精品解析：北京市丰台区2024-2025学年七年级上学期期末数学试题

丰台区2024~2025学年度第一学期期末练习 七年级数学 2025.01 考生须知 1．本练习卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．练习时间90分钟． 2．在练习卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和教育ID号． 3．练习题答案一律填涂或书写在答题卡上，在练习卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答． 5．练习结束，将本练习卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共30分，每题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家，早在我国秦汉时期的《九章算术》中就引入了负数．若在粮谷计算中，益实一斗（增加1斗）记为斗，那么损实七斗（减少7斗）记为（ ） A. 斗 B. 斗 C. 斗 D. 斗 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正数和负数，根据正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：若在粮谷计算中，益实一斗（增加1斗）记为斗，那么损实七斗（减少7斗）记为斗， 故选：C 2. “海葵一号”是完全由我国自主设计建造的深水油气田“大国重器”，集原油生产、存储、外输等功能于一体，储油量达立方米．将用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：D． 3. 将下列平面图形绕直线旋转一周，可以得到图中所示的立体图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了面动成体，熟记几种基本图形旋转后所形成的几何体是解题的关键，结合图形判断即可求解． 【详解】解：由图可知，只有B选项中的图形绕直线旋转一周能得到如图所示的立体图形， 故选：B． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 0是单项式 B. 的次数是6 C. 的系数是2 D. 的系数是1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了单项式的定义、单项式的系数与次数的定义，根据单项式的定义、系数与次数的定义逐项判断即可得． 【详解】A、0是单项式,此项说法正确； B、的次数是，此项说法错误； C、的系数是，此项说法错误； D、的系数是，此项说法错误； 故选：A． 5. 下面计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，根据合并同类项，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. 不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 6. 如图所示，以下数量中能用表示的是（ ） A. 线段的长度 B. 线段的长度 C. 长方形的周长 D. 长方形的面积 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，解题的关键是掌握线段的长度和图形的周长、面积计算方法．分别计算各选项的结果，化简即可判断． 【详解】解：A、线段的长度为，故该选项不符合题意； B、线段的长度为，故该选项不符合题意； C、长方形的周长为，故该选项符合题意； D、长方形的面积为，故该选项不符合题意； 故选：C． 7. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺．则符合题意的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设绳索为尺，杆子为()尺，则根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于一元一次方程． 【详解】设绳索为尺，杆子为()尺， 根据题意得：()． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键． 8. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据数轴上点位置判定式子符号，数形结合是解题的关键．由数轴图可知，，，然后逐项判断即可． 【详解】解：由数轴图可知，，， ，，， A、C、D错误，B正确， 故选：B． 9. 北京故宫中有一条中轴线，同时也在北京中轴线上，它北起神武门经乾清宫、保和殿、太和殿、南到午门．如图，点表示养心殿所在位置，点表示太和殿所在位置，点表示文渊阁所在位置．已知养心殿位于太和殿北偏西方向上，文渊阁位于太和殿南偏东方向上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了方位角及角的和差运算，掌握角的和差运算是关键．由图知，，从而可求得结果． 【详解】解：， 故选：B． 10. 年数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成个大小不同的正方形．如图所示，图中的数字为正方形编号，其中标注，的正方形边长分别为，．当时，第个正方形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化规律，整式的加减运算，代数式求值，结合图形找到各正方形的边长关系是解题关键．根据各个正方形边长的和差关系依次表示出第、、、、正方形的边长，由、、正方形边长得到第个正方形的边长，再代入计算即可． 【详解】解：由图可知，第个正方形的边长为， 第个正方形的边长为， 第个正方形的边长为， 第个正方形的边长为， 第个正方形的边长为， 第个正方形的边长为， 第十个正方形的面积， 故选：C． 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 11. 比较两数大小：①______；②______（填“”或“”）． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握有理数大小比较的法则是关键．根据有理数的大小比较法则：①正数负数，②两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小，即可得出答案． 【详解】解：①， ②，， ， ， 故答案为：，． 12. 已知∠A=55°，则∠A的余角等于 ________度． 【答案】35 【解析】 【详解】解：由余角定义得：90°﹣55°=35°． 故答案35． 13. 写出一个只含有字母的二次三项式______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了多项式的含义，几个单项式的和称为多项式，其中每个单项式称为多项式的项，有几项称为几项式，其中次数最高的那项的次数叫做多项式的次数，据此求解即可． 【详解】解：只含有字母的二次三项式为， 故答案为：（答案不唯一）． 14. 小丰家准备自驾去抗日战争纪念馆．出发前，爸爸用地图软件查到导航路程为11.3公里．小丰用地图软件中的测距功能测出他家和目的地之间的距离为9.3公里，小丰发现他测得的距离比爸爸查到的导航路程少．用数学知识说明其中的道理______． 【答案】两点之间线段最短 【解析】 【分析】本题考查了两点之间线段最短，根据题意可得，结合已学知识可根据“两点之间线段最短”来解释． 【详解】解：根据题意，小丰发现他测得的距离比爸爸查到的导航路程少，其中的道理是：两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短． 15. 如图，两个正方形的一个顶点重合，且重合的顶点在一条直线上，那么的度数为______． 【答案】##65度 【解析】 【分析】本题考查与余角有关的计算，根据平角的定义求出的度数，根据余角的定义求出的度数即可． 【详解】解：如图： 由题意，得：， ∴， ∴； 故答案为：． 16. 已知是关于的方程的解，则值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了方程的解，解题的关键是掌握方程解的定义．将代入原方程即可求解． 【详解】解：是关于的方程的解， ， 解得：， 故答案为：． 17. 两根木条，一根长20cm，一根长24cm，将它们一端重合且放在同一条直线上，此时两根木条的中点之间的距离为______cm. 【答案】2或22 【解析】 【分析】根据两点间的距离，分两种情况计算即可. 【详解】解：当两条线段一端重合，另一端在同一方向时， 此时两根木条的中点之间的距离为12﹣10＝2(cm)； 当两条线段一端重合，另一端方向相反时， 此时两根木条的中点之间的距离为10+12＝22(cm)； 故答案为2或22. 【点睛】本题考查线段的中点的定义，能分类讨论是解决此题的关键. 18. 给出一种数的表示方法：设数，其中的值只能取0或1，则称数a为n位本原数．例如，当时，2位本原数a可以表示为四个数．现定义两个n位本原数的加法运算：设，那么有 ． （1）若，则______； （2）若均是3位本原数，设，且，则3位本原数______． 【答案】 ①. 1 ②. 或 【解析】 【分析】本题考查了新定义问题，掌握题目中新定义的含义并正确计算是解题的关键． （1）按照的定义计算即可； （2）设，则易得，从而可得，且可取0或1，从而可得本原数e； 【详解】（1） 故答案为：1； （2）设，则由 得： 即：， ∴，且可取0或1 ∴或； 三、解答题（本题共54分，第题，每题5分，第25题6分，第26题5分，第27题6分，第28题7分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查有理数的加减运算，解答的关键是掌握对相应的运算法则．利用有理数的加减运算的法则进行求解即可． 【详解】解： 20 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则以及运算顺序进行计算即可求解． 【详解】解： 21 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握一元一次方程的解法．根据去分母，去括号，合并同类项，化系数为1，即可求解． 【详解】解： 22. 如图，已知线段和点，，且点是线段的中点． （1）使用直尺和圆规，根据要求补全图形（保留作图痕迹）： ①画直线； ②画射线； ③在的延长线上取点，使； ④连接． （2）经测量，猜想（1）中线段，之间的数量关系是______． 【答案】（1）①见解析；②见解析；③见解析；④见解析． （2） 【解析】 【分析】本题考查了复杂作图——直线、射线、线段，熟练掌握直线、射线、线段的定义是解题的关键． （1）①根据直线的定义画图即可；②根据射线的定义画图即可；③以为圆心，线段的长为半径画弧，交线段的延长线于点，则点即为所求；④画线段即可； （2）由测量可得． 【小问1详解】 解：①如图，直线即为所求； ②如图，射线即为所求； ③如图，以为圆心，线段的长为半径画弧，交线段的延长线于点，则点即为所求； ④如图，线段即为所求． 【小问2详解】 经测量，， 故答案为：． 23. 先化简，再求值：，其中， 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是整式的加减运算中的化简求值，掌握“去括号，合并同类项的运算法则”是解本题的关键． 先去括号，再合并同类项，得到化简的结果，再把，代入化简后的代数式进行计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 24. 图1是年月份的日历，用图所示的“九方格”框住图中的个日期，将其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为、、、． （1）______（填“>”，“<”或“=”）； （2）当图2在图1的不同位置时，代数式的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）代数式的值是定值，其定值为 【解析】 【分析】此题考查列代数式及整式加减的应用，解题的关键是理解题意，弄清楚数字的排列规律． （1）分别用含的式子表示、、、，列出代数式，化简后比较即可得出结论； （2）分别用含的式子表示、、、，列出代数式，化简后即可解决问题． 【小问1详解】 解：设（为正整数），则，，， 则：，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 代数式的值是定值，理由如下： 设（为正整数），则，，， 为定值， 的值为定值，其定值为． 25. 补全下列解答过程． 已知：如图，，射线在的外部，，平分，平分． 求度数． 解：∵平分，平分， ______． ______（______）（填写推理依据）． ， ______，______． ______． 【答案】；；角平分线的定义；；； 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的有关计算，根据角平分线的定义及角的和差计算即可． 【详解】解：∵平分，平分， ． （角平分线的定义）． ， ，． ． 26. 列方程解决问题： 为响应国家节水政策，北京居民生活用水实行阶梯价格制度，按年度用水量计算，将人（含）以下居民家庭全年用水量划分为三档，年阶梯水价收费标准如下： 阶梯 户年用水量（单位：立方米） 水价（单位：元/立方米） 第一阶梯 0—180（含） 5 第二阶梯 181—260（含） 7 第三阶梯 260以上 9 按照以上阶梯水价标准，回答下列问题： （1）若小明家年用水量为立方米，则该家庭全年缴费金额为______元； （2）若小华家年全年缴费金额为元，小华家年用水量是多少立方米？ 【答案】（1） （2）立方米 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． （1）根据题中的收费标准计算； （2）根据“小华家年水费为元”列方程求解． 【小问1详解】 解：（元）， 故答案为：1040； 【小问2详解】 解：设小华家年用水量为x立方米， ∵， ∴， 则：， 解得：， 答：小华家年用水量为302立方米． 27. 由若干个边长为1的正方形组成的网格中，如果一个多边形的顶点都在格点上，那称这种多边形叫做格点多边形．将格点多边形的面积记为S，边上的格点个数记为x，内部的格点个数记为y．例如，图1中的格点多边形ABCDE边上的格点个数，内部的格点个数．奥地利数学家皮克证明了S，x，y三者之间有确定的数量关系这一结论被称为“皮克定理”． （1）由图2得到如下表格： 格点多边形 多边形的面积 边上的格点个数 内部的格点个数 ① ② ③ ④ ⑤ 根据表格中的数据，直接写出“皮克定理”中的：S，，y三者之间的数量关系； （2）利用“皮克定理”，直接写出图3中格点多边形的面积； （3）在图4网格中画出一个同时满足以下两个条件的格点多边形： ①格点多边形的面积为； ②格点多边形内部的格点个数为． 【答案】（1） （2） （3）见解析，答案不唯一 【解析】 【分析】本题考查了规律探究，代数式求值，解一元一次方程； （1）根据表格数据得到规律，即可求解； （2）根据“皮克定理”进行计算即可求解； （3）根据“皮克定理”得出为，为，则，根据与画出图形，即可求解． 【小问1详解】 解：∵ ∴S，，y三者之间的数量关系： 【小问2详解】 解：∵图3中格点多边形的中， ∴ ∴图3中格点多边形的面积为 【小问3详解】 ∵， ∴，则 如图所示， 28. 点和点，点均是数轴上的点，给出如下定义：设点到点的距离为，点到点B的距离为，若，则称点为线段的“倍关联点”． （1）如图，点所表示的数为． ①若线段，点在点右侧，点，，表示的数分别为，，，则点______（填“”，“”或“”）为线段的“倍关联点”； ②若原点为线段的“倍关联点”，直接写出点所表示的数； （2）已知点为线段的“倍关联点”，若点从数轴上对应的点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，同时点从数轴上对应的点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，点从数轴上对应的点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，设点运动的时间为，直接写出当取何值时的值最小以及此时的值． 【答案】（1）①；②点所表示的数为或或或； （2）当或时，的最小值 【解析】 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离公式，解题的关键是理解题中的新定义． （1）①先求出点表示的数为，再根据“倍关联点”的定义逐一判断即可；②设点所表示的数为，进而得到，，根据，列方程即可求解； （2）经过秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则，，根据“倍关联点”可推出，即可求解． 【小问1详解】 解：①点所表示的数为，线段，点在点右侧， 点表示的数为， 点表示的数为， 则，， ，， ， 点为线段的“倍关联点”； 点表示的数为， 则，， ，， ， 故点不是线段的“倍关联点”； 表示的数为， 则，， ，， ， 故点不是线段的“倍关联点”； 故答案为：； ②设点所表示的数为， 原点为线段的“倍关联点”， 点所表示的数为， ，， ，， ， 解得：或， 点所表示的数为或或或； 【小问2详解】 经过秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ，， ， ， ， 的最小值为， 当时，， 解得：或， 当或时，的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 丰台区2024~2025学年度第一学期期末练习 七年级数学 2025.01 考生须知 1．本练习卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．练习时间90分钟． 2．在练习卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和教育ID号． 3．练习题答案一律填涂或书写在答题卡上，在练习卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答． 5．练习结束，将本练习卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共30分，每题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家，早在我国秦汉时期的《九章算术》中就引入了负数．若在粮谷计算中，益实一斗（增加1斗）记为斗，那么损实七斗（减少7斗）记为（ ） A. 斗 B. 斗 C. 斗 D. 斗 2. “海葵一号”是完全由我国自主设计建造的深水油气田“大国重器”，集原油生产、存储、外输等功能于一体，储油量达立方米．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 将下列平面图形绕直线旋转一周，可以得到图中所示的立体图形是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 0是单项式 B. 的次数是6 C. 的系数是2 D. 的系数是1 5. 下面计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，以下数量中能用表示是（ ） A. 线段的长度 B. 线段的长度 C. 长方形的周长 D. 长方形的面积 7. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺．则符合题意方程是（　　） A. B. C. D. 8. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 北京故宫中有一条中轴线，同时也在北京中轴线上，它北起神武门经乾清宫、保和殿、太和殿、南到午门．如图，点表示养心殿所在位置，点表示太和殿所在位置，点表示文渊阁所在位置．已知养心殿位于太和殿北偏西方向上，文渊阁位于太和殿南偏东方向上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 年数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成个大小不同的正方形．如图所示，图中的数字为正方形编号，其中标注，的正方形边长分别为，．当时，第个正方形的面积是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 11. 比较两数大小：①______；②______（填“”或“”）． 12. 已知∠A=55°，则∠A的余角等于 ________度． 13. 写出一个只含有字母二次三项式______． 14. 小丰家准备自驾去抗日战争纪念馆．出发前，爸爸用地图软件查到导航路程为11.3公里．小丰用地图软件中的测距功能测出他家和目的地之间的距离为9.3公里，小丰发现他测得的距离比爸爸查到的导航路程少．用数学知识说明其中的道理______． 15. 如图，两个正方形的一个顶点重合，且重合的顶点在一条直线上，那么的度数为______． 16. 已知是关于的方程的解，则值为______． 17. 两根木条，一根长20cm，一根长24cm，将它们一端重合且放在同一条直线上，此时两根木条中点之间的距离为______cm. 18. 给出一种数的表示方法：设数，其中的值只能取0或1，则称数a为n位本原数．例如，当时，2位本原数a可以表示为四个数．现定义两个n位本原数的加法运算：设，那么有 ． （1）若，则______； （2）若均是3位本原数，设，且，则3位本原数______． 三、解答题（本题共54分，第题，每题5分，第25题6分，第26题5分，第27题6分，第28题7分） 19. 计算：． 20. 计算：． 21. 解方程：． 22. 如图，已知线段和点，，且点是线段的中点． （1）使用直尺和圆规，根据要求补全图形（保留作图痕迹）： ①画直线； ②画射线； ③在的延长线上取点，使； ④连接． （2）经测量，猜想（1）中线段，之间的数量关系是______． 23. 先化简，再求值：，其中， 24. 图1是年月份的日历，用图所示的“九方格”框住图中的个日期，将其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为、、、． （1）______（填“>”，“<”或“=”）； （2）当图2在图1的不同位置时，代数式的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 25. 补全下列解答过程． 已知：如图，，射线在的外部，，平分，平分． 求的度数． 解：∵平分，平分， ______． ______（______）（填写推理依据）． ， ______，______． ______． 26. 列方程解决问题： 为响应国家节水政策，北京居民生活用水实行阶梯价格制度，按年度用水量计算，将人（含）以下居民家庭全年用水量划分为三档，年阶梯水价收费标准如下： 阶梯 户年用水量（单位：立方米） 水价（单位：元/立方米） 第一阶梯 0—180（含） 5 第二阶梯 181—260（含） 7 第三阶梯 260以上 9 按照以上阶梯水价标准，回答下列问题： （1）若小明家年用水量为立方米，则该家庭全年缴费金额为______元； （2）若小华家年全年缴费金额为元，小华家年用水量是多少立方米？ 27. 由若干个边长为1的正方形组成的网格中，如果一个多边形的顶点都在格点上，那称这种多边形叫做格点多边形．将格点多边形的面积记为S，边上的格点个数记为x，内部的格点个数记为y．例如，图1中的格点多边形ABCDE边上的格点个数，内部的格点个数．奥地利数学家皮克证明了S，x，y三者之间有确定的数量关系这一结论被称为“皮克定理”． （1）由图2得到如下表格： 格点多边形 多边形的面积 边上的格点个数 内部的格点个数 ① ② ③ ④ ⑤ 根据表格中的数据，直接写出“皮克定理”中的：S，，y三者之间的数量关系； （2）利用“皮克定理”，直接写出图3中格点多边形的面积； （3）在图4网格中画出一个同时满足以下两个条件的格点多边形： ①格点多边形的面积为； ②格点多边形内部的格点个数为． 28. 点和点，点均是数轴上点，给出如下定义：设点到点的距离为，点到点B的距离为，若，则称点为线段的“倍关联点”． （1）如图，点所表示的数为． ①若线段，点在点右侧，点，，表示的数分别为，，，则点______（填“”，“”或“”）为线段的“倍关联点”； ②若原点为线段的“倍关联点”，直接写出点所表示的数； （2）已知点为线段的“倍关联点”，若点从数轴上对应的点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，同时点从数轴上对应的点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，点从数轴上对应的点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，设点运动的时间为，直接写出当取何值时的值最小以及此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$