江苏省常州市2024-2025学年高一上学期期末质量调研数学试题

高一数学 第 1 页（共 4 页） 常州市 2024—2025 学年第一学期高一期末质量调研 数 学 2025 年 1 月 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡 上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．已知集合 { | 1 1}A x x= −  ≤ ， { | 0 2}B x x=   ，则 A B = A．{ | 0 1}x x ≤ B．{ | 1 2}x x−   C．{ | 0 1}x x  D．{ | 1 0}x x−   2．若 ( 3 )P m− ， 为角 终边上一点，且 4 tan 3  = ，则 cos = A． 3 5 − B． 3 5 C． 4 5 − D． 4 5 3．“ 1x  是“ 1 1 x  ”的 A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．下列函数中，是奇函数且在 (0 ) + ， 上单调递减的为 A． 2 3y x − = B． 2 3y x= C． 1 3y x − = D． 1 3y x= 5．函数 222 x xy −= 的值域为 A．  )2  +， B． ( 2− ， C． 1 0 2       ， D． (0 2] ， 6．已知1 2x  ， ( ) 2 2loga x= ， 2 2logb x= ， 2log (2 )c x= ，则 A． a b c  B． c b a  C． c a b  D．b c a  高一数学 第 2 页（共 4 页） 7．形如 22 1 n + （ nN）的数称为费马数，记为 nF ． 6F 是一个 m 位数，则 m 的值为 （参考数据： lg 2 0.3010 ） A．19 B．20 C．21 D．22 8．若直线 y m= 与函数 3( ) | log |f x x= 的图象从左至右交于点 ,A B ，直线 2 2 1 y m = + 与 ( )f x 的图象从左至右交于点 ,C D，记线段 AC 和 BD在 x 轴上的投影长度分别为 a b ，， 则当 m 变化时， b a 的最小值为 A． 2 2 B． 2 3 C．3 2 D．3 3 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求．全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分． 9．已知函数 ( ) 1 π 2cos 2 3 f x x   = +    ，则 A． ( )f x 的最小正周期为 π B． ( )f x 在区间[0,π]上单调递减 C．点 π ( 0) 3 ， 是 ( )f x 图象的一个对称中心 D．将 ( )f x 的图象向右平移 π 3 个单位长度后，得到的图象关于 y 轴对称 10．已知函数 3log 0 ( ) 2 1 0.x x x f x x−   =  −  ， ， ， ≤ 若 ( ( ))f f a =1，则实数 a 的取值可能为 A． 2− B． 1 3 C．1 D． 27 11．若函数 ( )f x 在定义域内存在 0x ，使得 ( ) ( ) ( )0 01 1f x f x f+ = + 成立，则称函数 ( )f x 具 有性质M ．下列函数中，具有性质M 的有 A． 1 ( )f x x = B． ( ) 3xf x = C． ( ) 2 1 1 lgf x x = + D． 2( ) 2xf x x= + 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．已知扇形的周长为 4 cm，圆心角为 2 rad，则该扇形的面积为 cm2． 13．若函数 2( ) cos 1f x ax x a= − + − 在 ( 1 1)− ， 上恰有一个零点，则实数 a的值为 ． 14．已知函数 ( )f x 是定义域为R 的偶函数，且当 0x≥ 时， ( )( ) 1xf x a a=  ．若对任意的  0 1x t +， ，   3 ( ) 2 t f x f x   +    ≥ 恒成立，则实数 t 的取值范围是 ． 高一数学 第 3 页（共 4 页） 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分 13 分） （1）求值： 3 2 log 23lg 4 2lg5 27 3+ + + ； （2）已知 tan(π + ) 2 = ，求 2 3π cos( π)cos( ) 2 π sin ( ) 2    − − − 的值． 16．（本题满分 15 分） 设 m 为实数，集合 2 5 { | lg } 1 x A x y x − = = + ， 2{ | cos 2sin }B y y x x m= = + + . （1）当 1m = 时，求 A B ； （2）若 ( )A B B=R ，求 m 的取值范围． 17．（本题满分 15 分） 已知函数 ( ) sin( )f x A x = + （ 0A  ， 0  ， π | | 2  ≤ ）的部分图象如图所示． （1）求函数 ( )f x 的解析式； （2）若 π (0 ) 2   ， ，且 1 ( ) 2 f  = ，求 tan 的值． 高一数学 第 4 页（共 4 页） 18．（本题满分 17 分） 已知函数 e e ( ) 2 x x f x −+ = ， e e ( ) 2 x x g x −− = ，令 ( ) ( ) ( ) g x F x f x = ， xR . （1）判断函数 ( )F x 的单调性，并用定义证明； （2）若存在 (ln 2 ln3)x  ， ，使得 [ (2 )] [2 ( ) 3] 0F f x F g x+ −  ，求实数 的取值范围. 19．（本题满分 17 分） 苏教版必修一教材中有这样一段话：对于等式 ( )0 1ba c a a =  ， ，如果将 a 视为自变 量 x，b 视为常数，c 为关于 a（即 x）的函数，记为 y，那么 by x= ，是幂函数；如果将 a 视为常数，b 视为自变量 x，c 为关于 b（即 x）的函数，记为 y，那么 xy a= ，是指数函数； 如果将 a 视为常数，c 视为自变量 x，b 为关于 c（即 x）的函数，记为 y，那么 logay x= ， 是对数函数．事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型． 如果 c 为常数 e（e 为自然对数的底数），将 a 视为自变量 ( )0, 1x x x  ，则 b 为 x 的 函数，记为 y，将 y 表示成 x 的函数 ( )f x ． （1）直接写出函数 ( )f x 的定义域、值域、单调性、奇偶性；（不用证明） （2）若不等式 ( ) ( ) 0x m f x−  对任意的 ( ) ( )0 1 1x + ， ， 恒成立，求实数 m 的值； （3）当函数 ( )h x 在区间  ,a b 上连续，对任意 1x ，  2x a b ， ， 若恒有 ( ) ( )1 21 2 2 2 h x h xx x h ++      ≥ ，则称函数 ( )h x 是区间  a b ， 上的上凸函数， 若恒有 ( ) ( )1 21 2 2 2 h x h xx x h ++      ≤ ，则称函数 ( )h x 是区间  a b ， 上的下凸函数， 当且仅当 1 2x x= 时等号成立，这个性质称为函数的凹凸性．试判断函数 ( )f x 在 (1 ) + ， 上的凹凸性，并证明你的结论． 常州市2024—2025学年第一学期高一期末质量调研 数 学 2025年1月 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则= A． B． C． D． 2．若为角终边上一点，且，则 A． B． C． D． 3．“是“”的 A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．下列函数中，是奇函数且在上单调递减的为 A． B． C． D． 5．函数的值域为 A． B． C． D． 6．已知，，，，则 A． B． C． D． 7．形如（）的数称为费马数，记为．是一个m位数，则m的值为 （参考数据：） A．19 B．20 C．21 D．22 8．若直线与函数的图象从左至右交于点，直线与 的图象从左至右交于点，记线段和在轴上的投影长度分别为，则当m变化时，的最小值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9．已知函数，则 A．的最小正周期为 B．在区间上单调递减 C．点是图象的一个对称中心 D．将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于y轴对称 10．已知函数若=1，则实数a的取值可能为 A． B． C． D． 11．若函数在定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质．下列函数中，具有性质的有 A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知扇形的周长为4 cm，圆心角为2 rad，则该扇形的面积为 cm2． 13．若函数在上恰有一个零点，则实数的值为 ． 14．已知函数是定义域为的偶函数，且当时，．若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分） （1）求值：； （2）已知，求的值． 16．（本题满分15分） 设m为实数，集合，. （1）当时，求； （2）若，求m的取值范围． 17．（本题满分15分） 已知函数（，，）的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）若，且，求的值． 18．（本题满分17分） 已知函数，，令，. （1）判断函数的单调性，并用定义证明； （2）若存在，使得，求实数的取值范围. 19．（本题满分17分） 苏教版必修一教材中有这样一段话：对于等式，如果将a视为自变量x，b视为常数，c为关于a（即x）的函数，记为y，那么，是幂函数；如果将a视为常数，b视为自变量x，c为关于b（即x）的函数，记为y，那么，是指数函数；如果将a视为常数，c视为自变量x，b为关于c（即x）的函数，记为y，那么，是对数函数．事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型． 如果c为常数e（e为自然对数的底数），将a视为自变量，则b为x的函数，记为y，将y表示成x的函数． （1）直接写出函数的定义域、值域、单调性、奇偶性；（不用证明） （2）若不等式对任意的恒成立，求实数m的值； （3）当函数在区间上连续，对任意，， 若恒有，则称函数是区间上的上凸函数， 若恒有，则称函数是区间上的下凸函数， 当且仅当时等号成立，这个性质称为函数的凹凸性．试判断函数 在上的凹凸性，并证明你的结论． 高一数学 第 4 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 常州市2024-2025学年第一学期高一期末质量调研 数学参考答案 2025年1月 一、选择题： 1．B 2．A 3．A 4．C 5．D 6．B 7．B 8．D 二、选择题： 9．BC 10．ABD 11．BCD 三、填空题： 12．1 13．2 14． 四、解答题： 15．解：（1）原式=； …………………6分 （2）， …………………8分 原式=. …………………13分 16．解：（1）由，得， …………………2分 当时，， 因为，所以， …………………6分 所以； …………………8分 （2），由，即. …………………11分 ， 因为，所以， …………………13分 所以解得. …………………15分 17．解：（1）观察图象得， 由，得， …………………4分 由，得，， …………………6分 又，得，所以； …………………8分 （2）因为， 所以，或， 所以，或，， 又因为，所以， …………………14分 所以. …………………15分 18．解：（1）是上的增函数. …………………1分 由题，，， 任取，且， ，…………………3分 因为，所以，， 所以，又，， 所以，即， 所以是上的增函数； …………………7分 （2）因为，所以是上的奇函数，…………………8分 由，得， 所以， 又因为是上的增函数，所以， …………………11分 即， 令，因为该函数在上单调递增，所以， 所以存在，使. …………………15分 当时，单调递减，所以， 即. …………………17分 19．解：（1）， …………………2分 定义域：， …………………3分 值域：， …………………4分 单调性：在上单调递减，在上单调递减， …………………5分 奇偶性：既不是奇函数也不是偶函数； …………………6分 （2）由题意，当即时，恒成立，所以， 当即时，恒成立，所以， 所以； …………………9分 （3）在上是下凸函数， …………………11分 证明如下：对任意任意，，， 当且仅当时等号成立，所以在上是下凸函数. ………………17分 高一数学答案 第 4 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$常州市2024-2025学年第一学期高一期末质量调研 数学参考答案 2025年1月 一、选择题： 1.B 2.A3.A4.C5.D 6.B7.B8.D 二、选择题： 9.BC 10.ABD 11.BCD 三、填空题： 12.1 13.2 4.（-9 四、解答题： 15.解：(1)原式=20g2+lg5)+33+2=2+9+2=13: .6分 (2)tan(+a)=tana=2, .8分 原式--cosa)(-sina) =tana=2. …13分 cos-a 16.解：(1)由2-5>0，得A=(0,-U+o 2分 x+1 当m=1时，y=1-sin2x+2sinx+1=-(sinx-1)2+3, 因为sinx∈[-l,],所以B=[-l,3], 6分 所以AnB=3 …8分 (2)GA=1,,由(GAUB=B,即1,1sB. 11分 y=1-sin2x+2sinx+m=-(sinx-1)2+2+m, 因为sinx∈[-l,],所以B=[-2+m,2+m, 13分 [-2+m≤-1 所以 2+m≥5解得)≤m≤1. .15分 2 2 高一数学答案第1页（共4页） 17.解：(1)观察图象得A=1, 由7-语-经分，80=2 …4分 由/)s2x晋+0小=1，得p-+2a,kez 6分 又号，得p=骨，所以f)=sm2x+孕： .8分 2因为0=m20+争- 所以20+号2证+名或20+号2+答keZ 所以0=m-文，或0=km+工，k∈Z, 12 4 又因为0e0孕，所以0-普 14分 所以tan0=1: 15分 18.解：(1)F()是R上的增函数. ,1分 由题，F)日ge-11-2 f(x)er+ex e2x+1 e2x+1 ，x∈R, 任取x,3∈R,且x<2, ae子e 2(e2-e2） 3分 因为x1<x2,所以2x<2x2,e2<e2, 所以e24-e2:<0,又e2+1>0,e2+1>0, 所以F(x)-F(x)<0,即F(:)<F() 所以F(x)是R上的增函数： 7分 高一数学答案第2页（共4页） 2)因为F。fF团所以F()是R上的奇函数，8分 由F[f(2x]+F[2gx)-3]>0,得F[f(2x)]>-F[2g(x)-3] 所以F[f(2x]>F[3-2ag(x)] 又因为F(x)是R上的增函数，所以f(2x)>3-2g(x): 11分 即e2r+e2x 2 >3-2×e-er 令t=e-ex,因为该函数在(n2,n3)上单调递增，所以1∈ 所以存在} 使>2 .15分 当)时0 2-1单调递减，所以1>S= 7 12 即1> 7 12 …17分 9解，0f) 2分 定义域：(0,1)U(1,+o) 3分 值域：(-o,0U(0,+o) .4分 单调性：f(x)在(0,1)上单调递减，在(L,+∞)上单调递减， 5分 奇偶性：既不是奇函数也不是偶函数： 6分 (2)由题意，当f(x)>0即x>1时，x>m恒成立，所以m≤1， 当f)<0即0<x<1时，x<m恒成立，所以m≥1 所以m=1: 9分 (3)f(x)在4，+o)上是下凸函数， …11分 证明如下：对任意任意x,3∈1，+o)n,>0,n2>0, 高一数学答案第3页（共4页） 1+1 f(s)+f(）_lhn边-n+h五≥n+ln 2 2 =2nxln22n+ny 2 1 =之1=内+) +h)n)h病卢5) 2 2 当且仅当x=x2时等号成立，所以f(x)在(0，+∞)上是下凸函数.17分 高一数学答案第4页（共4页）