地．经学校课外实践活动小组测量得到：，．根据你所学过的知识，求四边形的面积． 23．综合与实践． 课堂上老师展示了一张直角三角形纸片，请同学们进行折纸活动．已知在中，，点D、F分别是上的一点，连接． (1)如图1，将沿直线折叠，点B恰好与点C重合，则________（填“”、“”或“”）； (2)如图2，将沿直线折叠，点B落在的中点E处，若，，求线段的长； (3)如图3，将沿直线折叠，点B落在延长线上的点E处，平分，求的度数． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十七章 勾股定理（培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．已知：在中，，，则边上的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，过点作于，由三线合一可得，再根据勾股定理计算求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，则， ∵， ∴， ∴， ∴边上的高为， 故选：． 2．在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（    ） A．2 B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：点到原点的距离为． 故选：C 3．下列各组数是勾股数的是（   ） A．13，14，15 B．3，4，5 C．0.3，0.4，0.5 D．6，8，11 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，熟练掌握能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．根据能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即可求解． 【详解】解：A、∵，∴不是勾股数，不符合题意； B、∵，∴3，4，5是勾股数，符合题意； C、∵都不是整数，∴不是勾股数，不符合题意； D、∵，∴不是勾股数，不符合题意； 故选：B． 4．如图，两个大正方形的面积分别为和，则小正方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握以直角三角形的三边为边长的图形面积计算方法是解题的关键．利用两个大正方形的面积分别为和，得出，，再利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图， ∵两个大正方形的面积分别为和， ∴，， ∵， ∴， ∴小正方形的面积为， 故选：D． 5．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了网格与勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握网格的特点，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意可证，得到，则有，由网格的性质可得是等腰直角三角形，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵网格是正方形网格， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：A ． 6．如图，纸片的两直角边长分别为3和4，，折叠，使B、C两点重合，折痕为，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的折叠问题，先判断两直角边的长度，由折叠得出，设，利用勾股定理解即可． 【详解】解：中，， 为斜边，， 由折叠知， ， ，， 设，则， 在中，， ， 解得， 即的长为， 故选B． 7．下列条件中，不能判定是直角三角形的是（   ） A．， B． C．三边的长度之比是 D．三边的长度之比是 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、直角三角形的定义，解题的关键是掌握如果三角形的三边长a、b、c，满足，那么这个三角形就是直角三角形．A选项可求出，即可判断；B选项可求出，即可判断；C选项设三边长度分别为、、，根据，即可判断不是直角三角形；D选项设三边长度分别为、、，根据，即可判断是直角三角形． 【详解】解：A．∵，， ∴， ∴是直角三角形，故该选项不符合题意； B．∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故该选项不符合题意； C．∵三边的长度之比是， ∴可设三边长度分别为、、， ∵， ∴不是直角三角形，故该选项符合题意； D．∵三边的长度之比是， ∴可设三边长度分别为、、， ∵， ∴是直角三角形，故该选项不符合题意． 故选C． 8．三角形的三边长a，b，c满足，则此三角形是（   ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键． 根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】解：， ∴ 即， 所以此三角形是直角三角形， 故选：C． 9．如图， 在中，，，，则数轴上点A所表示的数是（   ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用和实数与数轴，利用勾股定理求得的长度，然后结合数轴求得的值即可． 【详解】解：在中，，， ， 设点A所表示的数为， ∵， ∴， ∴， 数轴上点所表示的数是：． 故选：D． 10．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法． 根据各个图象，利用面积的不同表示方法，列式证明结论，找出不能证明的那个选项． 【详解】A．∵，整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B．∵，整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C．∵．∴整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； D．根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意． 故选：D． 二、填空题：共4题，每题5分，共20分。 11．在中，斜边，则 ． 【答案】2 【分析】根据勾股定理，可知两直角边的平方和等于斜边平方，进而得出答案． 【详解】∵在中，斜边 ∴ ∴ 故答案为：2． 【点睛】本题考查勾股定理，解题关键是根据勾股定理，发现题干中． 12．已知点的坐标为，点在轴上，且，那么点的坐标为 . 【答案】或 【分析】设点B的横坐标为t，利用两点间的距离公式得到，从而可以求出t的值. 【详解】解：设点B的横坐标为t， 根据题意得，即. 所以3-t=12或3-t=-12． ∴t=-9或t=15. 故答案为或. 【点睛】本题考查了两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝． 13．如图，在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东的方向以每小时海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时海里的速度前进，小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距海里，则乙船沿 方向航行． 【答案】南偏东 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，以及方向角，解题关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 首先根据速度和时间计算、的路程，再根据勾股定理逆定理证明，进而可得答案． 【详解】解：由题意得：甲船的路程：（海里）， 乙船的路程：（海里）， ∵， ∴， ∵是北偏东方向， ∴是南偏东． 故答案为：南偏东． 14．如图，一架的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙角，若梯子的顶端下滑，则梯足将滑动 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是勾股定理的应用，根据勾股定理求解即可．掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图所示：根据题意得， 根据勾股定理可得，， 如果梯子的顶度端下滑2米， 则． 在直角三角形中，，根据勾股定理得到：， 则梯子滑动的距离就是， 故答案为：． 三、解答题：共9题，共90分，其中第15~18题每小题8分，第19~20题每小题10分，第21~22题每小题12分，第23题14分。 15．在数轴上作出表示的点． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图复杂作图，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理再利用尺规作图即可求解； 【详解】解：， 结合勾股定理作图如下： 点即表示的点； 16．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，在如图所示的的网格中，每个小正方形的边长都为1． (1)写出格点各顶点的坐标； (2)求出的周长． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理和坐标与图形性质，解决本题的关键是熟练掌握坐标与图形的性质． （1）根据图形直接写出答案； （2）由勾股定理求得三角形的三边长度，进而得到其周长． 【详解】（1）解：，，； （2）解：由勾股定理知：，，． 所以，的周长为； 17．如图，直角三角形纸片的两直角边，，现将直角边沿折叠，使它落在斜边上，点C与点E重合，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了翻折变换及勾股定理，由折叠的性质知，，根据题意在中运用勾股定理求，熟练掌握运用勾股定理列出方程是解决此题的关键． 【详解】∵是直角三角形，， ， ∴， ∵是翻折而成， ∴，， 设， ∴， 在中， ∵， ∴， 解得， 故的长为． 18．在《九章算术》中有这样一道题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺．问折者高几何？译文：一根竹子原高一丈，从处折断，其竹稍恰好抵地，为尺，试问：折断处离地面有多高？（注：丈尺） 【答案】折断处离地面尺． 【分析】本题考查勾股定理的实际应用．由竹子的原高可得出竹梢到折断处的长度为尺，利用勾股定理，即可得出关于的方程，此题得解． 【详解】解：由题意可得，， ∴，， ∴，即 解得 ∴折断处离地面尺． 19．如图，在四边形中，，连结． (1)求证：是直角三角形； (2)若，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)32 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，直角三角形的判定，勾股定理． （1）先证明是等边三角形，得到，求出，即可证明； （2）利用勾股定理求出，结合（1）中是等边三角形，即可解答． 【详解】（1）证明：． 是等边三角形． ． ， ． 是直角三角形． （2）解：在中，， ． 是等边三角形， ． ． ∴四边形的周长为32． 20．某宾馆装修，需在台阶上铺上地毯．已知台阶宽，其剖面图如图，需要购买多少平方米的地毯才能铺满所有台阶？ 【答案】需要购买平方米的地毯才能铺满所有台阶． 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据题意，结合图形，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，得到一个长方形，进一步求出面积即可． 【详解】解：如图，由题意可得，， 利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，得到一个长方形，地毯的长为， ∴地毯面积为， 答：需要购买平方米的地毯才能铺满所有台阶． 21．如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方12米的C处，过了1.5秒，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为20米． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段的速度约是多少米/秒?（结果精确到0.1） 【答案】(1)的长为16米 (2)这辆小汽车在段的速度约是米/秒 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题关键是理解题意，正确计算． （1）直接利用勾股定理计算的长即可； （2）利用路程除以时间即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，米，米，， ∴（米）， 答：的长为16米． （2）解：（米/秒）， 答：这辆小汽车在段的速度约是米/秒． 22．为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我市某中学校园里现有一块四边形的空地，如图所示，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地．经学校课外实践活动小组测量得到：，．根据你所学过的知识，求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用， 先连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理说明是直角三角形，然后根据面积公式求出答案即可． 【详解】如图所示，连接， 根据勾股定理，得． ∵， ∴， ∴（）． 23．综合与实践． 课堂上老师展示了一张直角三角形纸片，请同学们进行折纸活动．已知在中，，点D、F分别是上的一点，连接． (1)如图1，将沿直线折叠，点B恰好与点C重合，则________（填“”、“”或“”）； (2)如图2，将沿直线折叠，点B落在的中点E处，若，，求线段的长； (3)如图3，将沿直线折叠，点B落在延长线上的点E处，平分，求的度数． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，角平分线性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质得到，，求得，根据余角的性质得到，根据等腰三角形的判定定理得到 （2）由点是的中点，，得到，根据折叠的性质的性质得到，求得，根据勾股定理即可得到结论； （3）根据角平分线的定义得到．由折叠的性质得到．等量代换得到，根据三角形的内角和定理得到结论． 【详解】（1）将沿直线折叠，点恰好与点重合， 故答案为： （2）点是的中点，， 将沿直线折叠，点落在的中点处， （3）平分， 由折叠可知：． 又， / 学科网（北京）股份有限公司 $$