寒假预习衔接：专题06 正比例和反比例（讲义）-2024-2025学年人教版数学六年级下册

专题06 正比例和反比例 知识点一：成正比例的量及其意义 （1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。用字母表示为。 （2）正比例关系的图象是一条从原点出发的射线。从图象中可以直观看到两种量的变化情况，不用计算，由一个量的值可以直接找到对应的另一个量的值。例如下图： 一、选择题（将正确的选项填在括号内） 1．下列选项中，两个量不成正比例的是（　　）。 A．圆锥的底面积一定，高和体积。 B．一根铁丝，用去部分和剩下部分。 C．单价一定，总价和数量。 D．速度不变，路程和时间。 2．x和y成正比例关系，当x=2时，y=；当x=5时，y=（　　）。 A． B． C．2 D． 3．小李加工一批零件，工作时间与加工零件的个数的关系(如下图)，下列说法错误的是(　　) A．加工零件的个数与工作时间成正比例关系 B．N表示400个零件 C．M表示3.2小时 D．如果有一点Р表示5小时做了600个零件，那么点P一定会和点E、F、G一样在射线l上 4．如图，如果x 和y 成正比例，那么“?”处应填写(　　)。 x 4 ? y 8 32 A．6 B．8 C．12 D．16 二、判断题（对的画√，错的画×） 5．每天的劳动报酬一定，总收入与工作时间成正比例。（　　） 6．正方形的面积与它的边长成正比例。（　　） 7．衣服的单价一定，购买的数量和总价成正比例。（　　） 三、填空题 8．某商场所有物品都打同样的折扣销售。原价200元的衣服，现价140元。如果用a表示原价，b表示现价，用式子表示a和b之间的数量关系是　 　，a和b或　 　比例关系。 9．如果，那么M：N=　 　，M和N成　 　比例关系。 10．如下图，x与y是两个相关联的量。当x＝2时，y＝　 　；当y＝40时，x＝　 　。x和y成　 　比例。 知识点二：正比例应用题 （1）运用正比例知识解决问题的方法： ①判断题中两种相关联的量是否成正比例关系； ②若成正比例关系，根据正比例的意义列出比例即方程； ③解比例； ④检验并作答。 一、选择题（将正确的选项填在括号内） 11．一辆汽车3 h行驶126 km，照这样的速度，行驶168 km需要多少时？设需要x h，下面列式正确的是（　　）。 A． B．126×3＝168x C．3x＝168×126 D． 12．超市里卖的葡萄质量和总价如下。 质量/kg 2 4 5 总价/元 8 16 20 如果小红去超市里买了9kg的葡萄，那么她要支付（　　）元 A．32 B．36 C．40 D．44 13．一个榨油厂，用200千克大豆可榨出28千克油，照这样计算，用4000千克大豆可以榨出油(用比例方法解答) （　　）。 A．5600千克 B．1000千克 C．10000千克 D．560千克 二、判断题（对的画√，错的画×） 14．买铅笔的支数和总价成正比例，5支铅笔花了4元钱，那么买6支铅笔要花6元钱。（ ） 15．幸福社区村民有小麦198亩，前5天收割了90亩。照这样计算，剩下的任务还要11天收割完。（ ） 三、填空题 16．李老师下载一部大小为720 MB的纪录片，已”下载60%，用时210秒。按照这样的下载速度，剩下的部分还需要　 　秒。 17．龙华区厨余垃圾处理工厂每天最高可“吞掉”165吨的厨余垃圾，通过新技术和工艺产生15吨有机肥。照这样计算，生产60吨有机肥，需要“吞掉”　 　吨厨余垃圾。 四、解决问题 18．学校科学小组在同一时间、同一地点测得树高和影长如下表。 树高/m 1 2 4 6 7 影长/m 0.8 1.6 3.2 4.8 5.6 （1）根据表格，估计8m的树，这时的影长是　 　m。 （2）说一说树高和影长的变化关系，你有什么发现？ 19．信宜特产李欣古粽工厂生产一批粽子，生产粽子的总个数与需要的天数如下表： 生产粽子总个数 600 1200 1800 2400 3000 需要的天数 1 2 3 4 5 （1）生产粽子的总个数与需要的天数有怎样的关系？请说明理由。 （2）若该工厂需要生产4800个粽子，则需要多少天生产完这一批粽子？ 20．印度尼西亚首都雅加达拥有1000多万人口，它是世界上下沉速度最快的城市之一。北雅加达十年来已经下沉了2.5米，照这样的速度，北雅加达下沉7.5米，只需几年时间？（用比例解） 知识点三：成反比例的量及其意义 （1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。 （2）反比例关系可以用式子表示为 xy＝k（一定）。 一、选择题（将正确的选项填在括号内） 21．下列各题中的两个量，成反比例的是(　　)。 A．一个人跑步的速度和他的体重。 B．每袋大米的质量一定，大米的总质量和袋数。 C．正方形的周长和边长。 D．平行四边形的面积一定，它的底和高。 22．下面问题可以用反比例来解决的是(　　)。 A．中国空间站在太空中绕地球运行6周需要大约需要9小时，运行15周大约要多少时间？ B．某雨水收集处理站2年可提供5万吨冲厕水。照这样计算，5年可提供多少吨冲厕水？ C．25 元一本的书，小明的钱可以买6本。用这些钱买30元一本的书，可以买几本？ D．某枇杷园每天销售 750千克枇杷。如果每千克售价 70元，每天可收入多少元？ 23．x和y是两个相关联的量，且都不为0，下列表示x和y成反比例的式子是(　　)。 A．x-y=5 B． C．x+y=3 D．y= 5x 二、判断题（对的画√，错的画×） 24．圆锥的体积一定，它的底面积和高成反比例。（　　） 25．如果x=8y，那么x与y成反比例。（ ） 26．正比例关系的图像是一条直线，反比例关系的图像不是一条直线。（　　） 三、填空题 27．如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示一定的量(k不为0)，那么正比例关系可以用字母表示是　 　，反比例关系用字母表示是　 　。 28．三个相关联的量，A表示单价，B表示数量，C表示总价。如果A一定，那么B和C成　 　比例关系；如果C一定，那么A和B成　 　比例关系。 29．x，y都不为0，，则x和y成　 　比例，若9m=7n，则m和n成　 　比例。 30． 如下表，如果x与y成正比例，那么“？”是　 　；如果x与y成反比例，那么“？”是　 　。 x 5 ? y 100 160 知识点四：反比例应用题 （1）运用反比例知识解决问题的方法： ①判断题中两种相关联的量是否成反比例关系； ②若成反比例关系，根据反比例的意义列出比例即方程； ③解比例； ④检验并作答。 一、选择题（将正确的选项填在括号内） 31． 一辆自行车，当前齿轮转了 2 圈，后齿轮正好转了 3 圈，若前齿轮有 36 个齿，则后齿轮的齿数是(   )。 A． 24 个  B． 36 个  C． 48 个  D． 108 个 32．一支牙膏假如每次挤出8mm使用，可以使用120次；现在如果每次挤出1cm使用，这只牙膏可以使用（　　）次。 A．150 B．96 C．64 D．50 二、填空题 33．办公楼原来平均每天照明用电100千瓦时。改用节能灯以后，平均每天只用电25千瓦时。原来5天的用电量现在可以多用　 　天。 三、解决问题 34．小东家的客厅是正方形的，用边长0.6m的方砖铺地，正好需要100块，如果改用边长为0.5m的方砖铺地，需要多少块?（利用比例知识解答） 35．张师傅加工一批零件，计划每天加工360个，需要 15 天完成；实际提前3天完成任务，他实际每天加工多少个零件?（用比例解） 36．某运输队需要为灾区抢运120吨救灾物资，如果要一次把所有救灾物资全部运出，车辆的载重量与所需车辆的数量如下表。 （1）请把表格填写完整。 载质量/吨 2.5 4 5 10 数量/辆 48 30 　 　 （2）车辆的载重量和所需车辆的数量成什么比例？为什么？ （3）如果用载重量为6吨的卡车来运，一共需要多少辆? 1．【答案】B 【解析】解：A、体积÷高=底面积×（一定），即商一定，所以高和体积成正比例关系； B、用去部分+剩下部分=这根铁丝的长度，所以用去部分和剩下部分不成比例； C、总价÷数量=单价（一定），即商一定，所以总价和数量成正比例关系； D、路程÷时间=速度（一定），即商一定，所以路程和时间成正比例关系。 故答案为：B。 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商k)一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系，用y/x=k( k一定)来表示。 2．【答案】D 【解析】解：x和y成正比例关系，说明x和y的比值相等； 2：=5：y 2y=×5 2y= y=× y= 故答案为：D。 【分析】正比例的判断方法：相关联，能变化，商一定。 3．【答案】D 【解析】解：A项：150÷1.5=100（个）（一定）加工零件的个数与工作时间成正比例关系，原题干说法正确； B项：4×100=400（个），原题干说法正确； C项：320÷100=3.2（小时），原题干说法正确； D项：600÷5=120（个），120＞100，点P不和点E、F、G一样在射线上，原题干说法错误。 故答案为：D。 【分析】A项：点O、E、F、G一样在同一条射线上，说明加工零件的个数与工作时间成正比例关系； B项：N表示加工零件的个数=平均每小时加工零件的个数×加工的时间； C项：M表示的时间= 加工零件的总个数÷平均每小时加工零件的个数； D项：平均每小时加工零件的个数不是120，说明点P不和点E、F、G一样在射线上。 4．【答案】D 【解析】解：x和y成正比例，y÷x=2， 32÷？=2，？=32÷2=16。 故答案为：D。 【分析】正比例的判断方法：相关联，能变化，商一定；除数=被除数÷商。 5．【答案】错误 【解析】解：总收入÷工作时间=每小时劳动报酬(一定)，即比值一定，所以总收入与工作时间成正比例；原题说法错误。 故答案为：错误。 【分析】注意区别：每天的劳动报酬一定和每小时的劳动报酬一定。 6．【答案】错误 【解析】解：正方形面积：边长=边长，边长不是固定值，所以正方形面积与它的边长不成比例，该说法错误； 故答案为：错误。 【分析】两种相关联的量，一种量变化另一种量随之变化，如果它们的比值一定，则这两种量成正比例关系；如果它们的乘积一定，则这两种量成反比例关系；据此判断。 7．【答案】正确 【解析】解：总价÷购买的数量=衣服的单价（一定）， 购买的数量和总价成正比例。原题说法正确。 故答案为：正确。 【分析】正比例的判断方法：相关联，能变化，商一定。 8．【答案】=0.7；正 【解析】解：b÷a=140÷200=0.7（一定），a和b或正比例关系。 故答案为：=0.7；正。 【分析】现价÷原价=折扣，比值一定，a和b或正比例关系。 9．【答案】1：3；正 【解析】解：= 21M=7N M：N=7：21 M：N=1：3 M：N= M和N成正比例关系。 故答案为：1：3；正。 【分析】在=中，根据比例的外项之积等于比例的内项之积。把M看做比例的外项，N看做比例的內项，据此改写成比例的形式。再根据比例的基本性质，比的前项和后项同时乘以或除以同一个数，化为最简整数比；正比例的判断方法：相关联，能变化，商一定。 10．【答案】16；5；正 【解析】解：8：1=8，即y=8x，当y=40时，x=40÷8=5；x和y成正比例。 故答案为：16；5；正。 【分析】看图知，当x=2时，y=16。因为8：1=16：2=24：3=8，所以y=8x，x和y成正比例，当y=40时，x=40÷8=5。 11．【答案】D 【解析】解：这辆汽车行驶的速度不变，据此列比例为：=。 故答案为：D。 【分析】行驶的路程：行驶的时间=行驶的速度，行驶126 km和行驶168 km的速度是不变的。 12．【答案】B 【解析】解：8÷2×9=36（元） 故答案为：B。 【分析】单价不变，因此用一组对应的总价除以质量求出单价，然后确定9kg葡萄要支付的钱数即可。 13．【答案】D 【解析】解：设可以榨出油x千克， 28:200=x:4000 200x=28×4000 x=112000÷200 x=560 故答案为：D 【分析】每千克大豆榨出油的重量是不变的，大豆的重量与油的重量成正比例，设出未知数，根据正比例关系列出比例解答即可. 14．【答案】错误 【解析】4÷5×6=0.8×6=4.8（元），本题错。 故答案为：错误 【分析】花的钱数4÷买的只数5=每支的钱数0.8，每支的钱数0.8×买的只数6=需要的钱数4.8. 15．【答案】错误 【解析】解：设剩下的任务需要x天收割完， 90∶5=（198-90）∶x 90x=5×（198-90） 90x=5×108 90x=540 x=6 即剩下的任务还要6天收割完。 故答案为：错误。 【分析】由题意可知：每天收割的小麦数量是一定的，即收割的亩数与时间的比值是一定的，则收割的亩数与时间成正比例，据此即可列比例求解。 16．【答案】140 【解析】解：设剩下的部分还需要x秒。 60%：210=（1-60%）：x 0.6x=210×0.4 x=84÷0.6 x=140 故答案为：140。 【分析】照这样的速度的意思就是每秒下载的量是不变的，下载量与时间成正比例关系。设剩下的部分还需要x秒。把这部纪录片大小看作“1”，写出下载量与时间的比并组成比例解答即可。 17．【答案】660 【解析】解：165÷15×60=660(吨) 故答案为：660。 【分析】165吨厨余垃圾可以产生15吨有机肥，那么每吨有机肥就需要(165÷15)吨厨余垃圾，生产60吨有机肥就用每吨有机肥需要的垃圾吨数乘60即可。 18．【答案】（1）6.4 （2）解：树越高，影子越长，树高和影长的比值是一定的，所以树高和影长成正比例关系。 【解析】解：（1）0.8÷1=1.6÷2=3.2÷4=......=0.8， 8×0.8=6.4（米） 8m的树，影长是6.4米； 故答案为：（1）6.4。 【分析】（1）影长÷树高=0.8，由此推出：树高×0.8=影长； （2）答案不唯一，言之有理即可。 19．【答案】（1）解：600÷1=600（个） 1200÷2=600（个） 1800÷3=600（个） 每个商都相等，即 生产粽子总个数÷ 需要的天数 =每天的生产量（一定），所以 生产粽子的总个数与需要的天数 成正比例关系。 答：生产粽子的总个数与需要的天数 成正比例关系；因为生产粽子总个数÷ 需要的天数 =每天的生产量（一定）。 （2）解：4800÷（600÷1） =4800÷600 =8（天） 答： 若该工厂需要生产4800个粽子，则需要8天生产完这一批粽子 。 【解析】【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 （2）用生产总量除以每天的生产量，代入数值计算即可求出需要用的天数。 20．【答案】解：设北雅加达下沉7.5米，只需要x年。 2.5：10=7.5：x 2.5x=10×7.5 x=75÷2.5 x=30 答：需30年。 【解析】【分析】照这样的速度意思就是每年下降的高度不变，也就行下沉的高度与年数的比值不变，那么下沉的高度与年数成正比例。设北雅加达下沉7.5米需要x年，根据下沉的高度与年数的比值不变列出比例解答即可。 21．【答案】D 【解析】解：A：一个人跑步的速度和他的体重没有比例关系， B：大米的总质量÷袋数=每袋大米的质量（一定），大米的总质量和袋数成正比例， C：正方形的周长÷边长=4，正方形的周长和边长成正比例， D：平行四边形的底×高=平行四边形的面积（一定），它的底和高成反比例。 故答案为：D。 【分析】正比例的判断方法：相关联，能变化，商一定；反比例的判断方法：相关联，能变化，积一定。 22．【答案】C 【解析】解：A项：运行的时间÷运行的周数＝空间站绕地球运行一周的时间（一定），成正比例关系； B项：冲厕水的总吨数÷年数＝每年提供的冲厕水的吨数（一定），成正比例关系； C项：书的单价 ×数量＝小明带的钱数（一定），成反比例关系； D项：单价=总价÷数量（一定），成正比例关系。 故答案为：C。 【分析】判断两个相关联的量成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 23．【答案】B 【解析】解：A：x-y=5，两个量的差一定，二者不成比例； B：，则xy=10，二者成反比例； C：x+y=3，和一定，二者不成比例； D：y=5x，y÷x=5，二者成正比例。 故答案为：B。 【分析】相关联的两个量相对应的数的比值一定，二者成正比例；相关联的两个量相对应的两个数的乘积一定，二者成反比例。 24．【答案】正确 【解析】解：圆锥的体积=×底面积×高，所以圆锥的体积一定，它的底面积和高成反比例。 故答案为：正确。 【分析】如果xy=k（k为常数，x，y≠0），那么x和y成反比例，然后根据圆锥的体积公式作答即可。 25．【答案】错误 【解析】如果x=8y，则，=8（一定），所以，x与y成正比例。 故答案为：错误。 【分析】如果=k（一定），则y与x成正比例；如果，xy=k（一定），则y与x成反比例。根据正反比例的意义，将x与y写成乘积或比的形式，从而判断它们成正比例还是反比例。 26．【答案】正确 【解析】解：正比例关系的图像是一条直线，反比例关系的图像是一条曲线。 故答案为：正确。 【分析】根据正、反比例的图像特征作答即可。 27．【答案】y=kx；xy=k 【解析】解：正比例关系可以用字母表示是y=kx，反比例关系用字母表示是xy=k。 故答案为：y=kx；xy=k。 【分析】根据正比例关系和反比例关系作答即可。 28．【答案】正；反 【解析】解：总价÷数量=单价（一定），A一定，那么B和C成正比例； 单价×数量=总价（一定），C一定，那么A和B成反比例。 故答案为：正；反。 【分析】判断两个相关联的量成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 29．【答案】反；正 【解析】解：xy=8（一定），乘积一定，成反比例关系；m：n=7：9（一定），比值一定，成正比例关系。 故答案为：反；正。 【分析】正比例关系：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的比值（或商）一定，那么它们的关系称为正比例关系。 反比例关系：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的积一定，这两种量就叫做反比例的量。它们的关系称为反比例关系。 30．【答案】8；3.125 【解析】解：如果x与y成正比例， 5：100=？：160 100×？=5×160 100×？=800 ？=8 如果x与y成反比例， ？×160=5×100 ？×160=500 ？=500÷160 ？=3.125 故答案为：8；3.125。 【分析】正比例的判断方法：相关联，能变化，商一定；反比例的判断方法：相关联，能变化，积一定。 31．【答案】A 【解析】解：设后齿轮的齿数是x齿， 3x=36×2 3x=72 x=24 故答案为：A。 【分析】前轮与后轮走过的路程是一定的，齿轮的齿数与转过的圈数成反比例，根据乘积一定，设出未知数，列出比例式。 32．【答案】B 【解析】解：1cm=10mm，8×120÷10=96（次） 故答案为：B。 【分析】用原来每次挤出的长度成次数求出总长度，然后用总长度除以现在每次挤出的长度即可求出现在可以使用的次数。 33．【答案】15 【解析】解：100×5÷25 =500÷25 =20（天） 20-5=15（天） 故答案为：15。 【分析】根据题意，用电量一定，每天用电和用的天数成反比例，原来每天用电量×用的天数=后来每天用电量×后来用的天数。 34．【答案】解：设需要x块。 0.52x=0.62×100 0.25x=36 x=36÷0.25 x=144 答：需要144块。 【解析】【分析】客厅的总面积不变，每块方砖的面积与方砖的块数的乘积一定，二者成反比例。设出未知数，然后根据客厅总面积不变列出比例解答即可。 35．【答案】解：设实际每天加工x个，由题意得： （15-3）×x=360×15 12x=5400 12x÷12=5400÷12 x=450 答：实际每天加工450个零件。 【解析】【分析】这批零件的总数是一定的，每天加工的零件个数与加工的天数成反比例，由此设出未知数，列比例解答即可。 36．【答案】（1）解： 载质量/吨 2.5 4 5 10 数量/辆 48 30 24 12 （2）解：2.5×48=120(吨) 4×30=120(吨) 答：因为车辆的载重量与所需车辆的数量的乘积一定，所以车辆的载重量与所需车辆的数量成反比例。 （3）解：120÷6=20（辆） 答： 如果用载重量为6吨的卡车来运，一共需要20辆。 【解析】【分析】(1)求出物资总吨数，用总吨数-载重量=辆数； （2）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的积一定，这两种量就叫做反比例的量，它们的关系称为反比例关系； （3）总重量÷6=载重量为6吨卡车的量数。 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