第十八章 平行四边形（培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记•巧练（安徽专用，人教版）

第十八章 平行四边形（培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．平行四边形不具有的特点是（    ） A．平行四边形对边相等 B．平行四边形对角相等 C．平行四边形对角线相等 D．平行四边形邻角互补 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质判断即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：平行四边形不具有的特点是对角线相等， 故选：． 2．在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点、、的坐标分别是，，，则顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，坐标与图形，熟练掌握平行四边形的性质并利用数形结合的思想是解题关键．根据平行四边形的性质结合所给三个顶点的坐标可得出，，即可求解． 【详解】解：∵平行四边形的顶点、、的坐标分别是，，， ∴，轴， ∴，， ∴顶点的坐标是． 故选：A． 3．下列图形中，具备“对角线相等”的性质的是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．梯形 D．矩形 【答案】D 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形以及梯形的性质即可确定． 【详解】解：A.平行四边形对角线不一定相等，对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项错误； B.菱形对角线不一定相等，对角线相等的菱形是正方形，故此选项错误； C.梯形的对角线不一定相等，只有等腰梯形的对角线相等，故此选项错误； D.矩形的对角线相等，故此选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形以及梯形的性质，正确理解性质是关键． 4．如图，在中，，，的平分线交边于点E，则的长是（   ）    A．5 B．7 C．3.5 D．3 【答案】D 【分析】根据角平分线及平行线的性质可得，继而可得，根据即可． 【详解】解: ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 又∵的平分线交边于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是得出，判断三角形中，，难度一般． 5．依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理解答即可． 本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：两组对角都不相等，不能判定是平行四边形， 故A选项错误； 一组对边相等，另一组对边无法判定是否相等，故不能判定是平行四边形， 故B选项错误； 根据，判定长为a的对边相等且平行，能判定是平行四边形， 故C符合题意； 根据，判定一组对边平行，，但是无法判定是否相等，不能判定是平行四边形， 故D不符合题意； 故选：C． 6．如图，是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的两个端点都是格点，以为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以作（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 根据网格的特点和平行四边形的判定方法即可解决问题． 【详解】如图所示， 根据网格的特点可得， 四边形，，，，，为平行四边形， 所以这样的平行四边形最多可以画5个， 故选C． 7．如图，是的中位线，是的中点，的延长线交于点，若的面积为2，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、三角形全等的判定、三角形的面积计算，正确作出辅助线、证明是解题的关键．过点作交于，证明，根据全等三角形的性质得到，计算即可． 【详解】解：过点作交于， 则， 在和中， ， ， ，， ，是的中点， ， ， 的面积为2 的面积为6， 故选：． 8．如图，矩形的对角线和相交于点，平分交于点，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形性质得出：，，，，根据等腰三角形的判定得出，证明为等边三角形，得出，根据等腰三角形的性质得出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 9．如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，根据菱形的对角线互相垂直且平分，结合勾股定理求出的长，等积法求出的长即可． 【详解】解：设菱形的对角线交于点，则：， ， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选D 10．如图，点在正方形的内部，且是等边三角形，连接，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据正方形与等边三角形的性质得出，，进而求得，即可求解． 【详解】解：∵点在正方形内部，且是等边三角形，是正方形的对角线， ∴，， ∴， ∴ 故选C． 二、填空题：共4题，每题5分，共20分。 11．如图，要使成为矩形，应添加的条件是 （只填一个）． 【答案】（或，答案不唯一） 【分析】本题主要考查了矩形的知识，熟练掌握矩形的判定定理是解决本题的关键． 【详解】∵有一个角是直角的平行四边形叫做矩形， ∴可以添加条件(或其余三个内角中的一个为)． 又∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴也可以添加条件(答案不唯一)． 故答案为：（或，答案不唯一）． 12．如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和．分别取，的中点，，测得，两点间的距离为，则，两点间的距离为 ．    【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线的判定与性质，先判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得即可解答，掌握三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：，两点分别是，的中点， 是的中位线， ， ， ， 故答案为： 13．如图，点是矩形内任一点，若，．则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质．熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 由矩形，可得，，如图，过作于，于，则四边形是矩形，，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，， 如图，过作于，交于，则四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，在中，，将沿翻折得到，将沿翻折得到，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了折叠，正方形的判定和性质，解一元二次方程，掌握折叠的性质，构造正方形是解题的关键． 根据题意，如图所示，延长交于点，根据折叠的性质可得四边形是正方形，设，可得，即，由，列式求解一元二次方程即可． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∵，将沿翻折得到，将沿翻折得到， ∴，，，， ∵，即 ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 设， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴，整理得，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴的长为， 故答案为：6 ． 三、解答题：共9题，共90分，其中第15~18题每小题8分，第19~20题每小题10分，第21~22题每小题12分，第23题14分。 15．在平面直角坐标系中，已知， ， ，是平面内的一点，以，，，为顶点的四边形是平行四边形. (1)若，则平行四边形中，点的坐标为________； (2)的最小值为________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时 ，，根据在平行四边形中是以为对角线形，得出的中点坐标为，即可解答； （2）根据题意，点C在直线上，则可分为两种情况进行讨论：①当与是对角线时，②与是边时；是对角线时直线时，最小，是边时，，通过比较即可得出结论； 【详解】（1）当时 ，， 在平行四边形中是以为对角线形， ∵，， ∴的中点坐标为， 设点的坐标为， ∵， ∴ ∴ 故点的坐标为； （2）根据题意，点在直线图像上， 当与是对角线时，与相交于点， 则当直线时，最小； 如图：    ∵， 由平行四边形的性质，点为的中点， ∴点为， ∵直线， 设的直线解析式为：，把点代入， 得：，解得：， ∴的直线解析式为：； ∴， 解得：， ∴点坐标为：， ∴ ∴ 当与是边时，如图：      ∵, ∴的最小值为： 故答案为； 【点睛】本题考查了平行四边形的性质, 求一次函数解析式，勾股定理，以及坐标与图形， 解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，注意进行分情况讨论． 16．如图，在平行四边形中，分别平分和，交于点，相交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等角对等边，角平分线的定义等知识，掌握平行四边形的性质是解答本题的关键． （1）根据平行四边形的性质有，再根据分别平分和，可得，问题得证； （2）根据平行四边形的性质有，即，又根据平分，可得，即，进而可得，同理可得，，问题随之得解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 分别平分和， ， ， ； （2）解：四边形是平行四边形，， ，， ， 又平分， ， ， ， 同理可得，， ， ． 17．已知：如图，点、是平行四边形ABCD对角线上的两点，当与满足什么条件时，四边形是平行四边形？请说明理由．    【答案】，理由见解析 【分析】由于、在对角线上，所以考虑利用 “对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行证明四边形是平行四边形．连接，交于点，由四边形是平行四边形可得，，所以当时，，可证四边形是平行四边形． 【详解】当时，四边形是平行四边形 理由如下：连接，交于点，    ∵四边形是平行四边形 ∴， ∵ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形 【点睛】本题考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 18．如图，长方形纸片，，．把长方形纸片沿折叠后，使得点与点重合，点落在点的位置上． (1)求的长度； (2)求重合部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设为，则，在中，，则即：，可得出答案； （2）由平行线的性质可得，由折叠可知：，从而得出，得出，再根据可得出答案． 【详解】（1）解：由折叠可知， 设为，则， 在中，， 即：， 解得：， ； （2）解：由（1）可知：， 矩形， ， ， 由折叠可知：， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，平行线的性质，，等腰三角形的判定，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 19．如图，已知中，，，垂足为点，是边上的中线． (1)若，求的度数． (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算即可解答； （）在中，利用勾股定理求出的长，再利用面积法求出的长，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答； 本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握勾股定理，以及直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：在中，，， ∴， ∵的面积， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴的长为． 20．如图，四边形是菱形，连接，分别过点A作于点E，于点F，、分别交于点G、H．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查的是菱形的性质，全等三角形的判定与性质，先证明，再证明，再结合全等三角形的性质可得结论． 【详解】证明：∵，， ∴． ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴． 21．如图，在正方形中，E为上的一点，F为上的一点，且，试探究与之间的数量关系，并证明． 【答案】，证明见解析 【分析】连接，过点分别作，，垂足分别是H、M，先证明四边形是矩形，然后利用勾股定理得出，再证明，进而得出，再根据三线合一得出，于是结论得证． 【详解】证明：如图，连接，过点分别作，，垂足分别是H、M， 则，， 在正方形中，，，， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三线合一，等角对等边等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 22．如图，，，且，． (1)求证：四边形是矩形． (2)设的面积为，的面积为，矩形的面积为，则，，的等量关系为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的性质， （1）先证得，再根据可得四边形为平行四边形，然后由得，进而得，再由得，据此可得出结论； （2）过点A作交延长线于H，的延长线交的延长线于K，证明四边形为矩形得，然后表示，，可得，，的等量关系． 【详解】（1）证明：∵，，且， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形； （2）过点A作交延长线于H，的延长线交的延长线于K，如下图所示： 证明四边形为矩形得， ∵平行四边形为矩形， ∴， ∵， ∴ ∴四边形为矩形 ∴， ∵，，， ∴， 即． 23．【探究与应用】 我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现有很多结论．如图，在平行四边形中，，将沿直线翻折至，连接，与相交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：； (3)如图，与相交于点，若，，，求的面积； (4)如果，，当是直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)； (4)或或． 【分析】（）由折叠性质可知：则，由平行四边形的性质可得，通过平行线的性质和等腰三角形的判定即可求证； （）由折叠性质可知：则，由平行四边形的性质可得，通过等腰三角形的性质得，从而求证； （）先证明四边形是矩形，得，，，设，则，再由勾股定理求出，最后利用三角形面积公式即可求解； （）分当时，当时，当三种情况分析即可； 本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，矩形的判定与性质和勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）由折叠性质可知：， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）由折叠性质可知：， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵平行四边形中，， ∴四边形是矩形， ∴，，， 由（）得， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得：，即， ∴， （4）如图，当时， 由折叠性质可知：， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴四边形是正方形， ∴， ∴； 如图，当时，延长交于点，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在中，， 同（）理可证， ∴； 如图，当， 同理可证四边形是正方形， ∴； 综上可知：或或． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十八章 平行四边形（培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．平行四边形不具有的特点是（    ） A．平行四边形对边相等 B．平行四边形对角相等 C．平行四边形对角线相等 D．平行四边形邻角互补 2．在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点、、的坐标分别是，，，则顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．下列图形中，具备“对角线相等”的性质的是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．梯形 D．矩形 4．如图，在中，，，的平分线交边于点E，则的长是（   ）    A．5 B．7 C．3.5 D．3 5．依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的两个端点都是格点，以为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以作（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 7．如图，是的中位线，是的中点，的延长线交于点，若的面积为2，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 8．如图，矩形的对角线和相交于点，平分交于点，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（   ） A．4 B．5 C． D． 10．如图，点在正方形的内部，且是等边三角形，连接，，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题：共4题，每题5分，共20分。 11．如图，要使成为矩形，应添加的条件是 （只填一个）． 12．如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和．分别取，的中点，，测得，两点间的距离为，则，两点间的距离为 ．    13．如图，点是矩形内任一点，若，．则图中阴影部分的面积为 ． 14．如图，在中，，将沿翻折得到，将沿翻折得到，则的长为 ． 三、解答题：共9题，共90分，其中第15~18题每小题8分，第19~20题每小题10分，第21~22题每小题12分，第23题14分。 15．在平面直角坐标系中，已知， ， ，是平面内的一点，以，，，为顶点的四边形是平行四边形. (1)若，则平行四边形中，点的坐标为________； (2)的最小值为________． 16．如图，在平行四边形中，分别平分和，交于点，相交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 17．已知：如图，点、是平行四边形ABCD对角线上的两点，当与满足什么条件时，四边形是平行四边形？请说明理由．    18．如图，长方形纸片，，．把长方形纸片沿折叠后，使得点与点重合，点落在点的位置上． (1)求的长度； (2)求重合部分的面积． 19．如图，已知中，，，垂足为点，是边上的中线． (1)若，求的度数． (2)若，，求的长． 20．如图，四边形是菱形，连接，分别过点A作于点E，于点F，、分别交于点G、H．求证：． 21．如图，在正方形中，E为上的一点，F为上的一点，且，试探究与之间的数量关系，并证明． 22．如图，，，且，． (1)求证：四边形是矩形． (2)设的面积为，的面积为，矩形的面积为，则，，的等量关系为______． 23．【探究与应用】 我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现有很多结论．如图，在平行四边形中，，将沿直线翻折至，连接，与相交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：； (3)如图，与相交于点，若，，，求的面积； (4)如果，，当是直角三角形时，请直接写出的长． / 学科网（北京）股份有限公司 $$