6.2 无理数和实数 （第1课时 实数及其分类）（教学课件）数学新教材沪科版七年级下册

6.2无理数和实数 主讲： 沪科版（2024）七年级数学下册 第6章 实数 第1课时 实数及其分类 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 了解无理数和实数的概念. 能够估算简单平方根无理数的大小，会将循环小数化为分数. 通过丰富的数学活动，体验数学活动充满着探索和创造，体会数学的应用价值，培养积极思维的学习习惯. 通过解决问题的过程，培养学生合作交流意识与探究精神. 情景导入 我们知道，有理数包括整数和分数，整数和分数可统一写成分数的形式(整数可以看作分母为1的分数)，也就是说，有理数总可写成(m，n是整数，且m，n≠0)的形式.例如， 任何有限小数和无限循环小数都可以写成分数的形式. 反过来，任何整数、分数都可以化为有限小数或无限循环小数，因此有理数是有限小数或无限循环小数. 新知探究 下图是由4条横线、5条竖线构成的方格网，它们相邻的行距、列距都是1.从这些纵横线相交得出的20个点(称为格点)中，我们可以选择其中4个格点作为顶点连接成一个正方形，这样的正方形叫作格点正方形. (1) 有面积分别是1，4，9的格点正方形吗？ (2) 有面积是2的格点正方形吗？把它画出来. 还有与这些面积不相同的格点正方形吗? 1 1 有，所画边长分别为1，2，3. (2) 有，如图 我们看到四个边长为1的相邻正方形的对角线就围成一个面积为2的格点正方形（如图），这种正方形的边长应是多少？ 设这种正方形的边长为x，则x²=2. 因为x＞0，所以 x=. 新知探究 是一个什么样的数呢？ 因为1²=1＜2，2²=4＞2，所以1＜＜2.① 这说明不可能是整数. 在1和2之间的一位小数有1.1，1.2，…，1.9，那么在哪两个一位小数之间呢？ 因为1.4²=1.96＜2，1.5²=2.25＞2，所以1.4＜＜1.5.② 同样，在1.4与1.5之间的两位数有1.41，1.42，…，1.49，那么在哪两个两位小数之间呢？ 因为1.41²=1.988 1＜2，1.42²=2.016 4＞2，所以1.41＜＜1.42.③ 类似地，可得1.414＜＜1.415.④ …… 新知探究 像上面这样一直（无限）做下去，我们可以得到： =1.414 213 562…， 是一个无限不循环小数，因此它不是有理数. 此外 这些都是无限不循环小数. 无限不循环小数叫作无理数. 无理数可分为正无理数与负无理数，如， ，是正无理数； ， ，是负无理数. 有理数和无理数统称为实数，这样，我们认识的数的范围又一次扩大了. 实数可以按如下方式分类： 实数 有理数 无理数 正有理数 零 负有理数 正无理数 负无理数 有限小数或无限循环小数 无限不循环小数 有理数、无理数都有正、负之分，因此实数也可以分类为： 实数 正实数 负实数 正有理数 正无理数 负有理数 负无理数 0 归纳总结 例题讲解 补充例题 例1 判断： (1) 有限小数是有理数. （ ） (2) 无理数都是无限小数. （ ） (3) 有理数是有限小数. （ ） ✔ ✖ ✔ 例题讲解 例2 把下列各数填入相应的大括号内： 有理数：{ 　　　　　　　　　　　　　　　} 无理数：{　　　　　　　　　　　　　　 } 课堂练习 1. 把下列各数分类填入图中： 实数 无理数 有理数 2. 判断正误（在题后的括号内打“√”或“×”）： (1)无限小数都是无理数. （ ） (2) 无限不循环小数是无理数. （ ） (3) 无理数是带根号的数. （ ） (4) 分数是无理数. （ ） ✔ ✖ ✖ ✖ 3. 在，介于3和4之间的无理数 有 . 分层练习 2. [2024长沙期末] 公元前5世纪左右，毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”， 即一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示，后来，这一学派中的希 帕索斯发现，边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示， 从而发现了无理数.下列各数中不是无理数的是( ) A A. B. C. D. 基础题 1.下列是无理数的是( ) C A. B.3.14 C. D. 3. [2024·芜湖月考] 下列说法正确的是( ) D A.无限小数都是无理数 B.带根号的数都是无理数 C.无理数是开方开不尽的数 D.无限不循环小数是无理数 4.[2024宁波模拟] 写出一个大于2的无理数：__________________. （答案不一） 5.[2024龙岩期中] 有一个数值转换器，原理如下图，若把实 数 代入数值转换器，恰好经过4次代入数值的程序运算，最 终输出的数值是，则 _____. 256 6.[2024·天津中考] 估算 的值在( ) C A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间 7.请写出一个大于2且小于3的无理数：________________. (答案不唯一) 8. 下列说法正确的是( ) D A. 正实数和负实数统称为实数 B. 正数、0和负数统称为有理数 C. 带根号的数和负数统称为实数 D. 无理数和有理数统称为实数 9.把下列各数填入相应的大括号内：,,,, , ，， . (1)有理数：_ ____________________ ； (2)无理数：_ _____________________________________ ； 7.5，，， ， ，, (3)正实数：_ __________________________________ ； (4)负实数：_ _________________ . 7.5,,,, , ， 10. [2024资阳] 若，则整数 的值为( ) B A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 11. [2024成都校级月考] 若一个边长为 的正方形的面积为30， 则 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 【点拨】因为一个边长为 的正方形的面积为30， 所以.因为，所以 . 综合应用题 12.下列说法中错误的有______.(填序号) ①实数可以分为有理数和无理数，也可以分为正实数和负实 数；② 不是分数；③无限小数必是无理数. 13.有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的 为64时，输 出的 是____. 14.在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全 浸入盛满水的圆柱形烧杯中，若量得溢出水的体积为 ，则该铁 块棱长大小的范围是( ) B A. 和之间 B. 和 之间 C. 和之间 D. 和 之间 【点拨】由题意得，该正方体铁块的棱长是 . 因为，所以 . 15.在实数，，，， ，， ， ， 中，无理数有_______个. 1 980 【点拨】因为 ， 所以在实数，，，， ，， ， , 中，有理数有45个. 所以无理数有 （个）. 16.如图，正方形网格中每个小正方形的边 长都为1，正方形 的顶点都在格点上. （1）求正方形 的面积； 【解】正方形的面积为 . （2）试判断正方形 的边长是有理数还是无理数. 正方形的边长为17的算术平方根，即， 是无理数. 17. 请阅读下列材料，并完成相应的任务. 对于实数， ，我们规定一种新的运算法则例如， .现在有这样一个问题：已知， ，且，是两个相邻的整数，求 的值.下面是小明同学的部分解答过程： 解：因为， ，所以 任务： (1)完成材料中解答过程的剩余部分. 解：因为,是两个相邻的整数，所以 ， ，所以 . (2)在；；； 中，是无理数的是________(填序号). 18. 如图①，把两个边长为 的小正方形分别 沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一 起，就可以得到一个面积为 的大正方形， 试根据这个研究方法回答下列问题： 创新拓展题 （1）所得到的面积为 的大正方形的边长就 是原先边长为 的小正方形的对角线长，因此， 可得到小正方形的对角线长为____ ； （2）由（1）中的方法，能在数轴上画出无理数所对应的点， 请求出图②中， 两点表示的数分别为多少; 【解】题图②中小正方形对角线的长为 . 所以，两点表示的数分别为和 . 18. 如图①，把两个边长为 的小正方形分别 沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一 起，就可以得到一个面积为 的大正方形， 试根据这个研究方法回答下列问题： （3）通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的 长方形进行裁剪，拼成如图③所示的一个正方形.请 用与（2）中相同的方法在如图④的数轴上找到表示 的点. （作图过程中标出必要的线段长） 【解】易知题图③中大正方形的面积为5， 所以小长方形的对角线的长为 . 如图所示，点表示的数即为 . 课堂小结 实数的分类：按定义分类与按大小分类. 无理数：无限不循环小数叫做无理数． 实数 实数：有理数和无理数统称为实数． 主讲： 沪科版（2024）七年级数学下册 感谢聆听 $$