精品解析：海南省三亚市2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

机密★启用前 2024-2025 学年度第一学期 九年级数学科期末学业水平质量监测试卷 （全卷满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（本大题满分36分，每小题3分） 1. 负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把收入20元记作元，那么支出20元记作（ ） A. 元 B. 20元 C. 0元 D. 40元 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查相反意义的量，解题的关键是理解正负数的意义；因此此题可根据正负数的意义及题意直接进行求解． 【详解】解：由题意得：支出20元记作元； 故选A． 2. 2024年5月3日，长征五号遥八运载火箭托举嫦娥六号探测器，进入地月转移轨道，嫦娥六号正式开启“月背征途”和“挖宝之旅”，月球和地球相距约380000000米，将数据380000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【详解】解： ， 故选：D 3. 若代数式的值为7，则x等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键； 根据题意列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意得： 解得：， 故选：A． 4. 如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层中间一个小正方形， 故选：C． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图． 5. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多项式合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘除法等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、合并同类项等运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，故A选项计算错误； B．，故B选项计算错误； C．，故C选项计算错误； D．，故D选项计算正确． 故选：D． 6. 分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 利用去分母将方程化为整式方程，解得的值后进行检验即可． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为， 故选：C． 7. 今年海南荔枝大丰收，为了解某品种荔枝市场价格，在7个市县调查它的单价（单位：元/斤），收集到的数据为：5，5，5，6，7，8，8．这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 5，6 B. 6，5 C. 6，8 D. 8，6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数的定义，出现次数最多的即为众数；把数值排序后再取中间位置的数即为中位数，据此即可作答． 【详解】解：∵收集到的数据为：5，5，5，6，7，8，8 ∴的次数是3次，最多， 故众数是； ∴中间位置的数即为6 ∴中位数是6 故选：B 8. 某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流(单位：)与电阻(单位：)的函数表达式为，当时，的值为（ ）． A. -4 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查已知自变量的值求函数值，掌握代入求值的方法是解题的关键． 将代入中计算即可； 【详解】解：∵， ∴ 故选B． 9. 如图，直线，四边形是正方形，点C在直线n上，点D在直线m上．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，平行线的性质． 由正方形可得，利用三角形的内角和定理可求得，进而得到，根据即可得到． ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D 【详解】详解片段 10. 如图，在中，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E；再分别以点A和点E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F；作射线，交于点G．若，，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线四边形的性质，角平分线的定义和尺规作图，等角对等边，先由平行四边形的性质得到，，则，由作图方法可知，平分，则可得，进而推出，则． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由作图方法可知，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选；C． 11. 如图，点A的坐标为，将线段绕原点O顺时针旋转得到，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的变化−旋转，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点A作轴，垂足为D，过点B作轴，垂足为E，然后利用一线三等角构造全等模型证明，从而利用全等三角形的性质可得，即可解答． 【详解】解：过点A作轴，垂足为D，过点B作轴，垂足为E， ∴， ∴， ∵点A的坐标为 ∴， 由旋转得： ， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴点B的坐标为， 故选：B． 12. 如图，在菱形中，，对角线与相交于点O，于点F，交于点P．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，先由菱形的性质得到，，，再证明是等边三角形，则，进而得到，由三线合一定理得到，则可求出，利用勾股定理得到，则． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 故选：C． 二、填空题（本大题满分12分，每小题3分） 13. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：=； 故答案为 14. 请你写出一个大于1而小于5 的无理数_____． 【答案】答案不唯一，如、等． 【解析】 【详解】试题分析：一个大于1而小于5的无理数有，，，等，故答案为答案不唯一，如、等． 考点：1．估算无理数的大小；2．开放型． 15. 如图，是的直径，点P在的延长线上，切于点C，连接．若，则______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，连接，由切线的性质得到，则由三角形内角和定理得到，再由圆周角定理得到，则． 【详解】解：如图所示，连接， ∵切于点C， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，，点E、F分别是所在直线上的动点，连接，以为边，在上方作等边，H为的中点，连接， 则_______°，的最小值为_______． 【答案】 ①. 30 ②. 4 【解析】 【分析】连接，由矩形的性质和等边三角形的性质可得，，，，可证点B，点E，点H，点F四点共圆，可得，则点H在边上移动，即当时，有最小值，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵是等边三角形，点H是的中点， ∴， ∵， ∴点B，点E，点H，点F四点共圆， ∴， ∴， ∴点H在边上移动， ∴当时，有最小值， ∵， ∴． 故答案为：30，4． 【点睛】本题考查了四点共圆，圆周角定理，矩形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，确定点H的运动轨迹是本题的关键． 三、解答题（本大题满分72分） 17. （1）计算：； （2）解不等式组． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式组，实数的运算，负整数指数幂： （1）先计算算术平方根和负整数指数幂，再计算乘方和绝对值，接着计算乘除法，最后计算减法即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） ； （2） 解不等①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 18. 为了更好地保护环境，治污公司决定购买若干台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，已知购买1台A型号设备比购买1台B型号设备多2万元，购买2台A型号设备比购买3台B型号设备少6万元．求A、B两种型号设备的单价． 【答案】A：12万元，B：10万元 【解析】 【分析】设A型号设备的单价为x万元，B型号设备的单价为y万元，根据1台A型号设备比购买1台B型号设备多2万元，购买2台A型号设备比购买3台B型号设备少6万元这两个等量关系,列出方程组求解即可． 【详解】解：设A型号设备的单价为x万元，B型号设备的单价为y万元， 根据题意得: ， 解这个方程组得: ． 答：A、B两种型号设备的单价分别为12万元、10万元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解决本题的关键是正确理解题意，找到题目中蕴含的等量关系. 19. 为了调查学生对海南自贸港建设知识的了解程度，普及海南自贸港建设的相关知识．某校随机抽取若干名学生进行了测试，根据测试成绩分布情况，他们将全部测试成绩分成A，B，C，D四组，绘制了如下不完整的统计图表： 问卷测试成绩统计表 组别 分数/分 A B C D （1）本次调查采用的调查方式为 （填写“普查”或“抽样调查”）； （2）在这次调查中，抽取的学生一共有 人；扇形统计图中n的值为 ； （3）样本的D组50名学生中有20名男生和30名女生．若从这50名学生中随机抽取1名学生代表学校参加市里的演讲比赛，则恰好抽到女生的概率是 ； （4）若该校共有1000名学生参加测试，则估计问卷测试成绩在之间的学生有 人． 【答案】（1）抽样调查 （2）200；35 （3） （4）350 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，用样本估计总体，简单的调查方式，扇形统计图与条形统计图信息相关联： （1）根据题意可得本次调查采用的调查方式为抽样调查； （2）用A组的人数除以其人数占比求出参与调查的人数，进而求出C组的人数，再用C组的人数除以参与调查的人数即可求出n的值； （3）用女生人数除以D组的总人数即可得到答案； （4）用1000乘以样本中成绩在之间的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵某校随机抽取若干名学生进行了测试， ∴本次调查采用的调查方式为抽样调查， 故答案为：抽样调查； 【小问2详解】 解：人， ∴在这次调查中，抽取的学生一共有200人， ∴， ∴， 故答案为：200；35； 【小问3详解】 解：， ∴从这50名学生中随机抽取1名学生代表学校参加市里的演讲比赛，则恰好抽到女生的概率是， 故答案为：； 【小问4详解】 解：人， ∴估计估计问卷测试成绩在之间的学生有350人， 故答案为：350． 20. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度． 如图，塔前有一座高为的观景台，已知，点E，C，A在同一条水平直线上． 某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． （1）求的长； （2）设塔的高度为h（单位：m）． ①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求塔的高度（取0.5，取1.7，结果取整数）． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质求解即可； （2）①分别在和中，利用锐角三角函数定义求得，，进而可求解； ②过点作，垂足为．可证明四边形是矩形，得到，．在中，利用锐角三角函数定义得到，然后求解即可． 【小问1详解】 解：在中，， ∴． 即的长为． 【小问2详解】 解：①在中，， ∴． 在中，由，，， 则. ∴． 即的长为． ②如图，过点作，垂足为． 根据题意，， ∴四边形是矩形． ∴，． 可得． 在中，，， ∴．即． ∴． 答：塔的高度约为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及含30度角的直角三角形的性质、矩形判定与性质、锐角三角函数，理解题意，掌握作辅助线构造直角三角形解决问题是解答的关键． 21. 如图1，在正方形中，E是上一点，过点D作于点O，交于点F，与的延长线交于点G，连结． （1）求证：； （2）当时，求证：； （3）如图2，在上取一点H，连结，当，猜想与的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：同理（1）得证， ∴， ∵，， ∴， ∴点F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴得到点是的中点， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）， 证明如下： 过点A作于点M， ∵四边形是正方形， ∴， 由（1）知， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，利用证明即可； （2）同理（1）可证，再根据正方形的性质结合，可得点F是的中点，进而得到，易证，推出，即得到点是的中点，利用直角三角形的性质结合等腰三角形的性质即可得到结论； （3）过点A作于点M，利用正方形的性质证明，得到，再证明是等腰直角三角形，推出，再证明是等腰直角三角形，即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线构造三角形全等时解题的关键． 22. 如图1，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点． （1）求该抛物线所对应的函数关系式； （2）已知点是抛物线的顶点，点是线段上的一个动点（与点、不重合），过点E作轴于点，交抛物线于点． ①求四边形的面积； ②求的边上的高的最大值； ③如图2，在②的条件下，在x轴上是否存在点G，使得的值最小？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①9；②．③ 【解析】 【分析】（1）根据抛物线与x轴交于，两点，设函数解析式为，再将点代入求解即可． （2）①先求出抛物线的顶点坐标为，再根据四边形的面积计算即可； ②求出直线的解析式为：，求出，设的边上的高为，设点E为，则，在中，，即可求出答案； ③以点A为顶点作，过点G作于点M，得到三点共线时，有最小值，即为的长，此时点G在点的位置，利用解直角三角形求出答案即可． 【小问1详解】 ∵抛物线与x轴交于，两点， ∴设该抛物线的解析式为：． ∵过点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 ∵， ∴抛物线的顶点坐标为 ∴四边形的面积； 即四边形的面积 ②设直线的解析式为：， 把点，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为：． ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的边上的高为，如图， 设点E为，则， 则， 在中，， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； ③以点A为顶点作，过点G作于点M， ∴， ∴，即三点共线时，有最小值，即为的长，此时点G在点的位置， 如图： 由可知，当时，， ∴有最大值时，点E的坐标为， 则， 在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定和性质，二次函数求最值，解直角三角形，矩形的判定和性质等知识，解题关键是在求等腰直角三角形的存在性时，注意分类讨论的思想的运用，要把所有符合条件的点求全． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 机密★启用前 2024-2025 学年度第一学期 九年级数学科期末学业水平质量监测试卷 （全卷满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（本大题满分36分，每小题3分） 1. 负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把收入20元记作元，那么支出20元记作（ ） A. 元 B. 20元 C. 0元 D. 40元 2. 2024年5月3日，长征五号遥八运载火箭托举嫦娥六号探测器，进入地月转移轨道，嫦娥六号正式开启“月背征途”和“挖宝之旅”，月球和地球相距约380000000米，将数据380000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 若代数式的值为7，则x等于（ ） A. B. C. D. 4. 如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 7. 今年海南荔枝大丰收，为了解某品种荔枝市场价格，在7个市县调查它的单价（单位：元/斤），收集到的数据为：5，5，5，6，7，8，8．这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 5，6 B. 6，5 C. 6，8 D. 8，6 8. 某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流(单位：)与电阻(单位：)的函数表达式为，当时，的值为（ ）． A. -4 B. 4 C. D. 9. 如图，直线，四边形是正方形，点C在直线n上，点D在直线m上．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E；再分别以点A和点E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F；作射线，交于点G．若，，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 11. 如图，点A的坐标为，将线段绕原点O顺时针旋转得到，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在菱形中，，对角线与相交于点O，于点F，交于点P．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题满分12分，每小题3分） 13. 因式分解：__________． 14. 请你写出一个大于1而小于5 的无理数_____． 15. 如图，是的直径，点P在的延长线上，切于点C，连接．若，则______度． 16. 如图，在矩形中，，点E、F分别是所在直线上的动点，连接，以为边，在上方作等边，H为的中点，连接， 则_______°，的最小值为_______． 三、解答题（本大题满分72分） 17. （1）计算：； （2）解不等式组． 18. 为了更好地保护环境，治污公司决定购买若干台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，已知购买1台A型号设备比购买1台B型号设备多2万元，购买2台A型号设备比购买3台B型号设备少6万元．求A、B两种型号设备的单价． 19. 为了调查学生对海南自贸港建设知识的了解程度，普及海南自贸港建设的相关知识．某校随机抽取若干名学生进行了测试，根据测试成绩分布情况，他们将全部测试成绩分成A，B，C，D四组，绘制了如下不完整的统计图表： 问卷测试成绩统计表 组别 分数/分 A B C D （1）本次调查采用的调查方式为 （填写“普查”或“抽样调查”）； （2）在这次调查中，抽取的学生一共有 人；扇形统计图中n的值为 ； （3）样本的D组50名学生中有20名男生和30名女生．若从这50名学生中随机抽取1名学生代表学校参加市里的演讲比赛，则恰好抽到女生的概率是 ； （4）若该校共有1000名学生参加测试，则估计问卷测试成绩在之间的学生有 人． 20. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度． 如图，塔前有一座高为的观景台，已知，点E，C，A在同一条水平直线上． 某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． （1）求的长； （2）设塔的高度为h（单位：m）． ①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求塔的高度（取0.5，取1.7，结果取整数）． 21. 如图1，在正方形中，E是上一点，过点D作于点O，交于点F，与的延长线交于点G，连结． （1）求证：； （2）当时，求证：； （3）如图2，在上取一点H，连结，当，猜想与的数量关系，并证明． 22. 如图1，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点． （1）求该抛物线所对应的函数关系式； （2）已知点是抛物线的顶点，点是线段上的一个动点（与点、不重合），过点E作轴于点，交抛物线于点． ①求四边形的面积； ②求的边上的高的最大值； ③如图2，在②的条件下，在x轴上是否存在点G，使得的值最小？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $