第03讲 两条直线的位置关系（4个知识点+4种必考题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（沪教版2020选择性必修第一册）

第一章第03讲 两条直线的位置关系 课程标准 学习目标 1. 通过两直线位置关系的学习，提升数学运算、直观想象的数学素养. 1. 理解两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件，能根据直线的斜率判断两条直线平行或垂直. (难点) 2.能应用两条直线平行或垂直解决相关问题，理解用代数法解决几何问题. (重点) 知识点01．两直线平行 1．特殊情况下的两条直线平行的判定 两条直线中有一条直线没有斜率，当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，故它们互相平行． 2．两条直线的斜率都存在时，两条直线平行的判定 两条直线都有斜率而且不重合时，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即． 证明如下： 设两条直线的斜率分别为． 如果（如图），那么它们的倾斜角相等，即． ∴，∴． 反过来，如果两条直线的斜率相等，即，那么． 由于，∴．又两条直线不重合，∴． 【即学即练1】（2023上·上海·高二华师大二附中校考期末）若直线与直线平行，则（    ） A． B．0 C．1 D．1或 知识点02．两直线垂直 1．特殊情况下的两条直线垂直的判定 当两条直线中有一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0时，即一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°时，两条直线互相垂直． 2．两条直线的斜率都存在时，两条直线垂直的判定 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；反之，如果两条直线的斜率之积等于−1，那么它们互相垂直，即． 证明如下： 设两条直线与的倾斜角分别为与． 如果，这时．否则，则，与相矛盾． 设（如下图）， 图（1）的特征是与的交点在x轴上方； 图（2）的特征是与的交点在x轴下方； 图（3）的特征是与的交点在x轴上，无论哪种情况下都有． ∵，的斜率分别是，且，∴． ∴． ∴，即． 反过来，若，即． 不失一般性，设，则，即， ∴． 【即学即练2】（2023春上海市·模拟预测）已知直线，若，则实数a的值是 ． 知识点03、两直线位置关系的判定方法 1.已知两直线的斜率存在 两直线平行、两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等; 两直线垂直、两直线的斜率之积为-1. 2.已知两直线的斜率不存在 若两直线的斜率不存在，当两直线在x轴上的截距不相等时，两直线平行;否则两直线重合 【即学即练3】（2023春·上海市奉贤中学高二第二学期期中）直线与直线的夹角，则a的取值范围是______． 知识点04、两直线的夹角与垂直关系 两条相交直线的夹角：我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两条相交直线的夹角. 如果两条直线平行或重合，我们规定它们的夹角为0. 平面上两条直线夹角的范围：. 两条直线：（其中不同时为零；不同时为零）的夹角为：. 两条直线：的夹角为：， . 注：公式应用前提是两直线的斜率均存在. 两条直线垂直的充要条件： 【即学即练4】（2023春上海市·嘉定·一模）直线与直线的夹角大小为 . 题型一：两条直线的相交平行与重合 1．（23-24高二上·上海金山·期中）“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高二上·上海虹口·阶段练习）若中，a，b，c分别为三内角A，B，C的对边，且，则直线与直线（   ） A．平行 B．重合 C．相交且垂直 D．相交且不垂直 3．（21-22高二下·上海宝山·期中）“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 4．（24-25高二上·上海）若两直线的斜率都存在，用直线的斜率刻画两条直线的位置关系. 题型二：已知直线平行求参数 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）若直线与直线平行，则的值为（   ） A．3 B． C．或3 D．以上都不正确 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）直线与直线平行，则 . 3．（24-25高二上·上海·期中）已知直线，，若，则实数的值为 . 4．（24-25高二上·上海·随堂练习）若三条直线：，：，：，当为何值时，三条直线不能构成三角形？ 题型三：两条直线的夹角与垂直关系 1．（2023高二·上海·专题练习）已知直线和，则（　　） A．m和n可能重合     B．m和n不可能垂直 C．存在直线m上一点P，以P为中心旋转后与n重合 D．以上都不对 2．（22-23高二上·上海·阶段练习）已知直线的斜率是方程的两个根，则（    ） A． B． C．与相交但不垂直 D．与的位置关系不确定 3．（21-22高二·上海·期末）直线过点和点，直线过点和点，则直线与的位置关系是 ． 4．（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线过，且，则直线的斜率为 ． 题型四： 由斜率判断两条直线垂直 1．（23-24高二上·上海·期末）已知直线与垂直，则的值是 . 2．（22-23高二下·上海黄浦·期中）若直线和直线垂直，则实数的值为 . 3．（20-21高二上·上海长宁·期中）已知直线和，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 4．（24-25高二上·上海·期中）已知、为实数，平面直角坐标系内三条直线，直线，，：，：. (1)若，且经过点，求实数，的值； (2)若且，求实数，的值. 一、单选题 1．（23-24高二上·上海奉贤·期中）“”是“直线与平行”的（    ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件 2．（2023·上海·二模）已知三条直线，，将平面分为六个部分，则满足条件的的值共有（    ） A．个 B．2个 C．个 D．无数个 3．（23-24高二上·上海·阶段练习）如果直线的斜率分别为二次方程的两个根，那么与的夹角为（  ） A． B． C． D． 4．（2022·安上海·二模）已知直线过定点，直线过定点与的交点为，则面积的最大值为(   ) A． B． C．5 D．10 二、填空题 5．（23-24高二下·上海·期中）直线与直线平行，则 ． 6．（23-24高二下·上海·期中）若直线，平行，则实数的值为 . 7．（23-24高二下·上海·期中）若直线与平行，则 . 8．（22-23高二下·上海静安·期中）已知，设直线，，若，则 . 9．（23-24高二下·上海·阶段练习）两条直线与平行，则实数 . 10．（23-24高二上·上海青浦·期中）已知直线：，直线：，则与之间的距离为 . 11．（24-25高二上·上海·期中）直线的一个法向量为 ． 12．（24-25高二上·上海·期中）直线与直线的夹角的大小是 . 13．（23-24高二下·上海·期中）已知直线经过点，与直线的夹角为.则直线的方程 . 14．（23-24高二上·上海奉贤·期中）直线与直线的夹角，则a的取值范围是 ． 15．（23-24高二上·上海青浦·期中）直线与的夹角大小为 . 16．（22-23高二下·上海长宁·期中）直线（）必过点 . 三、解答题 17．（22-23高二下·上海宝山·期中）求解下列问题： (1)已知两点，求线段的中垂线所在直线方程； (2)已知直线与直线平行，直线与两坐标轴所构成的三角形的面积为12，求直线的方程． 18．（22-23高二下·上海虹口·期中）有一块直角三角形的板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角形内一点，现在由于三角板中阴影部分受到损坏，为把损坏部分锯掉，可用经过点的一条直线，将三角板铝成，问：应该如何锯法，即直线斜率为多少时，可使三角板的面积最大？    19．（23-24高二下·上海·期中）设直线与直线的交点为. (1)求两直线的夹角的大小； (2)求过点且平行于的直线的一般式方程； 20．（20-21高二上·上海普陀·期末）设常数，已知直线：，：． (1)若，求的值； (2)若，求与之间的距离． 21．（24-25高二上·上海·期中）已知三边所在直线方程为：，：，：. (1)求边上的高所在的直线方程； (2)求直线与直线的夹角. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章第03讲 两条直线的位置关系 课程标准 学习目标 1. 通过两直线位置关系的学习，提升数学运算、直观想象的数学素养. 1. 理解两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件，能根据直线的斜率判断两条直线平行或垂直. (难点) 2.能应用两条直线平行或垂直解决相关问题，理解用代数法解决几何问题. (重点) 知识点01．两直线平行 1．特殊情况下的两条直线平行的判定 两条直线中有一条直线没有斜率，当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，故它们互相平行． 2．两条直线的斜率都存在时，两条直线平行的判定 两条直线都有斜率而且不重合时，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即． 证明如下： 设两条直线的斜率分别为． 如果（如图），那么它们的倾斜角相等，即． ∴，∴． 反过来，如果两条直线的斜率相等，即，那么． 由于，∴．又两条直线不重合，∴． 【即学即练1】（2023上·上海·高二华师大二附中校考期末）若直线与直线平行，则（    ） A． B．0 C．1 D．1或 【答案】C 【分析】根据直线一般式中平行满足的系数关系，即可求解. 【详解】直线与直线平行， 故，解得， 故选：C 知识点02．两直线垂直 1．特殊情况下的两条直线垂直的判定 当两条直线中有一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0时，即一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°时，两条直线互相垂直． 2．两条直线的斜率都存在时，两条直线垂直的判定 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；反之，如果两条直线的斜率之积等于−1，那么它们互相垂直，即． 证明如下： 设两条直线与的倾斜角分别为与． 如果，这时．否则，则，与相矛盾． 设（如下图）， 图（1）的特征是与的交点在x轴上方； 图（2）的特征是与的交点在x轴下方； 图（3）的特征是与的交点在x轴上，无论哪种情况下都有． ∵，的斜率分别是，且，∴． ∴． ∴，即． 反过来，若，即． 不失一般性，设，则，即， ∴． 【即学即练2】（2023春上海市·模拟预测）已知直线，若，则实数a的值是 ． 【答案】或 【分析】根据向量垂直列方程，化简求得的值. 【详解】由题意可知，故，即 解得或.故答案为:或 知识点03、两直线位置关系的判定方法 1.已知两直线的斜率存在 两直线平行、两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等; 两直线垂直、两直线的斜率之积为-1. 2.已知两直线的斜率不存在 若两直线的斜率不存在，当两直线在x轴上的截距不相等时，两直线平行;否则两直线重合 【即学即练3】（2023春·上海市奉贤中学高二第二学期期中）直线与直线的夹角，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用两条直线的夹角公式求解即可. 【详解】由题知直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线与直线的夹角， 所以，即， 解得.故答案为：. 知识点04、两直线的夹角与垂直关系 两条相交直线的夹角：我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两条相交直线的夹角. 如果两条直线平行或重合，我们规定它们的夹角为0. 平面上两条直线夹角的范围：. 两条直线：（其中不同时为零；不同时为零）的夹角为：. 两条直线：的夹角为：， . 注：公式应用前提是两直线的斜率均存在. 两条直线垂直的充要条件： 【即学即练4】（2023春上海市·嘉定·一模）直线与直线的夹角大小为 . 【答案】/ 【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角． 【详解】因为直线的斜率不存在，倾斜角为， 直线的斜率为，倾斜角为， 故直线与直线的夹角为，故答案为：． 题型一：两条直线的相交平行与重合 1．（23-24高二上·上海金山·期中）“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】充分必要条件的判断：把两个命题分别作为条件和结论，判定由条件能否推出结论即可. 【详解】当时，，，显然，两直线平行，满足充分条件； 当与直线平行时，，则 ∴或， 当时显然成立，当时，，， 整理后与重合，故舍去， ∴，满足必要条件； ∴“”是“直线与直线平行”的充要条件 故选：C 2．（23-24高二上·上海虹口·阶段练习）若中，a，b，c分别为三内角A，B，C的对边，且，则直线与直线（   ） A．平行 B．重合 C．相交且垂直 D．相交且不垂直 【答案】B 【分析】根据对数的运算性质可得，将两直线化为斜截式，求出对应的斜率，结合正弦定理即可得出结果. 【详解】因为，所以均为正数， 由，即， 可得，即， 对于直线，即， 对于直线，即， 由正弦定理可得，所以直线与直线重合. 故选：B. 3．（21-22高二下·上海宝山·期中）“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】D 【分析】根据直线平行与斜率之间的关系，逐个选项进行判断即可. 【详解】充分性：直线与平行，但是和都没有斜率，即当和都垂直于轴时，与仍然平行，但是，此时不满足直线与的斜率相等，故充分性不成立； 必要性：直线与的斜率相等，则直线与平行或重合，故必要性不成立； 综上，“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的既非充分又非必要条件. 故选：D 4．（24-25高二上·上海·课前预习）若两直线的斜率都存在，用直线的斜率刻画两条直线的位置关系. 【答案】答案见解析 【详解】设两直线的斜率分别为、，则有平行或重合，相交. 题型二：已知直线平行求参数 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）若直线与直线平行，则的值为（   ） A．3 B． C．或3 D．以上都不正确 【答案】A 【分析】根据两直线平行的充要条件求解即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得或， 经检验当时，两直线重合，所以. 故选：A. 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）直线与直线平行，则 . 【答案】1 【分析】由两直线平行可得解一元二次方程，然后检验即可； 【详解】由题意可得，解得或， 当时，直线即，直线即，两直线重合，不符合题意，舍去， 当时，符合题意， 所以. 故答案为：1 3．（24-25高二上·上海·期中）已知直线，，若，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据直线平行的结论得，求解即可. 【详解】因为直线，，， 所以，解得. 故答案为：. 4．（24-25高二上·上海·随堂练习）若三条直线：，：，：，当为何值时，三条直线不能构成三角形？ 【答案】或或 【分析】三条直线不能构成三角形⇔三条直线交于同一点或其中至少有两条直线平行，分别讨论即可得解. 【详解】三条直线不能构成三角形⇔三条直线交于同一点或其中至少有两条直线平行． ①若三条直线交于同一点时，解方程组，得， 即与的交点是， 把点代入直线的方程，得； ②若其中至少有两条直线平行时， 由，得，即； 由，得，即； 综上，当或或时，三条直线不能构成三角形． 题型三：两条直线的夹角与垂直关系 1．（2023高二·上海·专题练习）已知直线和，则（　　） A．m和n可能重合     B．m和n不可能垂直 C．存在直线m上一点P，以P为中心旋转后与n重合 D．以上都不对 【答案】C 【分析】A选项求出直线m与直线n的斜率判断；B选项由斜率之积是否为判断；C选项由两直线不平行，得出两直线相交判断. 【详解】对A，直线，斜率为； 直线，斜率为； ，所以m和n不可能重合，A错误； 对B，时，，m和n垂直，所以B错误； 对C，由知m和n不平行，设m、n相交于点P， 则直线m以P为中心旋转后与n重合，所以C正确． 故选：C． 2．（22-23高二上·上海·阶段练习）已知直线的斜率是方程的两个根，则（    ） A． B． C．与相交但不垂直 D．与的位置关系不确定 【答案】C 【分析】由可知两直线不垂直，且知两直线不平行，由此可得结论. 【详解】设直线的斜率为，则， ，不垂直，A错误； 若，则，与矛盾，，不平行，B错误； 不平行，也不垂直，相交但不垂直，C正确，D错误. 故选：C. 3．（21-22高二·上海·期末）直线过点和点，直线过点和点，则直线与的位置关系是 ． 【答案】垂直 【分析】分，，三种情况讨论即可. 【详解】①当时，直线过点和点， 直线过点和点， 此时直线的斜率，直线的斜率不存在，因此； ②当时，直线过点和点，直线过点 和点．此时直线的斜率不存在，直线的斜率，因此； ③当时，直线的斜率，直线的斜率， 此时，∴． 故答案为：垂直. 4．（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线过，且，则直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】 根据两点坐标求直线的斜率，结合两直线的位置关系即可求解. 【详解】设直线斜率为，直线斜率为， 因为直线过，， 所以斜率为， 因为，所以， 所以，即直线的斜率为. 故答案为：. 题型四： 由斜率判断两条直线垂直 1．（23-24高二上·上海·期末）已知直线与垂直，则的值是 . 【答案】3 【分析】两个含参数的直线互相垂直，在利用直线斜率判断时，需先考虑两直线斜率不存在时是否符合，再用斜率之积等于进行求解即得. 【详解】当时，，即时，； 当时，，显然与不垂直； 当且时，直线与的斜率分别为：与，由，解得：，此时显然不成立. 综上，的值为3. 故答案为：3. 2．（22-23高二下·上海黄浦·期中）若直线和直线垂直，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据两直线垂直可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】因为直线和直线垂直，则，解得. 故答案为：. 3．（20-21高二上·上海长宁·期中）已知直线和，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】由求得或，再根据小范围能推大范围，大范围不能推小范围即可判断. 【详解】若，则，即 解得或，所以是的充分不必要条件. 故选：B. 4．（24-25高二上·上海·期中）已知、为实数，平面直角坐标系内三条直线，直线，，：，：. (1)若，且经过点，求实数，的值； (2)若且，求实数，的值. 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）由直线垂直的特征及直线过的点可得关于、的方程组，即可得解； （2）由直线平行和垂直满足的系数关系，列方程即可求解，． 【详解】（1）因为，，且，所以， 又直线过点， 所以， 所以， 所以， 所以或； （2）若且，则或， 解得，或， 由于不能同时为，故这组解舍去， 故 一、单选题 1．（23-24高二上·上海奉贤·期中）“”是“直线与平行”的（    ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件 【答案】A 【分析】借助两直线平行的判断条件即可解答. 【详解】因为直线的斜率存在， 所以要使直线与平行， 则， 由 解得或， 当时，此时直线与重合， 当时，此时直线与平行， 所以“”是“直线与平行”的充要条件. 故选：A. 2．（2023·上海·二模）已知三条直线，，将平面分为六个部分，则满足条件的的值共有（    ） A．个 B．2个 C．个 D．无数个 【答案】C 【分析】考虑三条直线交于一点或与或平行时，满足条件，求出答案. 【详解】当三条直线交于一点时，可将平面分为六个部分， 联立与，解得， 则将代入中，，解得， 当与平行时，满足要求，此时， 当与平行时，满足要求，此时， 综上，满足条件的的值共有3个. 故选：C 3．（23-24高二上·上海·阶段练习）如果直线的斜率分别为二次方程的两个根，那么与的夹角为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出两直线的斜率，由一元二次方程根与系数关系得到两直线斜率的和与积，代入夹角公式求得与的夹角． 【详解】设直线与的斜率分别为， ，与夹角为. ∵直线的斜率分别为二次方程的两个根 且 ∴， ∴ ∵ ∴ 故选：A 4．（2022·上海·二模）已知直线过定点，直线过定点与的交点为，则面积的最大值为(   ) A． B． C．5 D．10 【答案】C 【分析】先求定点，然后判断两个直线的位置关系，然后计算面积，利用基本不等式判断即可. 【详解】由题可知，,直线， 所以,， 所以， 所以的面积为， 当且仅当时等号成立. 故选：C 二、填空题 5．（23-24高二下·上海·期中）直线与直线平行，则 ． 【答案】 【分析】分别讨论两直线斜率是否存在，存在时两斜率相等解方程即可解得. 【详解】当时，即时，不满足题意； 当时，即时，不满足题意； 当且时，两直线斜率均存在，需满足， 解得或. 又当时，与重合，不合题意； 当时，与平行，满足题意； 故答案为： 6．（23-24高二下·上海·期中）若直线，平行，则实数的值为 . 【答案】或 【分析】根据直线平行的性质直接得解. 【详解】由已知直线，平行， 则， 解得或， 故答案为：或. 7．（23-24高二下·上海·期中）若直线与平行，则 . 【答案】 【分析】根据两直线平行得到，解得即可. 【详解】因为直线与平行， 所以，解得，经检验符合题意. 故答案为： 8．（22-23高二下·上海静安·期中）已知，设直线，，若，则 . 【答案】 【分析】根据两直线平行的充要条件得到方程，解得即可. 【详解】由题意得 当时，直线重合，舍去，故. 故答案为：. 9．（23-24高二下·上海·阶段练习）两条直线与平行，则实数 . 【答案】3 【分析】根据直线平行列式求得或，并代入检验. 【详解】由题意可得：，解得或， 若，则两直线方程分别为、， 两直线平行，符合题意； 若，则两直线方程分别为、， 两直线重合，不符合题意； 综上所述：. 故答案为：3. 10．（23-24高二上·上海青浦·期中）已知直线：，直线：，则与之间的距离为 . 【答案】/ 【分析】根据两平行线间的距离公式求得正确答案. 【详解】依题意，与之间的距离为. 故答案为： 11．（24-25高二上·上海·期中）直线的一个法向量为 ． 【答案】 【分析】先求得直线的斜率，由此求出与其垂直的直线的斜率，进而求得直线的一个法向量. 【详解】直线的斜率为， 故与其垂直的直线的斜率为， 故直线的一个法向量为. 故答案为：. 12．（24-25高二上·上海·期中）直线与直线的夹角的大小是 . 【答案】/ 【分析】利用两直线夹角公式去求解即可. 【详解】线与直线的斜率分别为， 由直线的夹角公式可得，又，所以. 故答案为：. 13．（23-24高二下·上海·期中）已知直线经过点，与直线的夹角为.则直线的方程 . 【答案】或 【分析】设直线的倾斜角为，两直线夹角为，可得，分类讨论的斜率是否存在，结合两直线的夹角公式分析求解. 【详解】由题意可知：直线斜率为， 设直线的倾斜角为， 则，解得，或（舍去）， 设两直线夹角为，则， 可得，所以. ①当的斜率不存在，则， 此时，可得，符合题意； ②当的斜率存在，设的斜率为， 则，解得， 所以直线，即； 综上所述：的方程为或． 故答案为：或． 14．（23-24高二上·上海奉贤·期中）直线与直线的夹角，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用两条直线的夹角公式求解即可. 【详解】由题知直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线与直线的夹角， 所以，即， 解得. 故答案为：. 15．（23-24高二上·上海青浦·期中）直线与的夹角大小为 . 【答案】 【详解】 根据两条直线的斜率和倾斜角，结合两角差的正切公式求得正确答案. 【分析】直线的斜率为，倾斜角设为，则为钝角. 直线的斜率为，倾斜角设为，则为锐角. 设两条直线的夹角为， 则， 所以夹角大小为. 故答案为： 16．（22-23高二下·上海长宁·期中）直线（）必过点 . 【答案】 【分析】将直线方程化为形式求解即可. 【详解】直线方程（）可化为， （）， ∴由，解得， ∴直线（）必过定点. 故答案为：. 三、解答题 17．（22-23高二下·上海宝山·期中）求解下列问题： (1)已知两点，求线段的中垂线所在直线方程； (2)已知直线与直线平行，直线与两坐标轴所构成的三角形的面积为12，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据中点和斜率求得线段的中垂线所在直线方程. （2）设，根据直线与两坐标轴所构成的三角形的面积求得，从而求得直线的方程. 【详解】（1）线段中点的坐标为， 线段所在直线的斜率为， 所以线段的中垂线所在直线的斜率为， 所以线段的中垂线所在直线方程为， 即. （2）设，则直线过点， 所以， 所以直线的方程为：. 18．（22-23高二下·上海虹口·期中）有一块直角三角形的板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角形内一点，现在由于三角板中阴影部分受到损坏，为把损坏部分锯掉，可用经过点的一条直线，将三角板铝成，问：应该如何锯法，即直线斜率为多少时，可使三角板的面积最大？    【答案】, 【分析】由已知及直线的斜截式方程求、坐标，再由三角形面积公式写出△的面积S，并指出k的取值范围 由面积S的解析式构造函数，并研究函数的单调性，进而求S的最值． 【详解】依题意，直线MN过点且斜率存在，则MN的方程为， ，， 直线OA的方程为，直线AB的方程为， 由知：且，可得或， 由知：且，可得， ，故，， ， ∴，且. 设，， 当时，， ∵， ，，，则，即， 在是增函数， 当时，，即时，． 【点睛】关键点点睛：应用直线的斜截式方程及三角形面积公式写出面积S及k的范围，利用函数的单调性求S的最值. 19．（23-24高二下·上海·期中）设直线与直线的交点为. (1)求两直线的夹角的大小； (2)求过点且平行于的直线的一般式方程； 【答案】(1). (2) 【分析】（1）根据两直线方程可得其斜率，再由倾斜角之间的基本关系利用两角差的正切公式即可求出两直线的夹角； （2）求出交点坐标，设出平行直线方程代入点即可求出结果. 【详解】（1）设直线的倾斜角为，则斜率为， 直线的倾斜角为，则斜率为， 由，且， 所以可得两直线的夹角，可得； 即，可得， 所以. （2）联立，解得交点， 设所求直线的一般式方程为， 代入点可得， 即所求直线的一般式方程为. 20．（20-21高二上·上海普陀·期末）设常数，已知直线：，：． (1)若，求的值； (2)若，求与之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由一般式下两直线垂直的充要条件可得，即可求解；（2）根据题意，由一般式下两直线平行的必要条件可求得的值，进而由平行线间的距离公式计算可得答案． 【详解】（1）根据题意，直线：，：， 若，则，解可得a （2）根据题意，若，则有，解可得或， 当时，直线：，：，两直线重合，不符合题意， 当时，直线：，：，即，两直线平行，此时与之间的距离 21．（24-25高二上·上海·期中）已知三边所在直线方程为：，：，：. (1)求边上的高所在的直线方程； (2)求直线与直线的夹角. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出B点坐标，由点斜式写出直线方程，再化简成一般式即可； （2）由题意可得，，由两直线的夹角公式求解即可. 【详解】（1）解：由，可得， 即； 又因为，    所以边上的高所在直线的斜率， 所以边上的高所在的直线方程为， 即； （2）解：因为，， 设直线与直线的夹角为， 则有， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$