精品解析：2024-2025学年苏科版数学九年级上册期末同步练习

2024-2025学年苏科版数学九年级上册 期末同步练习 （满分130分，时间120分钟） 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1. 一元二次方程 的根是（　　） A. 3 B. C. 9 D. 【答案】B 【解析】 分析】根据直接开平方法解一元二次方程，即可求出答案．本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 【详解】解：， ， 故选：B． 2. 一组数据：7，5，9，3，9，15，关于这组数据说法错误的是（ ） A. 极差是12 B. 众数是9 C. 中位数是7 D. 平均数是8 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数、极差、平均数、中位数的含义和求法，逐一判断即可． 【详解】解：∵7，5，9，3，9，15这组数据的最大值是15最小值是3 ∴这组数据的极差是：15﹣3＝12， 选项A正确，不符合题意； ∵这组数据中9出现了2次，最多， ∴众数为9， ∴选项B确，不符合题意； ∵7，5，9，3，9，15这组数据排列顺序后是：3，5，7，9，9，15， ∴这组数据的中位数是 ∴选项C不正确，符合题意； 这组数据的平均数是： ． ∴选项D正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了众数、极差、平均数、中位数的含义和求法，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 3. 如图，转盘中各个扇形的面积相等，任意转动转盘次，当转盘停止转动时，指针指向白色区域的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查简单概率的求法，由圆被等分成份，其中白色区域占份即可，掌握其方法是解题的关键． 【详解】解：∵圆被等分成份，其中白色区域占份， ∴指针落在白色区域的概率为， 故选：． 4. 已知的半径为4，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，熟练掌握若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内是解题的关键．据此即可求解． 【详解】解：∵的半径为4，，且 ∴点P在内， 故选：A． 5. 如图，是的外接圆，，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形性质、三角形内角和定理求出，根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 由圆周角定理得：， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、等腰三角形的性质是解题的关键． 6. 如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，根据花草的种植面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积， 依题意得： 解得：，（不合题意，舍去）， ∴小路宽为． 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7. 如图，在中，，，O为的内心．若的面积为20，则的面积为（　　） A. 20 B. 15 C. 18 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】由角平分线的性质可得，点O到，，的距离相等，则、、面积的比实际为，，三边的比． 【详解】解：∵O为的内心， ∴点O是三条角平分线的交点， ∴点O到，的距离相等， ∴、面积的比． ∵的面积为20， ∴的面积为15． 故选B． 【点睛】此题主要考查三角形的内心的性质，掌握“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”是解本题的关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在函数（，）的图像上，为轴上的一点，的面积为6，则k的值是（　　）． A. 6 B. 12 C. 24 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线间高相等可得，进而得到，然后根据k值的几何意义即可解答．掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，设的高为h ∵与x轴相切于点B，为的直径， ∴，, ∴、的高为， ∴, ∵， ∴， ∴, ∵，且反比例函数图像在一象限， ∴． 故选：C． 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则__． 【答案】1 【解析】 【分析】根据判别式与根的关系得到，然后解关于m的方程即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得． 故答案为1． 10. 若圆锥的底面周长为4π，母线长为3，则它的侧面积为__________． 【答案】6π 【解析】 【分析】圆锥的侧面积：S侧=•底面周长•母线长计算即可． 【详解】解：它的侧面积为：×4π×3=6π， 故答案为6π． 【点睛】此题主要考查圆锥的侧面的计算，关键是掌握计算公式． 11. 已知是一元二次方程的一个根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的概念，熟练掌握一元二次方程根的概念是解题的关键． 由题意得，然后问题可求解． 【详解】解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是_____． 【答案】（2，1） 【解析】 【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心． 【详解】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是（2，1）． 故答案为：（2，1）． 【点睛】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”． 13. 如图，一块飞镖游戏板由除颜色外都相同的9个小正方形构成．假设飞镖击中每1块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界或没有击中游戏板，则重投一次）．任意投掷飞镖一次，击中黑色区域的概率是 ___． 【答案】 【解析】 【分析】用黑色小正方形的个数除以小正方形的总个数可得． 【详解】解：∵共有9种小正方形，其中黑色正方形的有3个， ∴小刚任意投掷飞镖一次，刚好击中黑色区域的概率是=， 故答案为：． 【点睛】本题考查简单概率的计算，解决本题的关键是要知道黑色区域的面积和整个大正方形面积的比值. 14. 如图，在用配方法解一元二次方程时，配方的过程可以用拼图直观地表示，即看成将一个长是、宽是x、面积是的矩形割补成一个正方形，则m的值是_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程，用配方法求解即可． 【详解】解：， ， ， ∴． 故答案为：3． 15. 如图，吊灯外罩呈圆锥形，它的底面半径为，母线长为，则该吊灯外罩的侧面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积．熟练掌握圆锥的侧面积公式，其中为底面圆的半径，为圆锥母线长，是解题的关键． 根据圆锥的侧面积公式，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，该吊灯外罩的侧面积为， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，D为边上的一个动点，连接，以为直径作圆交于点P，连接，则的最小值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】取中点G，由直角三角形的性质可得，由勾股定理可求，由三角形的三边关系可得，当点H在线段上时，可求的最小值． 【详解】解：如图，取中点G，连接， ∵为直径， ∴ ∵点G是中点 ∴， 在中， 在中，， 即当点P在线段上时，最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质、三角形三边关系、勾股定理，确定使值最小时点P的位置是本题的关键． 三、解答题（本题共9小题，共82分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解解方程的方法是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得： ，； 【小问2详解】 ， ， 或， 解得：，． 18. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 【答案】（1）k； （2）k=3 【解析】 【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k-2）0，解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，将等式左侧展开代入计算即可得到k值． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有实数根． ∴∆0，即32-4（k-2）0， 解得k 【小问2详解】 ∵方程的两个实数根分别为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得k=3． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键． 19. 淮安是历史文化旅游胜地．淮安某景点2023年6月共接待游客15万人次，8月共接待游客万人次．求该景点6月到8月接待游客人次的月平均增长率． 【答案】该景点6月到8月接待游客人次的月平均增长率为． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设该景点6月到8月接待游客人次的月平均增长率为x，则7月接待游客万人，8月份接待游客万人，据此列出方程求解即可． 【详解】解：设该景点6月到8月接待游客人次的月平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：该景点6月到8月接待游客人次的月平均增长率为． 20. 某校开设了插花、烹饪、种植3个劳动课程，每位同学可以随机选择其中一个课程参加学习． （1）甲同学选择插花课程的概率是 ； （2）求甲、乙两名同学选择同一个课程的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求事件的概率：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率；熟练掌握其方法的一般步骤是解题关键． （1）根据题意，列举出所有可能结果，代入概率计算公式求得相应的概率； （2）根据题意，可以画出相应的树状图，代入概率计算公式从而求得相应的概率． 【小问1详解】 解∵某校开设了插花、烹饪、种植3个劳动课程， ∴甲同学选择插花课程的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 把插花、烹饪、种植3个劳动课程分别记为A，B，C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选择同一个课程的结果有3种， ∴甲、乙两名同学选择同一个课程的概率为, 故答案为：． 21. 如图，为的直径，为上一点，为的中点，点在的延长线上，且． （1）求证：为的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、扇形的面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，先根据圆周角定理得出，再证明，从而得出，即可得证； （2）连接，先利用圆心角、弧、弦的关系，得出，由圆周角定理得出，证明为等边三角形，再根据图中阴影部分的面积，计算即可得出答案． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ， 为的直径， ，即， ， ， ， ， ，即， ， 为的半径， 为的切线； 【小问2详解】 解：如图，连接， ， 为的中点， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 图中阴影部分的面积． 22. 目前我国射击运动发展较快，许多中小学开始推广普及射击运动．下图为甲、乙两名射击爱好者在相同条件下6次射击成绩． （1）填表并判断： 的成绩更稳定（填“甲”或“乙”）； 人员 平均数 方差 甲 7 1 乙 7 （2）在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的绝对值的平均数，叫做这组数据的“平均差”，即，“平均差”也能描述一组数据的离散程度．请分别计算甲、乙成绩的“平均差”，并根据结果，简要概括“平均差”如何描述一组数据的离散程度． （3）把函数中自变量的一组值和对应的函数值分别看成样本；样本．这两个样本的方差与之间有怎样的函数关系？请直接写出结果． 【答案】（1）甲；4 （2），，一组数据的“平均差”越小（大），该组数据的离散程度越小（大） （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了方差与极差以及平均差的求法，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值；方差是各变量值与其均值之差平方的平均数，它是测算数值型数据离散程度的最重要的方法． （1）先计算出甲、乙的方差，再根据方差的意义得出谁的成绩更稳定即可； （2）根据“平均差”的定义计算并描述一组数据的离散程度即可； （3）设自变量、、的平均数为，分别计算出自变量及函数值的方差，并得出结论即可． 【小问1详解】 ， ， 甲的成绩稳定， 故答案为：甲；4； 【小问2详解】 ； ． 且由（1）可得甲的成绩更稳定， 一组数据的“平均差”越小（大），该组数据的离散程度越小（大）． 【小问3详解】 解：设自变量、、平均数为， ， 、、的平均数为， ， ， ； ． ． 23. 某商家销售一种成本为30元的商品，当售价定为40元/件时，每天可销售400件，根据经验，售价每涨价1元，每天销量将减少10件，且单件该商品的利润率不能超过． （1）求每天的销量（件）与当天的销售单价（元/件）满足的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； （2）当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，并求出最大利润； （3）当销售单价定为什么范围时，商家销售该商品每天获得的利润不低于5250元？ 【答案】（1） （2）当销售单价定为48元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，最大利润为5760元； （3）问当销售单价定为时，商家销售该商品每天获得的利润不低于5250元． 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和不等式的应用，利用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点和难点． （1）依据“实际销量原销售量增加的销量”来确定与之间的函数关系式； （2）根据利润销售量单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质和单件该商品的销售利润不能超过，来判断出最大利润； （3）首先根据，求得，再根据单件该商品的销售利润不能超过，即可求出的取值范围． 【小问1详解】 ， 每天的销量（件与当天的销售单价（元件）满足的函数关系式为； 【小问2详解】 设每天获得的利润为元， 则， 单件该商品的销售利润不能超过， ， 解得， ， 当时，有最大值，最大值为5760元； 答：当销售单价定为48元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，最大利润为5760元； 【小问3详解】 由题意知，即， 整理得， ， ， ， ， 答：问当销售单价定为时，商家销售该商品每天获得的利润不低于5250元． 24. 如图，边长为的等边是的内接三角形，D是上一点（点D与点B、C不重合），相交于点E． （1）______°，的半径为_______； （2）当时（点O在的下方）． ①求的长； ②点F、G分别在射线、线段上，．若，求的长． 【答案】（1） （2）①；②的长是或 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质和圆周角定理即可得到，连接并延长交于点H，连接、，再证明，，得到，则，即可得到的半径； （2）①作，垂足为．求出，，即可得到答案； ②作，垂足为．求出，，得到或．证明．则求出，同理可求，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵边长为的等边是的内接三角形， ∴，， ∵D是上一点（点D与点B、C不重合）， ∴， 连接并延长交于点H，连接、， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的半径为， 故答案为： 【小问2详解】 ①作，垂足为． 则． ， ； ②作，垂足为．两种情况如图， ， ， ， ， ， 或． ∵， ∴． ∵， ∴． 当时，，解得； 同理可求时，，解得． 综上所述，的长是或． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、等边三角形的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 25. 【了解概念】 我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段．若点在折线段上，，则称点是折线段的中点． （1）如图2，的半径为2，是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则　　； （2）【定理证明】阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），，点是的中点，从向作垂线，垂足为，求证：是折弦的中点； 【变式探究】 （3）如图4，若点是的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则、、之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论． 【灵活应用】 （4）如图5，是的直径，点为上一定点，点为上一动点，且满足，若，，则　　． 【答案】（1）3 （2）见解析 （3） （4）或 【解析】 分析】（1）根据角所对的直角边等于斜边的一半，求出，再由所给的定义求出的长即可； （2）在上截取，连接、、、，可证明，得到，再由垂径定理得到，则有，即可证明是折弦的中点； （3）仿照（2）的方法，在上截取，连接、、、，证明，可得到； （4）分两种情况讨论：当点在上时，过点作交于点，由，求出，再由勾股定理求出；当点在上时，如图6，，过点作交于点，由，求出，再由勾股定理求出． 【小问1详解】 解：是的切线，为切点， ， ， ，， ， ， 是折线段的中点， ， 故答案为：3； 【小问2详解】 证明：在上截取，连接、、、， 点是的中点， ， ， （SAS）， ， ， ， ， 是折弦的中点； 【小问3详解】 解：，理由如下： 如图，在上截取，连接、、、， 点是的中点， ， ， （SAS）， ， ， ， ， ； 小问4详解】 解：是的直径， ， ，， ， 当点在上时，如图， ， ， 过点作交于点， ， ， ； 当点在上时，如图，， 过点作交于点， ， ， ； 综上所述：的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，垂径定理，三角形全等的判定及性质，理解阿基米德折弦定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版数学九年级上册 期末同步练习 （满分130分，时间120分钟） 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1. 一元二次方程 的根是（　　） A 3 B. C. 9 D. 2. 一组数据：7，5，9，3，9，15，关于这组数据说法错误的是（ ） A. 极差是12 B. 众数是9 C. 中位数是7 D. 平均数是8 3. 如图，转盘中各个扇形的面积相等，任意转动转盘次，当转盘停止转动时，指针指向白色区域的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知的半径为4，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 不能确定 5. 如图，是的外接圆，，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在长为，宽为矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（ ） A. B. C. 或 D. 7. 如图，在中，，，O为的内心．若的面积为20，则的面积为（　　） A. 20 B. 15 C. 18 D. 12 8. 如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在函数（，）的图像上，为轴上的一点，的面积为6，则k的值是（　　）． A. 6 B. 12 C. 24 D. 36 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则__． 10. 若圆锥的底面周长为4π，母线长为3，则它的侧面积为__________． 11. 已知是一元二次方程的一个根，则的值是______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是_____． 13. 如图，一块飞镖游戏板由除颜色外都相同的9个小正方形构成．假设飞镖击中每1块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界或没有击中游戏板，则重投一次）．任意投掷飞镖一次，击中黑色区域的概率是 ___． 14. 如图，在用配方法解一元二次方程时，配方的过程可以用拼图直观地表示，即看成将一个长是、宽是x、面积是的矩形割补成一个正方形，则m的值是_______． 15. 如图，吊灯外罩呈圆锥形，它的底面半径为，母线长为，则该吊灯外罩的侧面积是______． 16. 如图，在中，，，D为边上的一个动点，连接，以为直径作圆交于点P，连接，则的最小值是______． 三、解答题（本题共9小题，共82分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知关于x一元二次方程有实数根． （1）求实数k取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 19. 淮安是历史文化旅游胜地．淮安某景点2023年6月共接待游客15万人次，8月共接待游客万人次．求该景点6月到8月接待游客人次的月平均增长率． 20. 某校开设了插花、烹饪、种植3个劳动课程，每位同学可以随机选择其中一个课程参加学习． （1）甲同学选择插花课程的概率是 ； （2）求甲、乙两名同学选择同一个课程的概率． 21. 如图，为的直径，为上一点，为的中点，点在的延长线上，且． （1）求证：为的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积． 22. 目前我国射击运动发展较快，许多中小学开始推广普及射击运动．下图为甲、乙两名射击爱好者在相同条件下6次射击成绩． （1）填表并判断： 的成绩更稳定（填“甲”或“乙”）； 人员 平均数 方差 甲 7 1 乙 7 （2）在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的绝对值的平均数，叫做这组数据的“平均差”，即，“平均差”也能描述一组数据的离散程度．请分别计算甲、乙成绩的“平均差”，并根据结果，简要概括“平均差”如何描述一组数据的离散程度． （3）把函数中自变量的一组值和对应的函数值分别看成样本；样本．这两个样本的方差与之间有怎样的函数关系？请直接写出结果． 23. 某商家销售一种成本为30元的商品，当售价定为40元/件时，每天可销售400件，根据经验，售价每涨价1元，每天销量将减少10件，且单件该商品的利润率不能超过． （1）求每天的销量（件）与当天的销售单价（元/件）满足的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； （2）当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，并求出最大利润； （3）当销售单价定为什么范围时，商家销售该商品每天获得的利润不低于5250元？ 24. 如图，边长为的等边是的内接三角形，D是上一点（点D与点B、C不重合），相交于点E． （1）______°，的半径为_______； （2）当时（点O在的下方）． ①求的长； ②点F、G分别在射线、线段上，．若，求的长． 25. 了解概念】 我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段．若点在折线段上，，则称点是折线段的中点． （1）如图2，的半径为2，是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则　　； （2）【定理证明】阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），，点是的中点，从向作垂线，垂足为，求证：是折弦的中点； 【变式探究】 （3）如图4，若点是的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则、、之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论． 【灵活应用】 （4）如图5，是的直径，点为上一定点，点为上一动点，且满足，若，，则　　． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$