精品解析：江苏省南通市海门区2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

第二届初中学生学科素养竞赛 九年级数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； B. 既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意； C. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D. 是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A 2. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可. 【详解】， ， ， 所以， 故选D. 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键. 3. 如图，下列用直角曲尺检查半圆形的工件，其中合格的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“直径所对的圆周角等于”判断即可．本题主要考查圆周角的概念及“直径所对的圆周角等于”，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：A. 角不是圆周角，故该工件不合格； B. 圆周角所对的弦不是直径，故该工件不合格； C. 圆周角所对的弦是直径，故该工件合格； D. 圆周角所对的弦不是直径，故该工件不合格； 故选：C． 4. 要得到抛物线，可以将抛物线：（ ） A. 向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 B. 向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 C. 向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 D. 向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，进行判断即可； 【详解】解：将抛物线先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，即可得到抛物线； 故选D． 【点睛】本题考查抛物线的平移．熟练掌握抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，是解题的关键． 5. 若反比例函数的图象经过点，则下列不在这个函数图象上的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，掌握反比例函数图象上的点的坐标特征是解答本题的关键． 先将代入反比例函数解析式，求出，然后再将各个点代入解析式中，判断是否在函数图象上即可． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 反比例函数的图象经过点， ， ， ， A、因为，所以点在函数图象上，故A选项不符合题意； B、因为，所以点在函数图象上，故B选项不符合题意； C、因为，所以点不在函数图象上，故C选项符合题意； D、因为，所以点在函数图象上，故D选项不符合题意； 故选：C． 6. 如图，分别与相切于A，B两点，，则∠C的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质、四边形的内角和、圆周角定理．连接，根据切线的性质定理，结合四边形的内角和定理，即可推出∠的度数，然后根据圆周角定理，即可推出∠的度数． 【详解】解：连接，如图， ∵分别与相切于A、B两点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 7. 在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转，得到点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化——旋转，解题的关键是正确作出图形解决问题．把点绕原点旋转的问题转化为直角三角形旋转的问题，画出图形可解决问题． 【详解】解：过A点作轴，过B点作轴，垂足分别为D、E， ∵点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点B的坐标为． 故选：D． 8. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（　　） A. m≥2 B. m≤5 C. m＞2 D. m＜5 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的情况即可列出不等式，从而求出m的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴b2﹣4ac＝1﹣4（）≥0， 解得：m≤5 故选：B． 【点睛】此题考查的是根据一元二次方程根的情况，求参数的取值范围，掌握一元二次方程根的情况与△的关系是解决此题的关键． 9. 如图，点为的内心，若为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内心及性质、角平分线的性质、三角形内角和定理，根据点为三角形的内心，可得，再由三角形内角和定理可得，从而得到，再由三角形内角和定理，即可求解，熟悉三角形基本性质是解题的关键． 【详解】∵点为三角形的内心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 10. 如图，矩形的面积为，对角线与双曲线相交于点，若点为的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，理解矩形的面积与反比例函数的解析式之间的关系是解决本题的关键． 设点的坐标是，则点的坐标为，根据矩形的面积即可求得的值，把点的坐标代入函数解析式即可求得的值． 【详解】解：设点的坐标是，则点的坐标为， 矩形的面积为， ， ， 把点的坐标代入函数解析式，得， ， 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，11~12每小题3分，13~18每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 已知反比例函数，在x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是 _________________ 【答案】 【解析】 【分析】由于反比例函数的图象当x>0时，y随x的值增大而增大，可知比例系数为负数，据此列出不等式解答即可． 【详解】解：反比例函数，在x＞0时，y随x的增大而增大， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的增减性得出比例系数的正负是解题的关键． 12. 若方程3x2－5x－2=0有一个根是a，则6a2－10a的值为______ 【答案】4 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=a代入方程3x2-5x-2=0，列出关于a的一元二次方程，通过变形求得3a2-5a的值后，将其整体代入所求的代数式并求值即可． 【详解】解：∵方程3x2-5x-2=0的一个根是a， ∴3a2-5a-2=0， ∴3a2-5a=2， ∴6a2-10a=2（3a2-5a）=2×2=4． 故答案是：4． 【点睛】此题主要考查了方程解的定义．此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值． 13. 如图，点B，A，C，D在⊙O上，OA⊥BC，∠AOB=50°，则∠ADC=__． 【答案】25° 【解析】 【详解】解：∵OA⊥BC， ∴， ∴∠ADC=∠AOB= ×50°=25° 14. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据对称轴和与x轴的一个交点确定另一个交点的坐标，然后根据其图象确定自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（−1，0）， ∴与x轴的另一个交点坐标为（3，0）， ∴y＞0时，x的取值范围为：， 故答案是：． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数的性质，解题的关键是根据对称轴求得另一个交点坐标，难度不大． 15. 用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为____． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：，解得r=． 考点：弧长的计算． 16. 某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行_m才能停下来． 【答案】600 【解析】 【详解】解：∵﹣1.5＜0， ∴函数有最大值． ∴， 即飞机着陆后滑行600米才能停止， 故答案为：600． 17. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，若水面下降，则水面宽度增加________．（结果可保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，建立平面直角坐标系求出函数式子是解题的关键． 建立平面直角坐标系求出函数式子，再代入数据运算求解即可． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过水面，纵轴通过中点且通过点， 如图所示： 则通过画图可得知为原点，则抛物线以轴为对称轴，且经过，两点,可知， ∴，， 由图可得：抛物线顶点坐标为， ∴设二次函数的顶点式为：， 把代入可得：， 解得：， ∴， 把代入可得：， 解得：， ∴此时水面宽度为， ∴比原先的宽度增加了， 故答案为：． 18. 如图，的直径是，、是它的两条切线，与相切于点，并与、分别相交于、两点，设，，则与的函数解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了切线的性质、切线长定理、矩形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．根据切线长定理得到，，则，在中，根据勾股定理，就可以求出y与x的关系． 【详解】解：作交于F， ∵、与切于点A、B， ∴，， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵切于E， ∴，， 则， 在中， 由勾股定理得：， 整理得：， ∴y与x的函数关系式是． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 此题考查了解一元二次方程，正确掌握解一元二次方程的解法是解题的关键． 【小问1详解】 解：， ∴，； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴，． 20. 已知一个二次函数的图像经过，，． （1）求这个二次函数的解析式； （2）若点是这个函数图像上的一点，当时，求n的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可； （2）先求得二次函数的顶点坐标，则可得当时，y取最小值，再结合 自变量m的范围，进而根据二次函数图像的性质求解即可； 本题主要考查了利用待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图像的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：设二次函数解析式为， 根据题意得，解得：， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴二次函数开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线， ∴当时，y取最小值， 当时，；当时，， ∴当时，n的取值范围是． 21. 如图，为的直径，C是上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径长． 【答案】（1） 证明：如图1，连接， ∵是的切线， ， ， ， ． ， ， ， 平分． （2）3.4 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质得到，推出，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形性质得到，最后利用等量代换，即可解题． （2）作于点E，证明四边形是矩形，设的半径为x，则，，利用勾股定理求出，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，过O作于点E， 设的半径为x， ，， ， 由（1），可得， 四边形是矩形， ，，则， ∵ ， 解得， 的半径是． 【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形性质、矩形的性质和判定、勾股定理、平行线的判定与性质等，熟练掌握相关知识并灵活运用，即可解题． 22. 码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间． (1)轮船到达目的地开始卸货，平均卸货速度v(单位：吨/天)与卸货天数t之间有怎样的函数关系？ (2)由于遇到紧急情况，要求船上货物不超过5天卸货完毕，那么平均每天至少要缷货多少吨？ 【答案】（1）v＝；（2）48吨 【解析】 【分析】（1）首先根据题意可知总工作量为30×8=240吨不变，故卸货速度v与卸货时间t之间为反比例关系，即vt=240，变形即可得出v关于t的函数关系式； （2）由得出，再将t≤5代入，即可求出v的取值范围． 【详解】解：(1)设轮船上的货物总量为k吨，根据已知条件得k＝30×8＝240，所以v关于t的函数表达式为v＝ (2)∵v＝， ∴t＝， ∵t≤5， ∴≤5， 解得v≥48. 即平均每天至少要卸货48吨 【点睛】考查反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，进一步根据题意求解. 23. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙（墙长为）的矩形菜园． （1）当围成的矩形面积为时，求的长； （2）当长为多少时，围成的矩形面积最大?面积最大值是多少? 【答案】（1）长为； （2）当时，矩形面积最大，最大面积为． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值． 设，根据矩形的面积为列出关于的一元二次方程，解方程求出的值，因为墙的长度为，把超过的解舍去； 根据矩形的面积公式得到矩形的面积与的长度之间的函数关系式为，配方法可得，从而可得当时，矩形面积最大，最大面积为． 【小问1详解】 解：设，则 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，， 舍去， 长为； 【小问2详解】 解：设围成矩形的面积为 根据题意得： ， 抛物线开口向下， 当时，有最大值为， 又， 当时，矩形面积最大，最大面积为． 24. 按要求用无刻度的直尺在下列网格中画出满足条件的图形（要求：画图痕迹用虚线，所画图形用实线） （1）如图1，为格点三角形，请在图中作出的边上的高； （2）如图2，点M，O，N为格点，点P为内的一格点，请在线段，上分别找出点C，D，使得为等腰直角三角形且． 【答案】（1） 如图1所示，即为所求； （2） 如图2所示，即为所求． 【解析】 【分析】（1）取格点E，连接，与的交点即为D点，线段即为所求； （2）如图，C点为与格线的交点，且C点为的中点，连接并延长至E点，则E点正好在格点上，取格点F，连接交于D点，连接，则为等腰直角三角形且． 本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 【初步感知】 学习了图形的旋转后，老师让学生们研究一些特殊四边形．如图1，在四边形中，，．小明同学连接，将绕点C旋转至．若四边形的面积为10，求的面积； 【简单运用】 如图2，在四边形中，，，，连接，试探究线段，，的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 如图3，四边形是的内接四边形，是的直径，平分，且，求四边形的面积． 【答案】初步感知：； 简单运用：， 理由：将绕着A点逆时针旋转60°至， 则，，，， ∴， ∵，， ∴，即， ∴C、D、E三点共线． ∴是等边三角形， ∴． 拓展延伸：四边形的面积为 【解析】 【分析】初步感知：根据旋转的性质可得，则可得，再证明A，D，E三点在同一直线上，则可得的面积等于四边形的面积． 简单运用：将绕着A点逆时针旋转60°至，同（1）方法相同证明C、D、E三点共线，则可得是等边三角形，从而可得． 拓展延伸：由平分，可得，则．将绕着点C旋转90°至，再证A，D，E三点共线，进而可得为等腰直角三角形，由旋转得四边形的面积等于的面积，从而可求出四边形的面积． 【详解】解：初步感知：由旋转可知， ∴， ∵， ∴， 即， ∴A，D，E三点在同一直线上， ∴． 简单运用： 略 拓展延伸：∵平分， ∴， ∴， 将绕着点C旋转90°至可得，，， ∵为直径， ∴， ∴，， ∴， ∴A，D，E三点共线， ∴为等腰直角三角形， 由旋转得四边形的面积等于的面积， ∴四边形的面积为． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质、等边三角形的判定和性质、圆周角定理以及圆内接四边形的性质．熟练掌握以上知识是解题的关键． 26. 已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求点A，B的坐标； （2）当时，若为等腰三角形，求a的值； （3）直线与x轴，y轴分别交于E，F两点，当抛物线与线段有两个交点时，求a的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）令时，则，解方程即可解答； （2）令，得到，因此，当时，为钝角三角形，当为等腰三角形时，，在中，根据勾股定理有，即得到方程，求解即可； （3）对于直线，分别令，，求出点E，F的坐标．分两种情况讨论：①当时，要使抛物线与线段有两个交点，则抛物线与y轴交点在点F处或上方，得到，即；②当时，由得，根据根的判别式得到，求得或（此时交点在线段的延长线上，舍去），即可解答． 【小问1详解】 解：当时，， 解得，， ∴，； 【小问2详解】 解：当时，， ∴点C坐标为 ∵， ∴ 由（1）得：，， 当时，为钝角三角形，，如图 ∴当为等腰三角形时，， ∴ ∵在中，， ∴，解得： ∵， ∴； 【小问3详解】 解：对于直线， 令，则，解得， ∴， 令，则， ∴； ①当时， 由（1）可知抛物线与x轴交于点，，而点在点B的右侧， ∴要使抛物线与线段有两个交点，则抛物线与y轴交点在点F处或上方，如图 把代入函数，得， ∴， ∴； ②当时， 由得， 整理得， 要使抛物线与线段有两个交点，则 ， ∴或（此时交点在线段的延长线上，舍去）． 综上所述，a的取值范围是或． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，等腰三角形的定义，勾股定理，抛物线与线段的交点，一元二次方程根的判别式，综合运算相关知识，掌握数形结合思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二届初中学生学科素养竞赛 九年级数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是( ) A. B. C. D. 3. 如图，下列用直角曲尺检查半圆形的工件，其中合格的是（ ） A. B. C. D. 4. 要得到抛物线，可以将抛物线：（ ） A. 向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 B. 向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 C. 向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 D. 向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 5. 若反比例函数的图象经过点，则下列不在这个函数图象上的点是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，分别与相切于A，B两点，，则∠C的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转，得到点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（　　） A. m≥2 B. m≤5 C. m＞2 D. m＜5 9. 如图，点为的内心，若为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形的面积为，对角线与双曲线相交于点，若点为的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，11~12每小题3分，13~18每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 已知反比例函数，在x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是 _________________ 12. 若方程3x2－5x－2=0有一个根是a，则6a2－10a的值为______ 13. 如图，点B，A，C，D在⊙O上，OA⊥BC，∠AOB=50°，则∠ADC=__． 14. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是________． 15. 用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为____． 16. 某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行_m才能停下来． 17. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，若水面下降，则水面宽度增加________．（结果可保留根号） 18. 如图，的直径是，、是它的两条切线，与相切于点，并与、分别相交于、两点，设，，则与的函数解析式为______． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 20. 已知一个二次函数的图像经过，，． （1）求这个二次函数的解析式； （2）若点是这个函数图像上的一点，当时，求n的取值范围． 21. 如图，为的直径，C是上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径长． 22. 码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间． (1)轮船到达目的地开始卸货，平均卸货速度v(单位：吨/天)与卸货天数t之间有怎样的函数关系？ (2)由于遇到紧急情况，要求船上货物不超过5天卸货完毕，那么平均每天至少要缷货多少吨？ 23. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙（墙长为）的矩形菜园． （1）当围成的矩形面积为时，求的长； （2）当长为多少时，围成的矩形面积最大?面积最大值是多少? 24. 按要求用无刻度的直尺在下列网格中画出满足条件的图形（要求：画图痕迹用虚线，所画图形用实线） （1）如图1，为格点三角形，请在图中作出的边上的高； （2）如图2，点M，O，N为格点，点P为内的一格点，请在线段，上分别找出点C，D，使得为等腰直角三角形且． 25. 【初步感知】 学习了图形的旋转后，老师让学生们研究一些特殊四边形．如图1，在四边形中，，．小明同学连接，将绕点C旋转至．若四边形的面积为10，求的面积； 【简单运用】 如图2，在四边形中，，，，连接，试探究线段，，的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 如图3，四边形是的内接四边形，是的直径，平分，且，求四边形的面积． 26. 已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求点A，B的坐标； （2）当时，若为等腰三角形，求a的值； （3）直线与x轴，y轴分别交于E，F两点，当抛物线与线段有两个交点时，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $