寒假预习衔接：专题08 数学广角——鸽巢问题（抽屉原理）（讲义）-2024-2025学年六年级下册数学人教版

专题08 数学广角——鸽巢问题（抽屉原理） （1）“鸽巢原理” 也叫“抽屉原理 ”。 ①鸽巢原理一：把 m 个物体任意分放进 n 个抽屉中（m＞n，m 和 n 是非 0自然数），那么一定有一个抽屉中至少放进了 2 个物体。 ②鸽巢原理二：把多于 kn 个物体任意分放进 n 个抽屉中（k 是正整数，n 是非 0 自然数），那么一定有一个抽屉中至少放进了（k＋1）个物体。 （2）用“鸽巢原理”解决求物体个数的方法： ①确定把什么看作物体，把什么看作鸽巢。 ②确定鸽巢的个数。如果有 n 个鸽巢，要保证至少有a个物体放进同一个鸽巢，那么物体的总个数至少是（a－1）n＋1。 一、选择题 1．把20个苹果分给6个小朋友，不管怎么分，总有一个小朋友至少分到（　　）个苹果。 A．3 B．4 C．5 D．6 2．从 1-10 这样的 10 张数字卡片中，至少要抽出(　　)张卡片，才能保证有奇数又有偶数。 A．3 B．4 C．5 D．6 3．箱子中有质地、型号完全相同的红、黄、白三种颜色的袜子各8只。至少拿出（　　）只，可以保证凑成两双颜色不相同的袜子。 A．5 B．8 C．10 D．11 4．六（1）班有35名同学，按学号依次轮流当值日班长，这学期有22周，每人至少轮到（　　）次。 A．2 B．3 C．4 D．5 5．龙龙玩掷骰子游戏，同时掷两枚骰子，要保证掷出的数字之和至少有两次相同，他最少要掷（　　）次。 A．7 B．10 C．11 D．12 二、判断题 6．六(1)班数学兴趣小组15名同学，至少有2人的出生月份相同。（　　） 7．把25枝月季花插到4个花瓶中，总有一个花瓶至少插6枝月季花。（　　） 8．六（1）班有45名同学，至少有4名同学在同一个月过生日。（　　） 9．冬冬的3次数学测试一共得了280分（成绩都为整数），至少有一次成绩不低于94分。（　　） 10．把红、黄、蓝3种颜色的球各10个放在1个袋子里，至少取出4个球。可以保证取到两个颜色相同的球。（　　） 三、填空题 11．有4双不同花色的手套，至少要拿出　 　只，才能保证有两只手套是一双。 12．六年级有5个班，在一次数学竞赛中，至少要有　 　人获奖，才能保证有3名学生一定在同一个班级里。 13．一把钥匙只能打开一把锁，现有10把锁和其中的8把钥匙，最少要试验　 　次，才能确保将这8把钥匙都配上锁。 14．把红、黄、蓝、白四种颜色的球各6个放到一个抽奖箱里，至少要抽　 　个球才可以保证抽到两个颜色相同的球；至少要抽　 　个球才可以保证抽到两个颜色不同的球。 15．将一些珠子放进5个盒子里，不管怎样放，总有一个盒子里至少有4颗珠子。这些珠子至少有　 　颗，最多有　 　颗。 四、解决问题 16．37 名同学每人答两道题，规定答对一道题得两分，不答得一分，答错得零分，至少有几名同学的成绩相同? 17．6 只小鸟飞到4棵树上休息，至少有几只小鸟要在同一棵树上休息? 13 只小鸟飞到4棵树上休息呢? 18．小明拋两枚一元硬币（一面字一面花），如果一共拋了20次，那么至少有几次拋得的结果相同？ 19．某班学生去买语文书、数学书、外语书。有买一本的、两本的，也有三本的，至少要去几个学生才能保证一定有2个学生买到相同的书(每种书最多买一本)？ 20．五年级有48名学生参加一次数学竞赛，成绩都是整数，满分是100分。已知5名学生的成绩在60分以下，其余学生的成绩均在75~95之间。问：至少有几名学生的成绩相同？ 1．【答案】B 【解析】解：20÷6=3……2，3+1=4，所以总有一个小朋友至少分到4个苹果。 故答案为：B。 【分析】考虑最不利的情况，先给每个小朋友平均分，这样就有剩下的，所以再给小朋友分一个苹果，即总有一个小朋友至少分到3+1=4个苹果。 2．【答案】D 【解析】解：5＋1=6（张）。 故答案为：D。 【分析】1-10 这样的 10 张数字卡片中有5张奇数，5张偶数，要保证有奇数又有偶数至少要抽出卡片的张数=偶数的张数＋1张。 3．【答案】A 【解析】解：3+2=5（只），至少拿出5只，可以保证凑成两双颜色不相同的袜子。 故答案为：A。 【分析】先拿红、黄、白三种颜色的袜子各1只，再拿任意不同颜色的袜子2只，就可以保证凑成两双颜色不相同的袜子。 4．【答案】B 【解析】解：22×5=110（天） 110÷35=3（次）......5（天） 每人至少轮到3次 故答案为：B。 【分析】这学期总天数÷总学生数=平均每人值日的天数......余下的天数。 5．【答案】D 【解析】解：能掷出的和有：2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12，共11种情况； 最少要掷11+1=12(次)，能保证掷出的数字之和至少有两次相同。 故答案为：D。 【分析】掷两枚骰子，能掷出的和在1+1=2到6+6=12之间，共11种情况，所以考虑最坏的情况，前11次的和都不相同，那么第(11+1)次得到的和前11次得到的和有相同情况。 6．【答案】正确 【解析】解：15÷12=1(名)..3(名) 1+1=2(名) 至少有2人的出生月份相同，原题说法正确。 故答案为：正确。 【分析】一年有12个月，那么可以看作是12个抽屉，15名同学看做15个元素，考虑最差情况：把15名同学平均分配在12个抽屉中：15÷12=1(个)..…3(个)，那么每个抽屉都有1人，那么剩下的3人，无论放到哪个抽屉都会出现2个人在同一个抽屉里，据此判断。 7．【答案】错误 【解析】解：25÷4=6（枝）......1（枝） 6+1=7（枝） 总有一个花瓶至少插7枝月季花 原题说法错误 故答案为：错误。 【分析】抽屉原理：物体数量÷抽屉数量=商......余数，商+1=至少放进的数量。据此解答。 8．【答案】正确 【解析】解：45÷12=3(名)……9(名)，余下的9名同学无论哪个月过生日，总有一个月至少有3+1=4(名)同学过生日，原题说法正确； 故答案为：正确。 【分析】一年有12个月，用45除以12求出商和余数，余下的人不论哪个月过生日，总比商多1人在同一个月过生日。 9．【答案】正确 【解析】280÷3=93（分）......1（分）； 93+1=94（分）。 故答案为：正确。 【分析】总分数÷考试的次数=平均每次的分数......余下的分数；余下的1分不论放在哪次考试中，至少有一次成绩不低于94分。 10．【答案】正确 【解析】解：至少取出4个球，可以保证取到两个颜色相同的球，题中说法正确。 故答案为：正确。 【分析】考虑最不利的情况，先把3种颜色的球各取一个，再从袋子里取1个，就可以保证取到两个颜色相同的球，所以至少需要取3+1=4个。 11．【答案】5 【解析】4+1=5（只）. 故答案为：5. 【分析】此题主要考查了抽屉原理的应用，因为有4双不同花色的手套，假设只拿4只，可能每种花色各拿一只，那么再多拿一只，一定会出现同色的，所以至少拿出4+1=5只，就能保证有两只手套是一双，据此解答. 12．【答案】11 【解析】解：5×2＋1 ＝10＋1 ＝11（人） 故答案为：11。 【分析】将5个班看成5个抽屉，要保证有3名学生在同一个班里，考虑最差情况：每个班都有2名学生获奖，再有1人获奖，无论放在哪个班都会出现一个班有3名学生获奖。据此解答即可。 13．【答案】44 【解析】解：9+8+7+6+5+4+3+2 =（9+2）×8÷2 =11×8÷2 =88÷2 =44（次） 故答案为：44。 【分析】从最不利情况考虑，第一把钥匙开前面9把锁都打不开，那么第10把锁就是可以打开的；第二把钥匙开前面8把锁都打不开，那么第9把锁就是可以打开的；第三把钥匙开前面7把锁都打不开，那么第8把锁就是可以打开的；第四把钥匙开前面6把锁都打不开，那么第7把锁就是可以打开的；第五把钥匙开前面5把锁都打不开，那么第6把锁就是可以打开的；第六把钥匙开前面4把锁都打不开，那么第5把锁就是可以打开的；第七把钥匙开前面3把锁都打不开，那么第4把锁就是可以打开的；第八把钥匙开前面2把锁都打不开，那么第3把锁就是可以打开的。由此最少需要试验9+8+7+6+5+4+3+2=44次， 才能确保将这8把钥匙都配上锁。 14．【答案】5；7 【解析】解：把红、黄、蓝、白四种颜色的球各6个放到一个抽奖箱里，至少要抽5个球才可以保证抽到两个颜色相同的球；至少要抽7个球才可以保证抽到两个颜色不同的球。 故答案为：5；7。 【分析】第一问：因为有四种颜色，假设前4次各取一种颜色的球，那么第5次无论取什么颜色的球都能保证抽到两个颜色相同的球。 第二问：因为每种颜色有6个，假设前6次取出的球的颜色相同，那么再取第7个无论是什么颜色都能保证取到两个颜色不同的球。 15．【答案】16；20 【解析】解：5×（4-1）+1 =5×3+1 =15+1 =16（颗） 5×4=20（颗） 故答案为：16；20。 【分析】先把5个盒子，每个盒子先放3颗珠子，这时候不关再哪个盒子再放1颗珠子， 总有一个盒子里至少有4颗珠子 ，即最少有珠子5×（4-1）+1=16颗；最多有珠子5×4=20颗。 16．【答案】解：完成全部题目的最高得分是：2×2＝4（分） 得分情况有5种：4分、3分、2分、1分、0分 37÷5＝7（名）……2（名） 7＋1＝8（名） 答：至少有8名同学的成绩相同。 【解析】【分析】先分析得分情况，由于每名同学都答2道题，且规定答对一道得2分，不答得1分，答错得0分，所以完成全部题目的最高得分是2×2＝4（分），所以有5种得分情况，即：4分、3分、2分、1分、0分，相当于5个抽屉，据此可得，37÷5＝7（名）……2（名），利用抽屉原理，7＋1＝8（名），也就是说至少有8名同学的成绩相同。 17．【答案】解：6÷4=1……2（只） 1+1=2（只） 13÷4=3……1（只） 3+1=4（只） 答： 6 只小鸟飞到4棵树上休息，至少有2只小鸟要在同一棵树上休息；13 只小鸟飞到4棵树上休息，至少有4只小鸟要在同一棵树上休息。 【解析】【分析】6只小鸟飞到4棵树上休息，由于6不能被4整除，我们首先将6只小鸟均匀分配到4棵树上，每棵树上有1只小鸟，剩余2只小鸟。剩余的2只小鸟无论分配到哪棵树上，都会使得至少有2棵树上有2只小鸟，即在最坏的情况下，至少有2只小鸟在同一棵树上休息。 13只小鸟飞到4棵树上休息。如果每棵树上的小鸟数量都相同，由于13不能被4整除，我们首先将13只小鸟尽量均匀分配到4棵树上，每棵树上有3只小鸟，剩余1只小鸟。剩余的1只小鸟分配到任何一棵树上，都会使得至少有一棵树上有4只小鸟。因此，在这种情况下，至少有4只小鸟在同一棵树上休息。 18．【答案】解：20÷3=6（次）……2（次），6+1=7（次） 答：那么至少有7次拋得的结果相同。 【解析】【分析】抛两枚硬币共会出现3种情况：2个字、2个花、1个字1个花。从最不利的情况考虑，如果每种情况各抛出6次，那么剩下的2次无论抛出什么结果，都至少有7次抛得的结果相同。 19．【答案】解：买书的类型有： 买一本：有语文、数学、外语3种。 买两本：有语文和数学、语文和外语、数学和外语3种。 买三本：有语文、数学和外语1种。 3+3+1=7(种)。 7+1=8（个） 答：至少要去8个学生。 【解析】【分析】首先考虑买书的几种可能性：买一本、两本、三本共有7种类型。把7种类型看成7个抽屉，去的人数看成元素。要保证至少有一个抽屉里有2个元素，那么去的人数应大于抽屉数，所以元素数至少比抽屉数多1才能保证2个学生买到相同的书。 20．【答案】解： 75~95 分的有：48-5=43（个） 43÷21=2（人）……2（人） 2+1=3（人） 答：至少有3名学生的成绩相同。 【解析】【分析】既然是问“至少有几名学生的成绩相同”，说明以成绩为抽屉，学生为物品，除了5名成绩在60分以下的学生外，其余成绩均在 75~95 分之间， 75~95 共有21个不同分数，将这21个分数作为21的抽屉，把48-5=43（个）学生作为物品，43÷21=2……2，根据抽屉原理2，至少有3件物品，即这48名学生中至少有3名学生的成绩是相同的。 学科网（北京）股份有限公司 $$