精品解析：北京市海淀区2024-2025学年九年级上学期期末数学试题

九年级数学 2025.01 学校____________ 姓名____________ 准考证号____________ 注意事项 1．本试卷共7页，共两部分，28道题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题纸上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效． 4．在答题纸上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 北京大运河博物馆在2024年举办了“探秘古蜀文明——三星堆与金沙”展览，为公众揭开了一个丰富多彩的古蜀世界，其中三星堆纹饰展现了古蜀文明高超的艺术创造力．下列纹饰图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．是中心对称图形，故本选项符合题意； C．不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 2. 在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移1个单位，得到的抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．熟练掌握二次函数图象的平移左加右减，上加下减是解题的关键． 根据上加下减求解作答即可． 【详解】将抛物线向下平移1个单位， 得到的抛物线的表达式为． 故选：A． 3. 若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题关键． 把代入一元二次方程中即可解得的值． 【详解】解：把代入一元二次方程中得：， 解得：． 故选：D． 4. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查根据二次函数图象判断各项系数和式子的符号，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．根据抛物线的开口方向和对称轴的位置确定的符号，由抛物线与x轴的交点个数确定的符号，由抛物线与y轴的交点位置确定c的符号，即可得出答案． 【详解】A．抛物线开口向下， ，故本选项错误； B．抛物线的对称轴在轴左侧， ， ，故本选项错误； C．抛物线与y轴的交点在正半轴上， ，故本选项错误； D．抛物线与x轴的两个交点， ，故本选项正确． 故选：D． 5. 近年来我国新能源汽车出口量快速增长，2021年出口量为31万辆，2023年出口量为120.3万辆．设新能源汽车出口量的年平均增长率为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用增长率问题，正确理解题意，找出题目中的等量关系是解题关键． 设新能源汽车出口量的年平均增长率为，则2022年的出口量是万辆，2023年的出口量是万辆，然后根据2023年的出口量列方程即可． 【详解】解：设年平均增长率为， 由题意得：． 故选：C． 6. 风能是一种清洁无公害的可再生能源．图1是风力发电机，它一般由风轮、发电机、调向器、塔架和储能装置等构件组成．图2为风轮叶片示意图，在转动的过程中，某一叶片绕点顺时针旋转后到达处，则下列选项错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，根据旋转的性质解答即可得出结论． 【详解】解：由旋转的性质可得：，，， 而得不到， 故选：D． 7. 如图，以点为圆心的两个同心圆中，点，在大圆上，点，在小圆上，和的长度分别是，．若扇形与扇形的面积相等，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了扇形面积公式，即等于弧长与半径乘积的一半．设大圆半径为，小圆半径为，得到，则，即可得答案． 【详解】解：设大圆半径为，小圆半径为， 则扇形的面积，扇形的面积， ∵扇形与扇形的面积相等， ∴， ∵ ∴， 即， 故选：B 8. 如图，点A是上一点，点，为上与点A不重合的两点．若再从下列三个表述中选取一个作为题设，以作为结论，则所有能组成真命题的表述的序号是（ ） ①垂直平分； ②四边形是平行四边形； ③． A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】①根据线段垂直平分线的性质可证和都为等边三角形，得出，即，即说明原命题为真命题；②根据题意易证平行四边形是菱形，即可证和都为等边三角形，得出，即，即说明原命题为真命题；③分类讨论：当点A在优弧上时，由圆周角定理可直接得出；当点A在劣弧上时，在优弧取点D，连接，，由圆周角定理得出，再根据圆内接四边形的性质得出，即说明原命题为假命题． 【详解】解：①题设：垂直平分；结论：． 如图，连接，， ∵垂直平分，， ∴， ∴和都为等边三角形， ∴， ∴，即此时为真命题； ②题设：四边形是平行四边形；结论：． 如图， ∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形， ∴． ∵， ∴和都为等边三角形， ∴， ∴，即此时为真命题； ③题设：；结论：． 分类讨论：当点A在优弧上时，如图， ∴； 当点A在劣弧上时，如图，在优弧取点D，连接，， ∴， ∴． 综上可知当时，或，故原命题为假命题． 故选：A． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，判断真假命题等知识．熟练掌握上述知识是解题关键． 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 在平面直角坐标系中，点A（-4，1）关于原点对称的点的坐标是_______． 【答案】（4，-1） 【解析】 【分析】由平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特点：横坐标与纵坐标都互为相反数． 【详解】解：由平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特点：横坐标与纵坐标都互为相反数，所以：点A（-4，1）关于坐标原点O对称点A′的坐标是（4，-1）． 故答案为：（4，-1）． 【点睛】本题考查解关于原点对称的点坐标问题，关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，会利用对称性求点的坐标． 10. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值是______． 【答案】4 【解析】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴△=42﹣4a=16﹣4a=0， 解得：a=4． 故答案为4． 11. 如图，为的直径，内接于．若，则______． 【答案】50 【解析】 【分析】此题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，首先根据同弧所对的圆周角相等得到，然后由直径得到，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】如图所示，连接 ∵ ∴ ∵为的直径 ∴ ∴． 故答案为：50． 12. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，则一元二次方程的解为______． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了二次函数和一元二次方程的关系，二次函数图象与x轴的交点横坐标即为所对应的一元二次方程的解．据此进行解答即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于，两点， ∴当或时，， 即一元二次方程的解为，， 故答案为：， 13. 图1和图2分别为可移动休息舱及其截面示意图．已知截面底部宽为2.4米，该截面所在圆的半径为2米，则最高点到的距离为______米． 【答案】3.6 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理和勾股定理，连接，根据垂径定理得米，由勾股定理得米，根据可得结论． 【详解】解：如图，连接， ∵，且米， ∴米， 又米， ∴在中，， ∴米， ∴米， 故答案为：3.6． 14. 小明看到公园地面上有一个心形封闭图形，为了研究图形的面积，设计了一项试验：在图形外部绘制一个半径为1米的圆，如图所示，向这个圆内随机投掷石子．假设石子落在圆内的每一点都是等可能的（不考虑边界），记录的试验数据如下： 掷石子的总次数 50 100 200 500 … 石子落在图形内的次数 15 43 80 201 … 石子落在阴影部分的次数 35 57 120 299 … 随着投掷次数的不断增多，石子落在图形内的频率逐渐稳定在0.4左右，因此估计石子落在图形内的概率为______；由此估计图形的面积为______平方米． 【答案】 ①. 0.4 ②. 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比． （1）大量试验时，频率可估计概率； （2）利用概率，根据图形A的面积比上总面积的值，计算出阴影部分面积． 【详解】解：（1）因为石子落在图形内的频率逐渐稳定在0.4左右，因此估计石子落在图形内的概率为0.4； 故答案为：0.4； （2）∵圆的半径为1米， ∴它的面积为， ∵石子落在图形内概率为， ∴估计图形的面积为平方米， 故答案为：． 15. 二次函数中的自变量与函数值的部分对应值如下： 0 2 0 2 若，写出一个符合题意的的值为______． 【答案】1（答案不唯一，可取大于0的任何数） 【解析】 【分析】抛物线的对称轴是，根据和抛物线的对称性，点关于对称轴的对称点为，且，根据抛物线过x轴上的两点及点可知抛物线开口向下，结合二次函数的图像可以判断n符号，即可解答此题． 【详解】解：抛物线的对称轴是， 关于直线的对称点为， ， ， 抛物线开口向下， 在抛物线上， 当时， 可取大于0的任意一个数， 故答案为： 1（答案不唯一，可取大于0的任何数）． 如图所示， 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，二次函数的顶点式，抛物线与坐标轴的交点坐标，抛物线的对称性，根据抛物线轴对称的性质是解本题的关键． 16. 学校即将举办为期一天的“科学节”系列活动，“科普实验”“机器人体验”等精彩纷呈的主题活动将在不同时段陆续展开，下图为此次活动的海报．同学们可以根据自己的兴趣和时间，选择心仪的活动参与．参加每个主题活动时需全程参与，之后可获得相应的积分用于兑换纪念品．例如，小明参加“科普实验”活动时，需从8:00至10:00全程参与，之后可获得7个积分． 科学奇遇记 序号 主题活动 开始时间 结束时间 积分 A 科普实验 8:00 10:00 7 B 设计工坊 9:00 11:00 8 C 微观世界 10:30 11:50 5 D 机器人体验 11:30 13:30 9 E 温室生态展 13:00 14:40 7 F 人工智能展 14:00 16:45 8 G 梦幻剧场 15:00 17:30 5 H 创意荟 16:00 19:00 10 回答下列问题： （1）如果小明计划至少参加三个主题活动，且其中之一为人工智能展，那么他参加活动的方案可以为______（填活动序号，写出一种即可）； （2）如果小明希望在活动中获得至少27个积分用于换取纪念品，那么他参加活动的方案共有______种． 【答案】 ①. （或或） ②. 2 【解析】 【分析】本题考查事件的可能性，列举法的应用： （1）三项活动的时间不能有冲突，由此可解； （2）根据各项活动的积分可得，要想获得至少27个积分，需参加积分为10，9，8的三项活动，再判断时间是否冲突，即可求解． 【详解】解：（1）由表格可知，活动G，H的开始时间比F（人工智能展）的结束时间早，不能参加， 活动E的结束时间比F（人工智能展）的开始时间晚，不能参加， 所以需要从活动A，B，C，D中选两项，其中A与B时间冲突，B与C时间冲突，C与D时间冲突， 可选A和C，或A 和D，B和D， 故他参加活动的方案可以为：（或或）； （2）参加活动最高可得积分：，第二可得， 所以要想获得至少27个积分，需参加积分为10，9，8的三项活动，即或， 又因为H与F时间冲突， 所以他参加活动的方案只能是，共1种； 参加四个活动有一种方案获得29积分； 故答案为：2 故答案为：（或或）；2． 三、解答题（共68分，第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程．把原方程变形为，两边都加上一次项系数一半的平方得到，再开平方即可得到方程的解． 详解】解： ∴， 则， ∴， ∴， 解得， 18. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值、平方差公式、单项式乘以多项式，熟练掌握乘法公式和整式的运算法则是解题关键．先根据已知等式可得，再利用平方差公式、单项式乘以多项式计算，代入求值即可得． 【详解】解：由得：， 则 ． 19. 已知：如图，是的弦． 求作：上的点，使得． 作法：①连接并延长交于； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点； ③作直线交于点，，连接，． 所以，点，就是所求作的点． （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： 证明：连接，． ，， （______）（填推理的依据）． ． ，，，都在上， ，（______）（填推理的依据）． ． 【答案】（1）见解析 （2）三线合一，圆周角定理 【解析】 【分析】此题考查了尺规作图，等腰三角形三线合一性质，圆周角定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据题干中的作图方法作图即可； （2）首先由三线合一得到，然后利用圆周角定理求解即可． 【小问1详解】 如图所示，点，即为所求． 【小问2详解】 证明：连接，． ，， （三线合一）（填推理的依据）． ． ，，，都在上， ，（圆周角定理）（填推理的依据）． ． 20. 关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的实数根均为非负数，求的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一元一次不等式的应用．解题的关键在于正确的解方程． （1）根据，进行作答即可； （2）由，解得，，由方程的实数根均为非负数，可得，计算求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴该方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得，，， ∵该方程的实数根均为非负数， ∴， 解得，， ∴m的取值范围为． 21. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形网格的边长为1，图中“L”形的每个顶点均为网格线交点，将“L”形绕点顺时针旋转，顶点，的对应点分别为，，线段的对应线段为． （1）在图中标出点，并画出“L”形旋转后所得到的图形； （2）______； （3）在旋转过程中，点所经过的路径长为______． 【答案】（1）见解析 （2）90 （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图旋转变换，求弧长． （1）线段和的中垂线的交点即为点O，再确定点的位置，最后连线即可得“L”形旋转后所得到的图形； （2）由（1）中的图示可得； （3）点所经过的路径长是以为半径，圆心角为90度的弧长，根据弧长公式计算即可． 【小问1详解】 解：如图，线段和的中垂线的交点即为点O， “L”形旋转后所得到的图形如图所示； 【小问2详解】 解：由（1）中的图示可得， 故答案为：90； 【小问3详解】 解：点所经过的路径长是以为半径，圆心角为90度的弧长， 由题意得， ∴点所经过的路径长， 故答案为：． 22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过和两点． （1）求抛物线的表达式； （2）点在抛物线上，且与点不重合．过点作轴的垂线交直线于点．若点位于点的上方，则点的横坐标的取值范围是______． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式，利用二函数的图象解不等式组等知识，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解决本题的关键． （1）根据二次函数图象上的点的坐标以及待定系数法解决此题． （2）设点C的坐标为，得到直线解析式为，当时，，即点P的坐标为，由点位于点的上方得到，解不等式组即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过和两点． ∴， 解得 抛物线的表达式为；． 【小问2详解】 设点C的坐标为，设直线解析式为， ∴ 解得 ∴直线解析式为， 当时，，即点P的坐标为 ∵点位于点的上方， ∴， ∴或， 解得，即． 故答案为： 23. 2024年5月21日，北京市启动了中小学生“健康一起来”阳光体育运动计划，助力学生健康成长．某中学初三年级共有12个班级，学校统计了这些班级的学生近一个月的跑步量达标率，具体数据如下： 跑步量达标率 班数 7 （1）从这12个班级中任意选取1个班级． ①事件“该班跑步量达标率为”是______事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； ②若事件“该班跑步量达标率满足”的概率为，则______，______； （2）某班选出了2名男生和2名女生作为跑步标兵，老师计划从这四位同学中随机抽取两位进行经验分享．请用列表法或画树状图法求“恰好抽到一位男生和一位女生”的概率． 【答案】（1）①随机；②4，1 （2） 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率． （1）①根据必然事件、随机事件和不可能事件的概念解答即可； ②概率公式逆运用可得m的值，再由可得n的值； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 解：①事件“该班跑步量达标率为”是随机事件； ②∵事件“该班跑步量达标率满足”的概率为， ∴， ∴， 故答案为：①随机；②4，1； 【小问2详解】 解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8， 所以恰好抽取到一名男生和一名女生的概率． 24. 如图，，分别与相切于，两点，延长线交弦于点，，连接． （1）求证：； （2）若，的半径为2，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，垂径定理，矩形的判定和性质． （1）连接，由切线的性质得，再由四边形内角和得，由平角的性质得，进而得，再由垂径定理得，继而可得结论； （2）过点C作于点M，先由已知得四边形是矩形，进而得，，，结合（1）易得是等腰直角三角形，进而可得，，再由即可得出答案． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵，分别与相切于，两点， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴，平分， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点C作于点M， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为2，即， ∴， ∴，， ∴． 25. 某兴趣小组通过实验研究发现：当音量（单位：dB）满足时，听觉舒适度与音量之间满足二次函数关系．当音量为时，听觉舒适度为6；当音量为时，听觉舒适度达到最大值． （1）求该二次函数的解析式，并在图1的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； （2）在家听音乐时，小明听到的音量与所坐位置到音箱的距离（单位：）的关系如图2所示．若她希望听觉舒适度不小于9，根据此实验研究结果，请写出小明所坐位置到音箱的距离的取值范围______（结果保留小数点后一位）． 【答案】（1），图象见解析； （2） 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式、画二次函数图象、从函数图象获取信息等知识． （1）利用待定系数法求出二次函数解析式，再画出二次函数的图象即可； （2）当时，，解得或，由图2可得，当时，，当时，，即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意可设，， 当音量为时，听觉舒适度为6； ∴， 解得， ∴该二次函数的解析式为； 图象如下： 【小问2详解】 当时，， 解得或， 由图2可得，当时，，当时，， ∴小明所坐位置到音箱的距离的取值范围， 故答案为： 26. 在平面直角坐标系中，点，是抛物线上不重合的两点． （1）当，时，求的值； （2）若对于，都有，求的取值范围． 【答案】（1）0 （2）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质； （1）由求出，，再根据得到，代入计算即可； （2）的对称轴为，根据二次函数的增减性判断即可，注意根据开口方向分类讨论． 【小问1详解】 解：当时，，， 将代入得，，即 ∵， ∴， 将代入得，， 解得：或， ∵点A、B不重合， ∴； 【小问2详解】 解：∵的对称轴为， ∴关于对称轴对称的点坐标为， 当时，抛物线开口向上，在对称轴右边时，即当时，随增大而增大， ∴， ∵， ∴，都在对称轴右侧， ∵对于，都有， ∴，解得，此时； 当时，抛物线开口向下，在对称轴左边时，即当时，随增大而增大， ∴， ∵， ∴ ∴，都在对称轴的左侧， ∵对于，都有， ∴，解得，此时； 综上所述，取值范围为或． 27. 在中，于点，．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，当时，补全图形，并求的长； （2）如图2，取的中点，连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2），证明见详解 【解析】 【分析】（1）先作出图形，取的中点，连接、、，由可判定，由全等三角形的性质得，，由勾股定理即可求解； （2）取的中点，连接、，延长至，使，连接，延长交于，由等腰三角形的判定及性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，，等量代换得，由可判定，由全等三角形的性质即可得证． 【小问1详解】 解：如图所示， 取的中点，连接、、， ，， ， ， ， ， ， ， ，，，， ， 由旋转得：，， ， ， ， 在和中 ， （）， ，， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：； 理由如下： 取的中点，连接、，延长至，使，连接， 延长交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）同理可证：， ， ， 是的中点， ， 在和中 ， （）， ，， ，， 在和中 ， （）， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的判定及性质等；掌握旋转的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的判定及性质，能根据题意作出恰当的辅助线，构建全等三角形是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为2，对于点，和的弦，给出如下定义：若弦上存在点，使得点绕点逆时针旋转后与点重合，则称点是点关于弦的“等边旋转点”． （1）如图，点，直线与交于点，． ①点的坐标为______，点______（填“是”或“不是”）点关于弦的“等边旋转点”； ②若点关于弦的“等边旋转点”为点，则的最小值为______，当与相切时，点的坐标为______； （2）已知点，，若对于线段上的每一点，都存在的长为的弦，使得点是点关于弦的“等边旋转点”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①，是；②； （2）或 【解析】 【分析】（1）①连接，设与轴交于点，勾股定理求得的长得出点的坐标，进而勾股定理求得得出，是等边三角形，结合新定义，即可求解； ②根据新定义可得，则是等边三角形，根据点是线段上点，最小值即为垂线段的长度，结合图形，即可求解；根据切线的性质可得轴，根据等边三角形的性质可得，即可得出点的坐标； （2）设是上任意一点，根据新定义将顺时针得到的点在上，分析旋转后的线段与圆弧的位置关系，以及点的位置，解直角三角形，求得最值，进而求得的范围，即可求解． 【小问1详解】 解：①连接，设与轴交于点， ∵的半径为2， ∴，， ∴ ∴ ∵， ∴，则， ∵ ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴点是点关于弦的“等边旋转点” 故答案为：，是； ②根据新定义可得，则是等边三角形， ∴到的距离最小值即的长， ∵，， ∴的最小值为； 如图所示，当与相切时，轴，此时点与点重合， ∵是等边三角形， ∴ ∴ 故答案为：；． 【小问2详解】 解：由（1）可得，，则是半径为的圆的一条切线在半径为的圆的内部， 如图所示，连接，则， 当运动时，构成的图形是以为圆心，半径为，的同心圆的圆环 ∵若对于线段上的每一点，都存在的长为的弦，使得点是点关于弦的“等边旋转点”， 设是上任意一点， ∵，即点为轴上的点，则绕上一点顺时针得到的点在上，即是等边三角形， ∴在以为圆心，半径为，的同心圆的圆环内时（包括边界），符合题意， 如图所示， 当时，先求得最小值，如图所示，其中旋转后对应的线段在圆环内， 当与重合，且时，在半径为的上，此时 当距离最远时，此时重合，如图所示，连接，过点作轴于点， ∵是等边三角形，，， ∴， 在中， ∴ 解得：（负值舍去） ∴ 当时，∵上任意一点旋转后对应的点在圆环内，则线段在圆环内， 先求得最小值，即的最大值，则重合， 如图所示，在半径为的上时，是等边三角形则最小值， 如图所示，当在半径为的上且与其相切时，取得最大值时，如图所示，连接， ∴， ∵ ∴ 解得： ∴ 综上所述：的取值范围为：或 【点睛】本题考查了几何新定义，旋转的性质，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，坐标与图形，解直角三角形，分析理解新定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 202501 学校____________ 姓名____________ 准考证号____________ 注意事项 1．本试卷共7页，共两部分，28道题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题纸上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效． 4．在答题纸上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 北京大运河博物馆在2024年举办了“探秘古蜀文明——三星堆与金沙”展览，为公众揭开了一个丰富多彩的古蜀世界，其中三星堆纹饰展现了古蜀文明高超的艺术创造力．下列纹饰图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移1个单位，得到的抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 3. 若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 4. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 近年来我国新能源汽车出口量快速增长，2021年出口量为31万辆，2023年出口量为120.3万辆．设新能源汽车出口量年平均增长率为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 风能是一种清洁无公害的可再生能源．图1是风力发电机，它一般由风轮、发电机、调向器、塔架和储能装置等构件组成．图2为风轮叶片示意图，在转动的过程中，某一叶片绕点顺时针旋转后到达处，则下列选项错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，以点为圆心的两个同心圆中，点，在大圆上，点，在小圆上，和的长度分别是，．若扇形与扇形的面积相等，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 8. 如图，点A是上一点，点，为上与点A不重合的两点．若再从下列三个表述中选取一个作为题设，以作为结论，则所有能组成真命题的表述的序号是（ ） ①垂直平分； ②四边形是平行四边形； ③． A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 在平面直角坐标系中，点A（-4，1）关于原点对称的点的坐标是_______． 10. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值是______． 11. 如图，为的直径，内接于．若，则______． 12. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，则一元二次方程的解为______． 13. 图1和图2分别为可移动休息舱及其截面示意图．已知截面底部宽为2.4米，该截面所在圆的半径为2米，则最高点到的距离为______米． 14. 小明看到公园地面上有一个心形封闭图形，为了研究图形的面积，设计了一项试验：在图形外部绘制一个半径为1米的圆，如图所示，向这个圆内随机投掷石子．假设石子落在圆内的每一点都是等可能的（不考虑边界），记录的试验数据如下： 掷石子的总次数 50 100 200 500 … 石子落在图形内的次数 15 43 80 201 … 石子落在阴影部分的次数 35 57 120 299 … 随着投掷次数的不断增多，石子落在图形内的频率逐渐稳定在0.4左右，因此估计石子落在图形内的概率为______；由此估计图形的面积为______平方米． 15. 二次函数中自变量与函数值的部分对应值如下： 0 2 0 2 若，写出一个符合题意的的值为______． 16. 学校即将举办为期一天的“科学节”系列活动，“科普实验”“机器人体验”等精彩纷呈的主题活动将在不同时段陆续展开，下图为此次活动的海报．同学们可以根据自己的兴趣和时间，选择心仪的活动参与．参加每个主题活动时需全程参与，之后可获得相应的积分用于兑换纪念品．例如，小明参加“科普实验”活动时，需从8:00至10:00全程参与，之后可获得7个积分． 科学奇遇记 序号 主题活动 开始时间 结束时间 积分 A 科普实验 8:00 10:00 7 B 设计工坊 9:00 11:00 8 C 微观世界 10:30 11:50 5 D 机器人体验 11:30 13:30 9 E 温室生态展 13:00 14:40 7 F 人工智能展 14:00 16:45 8 G 梦幻剧场 15:00 17:30 5 H 创意荟 16:00 19:00 10 回答下列问题： （1）如果小明计划至少参加三个主题活动，且其中之一为人工智能展，那么他参加活动的方案可以为______（填活动序号，写出一种即可）； （2）如果小明希望在活动中获得至少27个积分用于换取纪念品，那么他参加活动的方案共有______种． 三、解答题（共68分，第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解方程：． 18. 已知，求的值． 19. 已知：如图，是的弦． 求作：上点，使得． 作法：①连接并延长交于； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点； ③作直线交于点，，连接，． 所以，点，就是所求作的点． （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： 证明：连接，． ，， （______）（填推理的依据）． ． ，，，都在上， ，（______）（填推理的依据）． ． 20. 关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的实数根均为非负数，求的取值范围． 21. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形网格的边长为1，图中“L”形的每个顶点均为网格线交点，将“L”形绕点顺时针旋转，顶点，的对应点分别为，，线段的对应线段为． （1）在图中标出点，并画出“L”形旋转后所得到的图形； （2）______； （3）在旋转过程中，点所经过的路径长为______． 22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过和两点． （1）求抛物线的表达式； （2）点在抛物线上，且与点不重合．过点作轴的垂线交直线于点．若点位于点的上方，则点的横坐标的取值范围是______． 23. 2024年5月21日，北京市启动了中小学生“健康一起来”阳光体育运动计划，助力学生健康成长．某中学初三年级共有12个班级，学校统计了这些班级的学生近一个月的跑步量达标率，具体数据如下： 跑步量达标率 班数 7 （1）从这12个班级中任意选取1个班级． ①事件“该班跑步量达标率为”______事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； ②若事件“该班跑步量达标率满足”的概率为，则______，______； （2）某班选出了2名男生和2名女生作为跑步标兵，老师计划从这四位同学中随机抽取两位进行经验分享．请用列表法或画树状图法求“恰好抽到一位男生和一位女生”的概率． 24. 如图，，分别与相切于，两点，的延长线交弦于点，，连接． （1）求证：； （2）若，的半径为2，求的长． 25. 某兴趣小组通过实验研究发现：当音量（单位：dB）满足时，听觉舒适度与音量之间满足二次函数关系．当音量为时，听觉舒适度为6；当音量为时，听觉舒适度达到最大值． （1）求该二次函数的解析式，并在图1的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； （2）在家听音乐时，小明听到的音量与所坐位置到音箱的距离（单位：）的关系如图2所示．若她希望听觉舒适度不小于9，根据此实验研究结果，请写出小明所坐位置到音箱的距离的取值范围______（结果保留小数点后一位）． 26. 在平面直角坐标系中，点，是抛物线上不重合的两点． （1）当，时，求的值； （2）若对于，都有，求的取值范围． 27. 在中，于点，．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，当时，补全图形，并求的长； （2）如图2，取的中点，连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为2，对于点，和的弦，给出如下定义：若弦上存在点，使得点绕点逆时针旋转后与点重合，则称点是点关于弦的“等边旋转点”． （1）如图，点，直线与交于点，． ①点的坐标为______，点______（填“是”或“不是”）点关于弦的“等边旋转点”； ②若点关于弦的“等边旋转点”为点，则的最小值为______，当与相切时，点的坐标为______； （2）已知点，，若对于线段上的每一点，都存在的长为的弦，使得点是点关于弦的“等边旋转点”，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $