第八章 实数（培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记•巧练（安徽专用，人教版）

第八章 实数（培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列实数中的无理数为（      ） A． B． C． D． 2．如图所示的数轴上，数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为1个单位长度，则点B所表示的数为（    ） A． B． C．或 D．或 3．现在定义一种运算，其规则为，根据此规则，如果x满足，那么x的值为（　　） A． B． C． D． 4．如果 ，那么的值为（    ） A． B． C． D．1 5．小丽家有一块的正方形菜地，估计这块菜地的边长在（   ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 6．若和为同一个正数的不同平方根，则m的值为（    ） A．4 B． C．8 D． 7．下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的平方根是 C．的平方根是2 D．9的立方根是3 8．关于无理数，下列说法正确的有（    ） ①无理数都是无限小数；②无限小数都是无理数；③无理数也能用数轴上的点表示；④无理数与有理数的和是无理数；⑤无理数与无理数的和是无理数； A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②⑤ 9．若数字有两个平方根，则一定是（   ） A．正数 B．负数 C．整数 D．分数 10．根据图中数字的规律，若第n个图中的，则p的值为（   ） A．144 B．121 C．100 D．81 二、填空题：共4题，每题5分，共20分。 11．的相反数是 ，绝对值等于的数是 ， 12．若x是4的算术平方根，y是的立方根，则的值为 ． 13．如图，这是一个数值转换机，当输入的x值为时，输出的y值是 14．有一列数按一定规律排列：，，，，，……，则第个数是 ． 三、解答题：共9题，共90分，其中第15~18题每小题8分，第19~20题每小题10分，第21~22题每小题12分，第23题14分。 15．将下列各实数按照分类将序号填入下面对应的横线上： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦． 整数：　　； 分数：　　； 负数：　　； 无理数：　　． 16．计算： (1) (2) 17．已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 18．将下列各数在数轴上表示出来，并用“<”号把它们连接起来． ，，，，． 19．已知正数的两个不同的平方根分别是 和， 的算术平方根是4． (1)求a，b的值； (2)求 的平方根． 20．解方程： (1)； (2)． 21．小明有一个大正方体铁块，其体积为． (1)求这个大正方体铁块的棱长； (2)小明要将这个大正方体铁块熔化，重新锻造成两个小正方体铁块，其中一个小正方体铁块的体积为，求另一个小正方体铁块的棱长． 22．如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．    (1)按要求填空： ①你认为图①中的阴影部分的正方形的边长等于 ． ②请用两种不同的方法表示阴影部分的面积：方法1： ．方法2： ． ③观察图②，请写出代数式，这三个代数式之间的数量关系： ． (2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①若，求值； ②若已知，求的值． 23．数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一．请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题： 问题情境：设a，b是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得， ∵a，b都是有理数， ∴也是有理数， ∵是无理数， ∴， ∴， ∴ 解决问题：设x，y都是有理数，且满足，求的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章 实数（培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列实数中的无理数为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的定义，熟练掌握无理数的定义是解答本题的关键； 根据无理数的形式，开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数，找出无理数的选项，即可求解； 【详解】解：A、是有理数 B、是分数，是有理数； C、是有限小数，是无理数； D、是无理数； 故选：D 2．如图所示的数轴上，数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为1个单位长度，则点B所表示的数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，根据到点的距离为1的数分别位于点的左侧或右侧，即可求解． 【详解】到点的距离为1的数分别位于点的左侧或右侧，比点表示的数大1或小1， 点所表示的数为或. 故选：C． 3．现在定义一种运算，其规则为，根据此规则，如果x满足，那么x的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义下的运算，平方根的应用，理解新运算是关键；由规定的新运算得：，整理后用平方根的定义即可求解 【详解】解：∵， ∴， 即 解得：， 故选：C． 4．如果 ，那么的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查的是非负数的性质和求代数式的值，掌握当几个非负数相加和为时，则其中的每一项都必须等于是解题的关键； 本题根据非负数的性质，得到，，求解得到、的值； 再将它们的值代入中计算即可． 【详解】∵、满足， ∴，， ∴，． 把，代入． 故选：B． 5．小丽家有一块的正方形菜地，估计这块菜地的边长在（   ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的估算，先求出这块菜地的边长为，再进行估算即可得解． 【详解】解：∵小丽家有一块的正方形菜地， ∴这块菜地的边长为， ∵， ∴，即， ∴估计这块菜地的边长在之间， 故选：B． 6．若和为同一个正数的不同平方根，则m的值为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键．正数有两个不同的平方根，它们是互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根． 【详解】解：∵和为同一个正数的不同平方根， ∴， ∴． 故选B． 7．下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的平方根是 C．的平方根是2 D．9的立方根是3 【答案】A 【分析】本题考查了立方根、平方根，乘方运算，算术平方根，根据相关运算法则进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，9的平方根是，故该选项是符合题意的； B、，4的平方根是，故该选项是不符合题意的； C、没有平方根，故该选项是不符合题意的； D、9的立方根是，故该选项是不符合题意的； 故选：A． 8．关于无理数，下列说法正确的有（    ） ①无理数都是无限小数；②无限小数都是无理数；③无理数也能用数轴上的点表示；④无理数与有理数的和是无理数；⑤无理数与无理数的和是无理数； A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②⑤ 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数，实数、数轴的应用，熟练掌握相关知识的定义是解题的关键．无限不循环小数是无理数，无限循环小数是有理数，所有实数都可以用数轴上的点表示，无理数是指无限不循环小数，根据以上内容判断即可． 【详解】解：①无理数都是无限小数，原说法正确； ②无限循环小数是有理数，原说法不正确； ③无理数也能用数轴上的点表示，原说法正确； ④无理数与有理数的和是无理数；原说法正确； ⑤无理数与无理数的和不一定是无理数；原说法不正确； 正确的有①③④， 故选：B． 9．若数字有两个平方根，则一定是（   ） A．正数 B．负数 C．整数 D．分数 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根定义．根据一个正数有2个平方根，一个负数没有平方根，0的平方根是0，进行解答即可． 【详解】解：数字有两个平方根，则一定是正数，故A正确． 故选：A． 10．根据图中数字的规律，若第n个图中的，则p的值为（   ） A．144 B．121 C．100 D．81 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索、运用平方根解方程等知识点，发现数字的排列规律成为解题的关键． 观察可知第k个图右上角的数为k，左上角的数为，下方的数为，由此可得方程，解方程求出，则，据此即可解答． 【详解】解：第1个图左上方的数为1，下方的数为， 第2个图左上方的数为4，下方的数为， 第3个图左上方的数为9，下方的数为， …… 第k个图左上方的数为，下方的数为， ∵， ∴，解得：， ∴． 故选A． 二、填空题：共4题，每题5分，共20分。 11．的相反数是 ，绝对值等于的数是 ， 【答案】 / 【分析】本题考查了实数、相反数和绝对值，根据相反数和绝对值的概念即可得出答案． 【详解】解：的相反数是，绝对值等于的数是，， 故答案为：，，． 12．若x是4的算术平方根，y是的立方根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根与立方算，根据算术平方根的运算求得；根据立方根运算求得，进而得出结果． 【详解】解：∵x是4的算术平方根， ∴， ∵y是的立方根， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，这是一个数值转换机，当输入的x值为时，输出的y值是 【答案】 【分析】本题考查了程序设计与实数运算，求一个数的算术平方根等知识点，当输入的x值为时，的算术平方根为，且为有理数；的算术平方根为，且为无理数；据此即可求解； 【详解】解：当输入的x值为时，的算术平方根为，且为有理数； 的算术平方根为，且为无理数； ∴输出的y值是， 故答案为： 14．有一列数按一定规律排列：，，，，，……，则第个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查规律探索问题，根据题干中的数据总结规律可知第n个数的符号为，分母为，分子为，即可得出答案． 【详解】解：第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； ， 第个数是； 故答案为：． 三、解答题：共9题，共90分，其中第15~18题每小题8分，第19~20题每小题10分，第21~22题每小题12分，第23题14分。 15．将下列各实数按照分类将序号填入下面对应的横线上： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦． 整数：　　； 分数：　　； 负数：　　； 无理数：　　． 【答案】；；； 【分析】本题主要考查了实数的分类，有理数的定义，无理数的定义等知识点，熟练掌握实数的分类方法是解题的关键． 根据整数、分数、负数、无理数的定义进行分类即可． 【详解】解：整数：； 分数：； 负数：； 无理数：； 故答案为：；；；． 16．计算： (1) (2) 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是∶ （1）先计算乘方和开方，然后计算括号内，再计算乘法，最后计算加减； （2）根据乘法的分配律计算即可． 【详解】（1）解∶原式． ； （2）解∶原式 17．已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】根据算术平方根及平方根确定，，再由估算算术平方根的整数部分确定，将其代入代数式，然后计算平方根即可． 【详解】解：的算术平方根是5， ， 解得：． ∵的平方根是， ， 解得：． 是的整数部分，而， ， ， 的平方根为． 【点睛】此题题目主要考查算术平方根及平方根，估算算术平方根的整数部分，求代数式的平方根，熟练掌握这些基本运算是解题关键． 18．将下列各数在数轴上表示出来，并用“<”号把它们连接起来． ，，，，． 【答案】画图见解析， 【分析】本题考查的是实数的性质，求解算术平方根与立方根，利用数轴表示实数，先化简能够化简的各数，再在数轴上表示即可． 【详解】解：∵，，， ∴各数在数轴上表示如下： ∴． 19．已知正数的两个不同的平方根分别是 和， 的算术平方根是4． (1)求a，b的值； (2)求 的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）一个数的平方等于，则这个数即为的平方根，其中正的平方根是这个数的算术平方根，根据平方根性质列得方程解得值后即可求得的值，再由算术平方根的定义求得的值即可； （2）将，的值代入中计算后求其平方根即可． 【详解】（1）解：正数的两个不同的平方根分别是 和， ， 解得：， 则， 那么， 的算术平方根是4， ， 解得：； （2）解： ， 那么其平方根为． 【点睛】本题考查平方根的定义及性质，算术平方根的定义，熟练掌握相关知识是解题关键． 20．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了平方根与立方根，掌握其定义是解题关键． （1）先移项，然后利用平方根定义求解即可． （2）先变形为，然后利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， ， ∴； （2）解：， ， ， ∴． 21．小明有一个大正方体铁块，其体积为． (1)求这个大正方体铁块的棱长； (2)小明要将这个大正方体铁块熔化，重新锻造成两个小正方体铁块，其中一个小正方体铁块的体积为，求另一个小正方体铁块的棱长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查立方根的应用、正方体的体积，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． （1）根据正方体的体积公式和立方根的定义进行解答； （2）根据题意先求得另一个小立方体铁块的体积，再根据立方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，铁块的棱长为， 答：这个铁块的棱长为． （2）解：根据题意，另一个小立方体铁块的体积为， ∴另一个小立方体铁块的棱长为． 答：另一个小立方体铁块的棱长为． 22．如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．    (1)按要求填空： ①你认为图①中的阴影部分的正方形的边长等于 ． ②请用两种不同的方法表示阴影部分的面积：方法1： ．方法2： ． ③观察图②，请写出代数式，这三个代数式之间的数量关系： ． (2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①若，求值； ②若已知，求的值． 【答案】(1)①；②；；③ (2)①20；② 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）①观察可得阴影部分的正方形边长是； ②方法1：阴影部分的面积就等于边长为的小正方形的面积； 方法2：边长为的大正方形的面积减去4个长为，宽为的长方形面积； ③根据以上相同图形的面积相等可得； （2）①根据可得、，利用（1）中结论计算可得； ②设，由题意可得，，根据，求出的值即可． 【详解】（1）解：①阴影部分的正方形边长是． ②方法1：阴影部分的面积就等于边长为的小正方形的面积，即， 方法2：边长为的大正方形的面积减去4个长为，宽为的长方形面积，即； ③． （2）①， ， ， ∵由（1）可知， ， ； ②∵， ∴设， 则， 由（1）可知， ． ∴． 23．数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一．请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题： 问题情境：设a，b是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得， ∵a，b都是有理数， ∴也是有理数， ∵是无理数， ∴， ∴， ∴ 解决问题：设x，y都是有理数，且满足，求的值． 【答案】8或0 【分析】根据题目中例题的方法，对所求式子进行变形，求出x、y的值，从而可以求得x+y的值． 【详解】解：∵， ∴（x2-2y-8）+（y-4）=0， ∴x2-2y-8=0，y-4=0， 解得，x=±4，y=4， 当x=4，y=4时，x+y=4+4=8， 当x=-4，y=4时，x+y=（-4）+4=0， 即x+y的值是8或0． 【点睛】本题考查实数的运算，解题的关键是明确题目中例题的解答方法，然后运用类比的思想解答所求式子的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $$