精品解析：重庆复旦中学教育集团2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

重庆复旦中学教育集团2024-2025学年度上期期中考试 初2026届数学试题 尊重自己！爱护复旦！复旦过去的光荣，将来的灿烂，全赖我们共同爱护，共同发展！同学：今天在考试的时候，不要忘记自己！不要忘记复旦！考场秩序井然，人人洁身自爱． 本试卷分为I卷和Ⅱ卷，考试时间90分钟，满分100分．请将答案工整地书写在答题卡上． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各个选项中的两个图形属于全等形的是（ ） A. B. C. D. 2. 的计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列长度的各组线段可以组成三角形的是（    ） A. 2，3，5 B. 5，7，4 C. 3，4，8 D. 3，3，6 4. 一个直角三角板和一个直尺按如图所示的方式放置，则的度数为（ ） A. 144° B. 134° C. 136° D. 126° 5. 如图，若，那么（　　） A. B. C. D. 6. 下列因式分解正确的是(　　) A. B. C. D. 7. 如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD长（　　） A. 2 B. 9 C. 10 D. 12 8. 要使的结果中不含项，则a的值是（ ） A. 0 B. C. D. 2 9. 已知（ ）. A. 3 B. -3 C. 5 D. -5 10. 如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的有几个（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11. a2•b3（ab）3＝___． 12. 如图，在中，，平分，若，，则______． 13. 如图所示，在中，，于点D，交于点E．若，，，，则的周长是__________． 14. 若，且，则__________． 15. 如图，已知中，，，，点G是的中点，若的面积是27，则的面积为________． 16. 有一数值转换器，原理如图所示，如果开始输入的值是4，则第一次输出的结果是5，第二次输出的结果是8， ，那么第2024次输出的结果是______． 17. 有三面镜子如图放置，其中，已知入射光线经反射后，反射光线与入射光线平行，若，则_____．（结果用含的代数式表示） 18. 若对于一个四位正整数，其千位数字的2倍和百位数字之和为14，十位数字的2倍和个位数字的3倍之和为15，则称这样的四位数为“飞月数”．把任意四位数A的前两位上的数字和后两位上的数字整体交换，得到新四位数，规定．则的值为______．若（，，，，其中a、b、c、d均为整数），则当s为“飞月数”，且s最大时的值为______． 三、计算题：本题共2小题，共16分． 19. 计算： （1） （2） 20. 分解因式： （1） （2） 21. 已知：如图，是的角平分线． （1）请利用直尺和圆规作的平分线，与线段交于点，连接（不写作法，但必须保留作图痕迹） （2）求证：．（利用已知条件和（1）的作图，完成下面的推理）证明：过点分别作垂足分别为点． 是角平分线上的一点． 又 （____________）． 同理，， （ ）． 又，（____________）， 在（____________）的平分线上， ． 22. 如图，直线与轴、轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，． （1）求点的坐标； （2）求的面积； （3）点是坐标系中的一个动点，当与全等时，请直接写出点的坐标． 23. 19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式法就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”．阅读材料，完成下列各题． （1）分解因式：； （2）分解因式：． 24. 如图，等腰直角中，，，．点在的延长线上，连接；过点作，使，连接， （1）求证：． （2）如图，若点为的中点，连接、；求证：． 25. 如图1所示是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． （1）观察图2请你写出，，之间的等量关系是_______________________； （2）根据（1）中的结论，若，，则_________________； （3）拓展应用：若，求的值． 26. 在中，，D为边上一点，点E在的延长线上，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，求证：； （3）如图3，点F是延长线上一点，连接，过D作于H，延长交于点G，的面积为4，求线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆复旦中学教育集团2024-2025学年度上期期中考试 初2026届数学试题 尊重自己！爱护复旦！复旦过去的光荣，将来的灿烂，全赖我们共同爱护，共同发展！同学：今天在考试的时候，不要忘记自己！不要忘记复旦！考场秩序井然，人人洁身自爱． 本试卷分为I卷和Ⅱ卷，考试时间90分钟，满分100分．请将答案工整地书写在答题卡上． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各个选项中的两个图形属于全等形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是全等图形，掌握全等图形的概念是解决问题的关键． 利用全等图形的概念可得答案． 【详解】解∶ A．两个图形形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； B．两个图形能完全重合，是全等图形，符合题意； C．两个图形大小不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； D．两个图形形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； 故选∶B． 2. 的计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握单项式乘多项式运算法则，准确计算． 【详解】解： ， 故选：B． 3. 下列长度的各组线段可以组成三角形的是（    ） A. 2，3，5 B. 5，7，4 C. 3，4，8 D. 3，3，6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形任意两边之和大于第三边逐项分析即可得解，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． 【详解】解：A、，故2，3，5不能组成三角形，故不符合题意； B、，故5，7，4能组成三角形，故符合题意； C、，故3，4，8不能组成三角形，故不符合题意； D、，故3，3，6不能组成三角形，故不符合题意； 故选：B． 4. 一个直角三角板和一个直尺按如图所示的方式放置，则的度数为（ ） A. 144° B. 134° C. 136° D. 126° 【答案】D 【解析】 【分析】延长AC交EF于点D，根据平行线的性质，得∠ADF的度数，由平角的定义得∠ADE的度数，结合三角形外角的性质，即可求解． 【详解】延长AC交EF于点D， ∵MN∥EF， ∴∠ADF=144°， ∴∠ADE=180°-144°=36°， ∵∠BCD=∠BCA=90°， ∴∠1=∠BCD+∠ADE=90°+36°=126°． 故选D． 【点睛】本题主要考查平行线的性质定理，三角形外角的性质定理，添加辅助线，构造同位角和三角形，是解题的关键． 5. 如图，若，那么（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，由三角形内角和定理可得，，，再结合题意求解即可，熟练掌握三角形内角和定理是解此题的关键． 【详解】解：如图： ， 由三角形内角和定理可得：，，， ∴， 故选：C． 6. 下列因式分解正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式，完全平方公式）、三检查（彻底分解）．直接根据因式分解方法逐一判断即可． 【详解】A、根据平方差公式，可得，故不正确； B、根据式子特点，不能分解，故不正确； C、根据因式分解的概念，不是积的形式，故不正确； D、根据提公因式法，可得，故正确． 故选D． 7. 如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD长（　　） A. 2 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：如图，△ABC≌△DEC，A和D，B和E是对应点，B、C、D在同一直线上，且CE=5，AC=7， ∴BC=EC=5，CD=AC=7， ∴BD=BC+CD=12． 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 8. 要使的结果中不含项，则a的值是（ ） A. 0 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，可得多项式，根据四次项的系数为零，可得答案． 【详解】解：原式=-6x5-6ax4-30x3+3x4 =-6x5+（3-6a）x4-30x3， （-6x3）（x2+ax+5）+3x4的结果中不含x4项，得 3-6a=0． 解得a=， 故选：B． 【点睛】本题考查了单项式与多项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键，计算时要注意符号的处理． 9. 已知（ ）. A. 3 B. -3 C. 5 D. -5 【答案】A 【解析】 【分析】观察已知m2-m-1=0可转化为m2-m=1，再对m4-m3-m+2提取公因式因式分解的过程中将m2-m作为一个整体代入，逐次降低m的次数，使问题得以解决． 【详解】∵m2-m-1=0， ∴m2-m=1， ∴m4-m3-m+2=m2 (m2-m)-m+2=m2-m+2=1+2=3， 故选A． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是将m2-m作为一个整体出现，逐次降低m的次数. 10. 如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的有几个（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】易证，可得，可得①②正确，再根据角平分线的性质可求得，即③正确，根据③可求得④正确． 【详解】解：①∵为的角平分线， ∴， ∴在和中， ， ∴，①正确； ②∵为的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴，②正确； ③∵，，，， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴．③正确； ④过E作于G点， ∵E是的角平分线上的点，且， ∴（角平分线上的点到角的两边的距离相等）， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴．④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11. a2•b3（ab）3＝___． 【答案】 【解析】 【分析】根据积的乘方和单项式乘法法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的运算，解题关键是熟记相关法则，准确进行计算． 12. 如图，在中，，平分，若，，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的角平分线，高线的定义；由平分，可得角相等，由，，可求得的度数，在直角三角形在利用两锐角互余可求得答案． 【详解】解：平分， ， ， 中，． 故答案为：． 13. 如图所示，在中，，于点D，交于点E．若，，，，则的周长是__________． 【答案】##6厘米 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形全等的判定与性质，三角形的周长公式的应用，熟练的证明是解本题的关键． 如图，连接．证明，可得，再利用三角形的周长公式可得答案． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴， ∴． 在与中， ， ∴， ∴， ∴的周长． 故答案是：． 14. 若，且，则__________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的应用，根据代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴， 故答案为：12． 15. 如图，已知中，，，，点G是的中点，若的面积是27，则的面积为________． 【答案】128 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积，关键是熟悉等高的三角形面积比与底边比的关系．根据等高的三角形面积比等于底边比依次求解可得的面积． 【详解】解：在中，点G是的中点，的面积是27， ∴的面积是， ∵， ∴的面积是， ∵， ∴的面积是， ， ∴的面积是． 故答案为：128． 16. 有一数值转换器，原理如图所示，如果开始输入的值是4，则第一次输出的结果是5，第二次输出的结果是8， ，那么第2024次输出的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，有理数的混合运算，通过计算发现，从第二次开始，运算结果，，循环出现，由此可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当输入时，第一次输出， 当输入时，第二次输出， 当输入时，第三次输出， 当输入时，第四次输出， 当输入时，第五次输出， 当输入时，第六次输出， ， 由此可知，从第二次输入，输入三次一个循环， ∵， ∴第次输出的结果为：， 故答案为：． 17. 有三面镜子如图放置，其中，已知入射光线经反射后，反射光线与入射光线平行，若，则_____．（结果用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，入射角和反射角以及三角形的内角和等知识，先根据入射角等于反射角画出反射光线，再根据平行线的性质和三角形内角和得出结论．解题的关键在于正确画出辅助线． 【详解】解：根据入射光线画出反射光线，交于点，同理根据入射光线画出反射光线，交于点，根据入射光线画出反射光线，过点作的平行线，使得，如图所示： ∵入射角等于反射角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵入射角等于反射角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据入射角等于反射角，可知， ∴， 故答案为：． 18. 若对于一个四位正整数，其千位数字的2倍和百位数字之和为14，十位数字的2倍和个位数字的3倍之和为15，则称这样的四位数为“飞月数”．把任意四位数A的前两位上的数字和后两位上的数字整体交换，得到新四位数，规定．则的值为______．若（，，，，其中a、b、c、d均为整数），则当s为“飞月数”，且s最大时的值为______． 【答案】 ①. 29 ②. 9 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，二元一次方程的整数解的求解，理解新定义是解本题的关键．根据新定义进行解答；当时，根据新定义分别列出方程进行解答求得，并求得最大时，的值． 【详解】解： ，， 是“飞月数”． ． 为“飞月数”， ，． 即，， ，，，，其中、、、均为整数， ，或，（或，；，． 或或7061． 故满足条件的值为5461或6261或7061． 当时，． 即当最大时的值为9． 故答案为：29，9． 三、计算题：本题共2小题，共16分． 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式四则混合运算，熟练掌握同底数幂相除，积的乘方，完全平方公式，平方差公式等是解题的关键． （1）根据单项式的乘除运算法则计算即可； （2）将两项分别用平方差公式和完全平方公式展开再合并同类项，即可得到本题答案． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 20. 分解因式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解的知识，解题的关键是熟练掌握，． （1）根据整式的乘法，先计算，然后合并同类项，最后根据，进行解答，即可； （2）先提公因式，再根据，进行因式分解，即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 21. 已知：如图，是的角平分线． （1）请利用直尺和圆规作的平分线，与线段交于点，连接（不写作法，但必须保留作图痕迹） （2）求证：．（利用已知条件和（1）的作图，完成下面的推理）证明：过点分别作垂足分别为点． 是角平分线上的一点． 又 （____________）． 同理，， （ ）． 又，（____________）， 在（____________）的平分线上， ． 【答案】（1）如图，为所作 （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的作图步骤用直尺和圆规画图即可； （2）过点分别作垂足分别为点，，，根据角平分线的性质得到，，则，然后根据角平分线的性质定理的逆定理可判断在的平分线上，从而得到结论． 【小问1详解】 解：以点为圆心，适当长为半径画弧交，于两点，再分别以两点为圆心适当长为半径画弧交于一点，连接点与该点所在直线交于点，连接； 【小问2详解】 证明：过点分别作垂足分别为点， 是角平分线上的一点． 又 ， 同理，， ． 又， 在的平分线上， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图−−基本作图，角平分线的性质和判定，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键． 22. 如图，直线与轴、轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，． （1）求点的坐标； （2）求的面积； （3）点是坐标系中的一个动点，当与全等时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点作轴于点，如图所示，根据等腰直角三角形性质，由三角形全等判定定理得到，再结合点、点，求出即可得到答案； （2）由勾股定理得到，再由等腰直角三角形性质，结合直角三角形面积公式代值求解即可得到答案； （3）根据题意，分三种情况：当；当；当；作出图形，数形结合即可得到答案． 【小问1详解】 解：过点作轴于点，如图所示： 在中，，， ， ， ， 在和中， ， ，， 点、点， ， ， 点的坐标； 【小问2详解】 解：点、点， ， 在中，由勾股定理可得， 在中，，， 的面积为； 【小问3详解】 解：根据题意，分三种情况： 当，过点作轴于，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 当，过点作轴于，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 当，过点作轴于，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 综上，点P的坐标为． 【点睛】本题考查图形与坐标、互余、直角三角形性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键，其中（3），要注意分类讨论，避免遗漏． 23. 19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式法就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”．阅读材料，完成下列各题． （1）分解因式：； （2）分解因式：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解的知识，解题的关键是根据“热门定理”，，十字相乘法，进行因式分解，即可． （1）根据“热门定理”，，进行因式分解，即可； （2）根据“热门定理”，，进行因式分解，即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 24. 如图，等腰直角中，，，．点在的延长线上，连接；过点作，使，连接， （1）求证：． （2）如图，若点为的中点，连接、；求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2） 证明：延长到点，使得，连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据，，根据等量代换，得；根据，，得，得，根据三角形的外角，得，即证明； （2）延长到点，使得，连接；根据，，，得，得，则，得，；等量代换，根据，，等量代换，根据全等三角形的判定和性质，等量代换，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查三角形，平行线的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行线的判定和性质，三角形的外角． 25. 如图1所示是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． （1）观察图2请你写出，，之间的等量关系是_______________________； （2）根据（1）中的结论，若，，则_________________； （3）拓展应用：若，求的值． 【答案】（1） （2）29 （3）3 【解析】 【分析】（1）根据图2可知，大正方形面积等于内部小正方形与4个小长方形的面积之和，分别用含a和b的代数式表示，即可得出答案． （2）由（1）可得出，将，，整体代入，即可得出答案； （3）设，，则，， ，再利用（1）中的结论即可求解； 本题考查整式的化简求值、完全平方公式，能正确根据完全平方公式进行变形是解题的关键． 【小问1详解】 解：由图2可知，大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，小长方形的长为b，宽为a， ∴大正方形的面积为，小正方形的面积为，小长方形的面积为， 由题可知，大正方形面积等于小正方形与4个小长方形的面积之和， 即． 故答案为：； 【小问2详解】 解:∵，， 由（1）中结论可得， ∴． 故答案为：29； 【小问3详解】 解：设，， 则，． ． 26. 在中，，D为边上一点，点E在的延长线上，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，求证：； （3）如图3，点F是延长线上一点，连接，过D作于H，延长交于点G，的面积为4，求线段的长度． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， 过作交于于， ∴， ∴为等边三角形． ∴． ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角可得，根据外角的性质可得，以及，得出，根据等边对等角即可得证； （2）导角得出，得出为等边三角形，过作交于于，可得为等边三角形，证明，得出为等边三角形，即可得出结论； （3）设，则，，，得出，，，连接，证明， 得出，则，根据，得出，根据即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，（舍）， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据平方根的定义解方程，综合运用以上知识直接是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $